Задачі з вільними границями для еліптичних та параболічних рівнянь

Національна Академія Наук України

Інститут прикладної математики і механіки

Бородін Михайло Олексійович

УДК 517. 946

Задачі з вільними границями для еліптичних та параболічних рівнянь

01. 01. 02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Донецьк-1999

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Донецькому державному університеті Міністерства освіти України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Борис Васильович Базалій, завідувач відділом рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України доктор фізико-математичних наук, професор Сергій Павлович Лавренюк, завідувач кафедрою диференціальних рівнянь Львівського державного університету доктор фізико-математичних наук, професор Микола Карапетович Карапетянц, завідувач кафедрою диференціальних та інтегральних рівнянь Ростовського державного університету.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, м. Київ, відділ диференціальних рівнянь. Захист відбудеться “ 22 “ жовтня 1999. о 15 годині на засіданні спеціалізованої Ради Д 11. 193. 01 для захисту дисертацій на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можно ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

лінійне квазілінійне рівняння двофазна багатовимірна задача

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Основним об'єктом нашого дослідження являються нелінійні задачі математичної фізики із вільними границями. Вони представляють математичні моделі процесів, для яких характерною особливістю є наявність різних за своїми характеристиками фаз, що розділяються невідомою вільною поверхнею. Такі процеси відбуваються в деяких сучасних металургійних технологіях (неперервний розлив сталі, електрошлаковий переплав), при утворенні та еволюцїї полярної криги, при вирощуванні монокристалів, в теорії пружності, гідравліці, в теорії горіння та деяких інших областях науки та техніки. Наявність вільної границі робить вказані математичні моделі суттєво нелінійними та особливо важкими для дослідження. Тобто з одного боку ми маємо змістовний математичний об'єкт, а з другого боку - об'єкт, який має численні застосування. Будь яка коректно поставлена задача, що має на меті опис дійсності, повинна задовольняти такі вимоги: 1) задача має розв'язок; 2) розв'язок єдиний; 3) розв'язок стійкий. Дисертація присвячена дослідженню класичної розв'язності деяких багатовимірних задач із вільними границями для еліптичних та параболічних рівнянь.

Серед задач із вільними границями центральне місце посідає проблема Стефана. Вона була сформульована сто років назад, коли австрійський фізик Й. Стефан спробував побудувати математичну модель утворення та еволюції криги у світовому океані. Спочатку основні зусилля були спрямовані на вивчення одновимірних задач, а також задач із циліндричною та сферичною симетрією. В роботах Л.І. Рубінштейна, Дж. Дугласа, К. Хілла, М. Примічеріо, А.М. Мейєрманова та ін. одновимірні задачі були вивчені з достатньою повнотою. Основний метод досліждення - редукція до інтегральних рівнянь вольтеррівського типу.

Початок вивчення багатовимірної задачі Стефана було покладено в роботах О.А. Олєйник та С.А. Каменомостської. Була застосована концепція узагальненого розв'язку, що дозволило довести теорему існування та єдиності слабкого розв'язку. На початку сімдесятих років в роботах К. Байоккі та Г. Дюво був запропонований спосіб редукції деяких задач із вільними границями до варіаційних нерівностей. Ці роботи дали потужний поштовх розвитку теорії варіаційних нерівностей та дозволили А. Фридману, Д. Кіндерлереру, Л. Ніренбергу довести існування глобального класичного розв'язку в однофазній нестаціонарній задачі Стефана. Такі результати були одержані завдяки фундаментальним дослідженням Л. Кафареллі про гладкість вільних границь.

Двофазна задача також дозволяє варіаційну постановку, але на відміну від однофазної задачі тут вдалося довести лише неперервність розв'язку. Наприкінці семидесятих років А.М. Мейєрманов запропонував інший підхід до вивчення двофазної задачі. Ввівши спеціальну регуляризацію та змінні Мізеса, він довів існування класичного розв'язку у малому за часом. Відмітимо також роботи Є. І. Ханзави, який, використовуючи результати Дж. Неша та Ю. Мозера, довів аналогічне твердження. Б.В. Базалій запропонував інший метод дослідження класичної розв'язності у малому за часом, який спирається на теорему Шаудера. Таким же методом йому вдалося довести класичну розв'язність у ряді інших задач типу Стефана. Аналогічні результати одержані Є. В. Радкевичем.

У 1987 році була опублікована робота Р. Ночетто, в якій вивчалася многомірна задача Стефана у так званій ентальпійній постановці. Доведено ліпшицевість вільної границі. В 1996 році опублікована робота Дж. Атанаспоулоса та Л. Кафареллі, в якій показано, що результати попередньої роботи при виконанні деяких умов можна посилити.

Відмітимо, що велике значення мала оглядова робота І.І. Данилюка, присвячена проблемі Стефана, яка опублікована в 1985 році.

Інший клас задач із вільними границями, який вивчається в дисертації, виникає при вивченні хвильових та кавітаційних течій рідини, в математичній теорії горіння. Ці задачі відрізняються від задачі Стефана тим, що вони нелінійні не тільки через наявність вільної границі, а й через нелінійність граничних умов. У стаціонарному випадку вирішальним моментом при вивченні такого роду задач є виявлення варіаційної природи розв'язків. Це призвело до вивчення інтегральних функціоналів із змінною областю інтегрування. Дослідженню таких функціоналів присвячені роботи К. Фридрихса,. П. Гарабедяна, Х. Леві, М. Шиффера, І.І. Данилюка, Б.В Базалія, В.Ю. Шелєпова та ін. В цих роботах вдалося встановити існування розв'язку з класичними диференціальними властивостями, але умови на вільній границі виконуються майже всюди. Потім в середині восьмидесятих років в роботах Х. Альта, Л. Кафареллі та А. Фридмана було доведено існування класичного розв'язку у плоскому та осесиметричному випадках.

Нестаціонарні задачі, які описують процес поширення дифузійного полум'я в математичній теорії горіння, досліджувалися у роботах Т. Вентцель, А.М. Мейєрманова, Л.А. Кафареллі, Д.Л. Васкеса, В.А. Галактіонова, Дж. Халсхофа та ін. Основними результатами цих робіт являються такі:

існування класичних розв'язків у одновимірних випадках;

існування слабких розв'язків у багатовимірних випадках;

стабілізація розв'язків;

існування класичного розв'язку у багатовимірному випадку у малому за часом.

Нарешті, в дисертації вивчаються питання існування розв'язку в квазіста-ціонарній задачі Стефана. Ця задача має теплофізичне походження. Вона моделює процес поширення тепла у середовищі, яке знаходиться у дво-фазовому стані, якщо припустити, що фронт кристалізації рухається рів-номірно із сталою швидкістю та у відповідній рухомій системі координат температура не залежить від часу. В результаті одержуємо двофазну квазі-стаціонарну задачу Стефана.

Вперше існування класичного розв'язку в однофазній квазістаціонарній задачі Стефана було доведено в роботах автора. Для цього була використана ідея Байоккі. Задачу вдалося редукувати до еліптичної варіаційної нерівності, а потім, використовуючи метод локальних варіацій та метод симетрування, довести гладкість вільної границі. Таким же методом була доведена класична розв'язність в осесиметричному випадку. Вивченню різних аспектів квазістаціонарної задачі присвячені роботи І.І. Данилюка, Б.В. Базалія, В.Ю. Шелєпова, С.П. Дєгтярьова та ін.

Отже, задачі із вільними границями були в центрі уваги багатьох видатних математиків. За останні три десятиліття опубліковано більше тисячі робіт, присвячених цій тематиці. В результаті проведених досліджень зазнали подальшого розвитку метод інтегральних функціоналів із змінною областю інтегрування, метод варіаційних нерівностей, метод локальних варіацій, метод симетрування та ін. Але в цих роботах не вдалося створити метода, який би дозволив дослідити достатньо широкий клас стаціонарних та нестаціонарних задач із вільними границями. Крім того, питання існування глобальних класичних розв'язків у багатовимірних задачах були вивчені недостатньо.

Мета і задача дослідження. Дослідження існування глобальних класичних розв'язків у двофазній багатовимірній задачі Стефана для лінійного та квазілінійного рівнянь теплопровідности в задачах, які описують процеси горіння, існування класичного розв'язку в стаціонарних задачах, які виникають при вивченні струминних та кавітаційних течій рідини, квазістаціонарної задачі Стефана.

Створення метода, який дозволяє дослідити гладкість вільної границі для цілого класу стаціонарних та нестаціонарних задач.

Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна результатів дисертації полягає у наступному:

запропоновано новий метод дослідження цілого класу нелінійних задач із вільними границями для еліптичних та параболічних диференціальних рівнянь другого порядку;

доведено існування класичного розв'язку у цілому за часом у двофазній багатовимірній задачі Стефана для лінійного та квазілінійного рівнянь теплопровідності, а також у контактній задачі Стефана;

доведено існування класичного розв'язку в цілому за часом у задачі, яка моделює процес поширення дифузійного полум'я в теоріі горіння, а також класична розв'язність стаціонарної задачі, яка виникає при опису струминних та кавітаційних течій рідини у гідродинаміці;

доведено існування класичного розв'язку в однофазній плоскій та осесиметричній квазістаціонарній задачі Стефана для лінійного рівняння, слабкого розв'язку для квазілінійного рівняння, а також існування слабкого розв'язку у двофазній плоскій квазістаціонарній задачі Стефана.

Особистий внесок здобувача. У сумісних роботах [4], [6] автору належить постановка задачі та метод дослідження.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Всесоюзній конференції “Математичне моделювання процесів отвердіння. металів та сплавів. ” у м. Новосибірськ (1983 р.), на республіканській конференції “Комплексні методи у математичній фізиці” в м. Донецьк (1984 р.), на радянсько-чехословацькій нараді “Застосування функціональних методів теорії функцій до задач математичної фізики” в м. Донецьк (1986 р.), на республіканській конференції “Нелінійні задачі математичної фізики” в м. Донецьк (1991 р.), на Міжнародних конференціях по нелінійних задачах математичної фізики в м. Київ (1995, 1997 рр.), на Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння та суміжні питання” в м. Москва (1996 р.), на семінарах ім. І. Г. Петровського в м. Москва (1976, 1980, 1983 рр.), на Міжнародній конференції “Механіка суцільного середовища із вільними границями” в м. Новосибірськ (1991 р.), на Міжнародних конференціях “Методи математичної фізики” в м. Рахів (1995 р.), в м. Київ (1997 р.), на семінарах у О. А. Ладиженської в м. Ленінград, на семінарах І.І. Данилюка, І.В. Скрипника, Б.В. Базалія в ІПММ НАН України та ін.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в роботах [1] - [28].

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох глав та списку літератури (166 найменувань). Загальний об'єм дисертації складає 282 сторінки.

ЗМІСТ РОБОТИ

Перша глава дисертації присвячена дослідженню глобальної класичної розв'язності двофазної багатовимірної проблеми Стефана для лінійного та квазілінійного рівнянь теплопровідності, а також контактної задачі Стефана. Для дослідження цих задач запропоновано новий метод, суть якого в тому, що: побудовано деяку послідовність еліптичних диференціально-різницевих апроксимуючих задач, установлено їх розв'язність, доведено рівномірні оцінки, а потім здійснено граничний перехід.

Нехай

D={x³: 0<R₁<x<R₂}, D_T=D (0, T), B_i={x³: x<R_i, i=1, 2},

задане додатнє число. Треба знайти трійку {u (x, t), _T, G_T} за такими умовами:

u-b (u) ut = 0 в _TG_T,

_T={ (x, t) D_T: u (x, t) <1}, G_T={ (x, t) : D_T: u (x, t) >1},

на відомій границі

u (x, t) = (x, t) на {B₁ (0, T) }{B_T (0, T) }; (2)

на невідомій границі _T=_TD_T=G_TD_T

[u]=0, [u/x_k]cos (n, x_k) +cos (n, t) =0; (3)

початкові умови

u (x, 0) = (x) в D, (x) = (x, 0) на B₁B₂, 0< (x) <1 на B₁, (x) >1 на B₂, (4)

Тут b (u) кусково-стала функція, рівна b₁ в _Tта b₂ в G_T, (x, t), (x, t) задані функції, n нормаль до поверхні _{T -} напрямлена в сторону зростання u (x, t), [u (x, t) ], [u_x (x, t) ]

різниці між граничними значеннями на _T які взято з областей _Tта G_T відповідно,

, b₁, b₂, R₁, R₂, задані додатні константи.

Побудуємо систему апроксимуючих задач. У зв'язку з цим розіб'ємо циліндр D_Tплощинами t=kh, hN =T, тут N - деяке додатнє число, k=1, 2,..... N. Для довільного >0 визначимо функцію (x) C² (¹) так:

(x) =1 x1, (x) =0 x1+, ' (x) 0.

Позначимо b (x) =b₂+ (b₁-b₂) (x), _k (x) = (x, kh). Наближатимо функцію u (x, t) функціями u_k (x, h, ), які визначимо так:

u_k - 1h b () d = -h[ (u_k) - ₍u₀) ]+1hb (u_k-1-) d в D, k=1, 2,..., N, (5)

u_k= (x, kh) =_k (x) на B₁B₂, u₀= (x) в D, (6)

F_k - 1hb (u_k-) d = - h[ (u_k) - (u₀) ], (7)

F_k=0 на B₁B₂, F₀ = 0 в D. (8)

При фіксованих >0, h>0має місце

Теорема 1. 12. Нехай виконуються умови:

 (x) C²⁺ (D) _k (x) C²⁺ (D), (0, 1),

для функцій (x) и _k (x) при xD та k=0 виконуються відповідні умови узгодження. Тоді задача (5) - (8) розв'язна та u_k (x, h, ) C²⁺ (D), F_k (x, h, ) C²⁺ (D).

Позначимо через

w_k (x, h, ) =u_k (x, h, ) - F_k (x, h, ) (9)

та віднімемо (7) з (5). Тоді функції w_k (x, h, ) будуть розв'язками наступної задачі

w_k - 1h b () d = 0 в D, w_k (x, h, ) = _k (x) на D (10)

З рівності (9) випливає, що функції u_k (x, h, ) представлені сумою двох доданків, один з яких w_k (x, h, ) наперед є більш гладкою функцією, ніж розв'язок задачі Стефана, а другий -

F_k (x, h, ) містить інформацію про поведінку розвязку поблизу вільної границі, але є розв'язком більш простої задачі.

Теорема 1. 15. Нехай виконуються умови теореми 1. 12 та

- (x) c₁>0, 0<c₂h _k-1 (x) - _k (x) c₃h, -1lnh,

Тоді існує така константа, яка не залежить від h та , що має місце оцінка

[w_k-1 (x, h, ) - w_k (x, h, ) ] M₂h.

Теорема 1. 16. Нехай виконуються умови теореми 1. 12 та

0, 0 _k-1 (x) - _k (x) ch, k=1, 2,..., N, -1lnh.

Тоді існує така константа M₃>0, яка не залежить від та h, що має місце оцінка

[w_k-1 (x, h, ) - w_k (x, h, ) ] M₃h.

З цих тверджень випливає рівномірна обмеженість норм w_kC¹⁺ (D), (0, 1)

та якщо >0 в D, то (w_k) c>0, де не залежить від k, h, .

Далі встановлено рівномірні оцінки для функцій u_k (x, h, ) Оцінки для перших похідних одержані з рівняння (5) за допомогою принципа максимуму.

Теорема 1. 19. Нехай віконуються умови теореми 1. 12, ⁴ h¹². Тоді

xD\₀ () u_k (x, h, ) x_ic,

де константа не залежить від h, k, .

Теорема 1. 20. Нехай

(x) C²⁺ (D), _k (x) C²⁺ (D), 0, w_k-1 (x, h, ) - w_k (x, h, ) c₁h.

Тоді

0u_k-1 (x, h, ) - u_k (x, h, ) c₂h,

де c_i не залежать від h, , k.

Далі встановлено, що зовні деякої множини, міра якої прямує до нуля при h0, 0

просторові похідні функцій F_k (x, h, ) та різницева похідна рівномірно прямують до нуля при h0, 0.

Нехай функція (x, t) C^{2, 1} (D_T) рівна нулю на границі області D та при t=T, _k (x) = (x, kh). Представимо рівняння (5) у вигляді

u_k - 1h b () d = -h[ (u_k) - ₍u₀) ]+F_k-1.

Помножимо це рівняння на , проінтегруємо по k від 1 до N. Після нескладних перетворень одержимо

{u_kk + 1hb () d_k+ (u_k) (_k+1-_k) h}dy +

(u₀) ₁dy + (F_k-F_k-1) h _k dy = 0, де

Позначимо через u (x, t, h, ) кусково-лінійні інтерполяції по змінній t функцій u_k (x, h, ).

Нехай ₀C²⁺, xD: 1 (x) 1+}=0.

З одержаних рівномірних оцінок випливаає, що всюди вD_T, де

u (x, t, h, ) 1++h, u (x, t, h, ) 1-h,

частинні похідні u_x (x, t, h, ), u_t (x, t, h, ) рівномірно обмежені та має місце оцінка -utc>0.

Тому поверхні рівня _T^- (h, ), _T⁺ (h, ) можна задати, відповідно, явними рівняннями

t=⁺ (x, h, ), t=^- (x, h, ), причому функції ⁺ (x, h, ), ^- (x, h, ), рівномірно обмежені. Функції

{ F_k (x, h, ) - F_k-1 (x, h, ) h}

рівномірно обмежені в D, а на множині { u_k-1<1- 2h, u_k> 1++2h} задовольняють рівняння

(F_k-F_k-1) - 1hb () d =0.

Тому на цій множині має місце оцінка F_k (x, h, ) - F_k-1 (x, h, ) hch, >0.

Крім того, міра тієї частини вказаної множини, на якій

F_k (x, h, ) - F_k-1 (x, h, ) 0

прямує до нуля при h0, 0. Позначимо через

u (x, t) = u (x, t, h, ) при -1lnh.

Одержані результати дозволяють здійснити граничний перехід в інтегральній тотожності.

Отже, має місце

[ u+b (u) u_t]dxdt + _tdxdt + (x, 0) dx +

+lim (u) _kdxdt + lim F_td dx dt = 0,

де D_T¹=D_T ({u=1) }\{F_t0}).

З одержаної інтегральної тотожності випливає, що функція u (x, t) задовольняє рівняння (1), а на вільній границі майже скрізь має місце (3).

Теорема 1. 23. Нехай виконуються умови

(x) C²⁺ (D), <0, в D, (x, t) H^{2+, 1+} (D),

t<0 на D[0, T], (x) =0 на B₁, x) >1 на B₂.

та відповідні умови спряження. Тоді T>0 існує єдиний розв'язок задачі (1) - (4) та

u (x, t) C (D_T) {H^{2+, 1+} (_T) H^{2+, 1+} (G_T) },

вільна поверхня задається рівнянням t= (x) C¹⁺ та для кожної точки _T яка лежить у D_T, існує окіл, в якому рівняння _T можна представити у вигляді

x_i=f (x₁,..., x_i-1, x_i,..., x₃, t) H^{2+, 1+}.

В пункті 1. 3 вивчається контактна двофазна задача Стефана. Для дослідження задачі використовується такий само метод, що й вище. Позначимо через

s_d={xD: x₁²+x₁²=b², x₃=d}, s₀={ xD: x₁²+x₁²=b², x₃=0}.

Основний результат полягає в наступному

Теорема 1. 34. Нехай виконуються наступні умови

(x) C²⁺ (D), 0, в D, x₃>0 в D, (x, t) H^{2+, 1+} (D), (x, t) >1 на ₃,

виконуються відповідні умови узгодження. Тоді існує єдиний розв'язок задачі, причому

u (x, t) C (D_T) {H^{2+, 1+} (_T\s₀) H^{2+, 1+} (G_T\s_d) },

вільну границю можна задати рівнянням x₃= (x₁, x₂, t) H^{2+, 1+} (_T),

де _T={ (x₁, x₂,) : x₁²+x₁² b²}{ (x) }, _T= (0, T).

У другій главі вивчаються задачі, основна складність яких не в інтегруванні основних рівнянь, а в тому, щоб задовольнити граничні умови, які з одного боку, нелінійно містять шукані величини, а з другого боку, повинні виконуватися на невідомій границі.

Треба знайти функцію u (x, t) та області _T, G_T за такими умовами

u-aut = 0 в _TG_T, (13)

На відомій частині границі

u (x, t) =_i (x, t) на B_i (0, T) (14)

На невідомій (вільній) частині границі _T=_TD_T=G_TD_T

u⁺=u^-=1, u^-2-u⁺²=- (u_t⁺+u_t^-) +Q (x) (15)

Початкові умови

u (x, 0) = (x) на D, (x) <1 на B₁, (x) >1 на B₂, (16)

Тут R_i, T, a, задані додатні константи, (x), Q (x), _i (x, t) -задані функції, u⁺, u^-, - означає граничні значення функції u (x, t) на _T які взято, відповідно, зі сторони областей G_T та _T.

Отже, задача (13) - (16) при Q (x) 0 співпадає з двофазною задачею Стефана. Якщо покладемо a=0, =0, то одержимо відому стаціонарну задачу, яка виникає при вивченні струминних та кавітаційних течій із двома рідинами в гідромеханіці. Якщо ж тільки =0, то така задача описує процес поширення полум'я в теорії горіння.

Для дослідження цих задач автор розвиває метод, запропонований у першій главі. Перейдемо до побудови апроксимуючих задач. Розіб'ємо циліндр D_T площинами t=kh, де hN=T, N - задане ціле число, k=1, 2,..., N. Позначимо через u_k (x, h, ), F_k (x, h, ) функції, які є розв'язками наступної задачі:

u_k-a (u_k-u_k-1) h = - [ (u_k) - (u₀) ]h - 12 Q² (x) ' (u_l) + ah F_k-1 xD, (17)

u_k (x, h, ) =_i (x, kh) xB_i, u₀ (x) = (x), (18)

F_k-aF_kh = -[ (u_k) - (u₀) ]h - 12 Q² (x) ' (u_l) + ah F_k-1 xD, (19)

F_k (x, h, ) =0 xB₁, F₀ = 0 xD. (20)

Теорема 2.1 Нехай DC²⁺, _i (x, kh) C²⁺ (D), Q (x) C (D), (x) C²⁺ (D), (0, 1).

Тоді h>0, >0 задача (17) - (20) однозначно розв'язна, а функції

u_k (x, h, ) C²⁺ (D), F_k (x, h, ) C²⁺ (D).

Позначимо через

w_k (x, h, ) =u_k (x, h, ) - F_k (x, h, ) (21)

Віднімемо тепер із (17) рівність (19) та врахуємо (21). В результаті одержимо, що функції w_k (x, h, ) є розв'язками таких задач:

w_k -a (w_k-w_k-1) h=0 xD,

w_k (x, h, ) =_kⁱ (x, h) xB₁, w₀ (x) = (x) xD,

Відмітимо ще деякі властивості функцій w_k (x, h, ) Нехай виконуються умови теореми 2. 1 та

<0 в D, 0<c₁h_k-1ⁱ-_kⁱc₂h,

де константи c₁, c₂ не залежать від k, h, . Тоді знайдуться такі константи c₃, c₄, які не залежать від k, h, , що всюди в D має місце оцінка

0< c₃ h w_k-1 (x, h, ) - w_k (x, h, ) c₄ h.

Зокрема, якщо

0ca (22)

де константа не залежить від , тоді має місце оцінка

0w_k-1 (x, h, ) - w_k (x, h, ) c₅h.

де константа не залежить від .

Оцінимо різницеві похідні функцій u_k (x, h, ). Має місце таке твердження

Теорема 2.6. Нехай виконуються умови теореми 2. 1 та

Q (x) 0, <0 в D, ⁴h¹², 0<c₁h_k-1ⁱ-_kⁱc₂h на D.

Тоді

0<M₁h u_k-1 (x, h, ) - u_k (x, h, ) M₂h,

де константи c_i, M_i не залежать від k, h, , якщо виконується (22), то M_i не залежать від.

Нехай (x, t) C^{2, 1} (D), що зникає разом із своїми першими похідними на D_T рівна нулю при t=T. Помножимо рівняння (17) на h (x, kh) проінтегруємо по області D та просумуємо по k от 1 до N. Після нескладних перетворень одержимо

{u_kk+a (u_k-u_k-1) h _k + (u_k) (_k-_k-1) h }dx - 12 Q² (x) (u_k-1) _kdx+

_k (F_k-F_k-1) h dx + (u₀) (x, h) dx = 0, _k = h_m. (23)

Використовуючи одержані рівномірні оцінки, можна зробити граничний перехід в інтегральній тотожності при ⁴h¹², та довести, що функція

u (x, t) =u (x, t, h, ),

причому u_x, u_t C (_T, G_T) та на вільній границі _T виконується умова (15). Нехай таке, що на _T

(u_t⁺+u_t^-) +Q (x) 0. (24)

Має місце твердження

Теорема 2.13. Нехай виконуються наступні припущення

(x) C²⁺ (D), в D, (x) <1 на B₁, (x) >1 на B₂,

(x, t) H^{2+, 1+} (D_T), Q (x) 0, Q (x) C¹⁺ (D),

виконуються відповідні умови узгодження функцій (x, t) та (x) при t=0 на D. Тоді T>0 існує класичний розв'язок задачі (13) - (16) при =0 причому

u (x, t) C (D_T) {H^{2+, 1+} (_T\₀) H^{2+, 1+} (G_T\₀) },

вільна границя _T. H^{2+, 1+}.

Можна також одержати класичну розв'язність відомої стаціонарної задачі, яка виникає у гідродинаміці при моделюванні струйних та кавітаційних течій з двома рідинами.

Нехай

D={x³: 0<R₁<x<R₂}, B_i={x³: x<R_i, i=1, 2}.

Треба знайти функцію u (x) та області та G за такими умовами:

u = 0 в G, ={xD: u (x) <1}, G={ xD: u (x) >1}.

На відомій частині границі

u=0 на B₁, u=1+q на B₂.

На невідомій частині границі =D=GD

u⁺=u^-=1, u⁺²+u^-2=Q² (x).

Нехай Q (x) C¹⁺ (D), Q (x) 0, q>0. Тоді вище сформульована задача має класичний розв'язок, причому

u (x) C (D) {C²⁺ () C²⁺ (G) }.

Це твердження випливає з попередньої теореми, якщо покласти ₁ (x, t) =0, ₂ (x, t) =1+q=const.

та зробити граничний перехід при a0.

В пункті 2. 2 набув подальшого розвитку метод, запропонований автором. Завдяки цьому вдалося послабити припущення теореми 2. 13.

Позначимо через u (x, t, , h, ) кубічну інтерполяцію функцій {u_k (x, t, h, ) } по змінній a

u (x, t, ) u (x, t, , h, ), ⁴h¹².

Зробимо граничний перехід у відповідній інтегральній тотожності, а потім спрямуємо a, 0. В результаті одержимо

Теорема 2. 20. Нехай виконуються такі припущення

(x, t) H^{2+, 1+2} (D_T), (x) C²⁺ (D), Q (x) C¹⁺ (D), Q (x) 0,

₀C²⁺, (x, t) <0 на D₁, (x, t) >0 на D₂,

виконуються відповідні умови узгодження. Тоді T>0 задача розв'язна, причому

u (x, t) C (D_T) {H^{2+, 1+} (_TTD₁) H^{2+, 1+} (G_TTD₂) },

_T- поверхняь класу H^{2+, 1+}.

Третя глава присвячена дослідженню розв'язності квазістаціонарної задачі Стефана. Ця задача виникає з нестаціонарної задачі Стефана у припущенні, що фронт кристалізації, який розділяє рідку та тверду фази, рухається рівномірно із сталою швидкістю та у відповідній системі координат температура не залежить від часу. Нехай

D={ (x, y) ²: 0<x<1, 0<y<b }, ₁={ (x, y) ²: x=1, 0yb }, ₂={ (x, y) ²: y=0, 0x1 },

₃ = { (x, y) ²: x=0, 0yb }, ₄={ (x, y) ²: y=b, 0x1 }.

Треба зайти трійку { (x), , u (x, y) } де

(x) C[0, 1], (x) b, (0) >0, (1) =b, ={ (x, y) : 0< x <1, 0<y<b},

за такими умовами

u + au_y=0 в ,

u_n+u=0 на ₁, u=o на ₂, u_n=0 на ₃D,

u=1, u_n=cos (n, y) на D,

де n зовнішня нормаль, a, b, , - задані дійсні числа. Однофазна задача Стефана виникає з двофазної задачі, якщо припустити, що температура в одній з фаз рівна константі.

Для дослідження задачі використовується метод, запропонований К. Байоккі. Основна ідея цього метода полягає в тому, щоб зробити таку заміну невідомої функції, яка дозволяє звести лінійну задачу для невідомої області до нелінійної задачі у фіксованій області. Введемо функцію

u (x, y) =u (x, y), если (x, y) ,

u (x, y) =1, если (x, y) D\.

Позначимо через

w (x, y) = [1-u (x, ) ]d + (y-b), K={vW₂¹ (D) : v=0 на ₄}.

Якщо u (x, y) є слабким розв'язком вихідної задачі, то функція w (x, y) K та задовольняє варіаційну нерівність

e^ayw (v-w) dxdy + e^ayw (v-w) dy + e^ay (v⁺-w⁺) dxdy 0,

де v⁺ = 12 (v-y+b+ (v-y+b).

Далі доведено існування розв'язку варіаційої нерівності та встановлено, що функція w (x, y) C¹⁺ (D), w (x, y) y-b

всюди в . Позначимо через

={ (x, y) D: w (x, y) >b }.

Це відкрита множина, причому w (x, y) задовольняє в рівняння

w+aw_y=a+.

Крім того,

₁ та ₂ , w_x +w = 0 на ₁, w _y =0 на ₂

та всюди в D мають місце нерівності

w_x (x, y) 0, w_y (x, y) 0.

З цих тверджень випливає, що функція u (x, y) =w_y (x, y) є слабким розв'язком задачі, вільна границя - монотонна крива, яка не має вертикальних та горизонтальних ділянок, а умови на ній виконуються майже скрізь. Далі методами комплексного аналіза доведено, що вільна границя є аналітичною дугою. Таким чином, встановлено існування класичного розв'язку.

Аналогічне твердження доведено також в осесиметричному випадку.

Таким само методом доведено існування слабого розв'язку в квазістаціонарній задачі Стефана для квазілінійного рівняння

[k (u) u] + a (u) u_y=0

Теорема 3. 11. Нехай виконуються припущення

b' (x) =B<2₁, g'' (y) +B, db () b,

b (x) =A[^-1 (x) ], (x) k () d= k () d.

де g (y) = [1-h (y) ]dy + (y-b), ₁ - деяка додатна константа. Тоді існує слабкий розв'язок задачі, причому майже скрізь на вільній границі виконується умова

u_n=cos (n, y).

Вивчалася також двофазна квазістаціонарна задача Стефана. Була застосована диференціально-різницева апроксимація задачі. Доведено існування слабкого розв'язку.

ВИСНОВКИ

Диссертація присвячена вивченню нелінійних задач математичної фізики з вільними границями. Важливість цих задач визначається тим, що вони являються математичними моделями процесів, характерною особливістю яких є наявність різних за своїми характеристиками фаз, відокремлених вільною границею. Такі процеси відбуваються в деяких сучасних металургійних технологіях, при утворенні криги, при вирощуванні монокристалів, в теорії пружності, гідродинаміці, теорії горіння та в інших областях науки та техніки. З іншого боку, ці проблеми представляють змістовний математичний об'єкт, дослідження якого привело до створення нових та до більш глибокого вивчення відомих методів.

Значення дисертації полягає у наступному

запропоновано метод дослідження цілого класу нелінійних задач із вільними границями для еліптичних та параболічних диференціальних рівнянь другого порядку;

доведено існування класичного розв'язку в цілому за часом у двофазній багатовимірній задачі Стефана для лінійного та квазілінійного рівнянь теплопровідності, а також у контактній задачі Стефана;

доведено існування класичного розв'язку в цілому за часом в задачі, яка моделює процес поширення полум'я в теорії горіння, а також доведена класична розв'язність стаціонарної задачі, що виникає при моделюванні струминних та кавітаційних течій в гідродинаміці;

доведено існування класичного розв'язку в однофазній плоскій та осесиметричній квазістаціонарній задачі Стефана для лінійного рівняння, слабкого розв'язку для квазілінійного рівняння, а також існування слабкого розв'язку в двофазній плоскій квазістаціонарній задачі Стефана;

метод, запропонований в дисертації, може стати основою для розробки ефективного чисельного метода;

метод, запропонований в дисертації, можна використати при дослідженні інших задач із вільними границями.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ:

1. Бородин М.А. О некоторых нелинейных задачах теплопроводности. // Мат. физика. - К. : Наукова Думка, вып. 14, 1973. - с. 8 - 14.

2. Бородин М.А. Теорема существования решения однофазной квазистационарной задачи Стефана. // Докл. АН УССР. - Сер. А. -1976. - N7. - с. 582 - 585.

3. Бородин М.А. Однофазная квазистационарная задача Стефана. // Докл. АН УССР. - Сер. А. -1977. - N9. - с. 775 - 777.

4. Бородин М.А., Фельгенхауэр У. Однофазная квазилинейная задача Стефана. // Докл. АН УССР. - Сер. А. -1978. -N2. - с. 99 - 102.

5. Бородин М.А. Однофазная квазистационарная задача Стефана. // Краевые задачи для уравнений в частных производных. - Киев: Наукова Думка, 1978. - с. 13 - 21.

6. Бородин М.А., Фельгенхауэр У. Осесимметрическая однофазная задача Стефана. // Мат. физика. - К. : Наукова Думка, вып. 24, 1978. - с. 74 - 76.

7. Бородин М.А. Пространственная однофазная квазистационарная задача Стефана. // УМН. -1980. -Т. 35. - вып. N4. -с. 177.

8. Бородин М.А. О разрешимости двухфазной квазистационарной задачи Стефана. // Докл. АН УССР. - Сер. А. -1982. -N2. - с. 3-5.

9. Бородин М.А. О разрешимости двухфазной нестационарной задачи Стефана. //ДАН СССР. - 1982. - т. 263, - N5. - с. 1040-1042.

10. Бородин М.А. О классической разрешимости двухфазной нестационарной задачи Стефана. // УМН. -1983. -т. 38. - вып. 5. -с. 152.

11. Бородин М.А. Двухфазная квазистационарная задача Стефана. // Уравнения в частных производных и задачи со свободными границами. - Киев: Наукова Думка, 1983. - с. 28 - 30.

12. Бородин М.А. Существование классического решения в многомерной задаче Стефана на конечном промежутке времени. //Укр. Мат. Ж. - 1992. - т. 4 - N12. - с. 1652 - 1657.

13. Borodin M.A. Existense of the classic solution of a two-phase multidimensional Stefan problem on any finite time interval. // Intern. Ser. Numer. Math. - 1992. - v. 106. - p. 98 - 103.

14. Бородин М.А. Двухфазная контактная задача Стефана. // Укр. Мат. Ж. - 1995. - т. 47. - N2. - с. 158 - 167.

15. Borodin M.А. The two-phase Stefan problem. // Nonlinear boundary value problems. - 1997. - v. 7. - p. 37 - 46.

16. Бородин М.А. Новый метод исследования некоторых задач со свободными

границами для параболических уравнений. // Вісн. Дон. Ун. Сер. А. - 1997. - N1. - с. 21 - 26.

Borodin M.А. A new method of studying for free boundary problems. // Nonlinear boundary value problems. - 1998. - v. 8. - p. 64-69.

Бородин М.А. Существование глобального классического решения в задаче, возникающей в теории горения. // Вісн. Дон. Ун. Сер. А. - 1998. - N2. - с. 14-22.

19. Бородин М.А. Существование глобального классического решения в некоторой нелинейной параболической задаче со свободной границей. // Докл. НАН. Укр. Сер. А. - 1999. - N6 -с. 7-12.

20. Бородин М.А. Решение однофазной квазистационарной задачи Стефана. // Тр. Всесоюзной конф. по уравнениям с частными производными. - М. : Изд-во МГУ, 1978. - 275-276.

Бородин М.А. О некоторой двухфазной нестационарной задаче Стефана. // Тезисы Всесоюзн. конф. “ Математическое моделирование процессов затвердевания металлов и сплавов - Новосибирск. - 1983. - с. 142 - 143.

22. Бородин М.А. О гладкости свободной границы в двухфазной задаче Стефана. // Тезисы Всесоюзн. конф. “ Комплексные методы математической физики. “ - Донецк. - 1984. - с. 124.

23. Бородин М.А. О некоторой двухфазной нестационарной задаче Стефана. // Тезисы Советско-Чехословацого Совещ. “ Применение функциональных методов и методов теории функций к задачам математической физики. “ - Донецк. - 1986. - с. 18.

АНОТАЦІЇ

Бородін М.О. Задачі з вільними границями для еліптичних та параболічних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 01. 02 - диференціальні рівняння. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1999.

Дисертацію присвячено питанням класичної розв'язності в цілому за часом багатовимірних стаціонарних та нестаціонарних задач із вільними границями. Такі задачі являють собою математичні моделі процесів, характерною особливістю яких є наявність різних за своіми характеристиками фаз, відокремлених вільною (невідомою) границею. В дисертації запропонований новий метод, за допомогою якого вдалося довести існування глобальних класичних розв'язків для цілої низки відомих задач із вільними границями. Цим методом можна скористуватися при дослідженні інших задач із вільними границями; він також може стати основою для створення нових ефективних чисельних методів при вивченні важливих прикладних задач.

Ключові слова: Двофазна проблема Стефана, задачі із вільними границями, глобальні класичні розв'язки, гладкість вільної границі.

Бородин М.А. Задачи со свободными границами для эллиптических и параболических уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01. 01. 02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1999.

Диссертации посвящена вопросам классической разрешимости в целом по времени многомерных стационарных и нестационарных задач со свободными границами. Такие задачи представляют собой математические модели процессов, характерной особенностью которых является наличие разных по своим характеристикам фаз, разделенных свободной (неизвестной) поверхностью. В диссертации предложен новый метод, при помощи которого удалось доказать существование глобальных классических решений для целого ряда известных задач со свободными границами. Этот метод может быть использован при исследовании других задач со свободными границами; а также стать основой для создания новых эффективных численных методов при изучении важных прикладных задач.

Ключевые слова: Двухфазная проблема Стефана, задачи со свободными границами, глобальные классические решения, гладкость свободной границы.

Borodin M.A. Free boundary problems for parabolic and elliptic equations. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01. 01. 02 - differential equations. - The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Science of Ukraine, Donetsk, 1999.

In the dissertation the problem of classical solvability on the whole in time of multidimensional stationary and nonstationary free boundary problems is studied. Such problems represent mathematical models of processes whose characteristic property is the presence of two different phases separated by a free (unknown) surface. The presence of the free boundary makes these models substantially nonlinear and particularly difficult for study.

Stefan problem occupies the central place among the free boundary problems. It was formulated over a hundred years ago when Austrian physicist J. Stefan tried to construct a model of formation and evolution of the ice in the world ocean. Since then the problem was under attention of many prominent mathematicians. Classical solvability on the whole in time of the one phase problem and classical solvability for small times of the two phase problem have been proved. However, the problem of existence of a global classical solution remained open.

In the first chapter of the dissertation we prove the existence of a global classical solution for the two phase multidimensional Stefan problem for quasilinear heat equation. This result has been proved by applying a new method invented by the author. The method consists in the following: first a special difference--differential elliptic system of approximating problems is constructed, then certain uniform estimates are proved, and the passage to the limit is performed.

Another class of problems studied in the dissertation arises in mathematical models of combustion processes and in the studies of wave and jet flows in hydrodynamics. These problems are different from the Stefan problem: they are nonlinear not only because of the free boundary but also because of the nonlinearity of boundary conditions. In the stationary case the key point in the study of these problems was the discovery of the variational nature of solutions. This led to the investigation of integral functionals with variable domain of integration and allowed to prove the existence of a classical solution in the flat case. In the nonstationary case the problem of existence of a classical global solution remained unsolved.

In the second chapter of the dissertation we prove the existence of a global classical solution in multidimensional two phase nonstationary problem modeling the combustion process, and the existence of the classical solution in the hydrodynamic problem mentioned above. This is done by the method used in the first chapter.

Finally, we also study problems of existence of solutions in the quasistationary Stefan problem. This problem originates from heat physics. It models the spreading of heat in a media which has two phases, if we assume that the crystallization front moves uniformly with a constant speed, and that in the corresponding moving system of coordinates the temperature does not depend on time. In the third chapter of the dissertation we prove the existence of a classical solution for one phase quasistationary Stefan problem in the flat case. By a change of the unknown function the problem is reduced to an elliptic variational inequality. Then we use method of local variations and symmetrization method. We also prove the existence of a weak solution in two phase quasistationary Stefan problem.

Thus, we have suggested a new method which allowed to prove the existence of a global classical solution in a series of known free boundary problems. This method can also be applied to other free boundary problems. It can also become a base for development of new effective numerical methods in studying of important applied problems.

Key words: two phase Stefan problem, free boundary problems, global classical solution, smoothness of the free boundary.

...