дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Методика досліджень. У процесі досліджень поставлених у роботі задач використовувалися методи нарисної й аналітичної геометрії, теорії кінцевих різниць і різницевих схем, теорії апроксимації і наближення функцій, обчислювальні методи.

Теоретичною базою для даних досліджень послужили роботи провідних учених:

в галузі статистичних методів: Н.І. Ідельсона, Л.В. Канторовича, А.Н. Колмогорова, Ю.В. Лінника, Р. Литтла, Е.М. Львовського, А.А. Маркова, Р. Міллса, Ф. Мостеллера, В.І. Мудрова, Д.У. Снедекора, Дж. Тьюки й ін.

в галузі геометричного моделювання: Ю.І. Бадаєва, І.Г. Балюби, В.В. Ваніна, С.Н. Грибова, Г.С. Іванова, С.М. Ковальова, Л.М. Куценка, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, В.О. Надолинного, В.С. Обухової, А.В. Павлова, А.Л. Підгорного, А.М. Підкоритова, І.А. Скидана й ін.

в галузі дискретного геометричного моделювання: В. М. Верещаги, С. М. Грибова, С. М. Ковальова, В. М. Найдиша й ін.

Наукову новизну отриманих результатів складають:

уперше запропонований спосіб корекції кінцево-різницевих характеристик точкового ряду, що грунтується на сформованому в роботі «правилі знаків»;

спосіб опорних ДПК, що має екстремальні властивості і дозволяє аппроксимувати вхідну ДПК за критерієм НГВ;

ітераційний спосіб опуклої НГВ-апроксимації, що здійснює наближення за наперед заданими диференційно-геометричними умовами;

спосіб алгебраїчної НГВ-апроксимації на основі екстремальних різницевих характеристик заданої ДПК.

Практичне значення отриманих результатів. Практична цінність виконаних досліджень полягає в підвищенні точності моделювання за рахунок запобігання осциляції, одержанні більш досконалих моделей, що відкривають можливості економії матеріальних і фінансових ресурсів.

Запропоновані в роботі способи і їхня програмна реалізація прийняті до впровадження в ЗАТ СП “АвтоЗАЗ-ДЕУ” (м. Запоріжжя) для конструювання лінійних обводів кузовних поверхонь і математичної обробки експериментальних даних; в АТ “МК” “Азовсталь” (м. Маріуполь) для обробки статистичних даних і прогнозування економічних показників об'єднання; у Мелітопольскому районному управлінні сільського господарства для побудови моделей прогнозування середньої по району врожайності сільськогосподарських культур і рішення оптимізаційних задач з урахуванням ефективності використання матеріальних ресурсів; впроваджені в навчальному процесі Приазовського державного технічного університету (м. Маріуполь).

Особистий внесок здобувача. Особисто автором розроблені теоретичні основи і складені алгоритми побудови НГВ-рішення для дискретно поданих кривих за запропонованими у роботі способами. Конкретний внесок у наукових статтях складається в розробці нового поняття опорних дискретно поданих кривих і формуванні на цій основі нових способів їх дискретної апроксимації за критерієм НГВ.

Апробація результатів дисертації здійснювалась на V Міжнародній науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Мелітополь, 1998), основні положення дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на щорічних науково-методичних конференціях ТДАТА (Мелітополь, 1997, 1998, 1999), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної і комп'ютерної графіки КНУБА під керівництвом акад. Михайленка В. Є. (Київ, 1999), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії НТУУ «КПІ» під керівництвом акад. Павлова А. В. (м. Київ, 1999), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії ДонДТУ під керівництвом проф. Скидана І. А. (Донецьк, 1998).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 6 друкарських робіт у міжвузівських і вузівських збірках наукових праць, дозволених ВАК України.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 188 найменувань. Робота містить 144 сторінки машинописного тексту, 41 малюнок, 20 таблиць.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкривається зміст і стан розв'язання наукової проблеми та прикладних задач, що на ній базуються, їх значущість для науки і практики, сформульовані мета і задачі дослідження, його наукова новизна, практична цінність, рівень апробації і публікації результатів досліджень та їх впровадження в практику.

В розділі 1 розглядається аналіз відомих методів апроксимації дискретно представлених кривих.

У практиці геометричного моделювання найчастіше зустрічаються ситуації, коли вихідні дані обтяжені похибками. При цьому число точок у багато разів перевищує число параметрів моделюючої функції. Результат моделювання досягається завдяки застосуванню статистичних методів, для котрих характерна наявність функції-критерію, що визначає співвідношення між відхиленнями експериментальних і розрахункових значень.

Відзначимо два аспекти математичної обробки результатів експерименту:

моделювання з урахуванням теоретико-ймовірнісних характеристик процесу;

моделювання без урахування теоретико-ймовірнісних характеристик. Частіше усього при цьому припускається дотримання деяких критеріїв оптимізації, як наприклад, критерію НГВ.

Надалі в роботі розглядається саме другий аспект.

Обмежуючись поки що двовимірним випадком, запишемо фундаментальну систему рівнянь

n (m+1), (1)

де - відхилення фактичної ординати i-ї точки від розрахункової ; визначають за допомогою апроксимуючої функції , що залежить від n змінних і (m+1) параметрів . Рішення системи з урахуванням її статистичного характеру можна досягти накладенням деяких співвідношень між відхиленнями . Ці співвідношення і є критеріями апроксимації.

Останнім часом у роботах Найдиша В. М. виникла ідея дискретної апроксимації заданої ДПК, коли вихідний точковий ряд заміняється новим на тій же сітці за заданим критерієм, як за умови завдання виду апроксимуючої функції, так і без неї.

В роботі передбачається, що об'єктом моделювання є ДПК, що пройшла попередню підготовку (виключені аномальні точки, і, якщо необхідно, проведене згладжування).

Функції критеріїв апроксимації можуть бути такими, що диференціюються і не диференціюються. У першому випадку можна назвати критерій МНК.

Перевагами МНК є наявність чіткої, розвинутої теорії; простота алгоритмів; широке поширення в багатьох задачах практичного моделювання.

При необхідності корекції результату або урахування різноманітної точності, що супроводжує одержання значень тієї або іншої координати, уводяться вагові коефіцієнти . Різновидом МНК із ваговими коефіцієнтами є метод найменших модулів (МНМ). Процес рішення на кожному кроці ітерацій здійснюється за алгоритмами зваженого МНК.

Недоліком МНМ є суттєве ускладнення розрахунків у порівнянні з МНК і значна нестійкість обчислювального процесу в міру наближення до рішення.

Значним кроком у розробці способів апроксимації за критерієм НСВ явилися дослідження Єпішина Ю. Г., який назвав запропонований ним спосіб методом найменших абсолютних відхилень. Рішення задачі пропонується шукати методом перебору у вихідному просторі, що призводить до надзвичайно великого обсягу обчислень, що різко зростає з ростом порядку апроксимуючої кривої.

Спроби вирішити задачу проводилися Загайтовим І. Б. Проте запропонований ним «спосіб мінімальних відхилень» не мав достатнього теоретичного обгрунтування і не давав можливості одержати шукане рішення.

Найбільш повно й ефективно згадана задача вирішена Найдишем А. В. у запропонованому ним методі найменших сумарних відхилень (НСВ). Проте і НСВ-методу властиві недоліки. Моделювання здійснюється за допомогою неперервних функцій, заданих у явному вигляді, що звужує можливості моделювання і не дає можливості ефективного запобігання осциляції рішення.

Критерій НГВ-апроксимації до недавніх пір також ефективного рішення не мав. Він виражається співвідношенням

(2)

Успенським А. К. були початі спроби теоретично обгрунтувати відповідний обчислювальний метод, названий ним «методом найменших граничних відхилень», але ці спроби не привели до ефективного розрахункового алгоритму.

Дослідження Найдиша А. В. дозволили на підставі перенесення до простору параметрів виділити серединні елементи лінійних многостатностей (уяви точок множини), за допомогою яких визначаються параметри моделюючої функції в запропонованому ним методі найменших граничних відхилень (НГВ). Метод супроводжується ефективним обчислювальним алгоритмом, що дозволяє досягати заданого значення НГВ-критерія. Проте, використання неперервних функцій звужує можливості моделювання і не запобігає осциляції рішення. Дискретні представлення моделюючих функцій послабляють указані утруднення, проте цей підхід у роботах Найдиша А. В. не одержав достатнього розвитку. Відповідні дослідження надалі в роботі спрямовані на заповнення цієї прогалини.

Ряд іноземних джерел, близьких за тематикою до розглянутої задачі, на жаль, не містять нових теоретичних результатів, обмежуючись окремими обчислювально-конструктивними прийомами без належного їхнього теоретичного обгрунтування.

Серед інших статистичних методів математичної обробки експериментальних даних найбільш поширеними є метод середніх і метод Коші. На відміну від раніше згаданих, критерії цих методів не мають екстремальних властивостей.

У прикладній геометрії одержали подальший розвиток багато інших способів апроксимації. У зв'язку з проведеними дослідженнями становлять інтерес методи, що мають екстремальні цільові критерії за умови запобігання осциляції рішення (кусочно-лінійна апроксимація з заданим допуском, метод мінімізації суми відстаней від точок до кривої на основі рішення задачі квадратичного програмування). Проте, ці методи не спрямовані на запобігання осциляції, не дають можливостей побудови рівномірних наближень.

Розглядаються особливості дискретної апроксимації, закладеної у роботах акад. Найдиша В. М. Можливі таки основні напрямки розвитку теорії дискретної апроксимації:

на основі геометричних співвідношень між точками заданої ДПК;

на основі базисних функцій апроксимації.

Із аналізу відомих методів апроксимації доходимо висновку, що жодний із них не орієнтований на запобігання осциляції, тому становить інтерес розробка дискретних наближень, близьких до рівномірних, що забезпечують максимально можливе наближення і відсутність осциляції рішення, як при наявності апроксимуючої функції, так і без неї.

У розділі 2 розглядається наближення на основі дискретних характеристик заданої ДПК. Вихідною інформацією для моделювання є ДПК і її дискретні диференціальні характеристики (розділені різниці необхідного порядку).

Розглядається спосіб корекції осциляції вихідної ДПК на основі її других розділених різниць.

Нехай на рівномірній з кроком h сітці подана вихідна ДПК , що має ділянки осциляції, де друга різниця , (індекс вгорі означає порядок різниці, але не ступінь) має знак, протилежний тому, що глобально визначає напрямок опуклості ДПК.

Потрібно побудувати апроксимуючу ДПК на тій ж сітці за умови, що її максимальне відхилення фактичних точок від розрахункових є мінімальним з усіх можливих.

Розглянемо умову відсутності осциляції апроксимуючої ДПК. Для визначеності будемо вважати, що вона опукла униз. Тоді

, . (3)

З урахуванням маємо

, . (4)

Ця нерівність є основною для подальших розглядів.

Твердження 1. Найменше з максимальних значень , j=i-1, i, i+1, на множині усіляких відхилень, що забезпечують виконання (4) при , має місце при і дорівнює

. (5)

Очевидно, що при усіх для опуклої униз вихідної ДПК, система (4) задовольняється автоматично при усіх .

Твердження 2. (правило знаків). Якщо одна з нерівностей (4) при i = S не задовольняється при , j = S - 1, S, S + 1, то при для забезпечення нерівності і мінімуму за модулем значень , j = S - 1, S, S + 1, варто прийняти знаки і збіжними зі знаком , а знак - протилежним знаку .

Розглядаються виникаючі при цьому обмеження на значення .

З урахуванням сусідніх до т. S ділянок доводиться, що мінімальне за модулем значення , що забезпечує відсутність осциляції апроксимуючої ДПК у т. S, можна вибрати із системи

, (6)

якщо область її рішення непуста.

Зауважимо, що (6) є результатом, що не покращується і носить локальний характер.

Спільний розгляд отриманих областей для всіх аномальних вузлів дозволяє встановити можливість виконання рівномірного наближення, коли значення , за модулем дорівнюють , що визначається зі спільної системи обмежень.

Якщо (6) виявляється суперечливою, то уводяться вагові коефіцієнти , що показують, яку частку від складає , і які вибираються так, щоб була можливість вирішити основну систему (4). З урахуванням вагових коефіцієнтів вона має вигляд

, . (7)

Розглядається рішення системи (7), де знаки відхилень для точок вибираються відповідно до твердження 2. Корекція рішення виконується добором значень .

Перевага викладеної методики і правила знаків складається в тому, що, якщо є рівномірне наближення, то ординати відповідної ДПК знаходяться відразу.

Основним у роботі є спосіб апроксимації ДПК за критерієм НГВ на основі побудови опорних ДПК.

Поняття опорної кривої було введено Найдишем А. В. і означає те, що вона обмежує задану точкову множину з однієї сторони (поверх або знизу) і задовольняє критерію НГВ. Шукана НГВ-крива паралельна опорній і віддалена від неї усередину точкової множини на розмір половини максимального відхилення.

Опорна ДПК для заданої осцилюючої ДПК є неосцилюючою і обмежує точковий ряд заданої ДПК знизу або поверх (рис. 1).

Основні властивості опорних ДПК:

початкова і кінцева точки ряду є точками опорної ДПК;

опорна ДПК включає в якості вузлів тільки точки заданої ДПК;

початкова або кінцева ланка супровідної ламаної лінії (СЛЛ) вихідної ДПК можуть входити до складу СЛЛ опорної ДПК;

кожна ДПК може мати як верхню, так і нижню опорну ДПК.

Будемо розрізняти основну і допоміжну опорні ДПК. У основної опорної ДПК точки заданої множини розташовані з боку її увігнутості (нижня ДПК, рис. 1), у допоміжної - навпаки (верхня ДПК, рис. 1). Очевидно, що шукане НГВ-рішення розташовується в смузі між верхньою і нижньою опорними ДПК. Значення критерію НГВ визначає точка множини, найбільш віддалена від відповідної ланки основної опорної ДПК (на рис. 1 - це т. 9). Спосіб побудови НГВ-ДПК полягає у визначенні цієї точки максимального відхилення й у паралельному переносі основної опорної ДПК на половину цього відхилення усередину точкового масиву.

При необхідності можна поліпшити рішення з урахуванням додаткових вимог. Зокрема, на краях НГВ-ДПК рішення є неоднозначним і, якщо це не суперечить опуклості, можна зажадати інцидентності НГВ-ДПК початковій і кінцевій точкам. Таке рішення будемо називати НГВ-апроксимацією за способом опорних ДПК із корекцією країв.

Розглядаються різноманітні варіанти розташування опорних ДПК. Якщо для заданої ДПК і верхня і нижня опорні ДПК є основними (рис. 2), то для кожної з них визначається значення НГВ і рішення одержується паралельним переносом із корекцією країв тієї опорної ДПК, для котрої це значення виявляється меншим.

Головним достоїнством способу опорних ДПК є його простота і можливість одержання мінімально можливих значень критерію наближення, оскільки рішення в цьому смислі покращити неможливо. Крім того, опорні ДПК відіграють визначальну роль у всіх інших способах дискретної неосцилюючої апроксимації, розроблених у дисертації.

Недоліком способу опорних ДПК є наявність прямолінійних ланок, що не завжди допускається умовою задачі. Пропонується корекція прямолінійних ділянок, що здійснюється на основі рішення системи рівнянь, що відбивають рівномірність зміни значень кутових коефіцієнтів ланок НГВ-ДПК.

Подальшим кроком у розвитку способу опорних ДПК є апроксимація з урахуванням перших розділених різниць (РР) вихідної ДПК, множину значень яких можна сформувати подвійно:

сгладжуванням перших РР вихідної ДПК за способом опорних ДПК;

за допомогою кутових коефіцієнтів ланок опорних ДПК вихідного ряду відповідно до доведеного в роботі співвідношення:

, (8)

де - кутовий коефіцієнт ланки рішення, і - відповідно ланок верхньої і нижньої опорних ДПК.

Після того, як сформована множина перших РР, розраховується модельна ДПК відповідно до рівняння

, ; (9)

у залежності від параметра паралельного переносу , що визначається за спеціальним алгоритмом. З (9) при , , визначається множина значень і з них мінімальне і максимальне . Шукане розраховується, як їх півсума.

Для урахування заздалегідь заданих значень ординат або похідних у деяких точках НГВ-ДПК у дисертації розроблений ітераційний спосіб побудови НГВ-ДПК. Він полягає в послідовному звуженні смуги між верхньою і нижньою опорними ДПК. На кожному кроці ітерації точки верхньої межі переміщуються униз на величину НГВ, значення якого розраховується за допомогою опорних ДПК, а точки нижньої межі - нагору на розмір НГВ. Наперед задані точки, яким повинна бути інцидентна апроксимуюча ДПК, а також точки, що не належать межам, залишаються нерухомими. З отриманих точок формується новий масив і розрахунок продовжується доти, поки значення НГВ не стане менше деякого наперед заданого .

Ітераційний спосіб дозволяє побудувати опуклу НГВ-ДПК з мінімальною кількістю прямолінійних ланок і, саме головне, дотримати наперед задані диференційно-геометричні умови або здійснити їхню корекцію.

Одним із таких умов є урахування перших похідних, заданих у деяких (може бути й усіх) точках апроксимуючої ДПК.

Основними етапами алгоритму є:

Формування відсутніх значень за допомогою згладжених значень перших РР вихідної ДПК.

Розрахунок модельної ДПК відповідно до рівняння

 (10)

шляхом дискретного інтегрування дискретно поданого в п. 1 диференціального рівняння відповідно до алгоритмів, розроблених у докторській дисертації Верещаги В. М. Тут - коефіцієнт вибору положення наступного вузла ламаної лінії первісної, якщо задані і значення похідних і . Він призначений для корекції рішення з метою задоволення заданим умовам.

Визначення положення сформованої в п. 2 модельної ДПК за допомогою параметра паралельного переносу .

Корекція отриманого рішення за допомогою коефіцієнтів .

На основі ітераційного способу здійснюється дискретна апроксимація з урахуванням других РР. Етапи алгоритму співзвучні з поданими вище. При цьому моделювання може здійснюватися як з урахуванням 1-х РР, так і без них. Відмінність запропонованого алгоритму складається в тому, що тут рішення залежить від двох параметрів. У дисертації розроблений спосіб узгодженого визначення оптимальних значень цих параметрів, що забезпечують мінімальне значення НГВ.

Ординати точок НГВ-ДПК розраховуються за рівнянням

, (11)

де - задані заздалегідь або згладжені другі РР вихідної ДПК.

Результати досліджень по урахуванню перших і других РР, а також перших похідних, подані раніше, розвиваються далі в напрямку урахування других похідних. Аналогічно згаданим раніше алгоритмам спочатку провадиться формування відсутніх значень других похідних у смузі, побудованій на основі перших похідних, що визначаються із множини припустимих значень на основі згладжених значень . Потім включається основний алгоритм розрахунку ординат точок апроксимуючої ДПК, що залежить від двох параметрів і :

, (12)

Розділ 3 роботи присвячений наближенню на основі дискретних уявлень апроксимуючих функцій, основними серед яких є алгебраїчні поліноми. У дискретних уявленнях функцій розрізняють рекурентні і глобальні співвідношення. Рекурентні співвідношення виражають ординату i-ї точки через ординати і різниці попередніх точок, а глобальні - через ординати і різниці, віднесені до фіксованих точок, що виступають у якості параметрів, що визначають криву. І ті, і інші співвідношення широко використовуються в роботі для одержання рішення.

Розглядається НГВ-апроксимація прямою лінією, суть якої складається в пошуці такої ланки верхньої або нижньої опорної ДПК, відносно якої (якщо продовжити ланку на всю область визначення заданої ДПК) максимальне (за модулем) із відхилень точок є мінімальним на множині ланок. Шукана НГВ-ДПК паралельна знайденій ланці AB (рис. 3).

Зауважимо, що для трійки точок на рис. 3, що визначають НГВ-пряму, як середню лінію трикутника, характерно те, що відношення першої розділеної різниці

до суми модулів коефіцієнтів, що її визначають, є мінімальним на множині всіляких трійок точок.

Подальше узагальнення цього факту для різниць більш високого порядку грунтується на відповідних твердженнях.

Твердження 4. З k величин , , …, , пов'язаних співвідношенням

(13)

мінімально можливе за модулем значення будь-якого з них, при якому інші не перевищують за модулем, досягається за умови

. (14)

Звідси витікає

Твердження 5. Для алгебраїчного полінома k-го порядку, що апроксимує (k+2) точки за критерієм НГВ, (k+2) значення відхилень за модулем дорівнюють , де

, (15)

де - сума модулів коефіцієнтів при в РР .

Твердження 6. Якщо , то величина має знак, протилежний знаку коефіцієнта ; якщо , то знак збігається зі знаком .

Твердження 5 і 6 дозволяють установити множину точок, що визначають шукану НГВ-криву, а також знаки відхилень, що дорівнюють за модулем значенню НГВ. Звідси витікає алгоритм алгебраїчної НГВ-апроксимації, що полягає в пошуці для К-полінома таких (k+2) точок із множини заданих, що значення з (15) є мінімальним за модулем на множині всіляких сполучень по (k+2) точки із n заданих. Кількість таких сполучень, що включаються в розрахунок, істотно зменшується, якщо врахувати, що в переборі точок беруть участь тільки точки опорних ДПК, причому половина точок належить одній опорній ДПК, а друга половина - другій.

Особливості дискретного геометричного моделювання і характер представлення вихідної геометричної інформації є факторами, що визначають обчислювальні особливості і програмну реалізацію запропонованих в роботі способів.

Програмне рішення задачі способом опорних ДПК реалізовано у вигляді розрахункової оболонки, побудованої за модульним принципом і містить процедури аналізу вихідних даних, побудови основної опорної ДПК, побудови допоміжної опорної ДПК, виведення результатної інформації.

Побудова оболонки за модульним принципом дозволило шляхом доробки відповідних процедур одержати програмні рішення для моделювання ДПК з урахуванням розділених різниць і заданих похідних, накладати додаткові обмеження і враховувати особливості моделювання уведенням вагових коефіцієнтів.

Для тестових прикладів і програмної реалізації використовувалося програмне забезпечення пакетів Visual Basic, Excel, Maple.

Запропоновані в роботі способи і їхнє програмне забезпечення пропонується використовувати при обробці експериментальних даних, де відшукується кореляційна залежність, як функціональна залежність між значеннями однієї з змінних і математичним очікуванням іншої.

Відомі методи припускають побудову лінії регресії за умови, що закон розподілу двовимірної випадкової величини є нормальним.

Спроби побудувати лінії регресії на основі критерію НСВ починалися Єпішиним Ю. Г. ; Загайтовим І. Б. і ін. Найбільш повно ці питання вирішені в роботах Найдиша А. В., де досліджувалися основні питання регресійного аналізу на основі методів НСВ і НГВ.

У даній роботі запропоновані дослідження ДПК регресії стосовно до критерію НГВ. При цьому розглянуті дві можливості:

побудова лінії регресії на основі алгебраїчних поліномів;

побудова ДПК регресії без урахування конкретної апроксимуючої функції з метою одержання екстремальних оцінок.

Особливість економіко-математичних досліджень і виникаючих при цьому задач складається в тому, що переважна більшість із них пов'язана в тому або іншому вигляді з досягненням деякого оптимального результату. При цьому частіше усього критеріями оптимізації виступають критерії МНК, НСВ, НГВ. Відносно невелике поширення задач із критерієм НГВ пояснюється не тим, що ці задачі в порівнянні з іншими менш актуальні, а тим, що їх обчислювальна і програмна реалізації в найменшій мері розроблені.

Велику роль в економіко-математичних дослідженнях і рішенні задач оптимізації відіграють виробничі функції (ВФ). Для їхньої побудови застосовуються методи регресійного і кореляційного аналізу. Якщо необхідно врахувати ефективність використання факторів, що беруть участь у процесі, удаються до корекції регресійної моделі за спеціальною методикою, одержуючи в такий спосіб базову виробничу функцію, що є основою для висновків про ефективність використання факторів і прийняття управлінських рішень.

У якості ілюстрації в роботі розраховуються тестові приклади економіко-математичних задач. Результати свідчать про те, що НГВ-апроксимація дає найменші значення критерію.

Становить інтерес одержання змішаних оцінок.

, ,

що спільно враховують вплив кожного з критеріїв і в практичному відношенні здатних виявитися більш вигідними з урахуванням наявних ресурсів.

Моделі прогнозування розвитку випадкових процесів є одними з найважливіших застосувань статистичних методів. Відомі два види таких моделей:

модель тренда з помилкою, коли виділяється детермінована складова процесу - тренд, відхилення від якого, що мають знакозмінний характер, моделюються гармонійною складовою;

модель процесу, коли основним вважається випадковий характер процесу і моделювання здійснюється за його численними реалізаціями.

У сільськогосподарському виробництві найважливішим видом вихідних даних, підлягаючих прогнозуванню є ряди динаміки або часові ряди, що відбивають зміну якогось показника за часом. Для цих рядів модель тренда з помилкою є найбільш підхожою.

Оскільки НГВ-моделювання особливо чутливе до аномальних значень, доцільно перед побудовою тренда провести згладжування вихідних даних або виключення зазначених значень.

Розглядається задача прогнозування середньої врожайності озимого жита по Мелітопольському району на 1994 і 1995 роки. Для порівняння використовуються результати НГВ-моделювання, де в якості тренда виступає НГВ-парабола, а гармонійна складова моделюється косинусоїдою. Для вихідних даних способом опорних ДПК будується НГВ-ДПК (лінія тренда). На ділянці прогнозування формується окремий файл відхилень заданих точок від тренда й отримана множина (гармонійна складова процесу) моделюється за способом опорних ДПК.

Для порівняння, з огляду на висновки про те, що ефективним методом прогнозування явищ із гармонійною випадковою складовою, є згладжування за методом ковзної середньої, проводиться згладжування гармонійної складової за способом ковзної середньої лінії трикутника, що відповідає вимогам НГВ-критерія, з урахуванням циклічності коливань процесів у природі.

Остаточно прогнозовані значення врожайності на 1994 і 1995 роки визначаються на основі прогнозованих ординат тренда з урахуванням прогнозованих значень гармонійної складової за варіантами НГВ-моделювання і згладжування (табл. 1). Порівняння з фактичними даними (стовпчик 10) говорить про задовільний збіг результатів.

Таблиця 1