Оптимальне керування пучком траєкторій з недиференційованими критеріями якості

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський університет імені Тараса Шевченка

Башняков Олександр Миколайович

УДК 517.977.5

Оптимальне керування пучком траєкторій з недиференційованими критеріями якості

01.05.04-системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат

дисертації на здобуття вченого ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем Київського університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Гаращенко Федір Георгійович (Київський університет імені Тараса Шевченка, професор)

Офіційні опоненти:

1. доктор фізико-математичних наук Остапенко Валентин Володимирович (ННК “Інститут прикладного та системного аналізу” Міносвіти і НАН України, провідний науковий співробітник);

2. кандидат фізико-математичних наук Матвійчук Костянтин Савович (Інститут механіки НАН України, науковий співробітник)

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, відділ інтелектуальних систем керування динамічними об'єктами, м. Київ.

Захист відбудеться “09” вересня 1999р. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.09 Київського університету імені Тараса Шевченка, м. Київ, пр. Академіка Глушкова, 6, корп. 2, ф-т кібернетики, ауд. 40 о 14 годині. (Тел./факс 252-58-83. E-mail: rada@cyb.univ.kiev.ua).

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “5” серпня 1999р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.П. Шевченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Оптимізація реальних систем передбачає задання критерію, який характеризує якість поведінки об'єкту. Аналіз конкретних задач показує, що в багатьох випадках критерій якості не є диференційованим за Фреше. Така ситуація виникає при дослідженні динамічних процесів на стійкість, оцінюванні параметрів систем, аналізі гарантованої чутливості, а також в задачах, де потрібно максимізувати результат при мінімумі витрат та інших.

В математичній моделі доцільно враховувати розкид параметрів об'єкту. Тоді стан динамічної системи описується множинами. Якщо аналіз якості функціонування проводиться в силу визначеного на розв'язках недиференційованого функціоналу, то приходимо до негладкої задачі оптимального керування пучком траєкторій. Зокрема, важливо оцінювати область всіх початкових даних, для яких відповідні траєкторії не порушували б заданих фазових обмежень. В деяких випадках оптимізація оцінки множин практичної стійкості зводиться до розв'язування відповідної задачі оптимального керування матричними диференціальними рівняннями з недиференційованими критеріями якості.

Застосування теоретичних результатів з негладкої оптимізації на практиці ускладнюється за рахунок великої кількості обчислень. Існуючі ітераційні процедури розв'язування таких задач, як правило, не є збіжними до оптимального розв'язку. Тому важливо, з одного боку, розробляти чисельні методи, які можна було б легко реалізувати, з іншого, оцінити їх якісні характеристики : початкове наближення, величину кроку, апроксимативні властивості тощо.

Теорія недиференційованої оптимізації набула розвитку завдяки працям Васильєва Ф.П., Гупала А.М., Даніліна Ю.М., Демьянова В.Ф., Єрмольєва Ю.М., Кларка Ф., Мойсеєва М.М., Пшеничного Б.М., Федоренка Р.П., Федорова В.В., Шора Н.З. та інших вчених. В даній дисертаційній роботі досліджуються задачі оптимального керування пучком траєкторій з недиференційованими функціоналами. Окремі питання в цій галузі розглядались Ананьїною Т.Ф., Гаращенком Ф.Г., Овсянніковим Д.А. Але важливі класи негладких задач оптимального керування пучком траєкторій та пов'язані з ними проблеми аналізу динамічних систем залишились відкритими. Тому тема дисертації є актуальною з математичної точки зору і безпосередньо пов'язана з розв'язуванням прикладних проблем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана згідно з планами наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка, а також пов'язана з науковими грантами №97508 “Розвиток конструктивної теорії моделювання та оптимального керування складних систем з неповними даними” та №97544 “Розробка проблемно-орієнтованих математичних і програмних засобів моделювання, аналізу та синтезу керованих фізико-механічних систем” Міністерства науки і технологій України з фундаментальних та прикладних досліджень.

Мета роботи:

1) отримати умови оптимальності для задач оптимального керування пучком траєкторій з функціоналами типу максимуму за початковими даними, максимуму за незалежною змінною і максимуму за початковими даними, незалежною змінною та індексом;

2) розробити необхідні і достатні умови для задач практичної стійкості;

3) дослідити умови оптимальності для задачі оптимального керування матричним диференціальним рівнянням. З їх допомогою побудувати чисельні методи для розв'язування задач оптимізації оцінок практичної стійкості;

4) використовуючи отримані умови оптимальності, побудувати алгоритми знаходження оптимального керування та оцінити їх якісні характеристики;

5) апробувати розроблені алгоритми для розрахунку оптимальних характеристик в деяких системах прискорення та фокусування.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертації вперше:

сформульовано і доведено необхідні, а також достатні умови оптимальності для задач оптимального керування пучком траєкторій і матричним диференціальним рівнянням з функціоналами типу максимуму за початковими даними, максимуму за незалежною змінною;

побудовано алгоритми для розв'язування задач оптимального керування пучком траєкторій з недиференційованими критеріями якості та оптимізації оцінок практичної стійкості;

проведено аналіз якісних властивостей ітераційних процедур методами практичної стійкості;

розроблено чисельні методи для розв'язування задач знаходження оптимального керування пучком заряджених частинок в деяких системах прискорення та фокусування. Проведено обчислювальний експеримент по розрахунку амплітуди напруженості прискорюючого поля для повздовжнього руху, при якій енергетичний розкид пучка заряджених частинок в кінці прискорювача є мінімальним.

Методи дослідження. В роботі використано методи математичного аналізу, теорії оптимального керування, оптимізації та стійкості, чисельні методи.

Теоретична та практична цінність. Результати дисертації можуть бути використаними для розв'язування задач знаходження оптимального керування динамічними системами з недиференційованими функціоналами, при дослідженні задач практичної стійкості, а також при оптимізації систем прискорення та фокусування та інших технічних систем.

Особистий внесок автора. В роботах, що виконані зі співавторами, особистий внесок автора полягав в обговоренні постановок задач, виконанні всіх основних доведень, розрахунків і в формулюванні висновків.

Апробація роботи. Матеріали дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка, а також на конференціях:

Українській конференції “Моделювання і дослідження стійкості систем” (20-24 травня 1996р., Київ);

Міжнародній конференції “Modeling and investigation of systems stability” (19-23 травня 1997р., Київ).

Публікації. За темою дисертації виконано 5 робіт [1-5]. Основні результати опубліковано в статтях [1-3].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 116 сторінках машинописного тексту, складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 104 найменувань, додатку та містить 1 ілюстрацію.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність вибраної теми, визначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична і практична цінність.

Розділ 1 дисертації присвячений побудові необхідних і достатніх умов оптимальності для задач оптимального керування пучком траєкторій з недиференційованими функціоналами. Огляд літератури з тематики дисертаційної роботи та постановки задач, які досліджуються в дисертації наведено в підрозділі 1.1. В підрозділі 1.2 отримано необхідні умови оптимальності в задачах мінімізації функції максимуму за початковими умовами.

Нехай X -- компакт з евклідового простору Rn, , -- простір m-вимірних кусково неперервних вектор-функцій на [t0,T], V -- компакт з Rm, -- вектор фазових координат, n-вимірна вектор-функція f(x,u,t) є неперервною разом з частинними похідними , i,j=1,2,...,n по x, u, та кусково неперервна по t. Розглянемо систему диференціальних рівнянь

, (1)

на траєкторіях якої мінімізується функціонал

. (2)

Тут Ф(.) -- диференційована функція, яка визначена на Х, .

Нехай u(t) -- оптимальне керування задачі (1), (2). Використовуючи голчату варіацію , доведено наступне твердження.

Теорема 1.1. Для того, щоб керування uU доставляло мінімум функціоналу (2) необхідно, щоб

(3)

для всіх [t0,T).

(4)

-- функція Гамільтона.

Для доведення наступного твердження скористаємося багатоголчатою варіацією.

Теорема 1.2. Для того, щоб керування uU доставляло мінімум функціоналу (2) необхідно, щоб

, (5)

для всіх наборів i[t0,T), , i0, , , viV, i=2,3,...,r, де спряжені функції (t,x0) задовольняють (4).

Узагальнюючи поняття багатоголчатої варіації, отримаємо інтегральну необхідну умову.

Теорема 1.3. Для того, щоб керування uU доставляло мінімум функціоналу (2) необхідно, щоб

, (6)

де спряжені функції (t,x0) задовольняють (4).

Серед необхідних умов, наведених в теоремах 1.1-1.3, умова (6) “сильніша” в тому розумінні, що для всіх uU, для яких виконується умова (6), мають місце (3), (5). Для неопуклих задач обернене твердження не справджується.

В даному підрозділі необхідні умови отримані також на основі пакетної, багатопакетної, класичної варіацій та варіації зсуву.

Представимо функцію керування у вигляді . Тут r -- натуральне число, можливо r, функції i(t), i=1,2,,r покладаються кусково неперервними та лінійно незалежними. Тоді задача знаходження оптимального керування полягає у визначенні функцій i(t) та матриці параметрів . Для оптимального керування при деякому >0 та фіксованому наборі i(t), i=1,2,...,r розглянемо наступну варіацію

Теорема 1.8. Для того, щоб керування uU доставляло мінімум функціоналу (2) необхідно виконання співвідношення

. (7)

В підрозділі 1.3 роботи розглядаються необхідні умови оптимальності в задачах мінімізації функції максимуму за незалежною змінною.

Нехай на траєкторіях системи (1) при x(t0)=x0X мінімізується функціонал

. (8)

Теорема 1.11. Для того, щоб керування uU доставляло мінімум функціоналу (8) необхідно, щоб , для всіх [0,T).

Також доведено відповідні умови оптимальності, які базуються на інших варіаціях керування. В підрозділі 1.4 відповідні необхідні умови оптимальності отримано для функціоналу типу максимуму за початковими умовами, незалежною змінною та індексом. Достатні умови оптимальності розглянутих задач досліджуються в підрозділі 1.5.

Теорема 1.22. Якщо в умовах теореми 1.1 Ф(.) -- опукла функція, f(x,u,t)=A(t)x+b(u,t), де A(t) і b(u,t) -- матрична функція i вектор-функція розмірності відповідно nn та n, то умова (3) буде і достатньою умовою оптимальності.

При аналогічних припущеннях умови оптимальності (5), (6) також є достатніми.

Теорема 1.23. Якщо в умовах теореми 1.8 Ф(.) -- опукла функція, f(x,u,t) лінійна по x(.) та по u(.), то співвідношення (7) буде і достатньою умовою оптимальності.

Подібні теореми справедливі для задач з функціоналами типу максимуму за незалежною змінною i максимуму за початковими умовами, незалежною змінною та індексом.

В розділі 2 дисертаційної роботи досліджуються задачі оптимального керування пучком траєкторій на основі необхідних та достатніх умов практичної стійкості. Критерії практичної стійкості динамічних систем отримано в підрозділі 2.1.

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

, t[t0,T], (9)

де xRn -- вектор фазових координат, f(x,t) -- n-вимірна вектор-функція, яка задовольняє умовам існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Нехай x(t,x0,t0) -- траєкторія системи (9), що відповідає початковій умові х(t0)=х0, , t[t0,T] -- компактні множини, .

Теорема 2.1 (необхідна умова практичної стійкості).

Нехай нульовий розв'язок системи (9) є {G0,Фt,t0,T}-стійким.

Тоді існує функція Ляпунова V(x,t), яка є неперервною та незростаючою на розв'язках системи (9), при цьому

1) {x : V(x,t)1}Фt, t[t0,T], (10)

2) G0{x : V(x,t0)1}. (11)

Для дослідження нульового розв'язку системи (9) на {G0,Фt,t0,T}-стійкість можна використовувати функцію Ляпунова вигляду

V(x,t)=

де -- максимальна по включенню множина {G0,Фt,t0,T}-стійкісті нульового розв'язку системи (9), -- метрика, що еквівалентна евклідовій. Якщо G0 є компактом, то функція Ляпунова може бути вибрана у вигляді

V(x,t)=

Теорема 2.2 (достатня умова практичної стійкості). Нехай для системи диференціальних рівнянь (9) знайдеться неперервна і незростаюча на розв'язках (9) функція Ляпунова V(x,t), яка задовольняє умовам (10), (11). Тоді нульовий розв'язок системи (9) є {G0,Фt,t0,T}-стійким.

Підрозділи 2.2 та 2.3 містять критерії практичної стійкості відповідно для лінійних динамічних систем та для нелінійних систем із зірковою множиною початкових умов.

В підрозділі 2.4 дисертації розглядається задача оптимального керування матричним диференціальним рівнянням

(12)

з початковими умовами X(t0)=X0. Тут t - незалежна змінна, X(t) - матриця стану рівняння (12), U - матриця керувань, F(X,U,t)= -- матриця розмірності mn, компоненти якої разом з похідними , i,p=1,2,...,m, j,q=1,2,...,n є неперервними функціями, X=(xij)mn, X0 -- фіксована матриця. На траєкторіях (12) розглянуто функціонали , , . Використовуючи різні варіації керування, аналогічні описаним у розділі 1, отримано відповідні необхідні і достатні умови оптимальності. У підрозділі 2.5 задачі оптимізації оцінок практичної стійкості зводяться до задач оптимального керування матричним диференціальним рівнянням з недиференційованим критерієм якості. На основі результатів підрозділу 2.4 побудовано відповідні функції Гамільтона-Понтрягіна та спряжені системи.

Питання побудови алгоритмів на основі теоретичних результатів розділів 1, 2 висвітлюється в розділі 3 дисертаційної роботи. В підрозділі 3.1 описується загальний підхід, який базується на методі ускладнення моделі. При цьому за початкове наближення на деякому етапі вибирається оптимальна функція керування, що була отримана на попередньому етапі. Так, у підрозділі 3.2 на основі теоретичних результатів розділу 1, методами структурно-параметричної оптимізації обчислюється оптимальне керування в класі релейних.

У підрозділі 3.3 проводиться подальша оптимізація в функціональному просторі. Для цього пропонується використати ітераційну процедуру u(s+1)(t)=Pu{u(s)(t)-sG(s)(t)}, де Pu{.} -- оператор проектування на допустиму множину керувань, s[0;] -- крок, який визначається так, щоб функціонал I(u(s+1)) отримав найменше значення, G(s)(.) -- напрямок найшвидшого спуску в функціональному просторі керувань. Нехай на кроці s знайдено u(s)(t).

Якщо множина містить єдину точку , то, на основі різних необхідних умов використовуються наступні методи побудови G(s). Так, спираючись на теорему 1.1, G(s) обчислюється за формулою

Тут функція -- розв'язок спряженої системи

У випадку, коли множина містить більше однієї точки, з точністю до заданого s>0 виділяється множина

Потім множина апроксимується достатньо щільною сіткою з вузловими точками , k=1,2,...,rs, і для кожної початкової умови підраховується G(s,k). Далі по G(s,k), k=1,2,...,rs будується опукла оболонка. Напрямок найшвидшого спуску G(s) визначається точкою, що належить опуклій оболонці, відстань від якої до початку координат найменша. Обчислення завершуються, наприклад, якщо

де -- додатне наперед задане число.

Побудова ітераційних процедур для задач оптимального керування з функціоналами типу максимуму за незалежною змінною і максимуму за початковими умовами, незалежною змінною та індексом описана в підрозділі 3.4. Підрозділ 3.5 присвячено застосуванню результатів підрозділу 2.5 до побудови чисельних методів знаходження оптимального керування пучком траєкторій на основі необхідних та достатніх умов практичної стійкості. Якісні характеристики побудованих процедур досліджуються в підрозділі 3.6.

На множині U розглянемо ітераційну процедуру

us+1=(us), s=0,1,..., (13)

де u0U, функція :UU. Нехай sU -- непорожні множини, 0s<, s=p0,p0+1,...,P, де 0p0P< -- деякі цілі числа.

Означення 3.1. Ітераційну процедуру (13) назвемо {,s,s,p0,P}-збіжною, якщо існують такі цілі числа 0kss, що , , s=p0,...,P, як тільки . Якщо при цьому s=0, s=p0,...,P, то будемо говорити про {,s,p0,P}-збіжність.

Теорема 3.1. Нехай існують функціонали Ляпунова Vs, s=p0,...,P та обмежені числа A1, ,,...,s0, такі, що :

а) Vs+1[(u)]-Vs[u]1-А при 0ks+1s+1, s=p0,...,P-1;

б) {u:Vs[u]1}s, s=p0,...,P;

в) .

Тоді ітераційна процедура (13) буде {,s,s,p0,P}-збіжною. Тут

.

Наслідок 1. Якщо існують функціонали Ляпунова Vs, s=p0,...,P та обмежене число A1, такі, що :

а) Vs+1[(u)]-Vs[u]1-А для всіх u{u:Vs[u]1}, s=p0,...,P-1;

б) {u:Vs[u]1}s, s=p0,...,P;

в) ,

тоді ітераційна процедура (3.15) є {,s,p0,P}-збіжною.

Нехай -- деяка метрика, яка еквівалентна основній метриці, -- границя . Якщо множина компактна, то має місце твердження, обернене до наслідку 1. При цьому функціонали Ляпунова можна вибирати у вигляді

де s(u)=.

Нехай W -- простір кусково неперервних на [t0,T] функцій, функціонал задовольняє умовам : а) [w]0, для довільних wW; б) [w]=[w], для будь-яких wW, R1; в) [v][w], для wW, vW таких, що |v(t)||w(t)|, t[t0,T]; г) [w+v][w]+[v], для довільних wW, vW. Розглянемо ітераційну процедуру знаходження оптимального керування uU задачі (1)-(2) вигляду

us+1=us-sGs, s=0,1,... (14)

Тут u0 -- задане початкове керування, -- напрямок спуску, який нормований так, що , s -- додатне число, що задовольняє умовам : а) s, s=0,1,..., де -- наперед задане додатне число; б) (us-sGs)U, s=0,1,...

Розглянемо послідовність керувань v0,v1,...,,...,vP,..., яка отримана методом (14).

Теорема 3.3. Нехай

, , s=p0,...,P,

де Q -- деяка додатно визначена симетрична матриця, ui, vi -- відповідні елементи векторів u та v, с та сs, s=p0,...,P -- додатні числа. Тоді для {,s,p0,P}-збіжності ітераційної процедури (14) достатньо, щоб

0<

Тут

Qii -- алгебраїчне доповнення матриці Q, |Q| -- детермінант матриці

Q, .

Розділ 4 присвячений проблемі моделювання оптимальної динаміки заряджених пучків на основі результатів попередніх розділів дисертації. В підрозділі 4.1 наводяться рівняння руху частинок в електромагнітних полях та постановки задач. Алгоритми знаходження оптимального керування пучком заряджених частинок в системах прискорення та фокусування розглядаються в підрозділі 4.2. Побудовані алгоритми базуються на результатах розділу 3. Крім цього, в підрозділі 4.3 розглянуто задачу максимального захвату частинок в процес прискорення.

Проведено обчислювальний експеримент по розрахунку амплітуди напруженості прискорюючого поля для повздовжнього руху, при якій енергетичний розкид пучка заряджених частинок в кінці прискорювача є мінімальним. Результати обчислювального експерименту наводяться в підрозділі 4.4. Відповідна програма (обсяг 268 рядків) розроблена на мові системи Mathematica 3.0 в середовищі Windows'95 для ЕОМ PC Pentium.

У висновках сформульовано основні результати дисертації. Опис та текст програми містяться у додатку.

ітераційний чисельний якісний фокусування

ВИСНОВКИ

В дисертації одержані нові науково обгрунтовані результати в галузі оптимального керування та практичної стійкості динамічних систем. Вони можуть бути використані при розв'язуванні задач оптимального керування пучком траєкторій з недиференційованими функціоналами, оптимізації оцінок практичної стійкості, зокрема, для знаходження оптимального керування пучком заряджених частинок в системах прискорення та фокусування. Основними результатами дисертації є:

1. Сформульовано і доведено необхідні, а також достатні умови оптимальності для недиференційованих задач оптимального керування пучком траєкторій з функціоналами типу максимуму за початковими даними, максимуму за незалежною змінною і максимуму за початковими даними, незалежною змінною та індексом.

2. Доведена зворотність достатніх умов практичної стійкості та побудовано функцію Ляпунова в загальному вигляді. Для задач оптимального керування матричним диференціальним рівнянням з недиференційованим функціоналом отримано умови оптимальності, які застосовано для розв'язування задач оптимізації оцінок практичної стійкості.

3. Побудовано чисельні алгоритми знаходження оптимального керування для задач з функціоналами типу максимуму за початковими даними, максимуму за незалежною змінною і максимуму за початковими даними, незалежною змінною та індексом.

4. Розроблено чисельні методи знаходження оптимального керування в системах прискорення та фокусування. Проведено обчислювальний експеримент по розрахунку амплітуди напруженості прискорюючого поля для повздовжнього руху, при якій енергетичний розкид пучка заряджених частинок в кінці прискорювача є мінімальним.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гаращенко Ф.Г., Башняков А.Н. Оптимальное управление пучком траекторий с недифференцируемыми критериями качества//Проблемы управления и информатики. -1998. -№3. -С.6-16.

2. Башняков О.М. Структурний підхід до розв'язування недиференційованих задач оптимального керування пучком траєкторій//Вісник Київського університету. -1998. -№4. -С.78-84.

3. Гаращенко Ф.Г., Башняков А.Н. Анализ сходимости итерационных процедур на основе методов практической устойчивости//Проблемы управления и информатики. -1999. -№2. -С.15-25.

4. Башняков О.М. Про недиференційовані задачі керування пучком траєкторій//Праці міжнар. конф. “Modeling and Investigation of systems stability”. Systems Investigation (May 20-24, 1996). -K.: Київський університет імені Тараса Шевченка. -1996. -С.10.

5. Гаращенко Ф.Г., Башняков О.М. Оптимальне керування пучками траєкторій з недиференційованими критеріями якості//Праці міжнар. конф. “Modeling and Investigation of systems stability”. Systems Investigation (May 19-23, 1997). -K.: Київський університет імені Тараса Шевченка. -1997. -С.23.

АНОТАЦІЇ

Башняков О.М. Оптимальне керування пучком траєкторій з недиференційованими критеріями якості. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 -- системний аналіз і теорія оптимальних рішень. -- Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999 р.

В дисертації розглядаються недиференційовані задачі оптимального керування пучком траєкторій. Отримано необхідні та достатні умови оптимальності для задач оптимального керування пучком траєкторій і матричним диференціальним рівнянням з функціоналами типу максимуму за початковими даними, максимуму за незалежною змінною. Проведено оптимізацію оцінок в задачах практичної стійкості. Для розв'язування розглядуваних задач побудовано відповідні алгоритми. Розроблену методику застосовано до моделювання оптимальної динаміки заряджених пучків.

Ключові слова: недиференційована оптимізація, оптимальне керування, принцип максимуму, практична стійкість, матричне диференціальне рівняння, пучок.

Башняков А.Н. Оптимальное управление пучком траекторий с недифференцируемыми критериями качества. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 -- системный анализ и теория оптимальных решений. -- Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999 г.

В диссертации рассматриваются негладкие задачи оптимального управления пучком траекторий. В первом разделе работы получены новые условия оптимальности для функционалов типа максимума по начальным условиям, максимума по независимой переменной и максимума по начальным условиям, независимой переменной и индексу.

Во втором разделе диссертации управление пучком траекторий проводится на основе необходимых и достаточных условий практической устойчивости. Получены критерии практической устойчивости динамических систем и построена соответствующая функция Ляпунова. Проведено исследование негладких задач оптимального управления матричными дифференциальными уравнениями, что дало возможность оптимизировать оценки множеств практической устойчивости.

Вопрос построения алгоритмов на основе теоретических результатов разделов 1, 2 освещается в третьем разделе диссертации. Приводятся численные методы решения задач минимизации функции максимума по начальным условиям, функции максимума по независимой переменной и функции максимума по начальным условиям, независимой переменной и индексу. Построены также алгоритмы, позволяющие максимизировать области практической устойчивости. На основании методов практической устойчивости проведен анализ сходимости полученных итерационных процедур.

В разделе 4 рассматривается вопрос оптимального моделирования динамики пучков заряженных частиц. Приводятся математические модели и постановки задач. Используя результаты раздела 3, построены итерационные процедуры для оптимального управления пучком заряженных частиц по продольным координатам. Проведен анализ результатов вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: негладкая оптимизация, оптимальное управление, принцип максимума, практическая устойчивость, матричное дифференциальное уравнение, пучок.

Bashniakov O.M. Optimal control of bunch of trajectories at nondifferentiable functionals of quality. -- Manuscript.

Thesis for degree of Candidate of Science (Ph.D) in Physics and Mathematics, the speciality 01.05.04 -- system analysis and theory of optimal solutions. -- Kyiv Shevchenko University, Kyiv, 1999.

Problems of the nonsmooth optimal control of bunch of trajectories are considered. Necessary and sufficient conditions for the problems of the optimal control of bunch of trajectories and matrix differential equations at functionals such as maximum with respect to initial conditions, maximum with respect to independent variable are obtained. Optimization of the estimate in the problems of the practical stability is fulfilled. On the basis of obtained theoretical results corresponding algorithms are built. The elaborated methods are applied for modeling of optimal dynamics of charge beams.

Key words: nondifferentiable optimization, optimal control, maximum principle, practical stability, matrix differential equation, beam.

Размещено на Allbest.ur

...