Граничні теореми для оцінок параметрів випадкових процесів і полів із довгою пам’яттю та їх уточнення

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 519.21

Шарапов Михайло Михайлович

ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ДЛЯ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ І ПОЛІВ ІЗ ДОВГОЮ ПАМ'ЯТТЮ ТА ЇХ УТОЧНЕННЯ

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, ЛЕОНЕНКО МИКОЛА МИКОЛАЙОВИЧ, кафедра теорії ймовірностей та матем. статистики мех.-мат. ф-ту Київського університету ім. Тараса Шевченка

Офіційні опоненти:

- доктор фіз.-мат. наук, професор кафедри математичної статистики ВОЙНА ОЛЕКСАНДР АНДРІЙОВИЧ, факультет кібернетики Київського університету ім. Тараса Шевченка;

- кандидат фіз.-мат. наук СУГАКОВА ОЛЕНА ВОЛОДИМИРІВНА, викладач Київського економічного інституту менеджменту (ЕКОМЕН).

Провідна установа: Інститут кібернетики ім. академіка В.М. Глушкова НАН України.

Захист відбудеться “21”червня 1999 року о 14 год на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.00.137 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

252127, м.Київ - 127, проспект акад. Глушкова,6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58, к. 10).

Автореферат розісланий “14” травня 1999 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задача оцінювання коефіцієнтів регресії є однією з основних в математичній статистиці разом із задачею прогнозування та фільтрації, що пов'язано з можливостями застосувань методів регресійного аналізу разом із задачею прогнозування та фільтрації для аналізу залежностей в економіці, біології, геофізиці, техніці та інших галузях знань. Останнім часом бурхливо розвивається напрямок, в якому “випадковий шум” є стаціонарним процесом з дискретним чи неперервним часом або однорідним випадковим полем. У випадку, коли процес або поле має обмежений та неперервний спектр істотні результати про властивості оцінок коефіцієнтів регресії та прогнозування випадкових процесів отримали Гренандер, Розенблатт, Хеннан, Андерсон, Бріллінджер, Розанов, Холево, Дороговцев, Булдигін, Козаченко, Война, а для полів - Ядренко, Іванов та Леоненко. У випадку, коли спектральна щільність процесу або поля має нулі, проблему оцінювання коефіцієнтів регресії досліджували Аденстедт, Холево, Расулов, Самаров та Текку, Ядренко.

Останнім часом значна увага приділяється дослідженню статистичних задач для випадкових функцій з сильною залежністю (або далекою пам'яттю або слабким спаданням кореляції). Аналітично це означає, що спектральна щільність “випадкового шуму” не обмежена в нулі або кореляційна функція не сумовна. Такі ефекти виявили Пірсон (1902) в астрономії, Стьюдент (1927) при аналізі хімічних даних, Сміс та Уітл (1938, 1956) при дослідженні сільськогосподарських відомостей, Кокс та Таунсенд (1948) при розгляді даних текстильної інженерії, Харст (1951) при вивченні гідрологічних даних, Манделброт та Валліс (1969) на основі лінгвістичних даних, Хасмет та Рафтері (1989) серед метеорологічних даних, Беран, Шерман та Текку (1992), Віллінгер, Текку, Лелланд, Вілсон (1995) у телекомунікаційних даних. Таким чином, йдеться про стійкий феномен сильної залежності, характерний для багатьох типів даних, який потребує математичних досліджень. Такі дослідження проводились Текку, Добрушиним та Майором, Розенблаттом, Гірайтісом та Сургаілісом, Коксом, Леоненком та іншими. Статистичні результати у цій області належать Берану, Кюншу, Яджимі, Самарову та Текку, Гірайтісу та Сургаілісу, Леоненку та іншим. Проблеми, розглянуті у дисертації, у згаданих роботах не досліджувались.

Робота присвячена, в основному, дослідженню статистичних характеристик оцінок невідомих коефіцієнтів регресії випадкових полів із сильною залежністю і продовжує та узагальнює деякі дослідження, згадані вище.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у рамках теми “Дослідження регресійних моделей з сильною залежністю”, яка проводиться на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського університету ім. Т.Г. Шевченка.

Мета роботи. Дисертація присвячена дослідженню оцінок коефіцієнтів регресії гауссівських та негауссівських випадкових полів з сильною залежністю.

Методи досліджень. Основний метод дослідження полягає у розвиненні функціоналів від однорідних полів по ортогональним системам поліномів Чебишова-Ерміта з подальшим асимптотичним аналізом таких розкладів, з використанням спектральної теорії випадкових полів.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації:

Досліджено гауссівські та негауссівські граничні розподіли перенормованих оцінок найменших квадратів коефіцієнтів регресії випадкових процесів із сильною залежністю у випадку дискретного часу;

Досліджено граничні розподіли квазіробасних оцінок коефіцієнтів регресії випадкових процесів із сильною залежністю у випадку неперервного часу, зокрема доведено, що квазіробасні оцінки за певних умов мають таку ж асимптотичну дисперсію, як і оцінки найменших квадратів;

Сформульовано та доведено теореми редукції, які дозволяють зводити дослідження моделей з неперервним часом до дослідження моделей з дискретним часом і навпаки;

Оцінено швидкість збіжності до нормального розподілу оцінок найменших квадратів коефіцієнтів регресії випадкових процесів із сильною залежністю, що спостерігаються на сфері;

Знайдено оцінку швидкості збіжності до нормального розподілу оцінок найменших квадратів коефіцієнтів регресії випадкових полів із сильною залежністю, що спостерігаються на кулі.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані у галузях знань, які базуються на статистиці випадкових полів, зокрема в економіці, метеорології, геофізиці, статистичній радіофізиці та деяких інших областях.

Особистий внесок здобувача. Результати четвертого, п'ятого підрозділів першого розділу та третього підрозділу другого розділу отримані дисертантом самостійно, а решта результатів одержані дисертантом за методологічної підтримки наукового керівника.

Апробація роботи. Результати, отримані в дисертації, доповідались на науковому семінарі кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Київського університету імені Тараса Шевченка, на Сьомій Мiжнародній Науковій Конференцiї iменi академiка М.П. Кравчука (14-16 травня 1998 р., м.Київ, ст.530-532 Матерiалiв Конференцiї), на Мiжнародній науково-практичній конференцiї "Проблеми економiчної теорiї i практики в сучасних умовах" (22-24 квітня 1998 р., Технологічний університет Поділля у м.Хмельницькому, ст.230-232 збiрника наукових праць конференцiї), на Першій Всеукраинській науково-практичній конференцiї "Економiчнi методи i моделi в економіці: теорія i практика"(2-4 лютого 1998 р., Львiвський державний унiверситет iм. Івана Франка, ст.37-41 матерiалiв конференцiї), на сьомій Вільнюській Конференції з теорії ймовірностей та на 22-му Європейському з'їзді статистиків (“Матеріали конференції”, ст. 409-410).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-3].

Структура і обсяг дисертації. Робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку літератури і двох додатків. Загальний обсяг роботи 102 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові, професору М.М.Леоненку за постійну увагу до роботи.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до роботи обгрунтовано актуальність теми, наведено скорочений огляд досліджень, пов'язаних з темою дисертації, а також викладені основні результати роботи у скороченому варіанті.

В роботі прийнято таку нумерацію: перша цифра означає номер розділу, друга - номер підрозділу, третя - номер теореми або леми, номери формул взято в круглі дужки.

У першому розділі досліджуються граничні розподіли коефіцієнтів регресії випадкових процесів із сильною залежністю.

Нехай при t{0, 1, ..., T-1} спостерігається випадкова послідовність

(1)

де g(t), tZ1, - відома невипадкова функція регресії (тренд), - невідомий коефіцієнт регресії, який треба оцінити за результатами спостережень, (t), tZ1, - стаціонарний випадковий процес (шум) з E(t)=0 (не обов'язково гауссівський). Усі випадкові величини розглядаються на повному ймовірносному просторі (, F, P). Шум має вид (t)=G((t)), де G(x) L2(R1, (u)du), (u) - щільність розподілу стандартної гауссівської величини. Тоді G(x) допускає розвинення у вигляді ряду

(1а)

де {Hk(u): k0} - поліноми Чебишова-Ерміта.
Умова 1 G(u) має ермітів ранг m0, тобто C1=C2=...=Cm-1=0, Cm0.

Умова 2 c(t), tR1, - дійсний вимірний неперервний у с.к. стаціонарний гауссівський процес з Ec(t)=0, Ec2(t)=1 та кореляційною функцією R(t)=cov(c(0), c(t))=L(|t|)/|t|, 0<<1, де L(|t|), t>0, - невід'ємна функція, що повільно змінюється на нескінченності (тобто для довільного >0 limtL(ts)/L(t)=1).

Умова 2 індокує існування спектральної щільності fc()=fc(||),R1, процесу c(t), tR1, причому fc() при 0, тобто має місце сильна залежність процесу c(t), tR1.

Умова 3 Нехай g(t), tR1, - дійсна вимірна додатна при t>0 функція, при t>0 (1) g(t) (t), причому 1) для m1 із умови 1 при 0<m<1 існує скінчена границя

2) існує скінчена границя

3) для функції R(t) з умови 2 та m1 з умови 1 має місце limT[Rm(T)T2g2(T)]-1=0.

Умова 4 Нехай d(t)=c(t)при tZ1, де c(t) визначено в умові 2, якщо розглядати його у дискретні моменти часу.

Розглянемо функціонали

Теорема 1 За умов 1-4 limTE(FT-FT')2=0.

Оцінка найменших квадратів (ОНК) невідомого коефіцієнта регресії (див. (1)) має вид

Розглянемо функціонали

Теорема 2 За умов 1, 3, 4 limTE(XT-Xm,T)2=0.

Теорема 3 За умов 1, 3, 4 при 0<m<1 і якщо існує функція h(u) така, що при T |g(uT)/g(T)-h(u)|0 рівномірно по u[0,1], причому



то випадкові величини XT при T збігаються до випадкової величини

де у правій частині стоїть кратний стохастичний інтеграл Іто-Вінера по комплексному гауссівському білому шуму W в R1, а K(1,..., m)= [0,1]h(u)eiu(1+...+m)du.

Нехай тепер t[0,T] і спостерігається випадковий процес

(2)

де на відміну від (1), G(u)=u.

Умова 5 Нехай (t), tR1, - вимірний неперервний у с.к. стаціонарний гауссівський процес з E(t)=0, E2(0)=1 та кореляційною функцією B(t)=cov((0),(t))=L(|t|)/|t|, 0<<1, і існує спектральна щільність f(), R1, яка монотонно спадає при ||0 для деякого 0.

Умова 6 Нехай g(t)=g(|t|) при |t|>0, причому T>0 WT2=[0,T]g2(t)dt(0,), 0<<1; існують границі

0<<1, при T

де WT4=( WT2)2.

Умова 7 R1, де - компакт, а істинне значення параметра є 0int .

Умова 8 Функція втрат (u)=(|u|)0, uR1, (0)=0, (u) двічи диференційована майже всюди по мірі Лебега, E'((0))=0.

Для (u)L2(R1,(u)du) розглянемо

Умова 9 '(u)L2(R1,(u)du).

Розглянемо робасну оцінку

Розглянемо розклад

Умова 10 С0,'=R'(u)(u)du=0, С1,'=R'(u)(u)udu0.

Умова 11 ''(u)L2(R1,(u)du), причому С0,''=R''(u)(u)du0.

Умова 12 QT''() неперервна функція по .

Теорема 4 За умов 5-12 при T

Теорема 5 За умов 5-12 для (u)=|u|, >0, і квазіробасна оцінка і ОНК параметра мають однаковий граничний нормальний розподіл.

У останньому підрозділі першого розділу розглядається оцінювання коефіцієнтів регресії стаціонарних випадкових процесів з довгою пам'яттю у випадку неперервного часу.

Розглянемо стаціонарний випадковий процес x(t), t[0,T] з Ex(t)=0.

Умова 13 Для деякого дійсного числа H(1/2,1), яке і треба буде оцінити, спектральна щільність процесу x(t) при 0 має вид f()L(1/)1-2H.

Для функції розподілу F() процесу x(t) розглянемо Для функції розподілу F() процесу x(t) розглянемо оцінку

Умова 14 m=2m/T, 1/m+m/T при T.

Для випадкового процесу x(t) розглянемо його представлення Вольда x(t)=[0,+]c(t-s)(ds), де - процес з ортогональними приростами (E|(ds)|2=ds), c(t), tR, - деяка вимірна функція така, що R|c(t)|2<.

Умова 15

Теорема 6 За умов 13-15 при T

Для параметра H q>0 розглянемо оцінку

причому оскільки , то можна вважати, що q(0,1).

Теорема 7 За умов 13-15 при q(0,1) та T

В другому розділі розглядається збіжність до нормального закону розподілів ОНК коефіцієнтів регресії випадкових процесів із сильною залежністю.
Умова 16 Нехай для випадкового процесу (t) виконується умова 2, причому існує спектральна щільність f(),R1, яка монотонно спадає до 0 на [0,) для деякого 0>0.

Умова 17 Для

G(u), uR1, EG((0))=0, EG2((0))<

де (0) - стандартна випадкова гауссівська величина і (t)=G((t)), tR1.

Нехай при t[0,T] спостерігається випадковий процес

(3)

- ОНК для .

Умова 18 Нехай g(t), tR1, дійсна вимірна монотонно неспадна функція і T>0 0<QT2< та: 1) при 0<< існує скінченна границя l1()=l (див. умову 6); 2) існує скінченна границя L (див. умову 6).

Умова 19 Нехай виконується умова 18, причому для 0<<1/2 існує скінченна границя l2()=l1(2).

Відомо, що за умов 16-18 при C1=R uG(u)(u)du0

при T, а

де Ф(u) -функція розподілу стандартної гауссівської величини N(0,1).
Теорема 8 За умов 2, 17, 18 i C1=R uG(u)(u)du0 при 0<<1/2

де c2()=l2()/l1()

.

В другому підрозділі другого розділу досліджується швидкість збіжності до нормального закону розподілів ОНК коефіцієнтів регресії випадкових полів з сильною залежністю.

Нехай Rn, n>1 - n-вимірний евклідів простір, Rn - обмежена опукла множина, що містить нуль, а (T) - образ множини при гомотетичному відображенні з центром в нулі та коефіцієнтом гомотетії T>0.

Розглянемо регресійну модель виду

(4)

де g(x) - відома невипадкова функція, яка інтегрована з квадратом на Rn, - невідомий параметр, який треба оцінити на основі спостережень (x), x(T) , а (x), xRn, - однорідне випадкове поле похибок з E(x)=0, E2(x)<.

Умова 20 Нехай (,x)=(x), xRn, - дійснозначне вимірне неперервне у с.к. однорідне гауссівське випадкове поле на ймовірносному просторі (,F,P) з E(x)=0, E2(x)=1 та кореляційною функцією B(x)= E(0)(x)=|x|-L(|x|)a(x/|x|), 0<<n, де a(y) - неперервна функція на n-вимірній сфері sn-1(1)={xRn: |x|=1}.

Умова 21 Нехай (x)=G((x)), xRn, де EG((x))=0, EG2((x))<.

ОНК невідомого параметра має вид

.

Умова 22 Припустимо, що g(x)>0 для x0 та існує скінченна границя

,

де 0<<n/k, k=1 чи k=2, e=(1,…,1)Rn.

Тоді , .

Умова 23 Нехай k=1 чи k=2 і

,

де 0<<n/k, а функція Fk(x,y) така, що Fk(x,y)dxdy<.

Розглянемо для довільних випадкових величин X та Y відстань між їх розподілами (метрику Колмогорова)

Нехай N -стандартна гауссівська випадкова величина N(0,1). Розглянемо

.

Теорема 9 За умов 20-23 при 0<<n/2 i C1=R uG(u)(u)du0

,

де c(G)=C1-2R G2(u)(u)du-1.

Для одержання аналога теореми 9 для 0<<n надалі покладемо a(x)1 та xRn, (T)=v(T)={x Rn: |x|<T}, T . Отже випадкове поле

(5)

Спостерігається на кулях v(T).

Умова 24 Нехай (x), xRn, дійсне неперервне у с.к. однорідне ізотропне гауссівське поле з E(x)=0, E2(x)=1 та коваріаційною функцією при |x| та (x)=G((x)), де EG((x))=0, EG2((x))<, xRn.

Умова 24 Нехай xRn,така, що при |x|0 та при |x||y|.

Умова 24 Існує (0,1) таке, що

при T.

Тоді в термінах теореми 9 маємо:

Теорема 10 За умов 24-26 при C1=R uG(u)(u)du0

де q1(n)=4n-2(n/2)/n, - гама-функція.

В останньому підрозділі дисертації досліджується швидкість збіжності закону розподілів ОНК коефіцієнтів регресії випадкових полів із сингулярним спектром, які спостерігаються на сфері.

Нехай Rn, n>1 - n-вимірний евклідів простір, s(r)={xRn: |x|=r} - сфера радіуса r, (,u), 0, us(1), - сферичні координати точки xRn, (x)- міра Лебега на сфері, (,F,P) - повний випадковий простір. Нехай (,x)=(x):RnR1 випадкове поле.

Умова 27 Нехай випадкове поле

(6)

або у сферичних координатах



спостерігається на сфері s(r), де (x)-однорідне ізотропне неперервне у с.к. випадкове поле з та кореляційною функцією

де x=(1,u1), 10, u1s(1), y=(2,u2), 20, u2s(1).

Умова 28 Нехай g(x)L2 (s(r),(x)) та для довільного r>0 s(r)g2(x)(dx)<. Умова 29 Нехай (x)=G((x)), де (x), x Rn, n>1, - однорідне ізотропне неперервне у с.к. гауссівське поле з E(x)=0, E2(x)=1 та кореляційною функцією R(x)= R(|x|)=L(|x|)/|x|, 0<<n, причому EG((0))=0, EG2((0))<. ОНК к-та має вид

,

де

де Ck-ті визначено в (1а).

Умова 30 Нехай g(x) має вид g(x)=grad(|x|)(x/|x|), де (u), us(1), - неперервна функція на s(1), а =|x| і при |x|0.

Умова 31 Нехай k=1 чи k=2. Припускаємо, що існує функція Fk(u,v) така, що

де 0<<(n-1)/k та .

Розглянемо функціонал і як і раніше для довільних випадкових величин X та Y

.

Теорема 11 За умов 27-31 з 0<<(n-1)/2 та C1=R uG(u)(u)du0

,

де c(G)=C1-2R G2(u)(u)du-1

0<<(n-1)/k, k=1 чи k=2, а визначено в умові 30.

Як і теорема 10 для теореми 9, аналогічно для теореми 11 у випадку 0<<n-1, C10, g(x)=grad(|x|), xRn, за аналогічних умов є твердження про те, що

де

при r,

а q1(n)=4n-1/2-1(n/2)-1((n-1)/2)=2nn-1/(n-2)!.

Підсумкові висновки

У представленій дисертації сформульовані та доведені теореми про граничнi розподiли оцiнок найменших квадратів i квазіробасних оцiнок коефiцiєнтiв регресiї випадкових процесiв iз сильною залежнiстю, зокрема доведено, що квазіробаснi оцiнки за певних умов мають таку ж асимптотичну дисперсiю, як i оцiнки найменших квадратiв.

Сформульованi та доведенi теореми редукцiї дозволяють зводити дослiдження моделей з неперервним часом до моделей з дискретним часом i навпаки, що є досить доцiльним при дослiдженнi конкретних практичних моделей.

На основi ряду доведених теорем запропоновано метод оцiнювання коефiцiєнта регресiї стацiонарних випадкових процесiв iз довгою пам'яттю у випадку неперервного часу.

Зi сформульованих та доведених теорем, в яких оцiнюється швидкiсть збiжностi до нормального закону оцiнок найменших квадратiв коефiцiєнтiв регресiї в процесах iз сильною залежнiсю, випливає, що ця швидкiсть збiжностi залежить вiд швидкостi збiжностi кореляцiйної функцiї до нуля.

Результати, отриманi для випадку, коли випадковий процес спостерiгається на сферi, можуть бути застосовані до статистичного дослідження у моделі “сигнал плюс шум” для сфери з досить великим радіусом.

Отриманi результати мають практичну цiннiсть, бо можуть бути використанi в статистичних моделях, якi описують економiчнi, фiзичнi та iншi процеси.

гауссівський квадрат коефіцієнт дискретний

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах

Leonenko N.N. and Sharapov M.M. Reduction theorems and their application to the statistical estimation of regression coefficients in long-memory time series // Доповiдi НАНУ №6, 1998, ст.32-36.

Шарапов М. М. Про робасне оцiнювання коефiцiєнтiв регресiї випадкових процесiв iз сингулярним спектром // Вiсник Київського Університету №2, 1998, ст. 138-147.

Леоненко М. М., Шарапов М. М. Про швидкiсть збiжностi до нормального закону розподiлiв оцiнок найменших квадратiв коефiцiєнтiв регресiйних процесiв iз сингулярним спектром // Вiсник Київського Університету №3, 1998, ст. 60-71.

АНОТАЦІЇ

Шарапов М.М. Граничні теореми для оцінок параметрів випадкових процесів і полів із довгою пам'яттю та їх уточнення. -Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук по спеціальності 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. -Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999. Робота присвячена дослідженню оцінок коефіцієнтів лінійної регресії гауссівських та негауссівських випадкових полів із сильною залежністю. Доведені теореми редукції дозволяють зводити дослідження моделей з неперервним часом до дослідження моделей з дискретним часом і навпаки. Досліджені граничні розподіли оцінок коефіцієнтів лінійних регресій та швидкість збіжності оцінок до цих граничних розподілів.

Ключові слова: лінійна регресія, оцінка найменших квадратів, квазіробасна оцінка, однорідне ізотропне гауссівське випадкове поле, кратний стохастичний інтеграл Іто-Вінера.

Шарапов М.М. Граничные теоремы для оценок параметров случайных процессов и полей с длинной памятью и их уточнение. -Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

Сформулированные и доказанные теоремы редукции позволяют сводить исследование моделей с непрерывным временем к моделям с дискретным временем и наоборот, что есть очень целесообразным при исследовании конкретных практических задач. Объектом исследования есть перенормированные оценки наименьших квадратов в модели линейной регрессии случайных процессов с сильной зависимостью и дискретным временем. На основе ряда теорем доказывается, что эта оценка имеет такое асимптотическое распределение, как и оценка наименьших квадратов в соответствующей модели с непрерывным временем.

В этой работе наряду с оценками наименьших квадратов рассматриваются и квазиробастные оценки. Доказывается, что квазиробастные оценки коэффициентов линейной регрессии случайных процессов с непрерывным временем и неограниченной в нуле спектральной плотностью имеют такую же асимптотическую дисперсию, как оценки наименьших квадратов. Этот факт контрастирует с соответствующими результатами для схем регрессии со слабозависимыми погрешностями, у которых асимптотическая дисперсия квазиробастных оценок всегда больше, чем асимптотическая дисперсия оценок наименьших квадратов.

Одним из важнейших результатов работы есть теорема для стационарных случайных процессов с непрерывным временем и неограниченной в некоторой точке спектральной плотностью. На основе этой теоремы оценивается неизвестный параметр этой плотности.

В диссертации найдена оценка скорости сходимости к нормальному закону распределений оценок наименьших квадратов коэффициентов линейной регрессии случайных процессов с сингулярной спектральной плотностью. Показано, что в этом случае скорость сходимости зависит от скорости сходимости ковариационной функции к нулю. Полученные результаты сильно контрастируют со свойствами оценок наименьших квадратов для слабозависимых погрешностей. Метод оценивания скорости сходимости к нормальному закону тоже отличается от методов, которые используются для процессов со слабой зависимостью. Более того, оценивание скорости сходимости зависит от величины параметра автомодальности.

Оценка скорости сходимости к нормальному закону распределений оценок наименьших квадратов коэффициентов линейной регрессии случайных процессов с сингулярной спектральной плотностью найдена также для случаев, когда случайные процессы наблюдаются на сфере и на шаре.

Ключевые слова: линейная регрессия, оценка наименьших квадратов, квазиробастная оценка, однородное изотропное случайное гауссовское поле, кратный стохастический интеграл Ито-Винера.

Sharapov M. M. Limitting theorems for estimates of parameters of random processes and fields with long memory. -Manuscript. Thesis for a candidate's degree (Ph. D.) by speciality 01.01.05 - Probability theory and mathematical statistics. Kiev University named after Taras Shevchenko, Kiev, 1999. This work is about exploring estimates of linear regression coefficients of strongly dependent gaussian and non-gaussian random fields. Proved reduction theorems make it possible to investigate the models with continuous time instead of models with discrete time and the other way round. The limit distributions of coefficients estimates in linear regressions and convergence speed of estimates to these limit distributions are studied.

Key words: linear regression, least square estimate, quasirobust estimate, homogeneous isotropic gaussian random field, multiple stochastic Ito-Wiener integral.

Размещено на Allbest.ur

...