Размещено на http://www.allbest.ru/

Характеристичні функції



1. Характеристична функція випадкової величини, її властивості

Якщо випадкові величини і - дійсні, то випадкова величина буде комплексно значною випадковою величиною. Визначимо її математичне сподівання за допомогою рівності .

Означення. Характеристичною функцією випадкової величини називають функцію

. (1)

Математичне сподівання завжди існує, бо неперервна і . Використовуючи формулу Ейлера , одержимо .

Якщо випадкова величина приймає значення з ймовірностями , то

. (2)

Якщо ж випадкова величина - неперервна і має щільність розподілу , то

. (3)

У загальному випадку



. (4)

Розглянемо деякі приклади знаходження характеристичних функцій.

Розподіл Пуассона. Випадкова величина має розподіл Тому за формулою (2)

.

Рівномірний розподіл. Випадкова величина має щільність За формулою (3)

,

якщо ж випадкова величина має рівномірний розподіл на , то

.

Нормальний розподіл. Нехай випадкова величина ~. Це означає, що . За формулою (3)



.

Продиференціюємо дану функцію по параметру (це можливо, бо інтеграл в правій частині рівномірно збіжний відносно ), а далі інтегруємо частинами, тоді одержимо

.

Розв'язуючи рівняння при початковій умові , одержимо .

Розглянемо тепер деякі властивості характеристичних функцій.

1. Для довільного ,

За формулою (4) для довільного , а

.

2. .

.

3. Якщо випадкова величина має характеристичну функцію , то випадкова величина буде мати характеристичну функцію



.

Із (1)

Наприклад, якщо випадкова величина ~, а випадкова величина , то ~, Тоді

4. Якщо випадкові величини - незалежні, мають характеристичні функції і , то характеристична функція .

Оскільки випадкові величини - незалежні, то незалежними будуть і величини і , тому .

Із властивості (4) випливає: якщо випадкові величини - незалежні, то характеристична функція їх суми дорівнює добутку характеристичних функцій доданків.

Як приклад застосування цієї властивості знайдемо характеристичну функцію біномного розподілу. Нехай - число появ події в експериментах Бернуллі, тоді , де

За формулою (2) , а за властивістю 4 .

Для доведення наступних властивостей необхідна наступна лема.

Лема. Для будь-якого дійсного і цілого справедливі нерівності



, (Н1)

. (Н2)

Доведення. Доведемо спочатку нерівність (Н1). Із рівності випливає, що . Тобто при нерівність (Н1) правильна.

Із рівності , при врахуванні попередньої нерівності, одержуємо . Тобто, нерівність правильна і при .

Припустимо, що нерівність вірна при , і доведемо, що вона вірна і при . Із рівності

випливає, що

.

Це означає, що нерівність (Н1) правильна при . Нерівність (Н2) випливає із (Н1):



.

Лема доведена.

5. Характеристична функція рівномірно неперервна на .

Розглянемо різницю . Тоді . За нерівностями (Н1) і (Н2) при і , тому

Із того, що при і при випливає, що для довільного число можна вибрати настільки великим, щоб виконувалась нерівність . Зафіксуємо таке і покладемо . Тоді при

,

а це означає, що характеристична функція рівномірно неперервна на .

6. Нехай для випадкової величини існує математичне сподівання , тоді характеристична функція має в кожній точці похідні для і має місце рівність

, (5)

крім того,

, (6)

де при .

Оскільки - збіжний, то інтеграл , що одержується формальним диференціюванням характеристичної функції , є рівномірно збіжним при . Тому диференціювання під знаком інтеграла законне і

, .

Припустимо, що існує . Із збіжності інтеграла випливає, що інтеграл є рівномірно збіжним при , тому попередню рівність можна диференціювати по і буде справедливою рівність , при цьому, .

У зв'язку із тим, що існують похідні до -го порядку і , то ми можемо розкласти за формулою Тейлора:

.

Оцінимо залишковий член

.

Для оцінки першого інтеграла правої частини застосуємо нерівність (Н1) , а другого - (Н2) . Тоді

.

Нехай . Виберемо і зафіксуємо число таким, щоб . Це можна зробити, бо існує, тому залишок цього інтегралу при . Покладемо , тоді при . Отже, . А це означає, що при .

7. Характеристична функція додатно визначена: для будь-якого натурального , довільних дійсних і довільних комплексних .

Дійсно,

.

Має місце більш загальне твердження, яке ми наведемо без доведення.

Теорема (Бохнера-Хінчина). Для того, щоб функція була характеристичною функцією деякого розподілу, необхідно і достатньо, щоб вона була неперервна, додатно визначена і .

Означення. Характеристичною функцією випадкового вектора називається функція векторного аргументу .

Характеристична функція випадкового вектора має властивості аналогічні до властивостей одновимірної випадкової величини.

Якщо значення випадкових величин не довільні, то замість характеристичних функцій зручніше застосовувати деякі інші. Якщо величина має лише невід'ємні значення, то розглядають її перетворення Лапласа

.



Нехай випадкова величина приймає лише цілі невід'ємні значення з ймовірностями , . Твірною функцією (генератрисою) випадкової величини називається функція , що визначена при комплексних , для яких .

Твірна функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добуткові твірних функцій доданків. Те саме стосується і перетворення Лапласа. Важливо відзначити, що характеристична функція, твірна функція, а також перетворення Лапласа однозначно визначають розподіл випадкової величини (для характеристичних функцій це ми пізніше доведемо).

2. Формули обернення для характеристичних функцій

теорема функція характеристичний хеллі

Якщо задана функція розподілу , тоді характеристична функція виражається через однозначно за формулою . Поставимо обернену задачу: знайти функцію розподілу , якщо відомо характеристичну функцію .

Теорема 1. Нехай - функція розподілу, а - характеристична функція випадкової величини . Для довільних і , які є точками неперервності , справедлива рівність

. (7)



Доведення. Розглянемо інтеграл і підставимо , тоді і, змінивши порядок інтегрування, одержимо .

Оскільки інтеграл

,

а , то

.

Отже,

,

. (8)

Врахуємо, що при , при , при і є рівномірно збіжним в кожному із проміжків і для будь-якого і при для всіх досить великих

. (9)

Нехай і виберемо так, щоб . Тоді

. (10)

Розглянемо окремо кожен інтеграл.

Якщо , то , тому при інтеграли рівномірно збігаються до . Отже, із (8) одержуємо

. (11)

Оскільки в , то і , тому при інтеграли рівномірно збігаються до . Тому

. (12)



Із того, що в , а випливає, що рівномірно , а також рівномірно, тому із (8) випливає, що рівномірно по , а це означає, що

. (13)

Для або , тому із (9) і (8) для великих c одержуємо , а це означає, що для всіх досить великих

. (14)

Аналогічно,

. (15)

Отже, із (10) - (15) одержуємо

, (16)

де .

Враховуючи, що - точки неперервності і інтеграл не залежить від , то перейшовши в (16) до границі, коли , і враховуючи, що при , одержуємо .

Наслідок. Функція розподілу випадкової величини однозначно визначається своєю характеристичною функцією.

Доведення. Покладемо в (7) і перейдемо до границі, коли , тоді , а із (7) одержимо .

Теорема 2. Нехай характеристична функція - абсолютно інтегровна на , тобто - збіжний. Тоді відповідна їй функція розподілу буде неперервною в кожній точці ; існує щільність розподілу

; (17)

- неперервна.

Доведення. Із абсолютної інтегровності характеристичної функції і теореми 1 випливає, що

. (18)

Нехай , покладемо так, щоб були точками неперервності функції . Тоді

.



Звідки, , а це означає, що функція розподілу є неперервною в кожній точці .

Із збіжності інтеграла випливає, що інтеграл в рівності (17) існує. Тоді із (18) одержимо:

.

.

Із нерівностей (Н1) і (Н2) і , застосувавши їх відповідно до першого і другого інтегралів правої частини попередньої нерівності, маємо

. (19)

Нехай задане довільне . Із збіжності інтеграла випливає, що існує таке, що буде виконуватись нерівність

. (20)

Зафіксуємо таке . Тоді, якщо покладемо , то при із (19) і (20) одержуємо . А це означає, що існує . Тобто, є щільністю розподілу і справедлива рівність (17).

Доведемо, що - неперервна. Оскільки

,

то із нерівності (Н1)

. (21)

При другий доданок у нерівності (21) прямує до 0. Тому для довільного існує таке , що . Зафіксуємо таке . Якщо покладемо , то при , перший доданок в (21) буде менший за , а тоді і . Це означає, що в точці функція - неперервна.



3. Збіжність в основному послідовності функцій розподілу. Теореми Хеллі. Слабка збіжність послідовності функцій розподілу

Будемо розглядати множину всіх функцій розподілу, а також множину узагальнених функцій розподілу , які неспадні на , неперервні зліва і . Узагальнена функція розподілу буде функцією розподілу тоді і тільки тоді, коли , .

Означення. Нехай , - узагальнені функції розподілу. Послідовність називається збіжною в основному до функції , якщо для будь-якої точки неперервності функції .

Відзначимо, що якщо послідовність функцій розподілу збігається в основному до функції , то функція може і не бути функцією розподілу. Наприклад, якщо то для всіх .

Множина називається всюди щільною в , якщо для довільного і для довільного існує таке, що .

Теорема 1. Нехай - довільна всюди щільна в множина, , - узагальнені функції розподілу. Якщо для довільного , то збігається в основному до . Якщо для всіх існує , то для деякої узагальненої функції розподілу послідовність збігається в основному до .

Доведення. Нехай будь-яка точка неперервності функції , і - будь-які точки із . Для довільного , тому при переході в нерівності до границі, коли , одержимо або . У цій нерівності перейдемо до границі, коли , а , тоді . Оскільки - точка неперервності , тобто , то із попередньої нерівності випливає, що існує .

Для доведення другої частини теореми для будь-якого покладемо , де , . Оскільки - неспадні, то і є неспадною на . Із визначення випливає, що і буде неспадною. Із монотонності одержуємо . Отже є узагальненою функцією розподілу. Нехай - точка неперервності .Для довільних дійсних і таких, що існують і і . Тоді . Якщо в цих нерівностях перейдемо до границі, коли і , то одержимо .

Теорема 2 (1-ша теорема Хеллі). Із будь-якої послідовності функцій розподілу можна вибрати підпослідовність , яка збігається в основному до деякої узагальненої функції розподілу .

Доведення. Нехай - зліченна всюди щільна в множина. Розглянемо послідовність . Оскільки вона обмежена, то вона містить збіжну підпослідовність . Її границю позначимо .

Розглянемо послідовність і покладемо . Дістанемо знову обмежену числову послідовність . Із неї знову можна виділити збіжну підпослідовність . Її границю позначимо . Продовжуючи цей процес, ми для кожної точки одержимо підпослідовність , яка в кожній із точок , буде збігатися до . На основі цих підпослідовностей побудуємо нову підпослідовність . Так побудована підпослідовність буде збігатися в кожній точці множини до функції .

Покладемо , тоді за теоремою 1 побудована підпослідовність буде збігатися в основному до функції .

Теорема 3 (2-га теорема Хеллі). Нехай послідовність функцій розподілу збігається в основному до функції розподілу (, ). Тоді для довільної неперервної і обмеженої на функції

. (22)

Доведення. Розглянемо довільний скінченний проміжок , де і - точки неперервності . Із неперервності функції на відрізку випливає, що для довільного ми можемо вибрати таке розбиття проміжку точками , де - точки неперервності , що для всіх виконується нерівність

, (23)

де функція при .

Розглянемо нерівність



. (24)

Із (23) і умови теореми одержуємо

, (25)

. (26)

Другий доданок правої частини (24) зобразимо у вигляді

.

Функція обмежена, тому існує , що . Тому будемо мати

.

Послідовність збігається в основному до , а - точки неперервності функції і цих точок скінченна кількість, тому для заданого існує , що для всіх буде виконуватись нерівність для всіх . Отже,

. (27)

Таким чином, із (24) - (27) випливає, що для довільного існує , що для всіх буде виконуватись нерівність , а це означає, що для довільного скінченного проміжоку

. (28)

Перейдемо до доведення (22). Для довільного виберемо і так, щоб і були точками неперервності і . Тоді існує , що для всіх . Зафіксуємо такі і .

.



Із (28) випливає, що і перший доданок в правій частині вибором може бути як завгодно малим, тому із умов теореми одержуємо (22).

Означення. Нехай , і є функціями розподілу. Якщо для довільної неперервної і обмеженої на функції , то кажуть, що послідовність слабко збігається до (позначають або ).

Теорема 4. Для того, щоб послідовність функцій розподілу слабко збігалась до функції розподілу , необхідно і достатньо, щоб збігалась в основному до .

Доведення. Із теореми 3 випливає, що із збіжності в основному випливає слабка збіжність. Нехай має місце слабка збіжність. Тобто, для довільної неперервної і обмеженої на функції .

Виберемо функцію у вигляді:

Тоді

.



А тепер виберемо

Тоді

.

Звідки,

.

Отже, ми одержали таку нерівність:

.

Якщо - точка неперервності , то при переході до границі в останній нерівності, коли , одержимо: . Тобто існує , а це і означає, що збігається до в основному.



4. Неперервна відповідність між збіжністю функцій розподілу і характеристичних функцій

Розглянемо тепер одну із найбільш важливих властивостей характеристичних функцій, яка є основним засобом доведення теорем про слабку збіжність розподілів. Нехай , - функції розподілу, а , - відповідні характеристичні функції.

Теорема 1. Нехай послідовність функцій розподілу слабко збігається до функції розподілу , тоді послідовність характеристичних функцій , де . При цьому ця збіжність є рівномірною в кожному скінченному проміжку зміни .

Доведення. Для кожного функції і - неперервні і обмежені при , слабко, а ця збіжність еквівалентна збіжності в основному, тому за другою теоремою Хеллі

,

тобто, послідовність характеристичних функцій .

Доведення рівномірної збіжності є повторенням доведення теореми 3.

Теорема 2. Якщо послідовність характеристичних функцій збігається до функції , що неперервна в точці , тоді відповідна послідовність функцій розподілу буде збігатися в основному до функції розподілу , для якої буде відповідною характеристичною функцією, тобто .

Доведення. За першою теоремою Хеллі із можна виділити підпослідовність , яка слабко збігається до деякої неспадної функції . Покажемо, що буде функцією розподілу. Для цього досить показати, що . Для довільного покладемо і розглянемо інтеграл

. (29)

Ми використали рівність , невід'ємність виразу і нерівність при . Нехай і - точки неперервності . Перейдемо в нерівності (29) до границі, коли , і врахуємо, що , тоді одержимо . Нехай тепер . Оскільки функція - неперервна в точці і , то , а це означає, що . Тобто є функцією розподілу, а буде відповідною характеристичною функцією, тобто .

Щоб завершити доведення теореми, необхідно показати, що і вся послідовність збігається в основному до . Припустимо, що це не виконується. Тоді існує підпослідовність , яка збігається в основному до і принаймні в одній точці неперервності функції . Але відповідна послідовність характеристичних функцій , яка є характеристичною функцією для . А це означає, що . Одержали протиріччя, яке доводить теорему. Тобто, збігається в основному до функції розподілу .

Размещено на Allbest.ru

...