Связь между матрицами линейного оператора в разных парах базисов
Действия с линейными операторами. Произведение оператора на число. Результат последовательного применения на вектор-прообраз х в пространстве Х. Изучение характеристического многочлена матрицы. Собственные векторы и числа, системы линейных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.11.2013 |
| Размер файла | 150,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Связь между матрицами линейного оператора в разных парах базисов
Пусть из хn с базисом в ym с базисом действует линейный оператор .
A
Система А может быть записана в матричном виде Аqe:
Аqe=
;
Если действует в хn, то она принимает вид
,
[х]q =Aqe [x]e , [x]e=Ae[x]e.
Теорема: пусть и пусть в этих пространствах 2 пары базисов е и q, причем заданны также матрицы оператора в этих парах базисов Аqe и Аq'e' для базисов e' и q', тогда эти матрицы связаны соотношением:
,
где P - матрица перехода от е к е', а Q от q к q'.
Действия с линейными операторами.
1) Суммой операторов и ш называют оператор +ш переводящий любой вектор в сумму образов от действия на х операторов и ш.
1)
Если операторы и ш в паре базисов e и q линейных пространств x и y имеют матрицы соответственно А и В, то выражение 1) в матричном виде будет:
(А+В)[x]e=А[x]e+B[x]e 2)
2) произведением оператора на число ?? называют оператор , действие которого такого, что образ каждого вектора х при действии оператора умножается на число ??
3)
Пуст даны линейные пространства x, y, z. Оператор действует из x в y , . Произведением операторов называют оператор (оператор, действующий первым записывают справа), являющейся результатом их последовательного применения на вектор-прообраз х в пространстве Х и переводящий его при этом в вектор-образ z в пространстве Z, то образ:
5)
Если в линейных пространствах X, Y, Z даны базисы e, q, f и матрицы операторов в паре базисов e, q-A, и ш в паре базисов q, f-B, то равенство 5)
в матричном виде имеет вид:
6),
где матрица ВА есть матрица в паре базисов e, f. Оператор произведения является линейным.
Характеристический многочлен матрицы оператора
Пусть А - квадратная матрица n-го порядка, тогда характеристической матрицей для матрицы А является матрица:
Определитель этой матриц называет характеристическим многочленом матрицы А.
Собственные векторы и собственные числа матрицы линейного оператора.
Пусть линейный оператор , действующий в пространстве X, задан в некотором пространстве е матрицей А. Ненулевой вектор x называют собственным оператором .
.
Теорема: собственными числами линейного оператора является характеристические корни матрицы этого оператора.
Пусть Х является собственным вектором оператора , а - собственным числом оператора , тогда:
а)
б)
в)
г) - характеристический корень матрицы А.
Для нахождения всех собственных чисел оператора нужно найти все характеристический корень матрицы А. Они и будут собственными числами оператора .
Для нахождения всех собственных векторов Х, соответствующих определённому собственному числу , следует, подставить значение вместо , решить СЛУ, соответствующую упражнению в).
Эта СЛУ имеет бесконечное множество ненулевых решений. Поэтому находим её общее решение по методу Гаусса. Она и будет множеством собственных векторов соответствующим (собств. числу).
Оператор в действующем пространстве Х3 в базисе е задан матрицей:
А=
далее для нахождения собственных векторов Х оператора подставим в уравнение в)
> >
вектор многочлен матрица линейный уравнение
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные задачи, решаемые методом координат. Действия над матрицами. Понятие минора и алгебраического дополнения. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Действия с множествами. Геометрический смысл дифференциала функции.
учебное пособие [1,1 M], добавлен 22.03.2012Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011Форма записи и методы решения системы алгебраических уравнений с n неизвестными. Умножение и нормы векторов и матриц. Свойства определителей матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Примеры использования числовых характеристик матриц.
реферат [203,0 K], добавлен 12.08.2009Основные понятия и факты теории линейных операторов. Определение и примеры линейных операторов. Ограниченность и норма линейного оператора. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов.
дипломная работа [240,7 K], добавлен 13.06.2007Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.
реферат [350,1 K], добавлен 22.04.2010Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.
презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013Схема и разность векторов. Умножение вектора на число. Координаты точки и вектора. Компланарные векторы и прямоугольная система координат. Длина, скалярное произведение, его свойства и угол между векторами. Переместительный и сочетательный законы.
творческая работа [481,5 K], добавлен 23.06.2009Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Изучение понятий, действий (сумма, разность, произведение), свойств квадратной матрицы. Определение и признаки ранга матрицы. Анализ методов окаймляющих миноров и преобразований. Расчет системы линейных уравнений согласно методам Крамера и матричному.
реферат [178,9 K], добавлен 01.02.2010Определение линейного оператора. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента. Операторы: умножения на непрерывную функцию; интегрирования; сдвиг
дипломная работа [267,4 K], добавлен 27.05.2008Многочлены над числовыми полями. Теорема о делении с остатком. Основные алгебраические структуры. Понятие линейного пространства, его базис и изоморфизм. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве. Ранг и дефект линейного оператора.
учебное пособие [342,8 K], добавлен 02.03.2009Возведение в степень комплексного числа. Бинарная алгебраическая операция. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Базис, ранг и линейные комбинации для системы векторов. Кратные корни многочлена. Разложение многочлена на элементарные дроби.
контрольная работа [247,0 K], добавлен 25.03.2014Поиск базисного решения для системы уравнений, составление уравнения линии, приведение его к каноническому виду и построение кривой. Собственные значения и векторы линейного преобразования. Вычисление объема тела и вероятности наступления события.
контрольная работа [221,1 K], добавлен 12.11.2012Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Понятие матрицы, эллипса, гиперболы и параболы. Системы уравнений с матрицами. Проекция вектора на ось и действия с векторами. Плоскость и прямые линии в пространстве, их взаимное расположение. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
контрольная работа [98,8 K], добавлен 30.11.2010Ненулевые элементы поля. Таблица логарифма Якоби. Матрица системы линейных уравнений. Перепроверка по методу Евклида. Формула быстрого возведения. Определение матрицы методом Гаусса. Собственные значений матрицы. Координаты собственного вектора.
контрольная работа [192,1 K], добавлен 20.12.2012Системы линейных уравнений и интерпретация их решений как пересечение гиперплоскостей в n-мерном координатном пространстве. Размерность и подпространства линейного пространства. Оптимизационные задачи линейного программирования. Суть симплекс-метода.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 10.01.2014Нахождение собственных значений и векторов линейного преобразования, заданных в некотором базисе матрицей. Составление характеристического уравнения и нахождение семейства векторов и их значения при решении, корни характеристического уравнения.
контрольная работа [44,9 K], добавлен 29.05.2012Вектор - элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нем, которые подчиняются восьми аксиомам). Свободный и связанный векторы. Евклидовая норма и правило параллелограмма. Скалярное произведение и умножение вектора на число.
контрольная работа [102,6 K], добавлен 03.07.2011Определение оператора в гильбертовом пространстве. Индексы дефекта симметрического оператора. Преобразование Кэли и формулы Неймана. Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора, доказательство теорем.
курсовая работа [190,6 K], добавлен 18.08.2011
