Когомології напівгруп

У розділі 3.3 дано позитивне вирішення ослабленої гіпотези Мітчелла:

Теорема 3.3.3. Напівгрупа зі скороченням когомологічной вимірності 1 вкладається до свободної групи.

Доведення теореми 3.3.3 засновується на результатах попереднього розділу, а також на одній достатній умові вкладення напівгрупи до групи, яку одержав Н. Було.

Відзначимо, що з результатів розділу 2.6 випливає, що зворотне ствердження невірне.

Основні результати цієї глави опубліковано в [28, 29, 34, 35, 37].

Інший підхід до дослідження напівгруп когомологічної вимірности 1 (не обов'язково із скороченням) здійснюється в главі 4. Він заснований на використанні поняття рефлективної підкатегорії і розглядається в розділі 4.1. Якщо D - рефлективна підкатегория категорії напівгруп Sem (наприклад, підкатегория груп, напівструктур груп, цілком простих, інверсних або кліффордових напівгруп), то рефлекторний морфізм індукує гомоморфізм груп когомологій

eⁿ : Hⁿ (R (S) , A) ® Hⁿ (S, A),

де R(S) - рефлектор напівгрупи S в категорії D.

З використанням добре відомих зв'язків між одновимірними когомологіями і напівпрямими добутками одержано такі результати (нижче через A Р R (S) позначено напівпрямий добуток):

Теорема 4.1.1. Нехай S - довільна напівгрупа, A - модуль над R (S). Якщо A Р R (S) О D, то e¹ являється ізоморфізмом.

Наслідок 4.1.2 Нехай D - рефлективна підкатегорія категорії Sem, S О Sem, R(S) - D-рефлектор напівгрупи S.

1) Якщо A Р R(S) О D для будь-якого R(S)-модуля A, то e² являється мономорфізмом.

2) Якщо R(S) є моноїдом і A Р R(S)О D для будь-якого унітарного R(S)-модуля A, то e² являється мономорфізмом.

Зокрема , це буде так, якщо D являється категорією груп, цілком простих напівгруп або кліффордових напівгруп (пропозиція 4.1.3). Звідси випливає, що властивість "мати когомологічну вимірність 1" спадкується рефлекторами указаних типів.

Використання такого підходу показане на прикладі описання цілком простих напівгруп когомологічної вимірности 1.

Нехай T = M(G; I, ; P) - цілком проста напівгрупа з сендвіч-матрицею P = (p_i), N - нормальний дільник в G, породжений елементами p_i ( , i I), причому з точністю до ізоморфізму ми можемо вважати, що p_1i = p₁ = e.

Лема 4.14. G/N являється груповим рефлектором напівгрупи T.

Теорема 4.1.5. Якщо цілком проста напівгрупа T = M(G; I, ; P)

має когомологічну вимірність 1, то:

1) факторгрупа G/N свободна;

2) група G свободна;

3) множина {p_i | 1, i 1}, якщо вона не є пустою, являється базисом в породженій єю (свободній) підгрупі групи G.

Наслідок 4.1.6. Якщо напівгрупа має когомологічну вимірність 1, то її цілком простий рефлектор задовольняє умовам 1)-3) теореми 4.1.5.

У зв'язку з можливими застосуваннями до теорії когомологій з'явилась необхідність більш детально вивчити властивості групових рефлекторів напівгруп. При цьому виникає деякий клас часткових групоїдов (названих у дисертаційній роботі Z-партоїдами), що тісно пов'язані з графом ділимості напівгрупи. Властивості Z-партоїдів досліджуються в розділі 4.2. За їхньою допомогою у розділі 4.3 (теорема 4.3.8) узагальнюється метод побудови групового рефлектора для напівгрупи із скороченням, який запропоновано Kліффордом і Престоном [3].

Частковий групоїд, що з'являється при цьому, має такий вид. Припустимо без утрати загальності, що S містить одиницю. Розглянемо орієнтований граф з елементами із S як вершинамі; a і b сполучені ребром (із початковою вершиною a), якщо b = ax для деякого x О S (граф ділимості напівгрупи). Ми будемо позначати таке ребро через [a, x]. Визначаючи на множині ребер P(S) часткову операцію

[a, x] [ax, y] = [a, xy],

ми перетворюємо P(S) у частковий групоїд.

Крім того, виявляється зручним ввести додатковий об'єкт K, названий комплексом Кели моноїда S, - це симпліціальний комплекс, заданий на множині S, для якого симплексами є всілякі набори (a₀, …, a_n) попарно різних елементів із S, таких, що a_i+1 О a_i S для усіх i < n. Комплекс Кели визначається графом ділимості (або, що те ж саме, групоїдом) P(S), розглянутим у попередньому розділі; а саме, n-симплекси взаємно однозначно відповідають орієнтованим путям довжини n у графі P(S).

У розділі 4.4 вивчаються зв'язки між когомологіями напівгрупи S та її комплексу Кели K. У припущенні, що S є моноїдом із скороченням, який не має обратимих неодиничних елементів, отримано такі результати:

Теорема 4.4.3. Якщо A - S-модуль із нульовим множенням, то

Hⁿ (S, A) @ H^n-1 (K, A)

для усіх n і 2.

Наслідок 4.4.4. Якщо cd S n, то H^m(K, A) = 0 для усіх m n і будь-якої абелевої групи A. Можна отримати також деяку інформацію про гомології комплексу Кели, яка дає більш прозорий зв'язок між його топологічною структурою і когомологіями моноїда S:

Наслідок 4.4.5. Якщо cd S Ј n, то H_m(K) = 0 для будь-якого m і n.

Основні результати цієї глави опубліковано в [30, 38].

Главу 5 присвячено викладанню загальної теорії когомологій напівгруп. У ній проводиться аналіз різноманітних теорій напівгрупових когомологій і вказуються зв'язки між ними. Поряд з існуючими застосувавннями когомологій особливу увагу в ції главі приділено класифікації типів когомологій напівгруп.

У ції главі розглядаються три основних (з точки зору дисертанта) напрямки:

- ЕМ-когомології (у тому вигляді, в якому їх визначено в "Гомологічній алгебрі" А. Картаном і С. Ейленбергом);

- різноманітні типи когомологій, що виникають при описанні поширень напівгруп;

- окремі випадки часткових когомологій, що з'явилися при вирішенні деяких алгебраїчних задач.

Висновки

В дисертаційній роботі досліджувалися властивості когомологій напівгруп. Всі ці дослідження проведено вперше.

Запропоновано прикладення введених раніше дисертантом конструкції 0-когомологій до вивчення властивостей моноїду Брауера та сильно примарних скінченно вимірних алгебр.

Розроблено теорію часткових когомологій і дано застосування їх до обчислення напівгрупових когомологій Ейленберга - Маклейна.

Одержано рішення послабленої проблеми Мітчелла про напівгрупи із скороченням когомологічної вимірності 1.

Вивчено зв'язки між когомологіями напівгруп і певних класів їхніх рефлекторів.

Запропоновано поняття комплексу Келі для напівгрупи та досліджено його топологічні характеристики.

Результати дисертації можуть бути використованими для подальших досліджень когомологій як напівгруп, так і інших алгебраїчних систем.

Список літератури

1. Браун К.С. Когомологии групп. - М.: Наука, 1987. - 384 c.

2. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. - М.: ИЛ, 1960. - 510 c.

3. Kлиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. - М.: Мир, 1972. - 422 с.

4. Kроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. - М.: Мир, 1967. - 348 с.

5. Маклейн С. Гомология. - М.: Мир, 1966. - 543 с.

6. Новиков Б.В. О 0-когомологиях полугрупп // Сб.: Теор. и прикл. вопр.дифф. ур-ний и алгебра. К., Наукова думка. - 1978. - С.185-188.

7. Новиков Б.В. О проективных представлениях полугрупп // Докл. АН УССР, сер. А. - 1979. - N6. - С.474-478.

8. Barr M., Beck J. Acyclic models and triples // In: Proc. Conf. Cat. Algebra (La Jolla, 1965), Springer. - 1966. - P.336-343.

9. Barr M., Beck J. Homology and standard construction // Lect. Notes in Math. - 1969. - V. 80. - P.245-335.

Cheng Charles Ching-an, Shapiro J. Cohomological dimension of an abelian monoid // Proc. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 80. - N4. - P.547-551.

11. Clark W.E. Cohomology of semigroups via topo\-lo\-gy with an application to semigroup algebras // Commun. Algebra. - 1976. - V. 4. - P.979-997.

12. Haile D.E. On crossed product algebras arising from weak cocycles // J. Algebra. - 1982. - V. 74. - P.270-279.

13. Haile D.E. The Brauer monoid of a field // J. Algebra. - 1983. - V. 81. - N2. - P.521-539.

14. Haile D.E., Larson R.G., Sweedler M.E. A new invariant for C over R: almost invertible cohomology theory and the classification of idempotent cohomology classes and algebras by partially ordered sets with Galois group action // Amer. J. Math. - 1983. - V. 105. - N3. - P.689-814.

15. Lausch H. Cohomology of inverse semigroups // J. Algebra. - 1975. - V. -35. - N1-3. - P.273-303.

16. Leech J.E. Cohomology theory for monoid congruences // Houston J. Math. - 1985. - V. 11. - N2. - P.207-223.

17. Loganathan M. Cohomology and extensions of regular semigroups // J. Austral. Math. Soc., ser. A. - 1983. - V. 35. - N2. - P.178-193.

18. Mitchell B. On the dimension of objects and categories. I. Monoids // J. Algebra. - 1968. - V. 9. - N~3. - P.314-340.

19. Nico W.R. On the cohomology of finite semigroups // J. Algebra. - 1969. - V. 11. - N4. - P.598-612.

20. Nico W.R. Homological dimension in semigroup algebras // J. Algebra. - 1971. - V. 18. - N3. - P.404-413.

21. Sweedler M.E. Weak cohomology // Contemp. Math. - 1982. - V.13. - P.109-119.

Роботи автора за темою дисертації

Статті:

22. Новиков Б.В. 0-когомологии вполне 0-простых полугрупп // Вестник Харьк. гос. ун-та. - вып. 46. - 1981. - N221. - С.80-85.

23. Новиков Б.В. О вычислении когомологий некоторых полугрупп // Вестник Харьк. гос. ун-та. - вып. 46. - 1981. - N221. - С.96.

24. Новиков Б.В. Контрпример к одной гипотезе Митчелла // Тр.Тбил. мат. ин-та АН ГССР. - 1982. - Т. 70. - С.52-55.

25. Новиков Б.В. Определяющие соотношения и 0-модули над полугруппой // Сб.: Теория полугрупп и ее прилож. Полиадич. полугруппы. Полугруппы преобразований. Изд-во Саратов. ун-та. - 1983. - С.94-99.

26. Novikov B.V. On partial cohomologies of semigroups // Semigroup Forum. - 1984. - V. 28. - N1-3. - P.355-364.

27. Новиков Б.В. Частичные когомологии полугрупп и их приложения // Изв. вузов. Матем. - 1988. - N11. - С.25-32.

28. Новиков Б.В. Коммутативные полугруппы с сокращением размерности 1 // Матем. заметки. - 1990. - С. 48. - N1. - С.148-149.

29. Новиков Б.В. О строении подмножеств векторной решетки, замкнутых относительно сложения // Укр. геом. сб. - 1992. - N35. - С.99-103.

30. Новиков Б.В. Рефлективные подкатегории и когомологии полугрупп // Доповiдi АН України. - 1994. - N8. - С.10-12.

31. Novikov B.V. On the structure of subsets of a vector lattice that are closed with respect to addition // J. Math. Sci. - 1994. - V.72. - N 4. - P.3223-3225.

32. Novikov B.V. On modification of the Galois group // Filomat (Yugosl.). - 1995. - V. 9. - N3. - P.867-872.

33. Новиков Б.В. О моноиде Брауэра // Матем. заметки. - 1995. - Т. 57. - N 4. - С.633-636.

34. Новикoв Б.В. О полугруппах когомологической размерности 1 // Доповіді НАН України. - 1996. - N 8. - С.6-8.

35. Новикoв Б.В. Об ослабленной гипотезе Митчелла // Доповіді НАН України. - 1998. - N 3. - С.26-27.

36. Kashcheeva O.S., Novikov B.V. Canonic subsets in semigroups // Filomat (Yugosl.). - 1998. - V. 12. - N1. - P.21-27.

37. Novikov B.V. Semigroups of cohomological dimension 1 // J. Algebra. - 1998. - V. 204. - N.2. - P.386-393.

38. Novikov B.V. Quotients of cancellative semigroups // Вопросы алгебры (Гомель, Беларусь). - 1998. - Т. 13. - С.22-28.

39. Novikov B.V. Partial cohomologies and canonic roots in semigroups // Математичні студії. - 1999. - V. 12 . - N1. - C. 7-14.

40. Novikov B.V., Iordjev K. On a generalization of ideals in infinite semigroups // C.R. Acad.Bulgare Sci. - 1996. - V. 49. - N4. - P.5-8.

Тези доповідей:

41. Новиков Б.В. О частичных когомологиях полугрупп // Сб.: XVI Всес. алг. конференция. Тезисы. - Ч.2, Л. - 1981. - С.97-98.

42. Новиков Б.В. О котроечной теории частичных когомологий полугрупп // Сб.: XVII Всес. алг. конференция. Тезисы сообщ., Мн. - 1983. - С.175.

Hовиков Б.В. О когомологической размерности некоторых

полугрупп // Сб.: XVIII Всес. алг. конференция. Тезисы сообщ. - Ч.2, Киш. - 1985. - С.66.

44. Новиков Б.В. О моноиде Брауэра // Сб.: XIX Всес. алг. конференция. Тезисы сообщ. - Ч.2, Львов. - 1987. - С.203.

45. Novikov B.V. On semigroups of cohomological dimension one // In: Colloquium on Semigr. Szeged (Hung.). - 1994. - P.27.

46. Novikov B.V. On modification of the Galois group // In: Algebra, Logic & Discr. Math., Nish (Yugosl.). - 1995. - P.86-87.

47. Novikov B.V. The Ore complex and the semigroup dimension // Representation Theory and Computer Algebra. Kyiv, March 18 - 23. Kyiv Univ. - 1997. - P.32-33.

Размещено на Allbest.ru