Застосування групового аналізу при розв’язанні нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЗАСТОСУВАННЯ ГРУПОВОГО АНАЛІЗУ ПРИ РОЗВ'ЯЗАННІ НЕЛІНІЙНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ

Спеціальність: Диференціальні рівняння

Нетьосова Олександра Михайлівна

КИЇВ, 1999 РІК

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний рівень розвитку науки і техніки вимагає при дослідженні реальних фізичних процесів розгляду уточнених математичних моделей, які дають вірне кількісне і якісне їх описання. Це приводить до необхідності розглядати нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними, оскільки лінійні рівняння, як спрощені математичні моделі, не задовольняють сучасні вимоги практики. Тільки нелінійний підхід дає можливість найбільш повно відобразити різні риси явищ, що пов'язані зі специфікою розглядуваного реального процесу, властивостями середовища та умовами, в яких цей процес протікає.

Проте, з математичної точки зору, дослідження нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними є складною задачею, що зумовлено відсутністю, на відміну від лінійних рівнянь, загального методу їх дослідження. Останнім часом широкого розповсюдження набули теоретично-алгебраїчні методи дослідження диференціальних рівнянь, особливе місце серед яких займає груповий аналіз диференціальних рівнянь. Основи цього напрямку були закладені С. Лі в кінці минулого століття.

Систематичне використання теоретично-групових властивостей диференціальних рівнянь було розпочато на початку 50-х років Г. Біркгофом. Завершили відродження теорії С. Лі Л.В. Овсянніков та Н.Х. Ібрагімов.

Подальший розвиток теоретично-алгебраїчних методів в прикладній математиці відбувся в роботах В.І. Фущича, А.Г. Нікітіна, Л.Ф. Баранніка, Н.І. Сєрова та інших. Було запропоновано сучасне викладення і розширення теорії Лі та новий (неліївський) метод дослідження групових властивостей диференціальних рівнянь з частинними похідними. Групові властивості звичайних диференціальних рівнянь вивчав О.К. Лопатін.

На сучасному етапі груповий аналіз диференціальних рівнянь знаходиться на новій стадії підйому. Він став ефективним методом дослідження нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Вже вивчені симетрійні властивості і на їх основі одержані часткові (у тому числі точні) розв'язки багатьох класів рівнянь математичної і теоретичної фізики. Останнім часом увагу привертають нові різноманітні напрямки групового аналізу диференціальних рівнянь: групи перетворень Лі-Беклунда, ідеї групового розшарування, зв'язок симетрії математичної моделі з законами збереження, проблема розробки наближеного групового аналізу та інші.

В даний час сфера застосування теоретично-групових методів залишається відкритою. Багато питань в цій галузі ще чекають свого фундаментального дослідження, вивчення інших тільки починається. Одним з таких є теоретично-групове дослідження крайових задач. До цього часу застосування теорії групового аналізу при дослідженні крайових задач має, в основному, частковий характер. Поки що не створено єдиної чіткої термінології та математичної теорії його застосування до крайових задач.

Дана робота присвячена питанням, що пов'язані із застосуванням групового аналізу при розв'язанні нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень нелінійних крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Мета цієї роботи - дослідження теоретично-групових властивостей нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними і побудова на їх основі інваріантно-групових розв'язків задач, що розглядаються.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1) теоретично-групове дослідження нелінійних еволюційних задач для диференціальних рївнянь з частинними похідними, встановлення необхідних і достатніх умов існування і єдиності їх інваріантних розв'язків;

2) дослідження інваріантності і редукція одновимірних нелінійних еволюційних задач розподілу солоності морської води і сезонного перерозподілу її температури та турбулентної дифузії речовини від постійно діючого рухомого джерела;

3) груповий аналіз і отримання точних інваріантних розв'язків одновимірних нелінійних еволюційних задач променевої теплопровідності і електродинаміки;

4) дослідження групових властивостей і отримання інваріантно-групових розв'язків одновимірних нелінійних еволюційних задач для шаруватих середовищ.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані при розв'язанні нагальних проблем захисту навколишнього та відкритого водного середовища, зокрема, в басейні Чорного моря. Теоретична частина дисертації може бути використана при дослідженні нелінійних крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Особистий внесок здобувача. По темі дисертації опубліковано 8 робіт. Результати робіт дисертантом отримані самостійно. Дисертантом одержано математичні результати. Співавтору в даних роботах належить вибір напрямку дослідження та обговорення теоретичних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались:

на засіданні семінару відділу математичної фізики і теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України;

на засіданні наукового семінару кафедри математичної фізики механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка;

на міжнародній конференції “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики” (2-6 червня, 1997 р., Нальчик);

на Всеукраїнській науковій конференції “Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь” (15-19 вересня, 1997 р., Дрогобич);

на VII Міжнародній конференції ім. академіка М. Кравчука (14-16 травня, 1998 р., Київ).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 8 робіт, з них 6 робіт самого автора. 6 робіт надруковано в провідних наукових фахових виданнях.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із вступу,трьох розділів, висновку та списку використаних джерел, що містить 74 найменування. Обсяг роботи складає 104 сторінки машинописного тексту.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюється мета дослідження, дається короткий аналіз сучасного стану проблем, які вивчаються в дисертації. Викладена загальна структура роботи і основні результати, що виносяться до захисту.

У першому розділі розглядаються класичні і спеціальні постановки нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Такі задачі полягають у визначенні еволюції досліджуваної системи, виходячи з її початкового стану. Математична постановка еволюційних задач поряд з граничними та іншими додатковими умовами включає в себе початкові дані, які описують стан досліджуваної системи в початковий момент часу .

В п. 1.1 за допомогою полів описуються теплофізичні процеси, що протікають з часом в твердих тілах. Явище теплопровідності, що є основним механізмом передачі тепла в твердому тілі, яке займає об'єм обмежений поверхнею , описується скалярним полем температури, яка є функцією точки і часу , векторним полем потоку тепла (Р, t). Ці поля породжуються деяким джерелом тепла і здатністю тіла накопичувати питому теплову енергію, які представляються скалярними полями. Найбільш загальна математична модель визначення скалярного температурного поля твердого тіла представляє собою нелінійну еволюційну задачу для диференціального рівняння з частинними похідними:

(1)

З початковими:

(2)

І крайовими умовами:

(3)

Поряд з класичними постановками нелінійних еволюційних теплофізичних задач розглядаються конкретизовані математичні моделі, що відображають спеціальні реальні теплофізичні процеси. Розглядаються постановки задачі променевої теплопровідності від джерела миттєвої дії та задачі весняно-літнього прогрівання відкритого водного середовища морів та океанів.

В п. 1.2 розглядаються математичні моделі процесів дифузії, що відбуваються у відкритому водному (морському чи океанічному) середовищі на прикладі спрощеної екосистеми Чорного моря, яке представляє собою важливий та унікальний об'єкт дослідження у зв'язку з його географічним місце розташуванням, необхідністю раціонального використання його харчових, сировинних та водних ресурсів та вирішенням проблем екології. В роботі наведено математичну модель динаміки сірководневої зони Чорного моря, яка зводиться до проблеми двокомпонентної дифузії з реакцією. У загальному випадку для визначення полів концентрації кисню і сірководню приходимо до нестаціонарної дифузійної задачі з вільними межами і проблема зводиться до проблеми відшукання розв'язків параболічногих рівнянь типу Стефана з початковими і крайовими умовами.

До числа цікавих і практично важливих задач фізики моря, пов'язаних з проблемами захисту навколишнього середовища від забруднення, відносяться теоретичні дослідження вертикальної дифузії від плоских джерел в стратифікованому середовищі.

До таких задач приводять дослідження вертикального розповсюдження концентрації деякої забруднюючої субстанції в океані.

В роботі ця задача розглядається на прикладі проблеми визначення концентрації солоності моря .

При моделюванні такого процесу необхідно враховувати вертикальну швидкість переносу солоності і витрату концентрації солей . Отже, можна вважати, що солоність є функція глибини і часу , причому, має місце монотонна залежність від . Процес розподілу солоності носить турбулентний характер, що означає залежність коефіцієнта дифузії від градієнта шуканої функції - солоності :

Де:

- коефіцієнт турбулентної дифузії при нульовому градієнті солоності.

Математичною моделлю такого процесу буде еволюційна, в загальному випадку, нелінійна задача для диференціального рівняння з частинними похідними:

,(4)

В п. 1.3 подано короткий огляд основних методів інтегрування нелінійних крайових задач для рівнянь параболічного типу, якими описуються нестаціонарні теплофізичні і дифузійні процеси.

Відсутність принципу суперпозиції для нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними не дозволяє створити будь-яку загальну теорію дослідження цих рівнянь, чи загальний метод їх розв'язку. Ця обставина спонукає до дослідження різноманітних нелінійних рівнянь конкретного типу із застосуванням спеціальних оригінальних способів їх розв'язку. Більша частина таких способів ґрунтується на перетвореннях залежних і незалежних змінних, які, фактично, є єдиним загальним методом дослідження окремих спеціальних нелінійних рівнянь з частинними похідними. Це перетворення подібності, Кірхгофа, Больцмана, Міури, Беклунда тощо. Більша частина цих оригінальних методів потребує проміжних результатів і успіх їх використання залежить від досвіду та інтуіції, і, як правило, заздалегідь не відомо який з методів можна застосувати в кожному конкретному випадку. При цьому кожен з них в кінцевому результаті, приводить тільки до одного розв'язку диференціального рівняння, що розглядається.

Ефективним методом пошуку необхідного перетворення залежних і незалежних змінних є груповий аналіз диференціальних рівнянь. Він базується на групових властивостях диференціальних рівнянь, тобто на знанні основної групи перетворень даного диференціального рівняння. Отримані при цьому розв'язки є інваріантними (або симетрійними) розв'язками. Групова властивість диференціальних рівнянь дозволяє генерувати нові розв'язки з уже відомих, створюючи можливість отримання цілих класів інваріантно-групових, у тому числі точних, розв'язків.

Саме на цьому методі базується практична сторона даної роботи і в другому розділі дисертації він детально розглядається з коротким викладенням основоположних понять теорії груп Лі перетворень.

В п. 2.1 подано огляд необхідних відомостей з теорії груп Лі перетворень. Властивості груп Лі вивчаються за допомогою однопараметричних підгруп. Якщо маємо групу однопараметричних перетворень р- та n-вимірного евклідового простору, що створюють -параметричну групу Лі перетворень, тобто існують аналітичні функції, для яких виконуються рівності:

Тоді головна лінійна частина перетворення Р_а поблизу точки а=0, є інфінітезимальним перетворенням. Воно взаємнооднозначно визначається інфінітезимальним оператором (або просто оператором):

З координатами . Перетворення однопараметричних підгруп з оператором одержується інтегруванням системи звичайних диференціальних рівнянь початковими умовами:

(7)

Способи вивчення групових властивостей диференціальних рівнянь наведено в п. 2.2. Подано поняття критерію інваріантності, теорії продовження, інваріантних многовидів та інваріантних диференціальних многовидів. Розглядаються механізми утворення визначального рівняння і способи його розв'язання, редукції і одержання точних інваріантних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Вивчено групові властивості нелінійного одновимірного рівняння коливання пружно-розтяжної струни при малому поперечному перетині:

(8)

ТЕОРЕМА 1. Рівняння (8) інваріантне відносно нескінченної алгебри Лі операторів:

Де:

, і - загальний розв'язок одновимірних хвильових рівнянь:

В п. 2.3 досліджено теоретично-групові властивості еволюційних задач. Розглянемо в деякому просторі змінних, :

Представлено як систему диференціальних рівнянь, як многовид :

 (9)

Що допускає групу неперервних перетворень з інфінітезимальним оператором:

(10)

Нехай для такої системи рівнянь задана крайова задача з крайовими умовами, що розглядаються як вид :

(11)

ЛЕМА. Крайова задача (9), (11) буде інваріантною відносно деякої групи перетворень Р_а з алгебри Лі ядра G_r^N основних груп неперервних перетворень рівняння (9).

Якщо еволюційна задача інваріантна відносно групи перетворень і існує її інваріантний розв'язок, який ми будемо розглядати як вид.

ТЕОРЕМА 2. Крайова задача (9), (11) буде інваріантно розв'язною відносно деякого неперервного перетворення простору тоді і лише тоді, коли:

перетворення Р_а належить ядру основних груп G_r^N перетворень системи диференціальних рівнянь (9).

в кожній точці розглядуваної області виконуються умови інваріантності крайових умов задачі;

крайові умови (11) є інваріантно редукуючими.

ТЕОРЕМА 3. Нехай еволюційна задача (9), (11) з початковою умовою інваріантна відносно групи перетворень G_r^N тоді в околі точки (0, х₀) існує її єдиний інваріантний розв'язок, якщо функції є неперервне залежними від t і аналітичними по , функціями.

В третьому розділі з використанням результатів проведених досліджень розв'язуються конкретні одновимірні нелінійні еволюційні задачі для диференціальних рівнянь параболічного типу.

В п. 3.1 виконано груповий аналіз нелінійної еволюційної задачі турбулентної дифузії, що є математичною моделлю розповсюдження речовини в стратифікованому просторі від постійно діючого рухомого джерела інтенсивності , що рухається вздовж осі зі швидкістю .

В п. 3.2 досліджується інваріантність одновимірної нелінійної еволюційної задачі розподілу солоності морської води.

ТЕОРЕМА 4. Нелінійна еволюційна задача є інваріантно розв'язною відносно групи масштабних перетворень та Інваріантний автомодельний розв'язок її виражається через розв'язок редукованої задачі.

В п. 3.3 виконано груповий аналіз і отримано точні інваріантно-групові розв'язки еволюційних задач для нелінійного рівняння параболічного типу.

ТЕОРЕМА 5. Одновимірна нелінійна еволюційна задача променевої теплопровідності є інваріантно розв'язною відносно групи масштабних перетворень і має точний інваріантний автомодельний розв'язок.

ТЕОРЕМА 6. Нелінійна еволюційна задача процесу розповсюдження електромагнітних хвиль від плоского джерела електромагнітної енергії інтенсивності , що діє в пів обмеженому феромагнітному середовищі з матеріальними рівнянням:

В п. 3.4 досліджуються теоретично-групові властивості конкретних одновимірних нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними у випадку шаруватих середовищ. Виконана редукція і знайдені їх аналітичні інваріантно-групові розв'язки.

ВИСНОВКИ

1. Розглянуто і класифіковано різні постановки нелінійних еволюційних задач теплопровідності і дифузії. Розглядаються методи інтегрування нелінійних крайових задач для рівнянь параболічного типу.

2. Запропоновано підхід до дослідження нелінійних крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними на основі теорії груп Лі перетворень.

3. Досліджено умови інваріантності і встановлено необхідні і достатні умови існування та єдності інваріантно-групових розв'язків нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

4. Досліджено інваріантність і виконано редукцію одновимірних нелінійних еволюційних задач розподілу солоності морської води і сезонного перерозподілу її температури та турбулентної дифузії речовини від постійно діючого рухомого джерела.

5. Виконано груповий аналіз одновимірних нелінійних еволюційних задач променевої теплопровідності та електродинаміки. Одержано їх точні інваріантно-групові розв'язки. алгебраїчний рівняння математика

6. Досліджено теоретично-групові властивості конкретних одновимірних нелінійних еволюційних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними у випадку шаруватих середовищ. Знайдено аналітичні інваріантно-групові розв'язки.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В НАСТУПНИХ РОБОТАХ

Нетёсова А.М. Об инвариантности краевой задачи для нелинейного эволюционного уравнения. // Укр. мат. журн. - 1998. - 50, №9. - С. 1281-1283.

Нетёсова А.М. Инвариантная редукция задачи турбулентной диффузии // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. - с. 162-164.

Нетёсова А.М. Применение группового анализа при решении одной эволюционной задачи. // Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1997. - С. 167-169.

Нетёсова А.М. Инвариантные решения задачи лучистой теплопроводности // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996. - С. 211-213.

Нетьосова А.М. Симетричні розв'язки однієї крайової задачі для лінійного параболічного рівняння // Всеукр. наук. конф. “Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь”: Тези доп. - 1997. - С. 80.

Нетьосова А.М. Теоретично-групова редукція деякої нелінійної крайової задачі // Сьома міжнар. наук. конф. ім. Академіка М. Кравчука. Матеріали конф. - Київ, 1998. - С. 364.

Нетёсова Т.М., Нетёсова А.М. Исследование инвариантной разрешимости краевых задач // Задачи со свободными границами и нелокальные задачи для нелинейных параболических уравнений. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996. - С. 35-38.

Нетёсова Т.М., Нетёсова А.М. Инвариантно-групповые решения некоторой краевой задачи для стратифицированных сред // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений математической физики. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1997. - С. 220-225.

Размещено на Allbest.ru