Динамічна ентропія в операторних алгебрах та квантові системи Колмогорова

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна

На правах рукопису

УДК 517.98

01.01.01-математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Динамічна ентропія в операторних алгебрах та квантові системи Колмогорова

Нешвєєв Сергій Віталійович

Харків-1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук Голодець Валентин Якович, Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Самойленко Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України;

- кандидат фізико-математичних наук, доцент Нессонов Микола Іванович, Харківський державний університет сільського господарства.

Провідна установа: Харківський державний університет, кафедра математичного аналізу

Захист відбудеться "8" червня 1999р. о 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 Фізико-технічного інституту низьких температур НАН України за адресою: 310 164, м. Харків, пр. Леніна, 47, к. 216.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий "28" квітня 1999р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.П. Котляров

Анотації

Нешвєєв С.В. Динамічна ентропія в операторних алгебрах та квантові системи Колмогорова. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України, Харків, 1999.

Одержано достатню умову для виконання К-властивості в некомутативній динамічній системі. Теорію Аракі гібсівських станів на одномірній квантовій гратці поширено на клас систем, який включає канонічні зсуви на алгебрах Окнеану та асимптотично абелеві бінарні зсуви. Доведено К-властивість для некомутативних бернуліївських та марківських зсувів, зсувів на AF-алгебрах з гібсівськими станами, деяких автоморфізмів некомутативних торів. Одержано необхідну та достатню умову виконання К-властивості для боголюбівських автоморфізмів CCR-алгебри та парної частини CAR-алгебри з квазівільними станами. Запропоновано нове доведення формули Войкулеску-Стермера для ентропії боголюбівського автоморфізму CAR-алгебри, а також доведено її аналог для CCR-алгебри. На гіперфінітному III1-факторі зконструйован контінуум попарно неспряжених небернуліївських К-систем з однаковою скінченною ентропією.

Ключові слова: операторні алгебри, динамічна ентропія, системи Колмогорова, некомутативний тор, стан Гібса, стан Маркова, формула Войкулеску-Стермера, гіперфінітний фактор.

Нешвеев С.В. Динамическая энтропия в операторных алгебрах и квантовые системы Колмогорова. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Физико-технический институт низких температур НАН Украины, Харьков, 1999.

Получено обращение теоремы Бенатти-Нарнхофер, утверждающее, что сильная асимптотическая абелевость динамической системы на AFD-факторе влечет кластерное свойство для энтропийных функционалов. Получено достаточное условие для выполнения К-свойства в некоммутативной динамической системе, являющееся аналогом классического определения К-системы через К-разбиения. Доказано К-свойство для класса автоморфизмов скрученных групповых C*-алгебр, включающего некоторые автоморфизмы некоммутативных торов, а также произвольные эргодические автоморфизмы компактных абелевых групп, что дает новое доказательство классического результата Рохлина. Доказано, что бернуллиевская динамическая система с конечной энтропией имеет диагонализуемый модулярный оператор.

Теория Араки построения и оценки скорости распадения корреляционных функций гиббсовских состояний на одномерной квантовой спиновой решетке, отвечающих потенциалам с конечной областью взаимодействия, перенесена на класс систем, включающих асимптотически абелевые бинарные сдвиги и сдвиги алгебр Темперли-Либа, а также канонические сдвиги на алгебрах Окнеану. Именно, доказано, что локальные состояния Гиббса поточечно сходятся к некоторому состоянию, и это предельное состояние является равномерно экспоненциально кластерным. Для полученных систем доказано К-свойство и оценена энтропия.

Изучены некоммутативные марковские системы на одномерной квантовой спиновой решетке. В частности, доказано, что любое марковское состояние строится по некоторому условному ожиданию на конечномерной алгебре, являющемуся некоммутативным аналогом стохастической матрицы. Дана также характеризация марковских состояний через свойства модулярной группы, обобщающая тот факт, что гиббсовская мера, отвечающая потенциалу взаимодействия ближайшего соседа, является марковской. Показано, что хотя не всякое марковское состояние определяется марковской мерой, централизатор любой марковской системы содержит классическую марковскую подсистему со свойствами, аналогичными свойствам картановской подалгебры. Доказано, что централизатор марковского состояния всегда является гиперфинитным II1-фактором. Доказано, что некоммутативные марковские системы являются К-системами.

Полностью описаны К-системы в классе боголюбовских автоморфизмов алгебры канонических коммутационных (CCR) и четной части алгебры канонических антикоммутационных (CAR) соотношений с квазисвободными состояниями. Именно, доказано, что такие системы являются К-системами в том и только том случае, когда унитарный оператор, определяющий боголюбовский автоморфизм, имеет абсолютно непрерывный спектр. Предложено новое доказательство формулы Войкулеску-Стермера для энтропии боголюбовского автоморфизма CAR-алгебры относительно квазисвободного состояния, отвечающего оператору с чисто точечным спектром, а также получен ее аналог для CCR-алгебры. Получена также оценка сверху для энтропии в общем случае. В частности, доказано, что автоморфизм, отвечающий оператору со строго сингулярным спектром, имеет нулевую энтропию относительно любого квазисвободного состояния. На гиперфинитном III1-факторе построен континуум попарно несопряженных К-систем с одинаковой конечной энтропией.

Ключевые слова: операторные алгебры, динамическая энтропия, системы Колмогорова, некоммутативный тор, состояние Гиббса, состояние Маркова, формула Войкулеску-Стермера, гиперфинитный фактор.

Neshveyev S.V. Dynamical entropy in operator algebras and quantum Kolmogorov systems. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkov, 1999.

A sufficient condition for a non-commutative dynamical system to have the K-property is obtained. The Araki theory of Gibbs states on a one-dimensional quantum spin lattice is extended to a class of systems containing canonical shifts on Ocneanu algebras and asymptotically abelian binary shifts. The K-property for non-commutative Bernoulli and Markov shifts, shifts of AF-algebras with Gibbs states and some automorphisms of non-commutative tori is proved. A necessary and sufficient condition for the K-property of a Bogoliubov automorphism of the CCR-algebra and the even part of the CCR-algebra with a quasi-free state is obtained. A new proof of Stormer-Voiculescu's formula for the entropy of a Bogoliubov automorphism of the CAR-algebra is suggested and its analogue for the CCR-algebra is proved. A continuum of pairwise non-conjugate non-Bernoullian K-systems with the same finite entropy on the hyperfinite III1-factor is constructed.

Key words: operator algebras, dynamical entropy, Kolmogorov systems, non-commutative torus, Gibbs state, Markov state, the Stormer-Voiculescu formula, hyperfinite factor.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Поняття ентропії автоморфізму простору Лебега було введене Колмогоровим у 1958 році, а потім удосконалено Сінаєм у 1959 році. В тій ж роботі Колмогоров ввів поняття квазірегулярноі системи. Потім це поняття було досліджуване Рохліним та Сінаєм, а самі системи дістали назви К-систем.

Клас К-систем виявився досить широким. До нього належать, наприклад, перемішуючі марківські автоморфізми, ергодичні автоморфізми компактних абелевих груп, ідеальний газ, геодезичні течії на поверхнях від'ємної кривини. При цьому ентропія в цьому класі є сильним інваріантом: задачу побудови неспряжених К-систем з однаковою ентропією було розв'язано лише у 1973 році Орнстейном.

З точки зору операторних алгебр ергодична теорія вивчає автоморфізми (дифузійної, з сепарабельним предспряженим) абелевої W*-алгебри. При цьому у першу чергу становлять інтерес ті автоморфізми, для яких існує інваріантний нормальний стан. Тоді ентропія Колмогорова-Сіная є число, яке співставлюється автоморфізму та -інваріантному стану , та є інваріантом спряженості пари (,). Якщо автоморфізм ергодичний, то інваріантний стан єдиний, і ентропія є інваріантом спряженості автоморфізму.

Наприкінці 60-их - початку 70-их років були зроблені спроби перенести поняття ентропії на випадок автоморфізмів довільної W*-алгебри. Вдале означення було дане спочатку для слідового випадку Коном та Стермером у 1976 році, а потім для загального випадку Коном, Нарнхофер та Тірінгом у 1987 році. Запроваджувана ними величина називається динамічною ентропією, або CNT-ентропією. Як і в комутативному випадку, для ергодичного автоморфізму інваріантний нормальний стан єдиний (якщо існує), і ентропія є інваріантом спряженості автоморфізму.

На сьогодні CNT-ентропія обчислена для багатьох моделей: некомутативних бернуліївських та марківських зсувів, зсувів алгебр Темперлі-Ліба, великого класу бінарних зсувів та боголюбівських автоморфізмів алгебр канонiчних комутаційних та антикомутаційних співвідношень. Отримані також оцінки для ентропії автомoрфізмів некомутативних торів та канонічних зсувів алгебр Окнеану. Обчисленню ентропії присвячені роботи Кона, Войкулеску, Стермера, Голодця, Чоди та багатьох інших.

Численність систем з обчисленою ентропією дає змогу перейти до якісного аналізу динаміки некомутативних систем. При цьому важливою задачею є знаходження аналога К-властивості. Такий аналог було запропоновано Нарнхофер та Тірінгом. Природною задачею є дослідження різних моделей на предмет наявності у них К-властивості.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема роботи затверджена на засіданні Вченої ради математичного відділення ФТІНТ НАН України (протокол №4 від 29 листопада 1995 року). Дослідження, виконані у роботі, є частиною планової теми 1.4.10.22.6 математичного відділення ФТІНТ НАН України.

Мета і задачі дослідження. Основна мета дослідження - це знаходження достатніх умов для виконання К-властивості та перевірка К-властивості для відомих моделей теорії операторних алгебр та квантової статистичної механіки.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати дисертації є новими.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані при вивченні автоморфізмів операторних алгебр, а також в квантовій статистичній механіці при вивченні динаміки нескінченновимірних квантових систем.

Особистий внесок здобувача. Тема дослідження та постановки задач належать науковому керівнику Голодцю Валентину Яковичу. Результати, що одержані сумісно з ним перераховані в дисертаційній роботі.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на "Міжнародному симпозіумі з математичної та теоретичної фізики" (Київ, травень 1997 року) [5], а також на семінарі ФТІНТ НАН України з ергодичної теорії та операторних алгебр (Харків, 1996 - 1998 роки, керівник семінару - В.Я. Голодець).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано статті [1-4].

Об'єм та структура дисертації. Дисертація складається з вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 53 найменування. Обсяг дисертації - 116 сторінок, обсяг списку використаних джерел - 5 сторінок.

Автор щиро дякує своєму науковому керівнику Голодцю Валентину Яковичу за постановки задач та увагу до роботи.

Основний зміст роботи

В Розділі 1 нагадуються основні факти з теорії динамічної ентропії та доводяться деякі її прості наслідки. Зафіксуємо позначення. Під W*-динамічною системою ми будемо розуміти трійку , де M - W*-алгебра, - автоморфізм M, - нормальний -інваріантний стан.

Каналом в M називається цілком позитивне унітальне відображення скінченновимірної C*-алгебри B. Взаємна ентропія каналів відносно позначається через , ентропія автоморфізму відносно каналу та стану - через ,

Ентропія системи (яка дорівнює супремуму по всім каналам в M) позначається через .

В Розділі 2 вводиться поняття К-системи, доводяться деякі загальні властивості динамічних систем та детально розглядається два класи прикладів - бернуліївські системи та автоморфізми некомутативних торів.

Означення 2.1.1. (Нарнхофер-Тірінг) Говорять, що W*-динамічна система є К-системою, якщо для будь-якої скінченновимірної C*-підалгебри B в M.

Бенаті та Нарнхофер довели, що будь-яка К-система , в якій є точним слідом, має бути сильно асимптотично абелевою. Їх доведення використовує лише те, що

.

У підрозділі 2.2 ми доводимо, що ця збіжність для II1-факторів є не тільки достатньою, а й необхідною умовою сильної асимптотичної абелевості.

Найпростіший приклад К-системи може бути зконструйований таким чином. Нехай N - W*-алгебра та - точний нормальний стан на N. Розглянемо злічену кількість , , копій пари . Нехай -нескінченний W*-тензорний добуток. Позначимо через зсув праворуч на одиницю на M. Ентропійну К-систему будемо називати бернуліївською. Цим системам присвячений підрозділ 2.3.

Ентропія бернуліївської системи для атомарної алгебри N обчислена Колмогоровим, Коном та Стермером. Для загального випадку маємо наступний результат.

Теорема 2.3.2. Якщо алгебра N атомарна, то ентропія дорівнює ентропії фон Неймана стану , інакше . Для нас важливим є

Наслідок 2.3.4. Нехай - W*-динамічна система з точним станом .. Припустимо, що та модулярний оператор не є діагоналізуємим. Тоді система небернуліївська.

В підрозділі 2.4 ми доводимо достатню умову для К-властивості, яка дозволяє отримати менш тривіальні приклади, ніж бернуліївські системи.

Теорема 2.4.1. Нехай - W*-динамічна система. Припустимо, що стан точний та існує така W*-підалгебра M0 в M, що

;

;

слабо щільна в M.

Тоді система є ентропійною К-системою.

Відомо, що для комутативних M умови теореми є не тільки достатніми, а й необхідними умовами для К-властивості. Слід також відзначити, що, як показали Нарнхофер, Стермер та Тірінг, умови " слабо щільна в M" замість (iii) в теоремі не достатньо для К-властивості: така система може навіть мати нульову ентропію.

Доведення теореми 2.4.1 спирається на наступну лему.

Лема 2.4.3. Нехай M - W*-алгебра, - точний нормальний стан на M, N - W*-підалгебра в M. Нехай - розбиття одиниці в ,

.

Тоді для будь-якого розбиття одиниці в N маємо

,

де

, а .

Нам відомий лише один клас некомутативних систем, для якого доведення К-властивості не спирається на теорему 2.4.1. Це деякі автоморфізми некомутативних торів. Їм присвячений підрозділ 2.5.

Нехай G - довільна дискретна абелева група, -біхарактер. Розглянемо скручену групову C*-алгебру . Це універсальна C*-алгебра, породжена унітарними ug, , такими що

.

Нехай - канонічний слід на G, тобто при . Будь-який автоморфізм T групи G, який зберігає коцикл , визначає автоморфізм T алгебри , .

Некомутативний тор - це алгебра , де

().

Теорема 2.5.1. Нехай , , -1 - власні значення T. Припустимо, що та . Тоді система є ентропійною К-системою.

Цей результат був зформульований в одній роботі Нарнхофер, але його доведення було невірним. Більш загальним результатом є

Теорема 2.5.2. Нехай G - довільна дискретна абелева група, T - аперіодичний автоморфізм G, зберігаючий . Припустимо, що

.

Тоді система є ентропійною К-системою.

Як довела Нарнхофер, в умовах теореми 2.5.1 ми маємо

.

Тому дійсно теорема 2.5.1 виходить з теореми 2.5.2.

Відзначимо, що при теорема 2.5.2 дає класичний результат Рохліна, який стверджує, що ергодичний автоморфізм компактної абелевої групи є К-автоморфізмом.

Розділ 3 присвячений побудові методом Аракі гібсівських станів на деяких AF-алгебрах та дослідженню ентропійних властивостей ціх станів.

Ми розглядаємо четвірки , , де A - унітальна C*-алгебра, A[n,m] - скінченновимірні підалгебри в A, такі що при та щільно в A, - точний слід на A, - зберігаючий автоморфізм алгебри A, такий що . Для будь-якої підмножини в Z позначимо через A C*-підалгебру в A, породжену A[k,n], . Ми припускаємо, що вірні

Припущення 3.1.1.

Існує , таке що та комутують.

при та .

Існує зберігаюче умовне сподівання , при цьому для будь-якого .

Крім одномірної квантової спінової гратки ми маємо наступні приклади.

Приклад 3.1.2. Нехай

,

A - універсальна C*-алгебра, породжена проекторами , такими що при ,

, , ,

- -марківський слід на A, тобто при .

Автоморфізм 2 з цього прикладу є частинним випадком канонічного зсуву на башні відносних комутантів, і теорія підфакторів дає нам велику кількість прикладів систем, задовільняючих припущенням 3.1.1.

Приклад 3.1.4. Нехай X - непорожня скінченна підмножина в N, A - C*-алгебра, породжена симетріями si, , такими що , де a - характеристична функція множини X,

, ,

для будь-якого непорожнього слова з si-их.

Під потенціалом взаємодії ми розуміємо відображення, яке співставляє скінченній підмножині самоспряжений елемент . Ми припускаємо, що , якщо діаметр X більше, ніж фіксоване r.

Гамільтоніаном в називається

.

Локальний стан Гібса задається рівністю

.

В підрозділі 3.2 ми доводимо наступні теореми.

Теорема 3.2.1.

Границя

існує і скінченна.

Для будь-якого існує границя

.

Більш того, існують C,q>0, такі що

при , .

Стан будемо називати гібсівським станом, відповідаючим потенціалу .

Теорема 3.2.2. Гібсівський стан є равномірно експоненціально кластерним, тобто існують C,q>0, такі що

при , , .

Доведення теорем 3.2.1 та 3.2.2 близько слідує роботі Аракі, присвяченій гібсівським станам на одномірній квантовій спіновій гратці. Ми вводимо допоміжний оператор L на ,

,

де

,

,

,

а n(I) - число таких a, що . Згідно з теоремою Шаудера, існує стан на , такий що , де . Основна частина підрозділу 3.2 присвячена доведенню збіжності (в придатній топології) операторів к оператору вигляду .

На відміну від роботи Аракі, ми не можемо означити оператор L на всій алгебрі A. Як наслідок, стан означений лише на , і гібсівський стан не може бути отриманий збуренням . Замість аргументів, пов'язаних зі збуренням, ми доводимо, що стани збігаються по нормі до деякого стану на .

Цей стан є -інваріантним, тому однозначно продовжується до -інваріантного стану на A. Це і є шуканий стан Гібса.

Кластерна властивість 3.2.2 та теорема 2.4.1 дозволяють довести К-властивість системи . Це зроблено у підрозділі 3.3. В цьому ж підрозділі ми одержуємо деякі оцінки для ентропії розглядуваних систем.

Розділ 4 присвячений некомутативним марківським системам.

Нехай - примітивна стохастична матриця. Розглянемо відповідаючий автоморфізм Маркова , де

,

а - стаціонарна марківська міра. Розглянемо два відношення еквівалентності на :множина скінченна,

та .

Нехай W*(R1) та W*(R2) - відповідні алгебри фон Неймана, та - стан та автоморфізм W*(R1), відповідаючі та . Вивченню систем та присвячений підрозділ 4.1. Ми доводимо, що W*(R1) та W*(R2) є гіперфінітними факторами, при цьому W*(R2) збігається з централізатором стану . Ми також доводимо, що системи та є ентропійними К-системами, а їх ентропії дорівнюють ентропії вихідного автоморфізму Маркова.

Якщо усі коефіціенти матриці ненульові, то W*(R1) ототожнюється з поповненням C*-алгебри . При цьому є зсувом праворуч на одиницю, а є прикладом так званого марківського стану. Нехай An позначає n-ую копію в A, а AJ, , є C*-алгебра, породжена Aj, .

Означення 4.2.1. (Акарді) Локально точний стан на A називається марківським, якщо для кожного існує цілком позитивне унітальне відображення , яке зберігає , а алгебра є поточково інваріантною для Fn. Дослідженню цих станів присвячені підрозділи 4.2 та 4.3. Основним результатом підрозділу 4.2 є наступна теорема.

Теорема 4.2.3. Нехай - -інваріантний стан на A. Тоді наступні умови еквівалентні:

стан є марківським;

існують C*-підалгебра N в , точний стан на N та умовне сподівання

,

таке що

,

,

де ;

стан є відокремлюючим та .

Пункт (iii) може розглядатися як некомутативний аналог того факту, що гібсівська міра на одномірній гратці, відповідна до потенціалу взаємодії найближчого сусіда, є марківською. Цей же пункт дозволяє довести існування марківських станів, які не породжуються марківськими мірами. Незважаючи на це, за допомогою пункту (ii) можно довести, що система має класичну марківську підсистему з властивостями, аналогічними властивостям підсистеми в . А саме, цією підсистемою є , де Z(N) - центр алгебри N.

В підрозділі 4.2. ми також доводимо, що для марківського стану алгебра є фактором, а централізатор M є гіперфінітним II1-фактором.

Безпосередньо з факторності виходить К-властивість. Ентропія марківської системи обчислена Петцем. Такий же результат виходить для підсистеми на централізаторі. Таким чином справедлива

Теорема 4.3.1. Системи та є ентропійними К-системами та

.

Розділ 5 присвячений боголюбівським автоморфізмам алгебри канонічних антикомутаційних співвідношень (CAR).

В підрозділі 5.1 зібрані необхідні нам означення та факти. Нагадаємо, що CAR-алгебра над гільбертовим простором H - це універсальна C*-алгебра , породжена елементами , , такими що відображення антилінійне та

, .

Будь-який унітарний оператор U на H визначає боголюбівський автоморфізм U, , а додатний оператор A, , - квазівільний стан A, який є U-інваріантним, якщо A та U комутують.

Оскільки боголюбівський автоморфізм не може бути асимптотично абелевим, важко від нього чекати К-властивості. Але якщо ми обмежимося розгляданням парної частини алгебри (тобто підалгебри, породженої парними добутками та ), то ми отримаємо велику кількість К-систем. А саме, справедлива

Теорема 5.2.1. Нехай A, U - оператори в гільбертовому просторі H, , , U унітарний,

, .

Тоді наступні умови еквівалентні:

система є ентропійною К-системою;

оператор U має абсолютно неперервний спектр.

Доведення теореми наводиться у підрозділі 5.2. Воно спирається на факторність квазівільних станів та на результат Войкулеску-Стермера, який стверджує, що ентропія боголюбівського автоморфізму, відповідаючого унітарному оператору з сингулярним спектром, дорівнює нулю.

В підрозділі 5.2 ми також обчислюємо тип фактора Me. Відзначимо лише, що якщо неперервна частина спектра A непорожня, то Me є гіперфінітним фактором типу III1, при цьому якщо A має чисто неперевний спектр, то централізатор стану A тривіальний. Ентропія боголюбівського автоморфізму відносно квазівільного стану A, відповідного до оператора A з чисто точковим спектром, обчислена Войкулеску та Стермером. При цьому фактично вони розглядають два випадки:

спектр оператора U строго сингулярний;

спектр оператора U абсолютно неперервний, а оператор A скалярний.

В підрозділі 5.3 ми даємо нове доведення формули Войкулеску-Стермера у випадку (ii). Воно являє інтерес з наступних причин: воно не є доведенням від супротивного і може бути перенесено на боголюбівські дії довільних абелевих груп без скруту. Таким чином, підрозділ 5.3 присвячений доведенню наступного результату.

Теорема 5.3.2. Нехай U - унітарний оператор з абсолютно неперервним спектром та функцією кратності m. Тоді для будь-якого маємо

.

Основою нашого підходу є наступні два результати.

Лема 5.3.3. Нехай Un - унітарний оператор в Hn, довільна послідовність в T. Розглянемо два унітарних оператори в гільбертовому просторі

,

.

Тоді для будь-якого - та -інваріантного стану на маємо

.

Лема 5.3.4. Нехай G - локально компактна група, - її ліва міра Хаара, X1 та X2 - вимірні підмножини в G, , . Тоді існують вимірна підмножина Y в X1, , та , такі що .

З цих двох лем виводиться, що ентропія залежить лише від (якщо цей інтеграл скінченний). Залишається обчислити ентропію для деяких випадків. квантовий алгебра бінарний ентропія

Розділ 6 присвячений боголюбівським автоморфізмам алгебри канонічних комутаційних співвідношень (CCR). На відміну від CAR, CCR-алгебра не має природних скінченновимірних підалгебр. Це робить складнішим обчислення ентропії. З іншого боку, для отримання К-системи в нас немає необхідності розглядати парну частину алгебри. Це полегшує розглядання питань, пов'язанних з К-властивістю та спряженістю, і дає змогу одержати нові приклади.

В підрозділі 6.1 зібранні необхідні означення та факти. CCR-алгеброю над гільбертовим простором H називається C*-алгебра , породжена унітарними , , такими що

.

Кожний унітарний оператор U на H визначає боголюбівський автоморфізм U,

,

а додатний оператор A - квазівільний стан A.

Маємо наступний аналог теореми 5.2.1.

Теорема 6.2.1. Нехай A, U - оператори в гільбертовому просторі H, , , U унітарний,

, .

Тоді наступні умови еквівалентні: система є ентропійною К-системою; оператор U має абсолютно неперервний спектр. Доведення теореми міститься у підрозділі 6.2, де ми також розглядаємо деякі приклади.

Приклад 6.2.4. Динаміка ідеального газу Бозе має К-властивість.

Приклад 6.2.5. Нехай U -оператор зсуву на одиницю на ,

.

Для кожної невід'ємної обмеженої вимірної функції K визначимо оператор AK,

,

де - перетворення Фур'є. Будемо писати замість U та K замість . Якщо K не приймає ні одного значення на множині додатної міри, то



є гіперфінітним III1-фактором, а є ентропійною К-системою. Такі системи дають досить великий запас прикладів, і ми вивчаємо їх на протязі усього розділу.

Підрозділ 6.3 присвячений ентропії.

Теорема 6.3.1. Нехай U - унітарний оператор в H, - його абсолютно неперервна частина, , , . Нехай

, та -

розкладення в прямий інтеграл. Тоді

.

При цьому якщо оператор має чисто точковий спектр, то має місце рівність. Формула для ентропії при умові, що має чисто точковий спектр, є аналогом формули Войкулеску-Стермера для CCR-випадку.

Одним з наслідків теореми є те, що ентропія боголюбівського автоморфізму, відповідного до унітарного оператора зі строго сингулярним спектром, нульова відносно будь-якого квазівільного інваріантного стану. Цей наслідок використовується при доведенні теореми 6.2.1.

Якщо оператори Az мають чисто точковий спектр для майже усіх z (що є необхідною умовою скінченності інтегралу в теоремі 6.3.1), а оператор U має зліченократний лебегівський спектр, то одержуємо системи з прикладу 6.2.5. Таким чином, справедливий

Наслідок 6.3.8. Для будь-якої обмеженої невід'ємної вимірної функції K маємо

При цьому якщо K зліченозначна, то має місце рівність.

Результати попередніх підрозділів дозволяють одержати неспряжені К-системи з однаковою ентропією. Це зроблено в підрозділі 6.4.

Розглянемо системи з прикладу 6.2.5. Нехай -боголюбівський автоморфізм, відповідаючий оператору .

Теорема 6.4.1. Нехай функція K така, що

для деякого та

.

Нехай

і .

Тоді M - гіперфінітний III1-фактор, і системи, , є попарно неспряженими небернуліївськими ентропійними К-системами з однаковою скінченною ентропією. Неспряженість систем в цій теоремі майже очевидна: автоморфізм збігається з модулярним автоморфізмом , тому будь-який автоморфізм M, зберігаючий , комутує з і не може спрягати з автоморфізмом, який відрізняється від . Хоч цей аргумент використовує те, що ізоморфізм систем, за означенням, зберігає , це виходить вже з того, що він спрягає автоморфізми, оскільки для ергодичного автоморфізму існує не більше одного інваріантного нормального стану. Таким чином, автоморфізми не спряжені в . Ми бачимо, що модулярна струтура некомутативної алгебри може бути ефективним інваріантом динамічної системи. Цей тезіс ілюструється також доведенням наступного результату.

Теорема 6.4.2. Нехай Ki - непостійні невід'ємні обмежені функції, які мають аналітичні продовження в деякий окіл дійсної осі, . Тоді системи та спряжені тоді і тільки тоді, коли

для деякого .Ця теорема знову дає змогу одержати неспряжені К-системи з однаковою ентропією.

Наслідок 6.4.3. Нехай K - ненульова невід'ємна функція, яка має аналітичне продовження в деякий окіл дійсної осі,

для деякого . Нехай

і .

Тоді M - гіперфінітний III1-фактор, і системи, , є попарно неспряженими небернуліївськими ентропійними К-системами з однаковою скінченною ентропією.

Висновки

Одержана достатня умова для виконання К-властивості в некомутативній динамічній системі.

Доведено, що К-властивість мають некомутативні бернуліївські та марківські зсуви, а також деякі автоморфізми некомутативних торів.

Теорію Аракі конструювання та оцінки швидкості розпаду кореляційних функцій гібсівських станів на одномірній квантовій спіновій гратці поширено на клас систем, який включає канонічні зсуви на алгебрах Окнеану та асимптотично абелеві бінарні зсуви. Для отриманих систем доведена К-властивість та оцінена ентропія.

Доведено, що боголюбівські автоморфізми CCR-алгебри або парної частини CAR-алгебри з квазівільними станами є К-системами тоді і тільки тоді, коли спектр унітарного оператора, що визначає автоморфізм, є абсолютно неперервним.

Дано нове доведення формули Войкулеску-Стермера для ентропії боголюбівського автоморфізму CAR-алгебри, а також одержаний її аналог для CCR-алгебри.

На гіперфінітному III1-факторі зконструйовано контінуум неспряжених небернуліївських К-систем з однаковою скінченною ентропією.

Результати роботи можуть знайти застосування при вивченні автоморфізмів операторних алгебр, а також в квантовій статистичній механіці при вивченні нескіченновимірних квантових систем.

Публікації здобувача за темою дисертації

1. Golodets V. Ya., Neshveyev S.V. Non-isomorphic quantum K-systems of type III1 // Доповіді НАН України. - 1998. - №10. - С. 12-15.

2. Нешвеев С.В. Квантовые марковские К-системы // Математическая физика, анализ, геометрия. - 1998. - №1/2. - С. 87-94.

3. Golodets V. Ya., Neshveyev S.V. Non-Bernoullian quantum K-systems // Communications in Mathematical Physics. - 1998. - V. 195. - P. 213-232.

4. Golodets V. Ya., Neshveyev S.V. Gibbs states for AF algebras // Journal of Mathematical Physics. - 1998. - V. 39. - P. 6329-6344.

5. Golodets V. Ya., Neshveyev S.V. Dynamical entropy and quantum K-systems // Украинский физический журнал. - 1998. - №6/7. - С. 688-696.

Размещено на Allbest.ru

...