Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський університет імені Тараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

СТОХАСТИЧНИЙ АНАЛІЗ ПРОЦЕСІВ ТА ПОЛІВ ЗА ДОПОМОГОЮ МАРТИНГАЛЬНИХ МЕТОДІВ

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Ольцік Яніна Олександрівна

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

МІШУРА Юлія Степанівна,

кафедра математичного аналізу

Київського університету ім. Т.Г. Шевченка,

професор

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

КНОПОВ Павло Соломонович,

Інститут кібернетики НАН України,

провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук,

СВІЩУК Анатолій Віталійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник;

Провідна установа:

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, відділ теорії ймовірностей та математичної статистики, м. Донецьк

Захист відбудеться "24” травня 1999 року о 14.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

252127, м. Київ - 127, проспект акад. Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано "15” квітня 1999 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми.

Одним з найважливіших понять стохастичного аналізу випадкових процесів та полів ї поняття локального часу. Відома формула Танака для побудови локального часу для однопараметричного броунівського руху. У 1975 році Мейїр показав, як використовувати формулу Танака для побудови локальних часів для однопараметричних мартингалів з невиродженою неперервною частиною. Пізніше було показано, що у випадку чисто розривного мартингалу формула Танака не працюї. Басс Bass R. F. Local times for a class of purely discontinuous martingales // Z. Wahrsch. verw. Gebiete. - 1984. - V. 67, N 4. - -P. 433--460. побудував достатні умови існування локального часу для чисто розривних однопараметричних семімартингалів.

В двопараметричному випадку для неперервних мартингалів питання існування локального часу розглянуто в роботах НасироваНасыров Ф.С. О производной локального времени для броуновского листа по пространственной переменной // Теор. вероятн. и ее примен. - 1987. - T. 32, N 4. - C. 712-721. , Санц Sanz M. Local time for two-parameter continuous martingales with respect to the quadratic variation // Annals of Probability. - 1988. - v. 16, N 2. - P. 778-792. , Веєрс Vares M. E. Local times for two-parameter Levy processes // Stoch. Processes and Appl. - 1983. - N 15. - P. 59-82. . Питання, пов'язані з локальним часом для багатопараметричних неперервних мартингалів, розглянуті в роботі Імкеллера Imkeller P. Local times of continuous N-parameter strong martingales // Journal of Multiv. Analysis. - 1986. - V. 19, N 3. - P. 348--365.

До цього часу в літературі не з'являлися результати, що стосуються питання існування локального часу для двопараметричних чисто розривних мартингалів. В запропонованій дисертаційній роботі автор узагальнюї на двопараметричний випадок результати, одержані Бассом для однопараметичних локальних часів, а саме, будуються достатні умови існування локального часу для чисто розривних сильних мартингалів на площині та вивчаються властивості такого локального часу, зокрема, неперервність та існування скінченних моментів.

В однопараметричному випадку локальний час будується за допомогою зростаючого передбачуваного процесу, асоційованого із обмеженим потенціалом. Тому в цьому випадку існування скінченних моментів будь-якого порядку для локального часу випливає з теореми Гарсіа Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. - К.: Наукова думка, 1982. - 612 с. . Але виявляється, що в двопараметричному випадку результат, аналогічний цій теоремі, не має місця. В дисертації будуються достатні умови існування скінченних моментів для зростаючих полів, асоційованих із двопараметричними потенціалами, а також вивчається питання існування скінченних моментів для двопараметричних локальних часів.

Актуальним є питання застосування мартингальних методів до задач фінансової математики. У дискретному випадку побудована модель Кокса-Росса-Рубінштейна Cox J. C., Ross R. A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // Journ. of Financial Economics. - 1976. - V. 7. - P. 229-263. функціонування ринку цінних паперів. Блек і Шоулс Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journ. of Political Economy. - 1973. - May/June. - P. 637-657. одержали формулу для знаходження справедливої вартості опціонів, контракти з якими відбуваються на ринку, що складається з банківського рахунку (або облігації) та акції, з неперервним часом. Задача відшукання стратегії хеджування на повному фінансовому ринку розглядалась, зокрема, в роботі Харрісона та Пліски Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales, stochastic integrals and continuous trading // Stoch. Processes and Appl. - 1981. - V. 11, N 3. - P. 215-260. . В силу постійних змін відсоткових ставок, рівня інфляції тощо на фінансовому ринку ї альтернативні можливості для одержування прибутків. Тому в галузі фінансової математики актуальною ї задача оптимізації фінансових стратегій, зокрема, задача оптимальної зупинки або оптимального переключення між альтернативними фінансовими стратегіями.

Теорія оптимальних моментів зупинки у застосуванні до деяких фінансових задач введена в роботі Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. - М.: Наука, 1977. - 166 с. . Відшукання оптимального моменту зупинки (без переключення) детально розглядається в книзі Duffie D. Dynamic asset pricing theory. - Oxford: Princeton Univ. Press, 1992. - 300 p. . "Паралельна" обробка двох активів, а саме, американський опціон купівлі з функцією виплати, яка визначається максимумом з двох активів, розглядається в статті Brodie M., Detemple J. The valuation of American options on multiple assets // Mathem. Finance. - 1997. - V. 7, N 3. - P. 241-286. . В статті Tanaka T. Optimal switching for two-parameter stochastic processes // Stoch. Processes and Appl. - 1991. - N 38. - P. 135-156. розглянуто задачу оптимального переключення для двопараметричних випадкових процесів. Питання, пов'язані із відшуканням оптимального інвестування на фінансовому ринку також розглянуті в роботі Hu Y., Oksendal B. Optimal time to invest when the price processes are geometric Brownian motion // Finance Stochast. - 1998. - N 2. - P. 295-310. . В даній роботі продовжується дослідження питання оптимальної зупинки та переключення на фінансовому ринку, введено теорії переламних моментів зупинки та оптимальних моментів зупинки для факторизованих процесів, за допомогою яких розв'язуються задачі відшукання оптимальних моментів зупинки для процесів, що задовольняють різні типи стохастичних диференціальних рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дану дисертаційну роботу виконано згідно наукової програми "Статистичний аналіз випадкових процесів і полів та його застосування" кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського університету ім. Т.Г. Шевченка, номер держреєстрації 0197U003176.

Мета і задачі дослідження.

Метою даної дисертації є розв'язання за допомогою мартингальних методів таких задач стохастичного аналізу як доведення існування локального часу для двопараметричних чисто розривних сильних мартингалів, які є збуреннями стійких симетричних полів; побудова достатніх умов існування скінченних моментів будь-якого порядку для двопараметричного локального часу та доведення його неперервності; відшукання оптимальних моментів зупинки для різних типів випадкових процесів та застосування одержаних результатів до різних задач фінансової математики.

Наукова новизна одержаних результатів.

Всі одержані в дисертації наукові результати є новими. Одержано достатні умови існування локального часу для двопараметричних чисто розривних мартингалів, які узагальнюють аналогічний результат, одержаний Бассом в однопараметричному випадку. Доведено неперервність побудованого локального часу та побудовано достатні умови існування його скінченних моментів будь-якого порядку. Одержано критерій існування моментів зростаючих процесів, асоційованих із однопараметричними потенціалами, який є удосконаленням теореми Гарсіа. Вивчено властивості двопараметричних потенціалів, асоційованих із зростаючими передбачуваними полями. Побудовано два нових методи (переламних моментів зупинки та факторизації) як методи відшукання оптимальних моментів зупинки для випадкових процесів, які застосовано до розв'язання задач оптимальної зупинки та оптимального переключення на фінансовому ринку з альтернативними стратегіями для різних типів стохастичних диференціальних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів.

мартингальний метод стохастичний аналіз

Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони можуть бути використані в теорії двопараметричних мартингалів, одно - та двопараметричних потенціалів та зростаючих процесів і полів, теорії оптимальних моментів зупинки та в фінансовій математиці.

Особистий внесок здобувача.

Всі наукові результати, включених в дисертацію, одержано здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації.

Отримані в дисертації результати доповідались на семінарі кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка; на Другій всеукраїнській конференції "Сучасні фізико-математичні дослідження молодих науковців вузів України" (м. Київ, 1995 рік); на V Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 1996 рік); на XVIII семінарі з

проблем стійкості стохастичних моделей (м. Дебрецен, Угорщина, 1997 рік); на Другій Скандинавсько-Українській конференції з математичної статистики (м. Умеа, Швеція, 1997 рік).

Публікації.

Основні результати дисертації опубліковані в 3 наукових статтях, а також у 4 тезах доповідей наукових конференцій. Список робіт наведено нижче.

Структура та об'єм роботи.

Дисертаційна робота складається із вступу, двох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 59 найменування. Обсяг роботи складає 140 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст

У вступі обгрунтовується актуальність і важливість результатів, одержаних в дисертації, проводиться огляд близьких за тематикою робіт, формулюються задачі та мета дослідження, вказується новизна результатів.

Перший розділ присвячено доведенню існування локального часу для двопараметричних чисто розривних сильних мартингалів, які є збуреннями стійких симетричних полів. Будуються достатні умови існування локального часу, які узагальнюють на двопараметричний випадок аналогічні достатні умови Басса існування локального часу для однопараметричних чисто розривних мартингалів. Доводиться неперервність побудованого локального часу. Одержуються достатні умови існування скінченних моментів всіх порядків цього локального часу за допомогою вивчення властивостей одно - та двопараметричних потенціалів, асоційованих із зростаючими передбачуваними процесами та полями.

В підрозділі 1.1 вводяться основні означення. Розглядається поле X_t, tR²₊, яке є чисто розривним сильним мартингалом з локальними характеристиками (a_s,_s). Нехай ще (dh) - міра Леві стійкого симетричного поля з індексом 1<<2. Припустимо, що виконуються наступні умови:

(У1) 1) для деякого K₁ \[\underset{\text{s}}{\mathop{\text{sup}}}\,\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\int\limits_{\text{R}}{{{\text{h}}^{2}}}\wedge \text{1}{{\nu }_{\text{s}}}\text{(dh) }\!\!|\!\!\text{ }\le \text{ }{{\text{K}}_{\text{1}}}\] м. н.;

2) для деякого 1<<2 _s (dh) = (dh), якщо |h|>1;

3) X_t має не більше одного стрибка вздовж будь-якої прямої, паралельної вісям координат.

В підрозділі 1.2 розглядаються властивості щільностей розподілу стійких симетричних процесів та полів та одержуються оцінки для функціоналів, породжених такими щільностями.

В підрозділі 1.3 доводяться деякі властивості чисто розривних локальних сильних мартингалів, розклади та оцінки для функціоналів потенціального типу у припущенні, що виконуються умови (У1) та

(У2) для деякого

1<<2, м. н.

Розглядається функціонал

і доводиться такий результат:

Теорема 1.3.5 При виконанні умов (У1) та (У2) мають місце твердження:

1) ;

2) існує невід'ємна функція s (x), обмежена, така, що якщо , то

Підрозділ 1.4 присвячено побудові поля L_t (x), яке є локальним часом для чисто розривного сильного мартингалу X_t. Розглядається регулярна умовна ймовірність Q_t (,) відносно потоку -алгебр F_t, для якої доводиться існування невід'ємної обмеженої щільності V_t (,x) () відносно міри Лебега. Тоді для всіх tQ₊² поле U_t (,x) =exp{-₁t₁ - ₂t₂}V_t (,x) виявляється невід'ємним обмеженим супермартингалом, слабким субмартингалом і потенціалом для майже всіх x.

При виконанні припущень

(У3) 1) Для майже всіх x відносно міри Лебега поле { U_t (,x), F_t, P, t R₊²} є супермартінгалом і слабким субмартингалом;

2) для довільного s R₊² E U_t (,x) E U_s (,x), t s, t>s, t R₊²

доводиться, що поле U_t (,x) допускає розклад на суму

U_t (,x) = M_t (,x) +L_t (,x),

де M_t (,x) - слабкий мартингал, L_t (,x) - зростаюче передбачуване поле. Шуканий локальний час будується як

(1)

Основним результатом цього підрозділу є

Теорема 1.4.4 Нехай X_t - чисто розривний локальний сильний мартингал, для якого виконуються умови (У1), (У2) і (У3). Тоді існує сумісно

вимірне неперервне в Q_t⁺⁺ зростаюче поле L_t (x), яке визначається рівністю (1), і множина N₃ такі, що P (N₃) =0 і якщо N₃, B B (R), то для всіх t R₊²

Підрозділ 1.5 присвячено доведенню неперервності побудованого локального часу L_t (x) по t.

В наступних підрозділах шукаються умови, при яких побудований локальний час має моменти будь-якого порядку. В однопараметричному випадку, на відміну від даного, існування моментів локального часу випливає з теореми Гарсіа, в якій стверджується, що з обмеженості потенціалу випливає існування скінченних моментів асоційованого із ним зростаючого процесу.

В підрозділі 1.6 вводяться означення та наводяться властивості двопараметричних передбачуваних проекцій, стохастичних інтегралів на площині та потенціалів, асоційованих із зростаючими передбачуваними полями.

В підрозділі 1.7 доводиться узагальнення теореми Гарсіа, а саме, критерій існування скінченних моментів зростаючого процесу, асоційованого із однопараметричним потенціалом. Нехай X_t, t R₊ - однопараметричний потенціал, асоційований із передбачуваним зростаючим процесом A_t.

Теорема 1.7.1 Наступні твердження еквівалентні:

1)

2)

Крім цього, наведені приклади, які показують оптимальність цього критерію. Також за допомогою формули Іто доводиться достатня умова існування скінченних моментів зростаючого процесу, асоційованого із неперервним потенціалом.

В підрозділі 1.8 розглядаються властивості двопараметричних обмежених потенціалів, асоційованих із зростаючими полями. Одержуються оцінки для моментів деяких перетворень від цих зростаючих полів. Побудовано критерій існування скінченних моментів зростаючого поля, а саме: нехай {X_t, t R₊² } - двопараметричний невід'ємний обмежений потенціал, асоційований із зростаючим передбачуваним інтегрованим полем A_t. Має місце

Теорема 1.8.2 Наступні умови еквівалентні:

1)

2)

Наведено приклад, який показує, що в двопараметричному випадку результат, аналогічний теоремі Гарсіа, не має місця, тобто обмеженості двопараметричного потенціалу не достатньо для існування скінченних моментів асоційованого зростаючого поля.

Підрозділ 1.9 присвячено питанню існування моментів локального часу L_t (x), побудованого в підрозділі 1.4 Оскільки локальний час будується як перетворення від зростаючого передбачуваного поля L_t (,x), асоційованого із обмеженим потенціалом U_t (,x), то за допомогою одержаних результатів доводиться

Теорема 1.9.3 Нехай виконуються умови (У1) - (У3), а також

(У4)

Тоді для всіх t R₊² і для всіх x L_t (x) має моменти всіх порядків.

Другий розділ присвячено побудові достатніх умов існування оптимальних моментів зупинки для різних видів випадкових процесів за допомогою мартингальних методів. Одержані результати застосовуються до задач оптимізації фінансових стратегій з альтернативами, коли процес, що описує капітал інвестора, є розв'язком різних типів стохастичних диференціальних рівнянь.

В підрозділі 2.1 розглядається узгоджений неперервний випадковий процес _t, t [0,T] R₊, який задовольняє умову

(2)

Для цього процесу шукається оптимальний момент зупинки за допомогою теорії переламних моментів зупинки.

Означення 2.1.11 Передбачуваний момент зупинки [0,T] будемо називати переламним для процеса _t, якщо задовольняє нерівності

м. н.

та

м. н.

Таким чином, переламний момент зупинки вводиться як такий момент, до якого процес _t має субмартингальні властивості, а після якого - супермартингальні. Основним результатом є

Теорема 2.1.12 Нехай {_t, F_t, t [0,T] } - додатній неперервний процес, який задовольняє умову (2). Якщо існує переламний момент зупинки для процеса _t, то цей момент є оптимальним.

Аналогічно, m-переламний момент зупинки визначається як момент, в який супермартингальні властивості процесу _t змінюються на субмартингальні, та доводиться, що якщо для процесу існує m-переламний момент зупинки, то цей момент є m-оптимальним.

В підрозділі 2.2 розглядається інший метод відшукання оптимального моменту зупинки у припущенні, що процес _t допускає факторизаційне представлення:

_t = _{t t}, (2)

де _t - деякий мартингал, _t - узгоджений випадковий процес. Основний результат цього підрозділу такий:

Теорема 2.2.1 (2.2.2). Нехай виконуються наступні умови:

1) _t - рівномірно інтегрований мартингал;

2) існує момент зупинки ^* (_*) такий, що для будь-якого моменту зупинки [0,T].

Тоді ^* (_*) - оптимальний (m-оптимальний) момент зупинки для процесу _t.

Крім того, за допомогою теорії ВМО-мартингалів (мартингалів з обмеженим в середньому коливанням) доводиться, що умова 1) цієї теореми виконується, якщо _t має спеціальний вигляд:

де _s, _s - деякі обмежені передбачувані випадкові функції, s [0,T].

В наступних підрозділах одержані результати застосовуються до різних фінансових задач.

В підрозділі 2.3 розглядається задача відшукання оптимального моменту зупинки для процесу, що описує капітал інвестора, якщо його фінансовий портфель складається з двох активів (акції та облігації), вартість яких задовольняє, відповідно, стохастичне та звичайне диференціальні рівняння. При припущеннях обмеженості та передбачуваності на коефіцієнти цих рівнянь формулюється достатня умова існування оптимального моменту зупинки.

В підрозділі 2.4 розглядається задача переключення між двома фінансовими стратегіями. Припускається, що інвестор має можливість обирати між двома фінансовими портфелями, кожний з яких складається з акції та облігації. При цьому процес, що описує капітал інвестора, задовольняє, відповідно, два лінійних стохастичних диференціальних рівняння. Припускається також, що в момент переключення (реалізації активів першого портфелю і вкладання одержаних коштів в другий портфель) сплачується деяка ціна за переключення, пропорційна величині капіталу в цей момент. При різних припущеннях на коефіцієнти рівнянь, що описують капітал інвестора, для відшукання оптимального моменту переключення застосовуються теореми 2.1.12 та 2.2.1.

Підрозділ 2.5 присвячено застосуванню теорії m-переламних та m-оптимальних моментів зупинки до фінансової задачі переключення у випадку, коли процес, що описує капітал інвестора, задовольняє обернене стохастичне диференціальне рівняння. А саме, шукається оптимальний момент переключення таким чином, щоб в кінцевий момент часу T досягти заданого рівня величини капіталу при мінімальній початовій інвестиції x₀. При цьому вважається, що ціна, яка сплачується за переключення, складається з двох компонент, одна з яких пропорційна величині капіталу в момент переключення, а друга не залежить від величини капіталу.

Відшукання оптимального моменту переключення для задачі, аналогічної до розглянутої в підрозділі 2.4, але у випадку, коли ціна за переключення містить, як і в підрозділі 2.5, компоненту, незалежну від величини капіталу, розглянуто в підрозділі 2.6 Задача розв'язується за допомогою формули Іто. Також розглядаються випадки, коли ціна за переключення не сплачується, якщо значення величини капіталу в момент переключення є недодатнім, та коли ціна за переключення не сплачується в кінцевий момент.

Останній підрозділ 2.7 присвячено відшуканню оптимального моменту переключення у припущенні, що капітал інвестора задовольняє нелінійне стохастичне диференціальне рівняння. Задача розв'язується за допомогою теореми порівняння, яка є модифікацією теореми порівняння Гальчука Гальчук Л.И. Теорема сравнения для стохастических уравнений с интегралами по мартингалам и случайным мерам // Теор. вероятн. и ее примен. - 1982. - T. 27, N 3. - C. 425-433.

Висновки

В дисертації доведено існування локального часу для двопараметричних чисто розривних сильних мартингалів, його неперервність та існування скінченних моментів будь-якого порядку. При цьому побудовані достатні умови узагальнюють на двопараметричний випадок аналогічні достатні умови Басса існування локального часу для однопараметричних чисто розривних мартингалів. Також вивчено властивості одно - та двопараметричних потенціалів, асоційованих із зростаючими процесами та полями. В однопараметричному випадку одержано критерій існування моментів зростаючого процесу, асоційованого із однопараметричним потенціалом, що узагальнює відому теорему Гарсіа. Одержано оцінки для полів, породжених зростаючими передбачуваними полями та побудовано достатні умови існування скінченних моментів двопараметричного локального часу.

Велику увагу приділено вивченню теорії оптимальних моментів зупинки та її застосуванням до фінансових задач оптимальної зупинки та переключення. Побудовано теорію переламних моментів зупинки, яку застосовано до відшукання оптимальних моментів зупинки. Побудовано достатні умови існування оптимального моменту зупинки для процесу, що допускає факторизаційне представлення. Одержані результати застосовано до відшукання оптимального моменту зупинки та оптимального моменту переключення між двома фінансовими портфелями, у випадках, коли процес, що описує капітал, задовольняє різні типи стохастичних диференціальних рівнянь.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах

1. Мішура Ю.С., Ольцік Я.О. Потенціали та локальні часи, асоційовані з двопараметричними чисто розривними сильними мартингалами // Теор. ймовірн. та матем. статистика. - 1997. - вип.56. - С.133-144.

2. Ольцік Я.О. Неперервність локальних часів для двопараметричних мартингальних полів // Вісник Київського університету. - 1997. - вип.2. - С.76-82.

3. Мішура Ю.С., Ольцік Я.О. Мартингальні, супермартингальні та зростаючі поля на площині // Доповіді НАН України. - 1998. - N 3. - C.17-22.

4. Мішура Ю.С., Ольцік Я.О. Існування та властивості локальних часів для чисто розривних сильних мартингалів на площині // Тези V Міжнародної конференції ім. академіка М. Кравчука. - Київ (Україна). - 1996. - С.288

5. Mishura Yu. S., Oltsik Ya. A. Two-parameter potentials, increasing fields, and purely discontinuous strong martingales on the plane // Proc. XVIII Seminar on stability problems of stochastic models. - Debrecen (Hungary). - 1997. - P.69.

6. Oltsik Ya. A. Local times for strong martingales and some properties of asociated potentials // Proc. Second Scandinavian-Ukrainian conference in mathem. statistics. - Umea (Sweden). - 1997. - P.83.

7. Mishura Yu. S., Oltsik Ya. A. Optimal switching for alternative financial strategies // Proc. Second Scandinavian-Ukrainian conference in mathem. statistics. - Umea (Sweden). - 1997. - P.70.

Анотація

Ольцік Я.О. Стохастичний аналіз процесів та полів за допомогою мартингальних методів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. - Київський університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 1999.

Дисертацію присвячено питанням існування локальних часів та оптимальних моментів зупинки для випадкових процесів та полів. Доведено існування локального часу для двопараметричних чисто розривних сильних мартингалів та за допомогою теорії потенціалівдосліджено такі його властивості як неперервність та існування скінченних моментів. За допомогою мартингальних методів побудовано дві теорії відшукання оптимальних моментів зупинки для випадкових процесів, які застосовано до розв'язання фінансових задач оптимального переключення для різних типів стохастичних диференціальних рівнянь.

Ключові слова: локальний час, сильний мартингал, потенціал, оптимальний момент зупинки, стохастичне диференціальне рівняння.

Ольцик Я.О. Стохастический анализ процессов и полей с помощью мартингальных методов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, 1999.

Диссертация посвящена вопросам существования локальных времен и оптимальных моментов остановки для случайных процессов и полей. Доказано существование локального времени для двупараметрических чисто разрывных сильных мартингалов, являющихся возмущением устойчивых симметричных полей. Построенные достаточные условия существования локального времени обобщают на двупараметрический случай аналогичные достаточные условия существования локального времени для однопараметрических чисто разрывных мартингалов. С помощью теории потенциалов исследованы такие его свойства как непрерывность и существование конечных моментов. Для построения условий существования конечных моментов всех порядков исследованы свойства одно - и двупараметрических потенциалов, ассоциированных с предсказуемыми возрастающими процессами и полями. В однопараметрическом случае получено обобщение теоремы Гарсиа, а именно, критерий существования конечных моментов всех порядков для предсказуемого возрастающего процесса, ассоциированного с однопараметрическим потенциалом. В двупараметрическом случае получены оценки для моментов некоторых функционалов, связанных с предсказуемыми возрастающими полями, ассоциированными с двупараметрическими потенциалами. Получены достаточные условия существования моментов всех порядков для возрастающего предсказуемого поля, ассоциированного с двупараметрическим потенциалом, при выполнении которых доказано существование конечных моментов построенного локального времени. С помощью мартингальных методов решается задача отыскания оптимальных моментов остановки для случайных процессов. Построена теория переломных моментов остановки, с помощью которой ищется оптимальный момент остановки для процессов, изменяющих в некоторый момент субмартингальные свойства на супермартингальные и наоборот. Также построена теория отыскания оптимальных моментов остановки для процессов, допускающих представление в виде произведения двух процессов, один из которых является мартингалом. Оба метода применяются для отыскания оптимальных моментов остановки и переключения в финансовых задачах при условии, что процесс, описывающий капитал инвестора, удовлетворяет разные типы стохастических дифференциальных уравнений. Рассмотрены случаи линейного и нелинейного, прямого и обратного стохастического дифференциального уравнения, в предположении уплаты некоторой цены за переключение, как пропорциональной величине капитала, так и содержащей компоненту, не зависящую от величины капитала. В последнем случае задача отыскания оптимального момента переключения решается с помощью формулы Ито. В случае, когда капитал удовлетворяет нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение, задача отыскания оптимального момента переключения решается с помощью теоремы сравнения, которая является модификацией теоремы сравнения Гальчука.

Ключевые слова: локальное время, сильный мартингал, потенциал, оптимальный момент остановки, стохастическое дифференциальное уравнение.

Oltsik Ya.A. Stochastic analysis of processes and fields by means of martingale methods. - Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.05 - probability theory and mathematical statistics. - Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to the problems of the existence of local times and optimal stopping times for stochastic processes and fields. The existence of the local time for twoparameter purely discontinuous strong martingales is proved, and such their properties as continuity and existence of finite moments are investigated by means of potential theory. Two theories of finding of optimal stopping times for stochastic processes are constructed and applied to the solving of financial problems of optimal switching for different types of stochastic differential equations.

Key words: local time, strong martingale, potential, optimal stopping time, stochastic differential equation.

Размещено на Allbest.ru

...