Збіжність рядів за деякими ортонормованими системами та коефіцієнтні оцінки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Oдеський державний університет ім. І.І. Мечникова

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.01- математичний аналіз

Збіжність рядів за деякими ортонормованими системами та коефіцієнтні оцінки

Кирилов Сергій Олександрович

Одеса-1999 р.

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському державному університеті Mіністерства освіти України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Коляда Віктор Іванович, Одеський державний університет, м. Одеса.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент Андрієнко Віталій Опанасович, Південноукраїнський державний педагогічний університет, м. Одеса;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Нудельман Адольф Абрамович, Одеська державна академія будівництва та архітектури, м. Одеса.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, відділ теорії функцій, м. Київ.

Вчений секретар спеціалізованої ради Вітюк О.Н.

Анотація

ортонормований фур'є інтерполяційний тригонометричний

Кирилов С.О. Збіжність рядів за деякими ортонормованими системами та коефіцієнтні оцінки. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз.-Одеський державний університет, Одеса, 1999.

В дисертації введено новий клас S(p,)-систем, який є поширенням відомого класу S_p-систем, та для систем з цього класу одержані множники Вейля для збіжності та безумовної збіжності майже всюди.

відомі теореми Пелі та Стейна, щодо оцінок норм функцій через їх коефіцієнти Фур'є, поширено на ортонормовані системи з ВМО.

доведено, що для загальних ортонормованих систем не справджується гіпотеза, щодо підсилення відомої теореми Марцинкевича-Зігмунда, яку висунув Буллін на початку 50-х років.

Застосуванням оцінок незростаючих переставлень отримані нові оцінки норм функцій у просторах Лоренца через їх коефіцієнти Фур'є за загальними ортонормованими системами, та двоїсті їм оцінки коефіцієнтів Фур'є. Доведено остаточність, в деякому сенсі, означених результатів.

отримані також нові оцінки коефіцієнтів Фур'є для функцій із класів Орлича, вагових просторів L_p , загальних симетричних просторів.

Ключові слова: ортонормована система, множник Вейля, незростаюче переставлення, коефіцієнти Фур'є, простір Лоренца, ВМО.

Аннотация

Кириллов С.А. Сходимость рядов по некоторым ортонормированным системам и коэффициентные оценки.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01-математический анализ.- Одесский государственный университет, Одесса, 1999.

Пусть ={_k}- неубывающая последовательность вещественных чисел. Ортонормированная система = {f_n(x)} (f_kL_p[0,1], 2<p<) называется S(p,)- системой, если существует такая постоянная с, что для всякого полинома

P_n(x)=ⁿ_k=1a_kf_k(x) ,n=1,2,...

справедливо неравенство

P_npc_nP_n2, (n=1,2,...).

В работе доказано, что при всяком >0 последовательность {ln²⁺ (e+_n)} является множителем Вейля для сходимости почти всюду рядов по произвольной S(p,)-системе. Более того, эта последовательность является также множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду.

По поводу окончательности этого результата утверждается, что упомянутая последовательность не может быть заменена ни какой последовательностью {_n} с _n=o(ln² (e+_n)). Вопрос о том, может ли быть =0, остался открытым.

Второй раздел работы посвящен оценкам норм функций через их коэффициенты Фурье по ортонормированным системам. Для получения таких оценок в диссертации использован подход, основанный на оценках невозрастающих перестановок.

Показано, что в условиях теорем Пэли и Стейна ортонормированную систему, ограниченную в совокупности, можно, вообще говоря, заменить системой, у которой ограничены в совокупности полунормы в ВМО. А именно, пусть {_n(x)} - ортонормированная система на отрезке [0,1], _nВМО и _n*M (n=1,2,...). Если f L_p,r (1<p<2,r1) и {c_n} - последовательность коэффициентов Фурье функции f. Тогда

{c_n}_p,rc_p,_rM^1-2/pf_p'_,r .

И наоборот, если {c_n}l_q'_,r (q>2, r1) и f сумма ряда _k=1 c_kk(x) по норме L₂[0,1], то fL_q,r и f_q,rc_q,r{f²+M^1-2/q{c_n}_q'_,r

Другим направлением работы является обобщение этих результатов на общие ортонормированные системы. Нами доказано, что для ортонормированных систем, у которых нормы L не являются ограниченными в совокупности не верна гипотеза о возможности усиления известной теоремы Марцинкевича-Зигмунда, которую выдвинул Буллин в начале 50-х годов. А именно, существует ортонормированная на [0,1] система функций {_n(x)}, _nL[0,1] (n=1,2,...) , такая, что для любого q>2 найдется последовательность {c_n} , для которой верно

_n=1c_n^qn^(q-2)_n^(q-2))<.

ряд _k=1 c_kk(x) сходится в L₂[0,1] , но его сумма не принадлежит L_q[0,1].

Далее, применением оценок невозрастающих перестановок получены новые оценки норм функций в пространствах Лоренца через их коэффициенты Фурье по общим ортонормированным системам и двойственные им оценки коэффициентов Фурье. Исследована окончательность полученных результатов.

Нами установлены также новые оценки коэффициентов Фурье функций из классов Орлича, весовых пространств L_p , общих симметричных пространств.

Ключевые слова: ортонормированная система, множитель Вейля, невозрастающая перестановка, коэффициенты Фурье, пространство Лоренца, ВМО.

Annotation

Kirillov S.A. Convergence of series over some orthonormal systems and estimates of coefficients.-Manuscript.

Thesis on the degree of Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) by speciality 01.01.01- mathematical analysis.- Odessa State University, Odessa, 1999.

In the thesis we introduce a new class of S(p,)-systems which is an expansion of well-known class of S_p -systems. We obtain Weil's multipliers for convergence and unconditional convergence almost everywhere for systems from this class.

Well-known theorems by Paley and Stein which concern with estimates of norms of functions over their Fourier coefficients are generalized to systems from BMO.

We prove that a hypothesis which was proposed by P.S.Bullen on the beginning of 50-th and had deal with improvement of a Marcinkiewicz and Zygmund theorem is not true for general orthonormal systems.

Applying estimates of rearrangements we get new estimates of norms of functions in Lorentz spaces over their Fourier coefficients with respect to general orthonormal systems. We also get conjugate estimates of Fourier coefficients. We prove the ultimateness of our results in some respect.

A new estimates of Fourier coefficients for functions from Orlich classes, weighted L_p-spaces and general symmetrical spaces are obtained.

Key words: orthonormal system, Weil's multiplier, nonincreasing rearrangement, Fourier coefficients, Lorentz space, BMO.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми.

У нашій дисертації вивчаються два кола питань. Перше пов'язане зі знаходженням множників Вейля для збіжності майже всюди і безумовної збіжності майже всюди рядів за ортонормованими системами із певного класу. Друге пов'язане з одержанням оцінок норм функцій у деяких симетричних просторах через коефіцієнти Фур'є цих функцій за загальними ортонормованими системами.

Основи загальної теорії ортогональних рядів були закладені на початку нашого століття, коли помітили, що цілий ряд властивостей рядів за тригонометричною системою може бути перенесений на інші системи функцій, спираючись тільки на умову ортогональності.

Втім, інтенсивно розвиватися як самостійний напрямок теорія ортогональних рядів почала лише в 30-і, 40-і роки нашого століття. Її розвиток у нашій країні в першу чергу пов'язаний з іменами О.М. Колмогорова, Д.Є. Меншова.

У вивченні питання про знаходження множників Вейля для рядів за ортонормованими системами саме Д.Є. Меншовим і, незалежно від нього, Радемахером був одержаний перший фундаментальний результат: знайдений точний множник Вейля для збіжності майже всюди рядів за ортонормованими системами, що послугувало відправною точкою для багатьох інших досліджень. Проте до цього часу існує дуже мало результатів, які б визначали такі, досить загальні умови на ортонормовану систему, що дозволяли б підсилити цей результат.

Перші оцінки норм функцій у просторах Лебега через їх коефіцієнти Фур'є за тригонометричною системою були одержані Хаусдорфом і Юнгом, а також, дещо пізніше, Харді і Літтлвудом у 20-і роки. Далі цей результат розвинули в багатьох напрямках.

У роботах Пелі, Марцинкевича і Зігмунда він був перенесений на загальні ортонормовані системи. Аналоги цих результатів були пізніше одержані в інших просторах функцій у роботах ряду математиків. Втім, ціла низка питань, пов'язаних з такими оцінками, залишились відкритими.

Таким чином, наша робота присвячена розв'язанню задач, які мають теоретичний інтерес, що обумовлює її актуальність.

Метою роботи є:

одержання множників Вейля для збіжності та безумовної збіжності майже всюди рядів за ортонормованими системами класу S(p,);

поширення відомих результатів Пелі та Стейна на ортонормовані системи з ВМО;

встановлення нових оцінок норм функцій у просторах Лоренца через їх коефіцієнти Фур'є за загальними ортонормованими системами, а також двоїстих оцінок коефіцієнтів Фур'є;

оцінка остаточності отриманих результатів.

Методи дослідження.

В роботі використовуються методи теорії функцій, а саме, теорії незростаючих переставлень, теорії ортогональних рядів, інтерполяції операторів, теорії вкладення функціональних просторів.

Наукова новизна.

Усі одержані наукові результати є новими. В дисертації:

введено новий клас ортонормованих систем, який є розширенням відомого класу S_p - систем, та знайдені множники Вейля для збіжності та безумовної збіжності майже всюди рядів за системами даного класу;

вперше одержані оцінки коефіцієнтів Фур'є та двоїсті оцінки норм функцій щодо ортонормованих систем із ВМО;

дано регулярне застосування незростаючих переставлень для одержання оцінок норм функцій у деяких функціональних просторах через їх коефіцієнти Фур'є за загальними ортонормованими системами.

Теоретичне та практичне значення.

Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони можуть бути застосовані у теорії ортогональних рядів, теорії функціональних просторів.

Зв'язок роботи з плановими науковими дослідженнями.

Тема дисертації є складовою частиною наукових досліджень, які проводяться на кафедрі математичного аналізу Інституту математики, економіки та механіки Одеського державного університету за темою `Метричні та топологічні властивості функціональних просторів'

Апробація результатів дисертації.

Основні результати дисертації доповідались на Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження Є.Я. Ремеза у м. Рівне (1997), на щорічних наукових конференціях викладацького складу в Одеській державній академії харчових технологій (1997,1999), на семінарах професора Е.О.Стороженко в Одеському державному університеті.

Публікації з основних результатів дисертації.

З основних результатів дисертації автором опубліковано п'ять робіт в наукових журналах.

Структура та обсяг дисертації.

Дисертація складається зі вступу, двох розділів, висновків та списку використаних джерел. Перший розділ дисертації поділено на п'ять підрозділів, другий - на десять підрозділів. У списку використаних джерел - 48 найменувань. Загальний обсяг дисертації - 108 сторінок.

2. Основний зміст

Перейдемо до більш детального огляду результатів дисертації.

Нехай {f_n(x)}-ортонормована система функцій на відрізку [0,1], причому f_nL_p[0,1] (n=1,2,...) для деякого 2p. Дамо наступне означення.

Система = {f_n(x)} називається S_p-системою , якщо існує стала с, така, що для будь-якого поліному за системою

P_n(x)=ⁿ_k=1a_kf_k(x)

справедлива нерівність

P_npP_n2 .

Поняття S_p-системи було вперше введено С.Б. Стечкіним і виникло як узагальнення того факту, що цією властивістю володіють лакунарні підсистеми тригонометричної системи.

Далі ортонормована система = {f_n(x)}, x(0,1) називається системою збіжності, якщо будь-який ряд виду

_k=1 a_kf_k(x) (1)

з _k=1 a_k² < збігається майже всюди на [0,1].

С.Б. Стечкін показав, що всяка S_p -система є системою збіжності. Більш того, оскільки при будь-якому переставленні функцій ортонормованої системи , S_p - система залишається S_p -системою, то можна стверджувати, що з умови _k=1 a_k² < випливає безумовна збіжність ряду (1).

У подальшому результат С.Б. Стечкіна був поширений Т.О. Баликбаєвим на випадок, коли у визначенні S_p -системи замість простору L_p (p>2) береться простір , більш “близький” до простору L₂. А саме, нехай

(t)=t²[ln(e+t)/(ln(e+t^-1)]²⁺ , >0.

Ясно, що (t) монотонно зростає на (0, +), lim_t (t)=, lim_t0 (t)=0.

Ортонормовану систему = {f_n(x)} на відрізку [0,1] будемо називати -системою, якщо існує така стала С, що для будь-якого поліному

P_n(x)=ⁿ_k=1a_kf_k(x) ,n=1,2,...

справедлива нерівність

₀¹(P_n(x))dxC(P_n2).

Т.О. Баликбаєв показав, що кожна S-система також є системою збіжності.

Звернемося до наших результатів.

Нехай ={_k}-неспадаюча послідовність дійсних чисел. Як природне узагальнення поняття S_р -системи вводимо клас S(p,)-систем наступним чином.

ортонормована система = {f_n(x)} (f_kL_p[0,1], 2<p<) називається S(p,)- системою, якщо знайдеться така стала с, що для всякого поліному

P_n(x)=ⁿ_k=1a_kf_k(x) ,n=1,2,...

справедлива нерівність

P_npc_nP_n2, (n=1,2,...).

Нас цікавить питання про те, як може виглядати умова на коефіцієнти {a_n}, щоб ряд (1) збігався майже всюди.

Таку умову зручно сформулювати в термінах множників Вейля.

Послідовність чисел {_k}, ₁₂... називається множником Вейля для властивості (А) відносно рядів за ортонормованою системою = {f_n(x)}, якщо збіжність ряду _k=1 a_k²_k гарантує, що ряд (1) володіє властивістю (а).

Якщо під властивістю (А) розуміти збіжність майже всюди, то найважливішим результатом про множники Вейля є твердження, яке одержано Д.Є. Меншовим і , незалежно від нього, Радемахером, про те що послідовність {log²n} є множником Вейля для збіжності майже всюди рядів за будь-якою ортонормованою на [0,1] системою .

Основним результатом першого розділу є наступне твердження.

Теорема 1.3.1. Нехай = {f_n(x)} - ортонормована S(p,)- система на відрізку [0,1], 2<p< , та >0 . Тоді послідовність

_n=ln²⁺ (e+_n)

є множником Вейля для збіжності майже всюди рядів за системою .

В результаті вивчення питання про остаточність теореми 1.3.1 нам вдалося довести наступну теорему.

Нехай ={_k}- неспадаюча, опукла догори послідовність додатніх чисел.

теорема 1.4.1. Існує така ортонормована система на відрізку [0,1] {_n(x)} , яка є S(p, ) -системою (2<p<), і при будь-якій додатній , зростаючій послідовності {_n} з

_n=o(ln² (e+_n)),

знайдеться така послідовність {a_n}, що _k=1 a_k²_k <, але ряд _k=1 a_kk(x) є розбіжним на множині додатньої міри.

Ідея доведення теореми 1.3.1 полягає в “апроксимуванні”, в деякому значенні, простору L₂ за допомогою близьких функціональних просторів (типу вивчених Т.О. Баликбаєвим).

Відзначимо, що, на відміну від ситуації з S_p- системами, результат про безумовну збіжність ряду (1) майже всюди не може бути одержаний автоматично із теореми 1.3.1.

Це відбувається тому, що, якщо S(p,)- систему переставити в іншому порядку, вона може не бути S(p,)- системою. Втім, нам вдалося отримати наступний результат.

Теорема 1.3.2. Нехай ={f_n(x)} є S(p,)- системою (2<p<). Якщо при деякому >0 виконується умова

=_k=1 a_k² ln²⁺ (e+_k) <,

то для будь-якого переставлення ={(k)} натурального ряду, переставлений ряд

_k=1 a_(k)f_(k) (x)

збігається майже всюди, і для мажоранти часткових сум S^* цього ряду справедлива оцінка

S^* ₂c^1/2,

де стала с не залежить від .

нам не вдалося вирішити питання, чи справедливі теореми 13.1 і 1.3.2 при =0.

У підрозділі 1.5 нами показано, як, спираючись на відомі теореми про системи незалежних функцій, можна побудувати приклад S(p,)- системи, яка в той же час не є S(p,)- системою для жодної послідовності з `_n=o(_n) при n.

Перейдемо до огляду результатів другого розділу.

Перші оцінки норми функції, яка є сумою деякого ряду за тригонометричною системою, були одержані Хаусдорфом і Юнгом, а також Харді і Літтлвудом. Пізніше Пелі поширив цей результат на всі ортонормовані системи , обмежені в сукупності.

Теорема А. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] і _nM (n=1,2,...). Тоді, якщо q>2 і

_q(c)=(_n=1c_n^qn^q-2)^1/q<,

то ряд

_k=1 a_kk(x) (2)

збігається до fL_q[0,1] і f_qc_q(c) .

Пізніше цей результат розвивався в різних напрямах. Наприклад, Стейн одержав оцінки норм функцій у просторі Лоренца.

Основним засобом одержання оцінок такого типу є використання інтерполяційних методів. У нашій роботі ми застосовуємо підхід, який базується на оцінках незростаючих переставлень і який, мабуть, вперше запропонував Монтгомері.

У підрозділі 2.2 ми доведемо, що в умовах теорем Пелі та Стейна ортонормовану систему, обмежену в сукупності, взагалі кажучи, можна замінити на систему, в якій обмежені в сукупності напівнорми у ВМО. Нами одержана

Теорема 2.2.2. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1], _nВМО і _n*M (n=1,2,...).

і) Нехай f L_p,r (1<p<2,r1) і {c_n} -послідовність коефіцієнтів Фур'є функції f. Тоді

{c_n}_p,rc_p,_rM^1-2/pf_p'_,r .

іі)Якщо {c_n}l_q'_,r (q>2, r1) і f сума ряду_k=1 c_kk(x) за нормою L₂[0,1], то fL_q,r і

f_q,rc_q,r{f²+M^1-2/q{c_n}_q'_,r

Доведення цієї теореми базується на наступній оцінці переставлення суми ряду.

Лема 2.2.2. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1], _nВМО і _n*M (n=1,2,...).

і) Якщо f**L₁, 0<t<1, та {c_n} -послідовність коефіцієнтів Фур'є функції f, то для будь-якого n=1,2,...

(ⁿ_k=1 c_k^*2)^1/2A{f₁+n^1/2 M₀^t f^**(s)ds+(_t¹ f^**2(s)ds)^1/2}

де стала A не залежить від n.

іі) Якщо {c_n} l₂ , то ряд _k=1 c_kk(x) збігається до деякої функції f, та при всіх n=1,2,...

(f^#)^*(t)A{Mⁿ_k=1 c_k^* +1/t^1/2(ⁿ_k=1 c_k^*2)^1/2},

де стала A не залежить від n.

Другим напрямком, в якому узагальнювалась теорема Пелі, було поширення її на системи функцій із L_s (s>2).

У підрозділі 2.3 ми окремо розглянемо випадок, коли ортонормована система {_n(x)} є обмеженою в сукупності у просторі L_s(2<s<). Вживаючи методи аналогічні до використаних у підрозділі 2.2, ми отримали таку оцінку.

Теорема 2.3.1. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1], _nL_s (2<s<) і _nsM (n=1,2,...). Позначимо =r-1 - r(s-q)/(q(s-2)).

і) Нехай f L_q,r (1<q<2,r>0) і {c_n} - послідовність коефіцієнтів Фур'є функції f. Тоді

_q,r,s(c)=(_n=1 c_n^*rn)^1/rc_q,r,s M^{s/(s-2)(2/q-1)} f_q,r'.

іі)Якщо _q,r,s< (q>2, r>0) і f сума ряду_k=1 c_kk(x) за нормою L₂[0,1], то fL_q,r і

f_q,r'' c_q,r,s M^{s/(s-2)(1-2/q)} _q,r,s(c).

Оцінку переставлення, на якій базується доведення цієї теореми, подано у наступній лемі.

Лема 2.3.1. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1], _nL_s і _nsM (n=1,2,...).

і) Якщо f*L_s ,0<t<1, 1/s+1/s'=1 , та {c_n} -послідовність коефіцієнтів Фур'є функції f, то для будь-якого n=1,2,...

(ⁿ_k=1 c_k^*2)^1/2A{ n^1/2 M(₀^t f^*s'(u)du)^1/s'+(_t¹ f^*2(u)du)^1/2},

де стала A не залежить від n.

іі) Якщо {c_n} l₂ , то ряд _k=1 c_kk(x) збігається до деякої функції f, та при всіх n=1,2,...

f^*(t)A{Mt^-1/sn_k=1 c_k^* +1/t^1/2(ⁿ_k=1 c_k^*2)^1/2},

де стала A не залежить від n.

Далі ми звертаємось до систем, які вже не є обмеженими в сукупності.

В 1937 р. Марцинкевич і Зігмунд довели наступну теорему.

Теорема В. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] і для деякого s(2,+] _nL_s [0,1] і _nsM_n(n=1,2,...), {M_n} - монотонно зростає. Тоді , якщо q[2,s) і

_q,s(c)=(_n=1c_n^qn^{(q-2)(s-1)/(s-2)}M_n^(q-2)s/(s-2) )^1/q<, (3)

то ряд (2) збігається за нормою L_q до деякої функції f, fL_q[0,1] і

f_qc_q,s(c).

мабуть, Буллін був першим, хто звернув увагу на питання про те, чи суттєва вимога монотонності зростання послідовності {M_n} в умовах цієї теореми. Це питання порушувалось у роботах Булліна, Літтлвуда, а також Стейна та Вейса, В.І. Коляди.

У підрозділі 2.4 ми показуємо, що в умовах теореми В відмовитися від цієї вимоги неможливо (при s=). А саме, нами доведена наступна теорема.

Теорема 2.4.2. Існує ортонормована на [0,1] система функцій {_n(x)}, _nL[0,1] (n=1,2,...), така, що для будь-якого q>2 знайдеться послідовність {c_n}, для якої виконується (3), ряд (2) збігається в L₂[0,1], але його сума не належить L_q[0,1].

У подальшому зміст другого розділу нашої роботи також тісно пов'язаний з теоремою В.

вивченню різноманітних питань, які пов'язані з нею, присвячений цілий ряд робіт стейна і Вейса, Літтлвуда, Булліна, Монтгомері, Коляди.

Так В.І. Коляда одержав оцінки норм в L_q функцій, які є сумами рядів за деякою ортонормованою системою в термінах норм операторів часткових сум. У підрозділі 2.5 нашої роботи містяться оцінки, які узагальнюють результати В.І.Коляди на випадок просторів Лоренца L_q,r[0,1] (q>2,r>0).

введемо величину

_n^(s) =sup{ⁿ_k=1 c_kks:ⁿ_k=1 c_k²=1} .

Вона являє собою ні що інше, як норму операторів часткових сум ряду (2) S_n:l₂L_s.

Нами доведені наступні результати.

Теорема 2.5.1. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1], причому для деякого s(2,+] : _nL_s[0,1] при всіх n=1,2,... . Якщо 2<q<s, r>0 , =r(q-2)s/(q(s-2)) і послідовність a={a_n}l₂ такі, що

_q,r(a)=(_n=1(^r_n-^r_n+1) _n)^1/r <, (_n =_n^(s), _n=(_k=n a²_k)^1/2),

то ряд (2) збігається в L₂[0,1] до деякої функції f , причому

f_q,rc_{q,r,s q,r,s}(a).

Особливо цікавий граничний випадок цієї теореми, коли q=2. Тут справедлива

Теорема 2.5.6. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] , причому для деякого s(2,+] : _nL_s[0,1] при всіх n=1,2,... . Якщо 0<r<2 і послідовність a={a_n}l₂ така,що

_q,r(a)=(_n=1(^r_n-^r_n+1) ln^1-r/2_n)^1/r <, (_n =_n^(s) , _n=(_k=n a²_k)^1/2) ,

то ряд (2) збігається в L₂[0,1] до деякої функції f, причому

f_2,rc_{r,s r}(a).

Крім того, нами помічено, що у випадку s= простір L може бути, в деякому сенсі, замінений ширшим простором ВМО, який введений Джоном і Ніренбергом.

Нехай

_n^* =sup{ⁿ_k=1 c_kk*:ⁿ_k=1 c_k²=1},n=1,2,... ,

де ._* - напівнорма у ВМО.

Теорема 2.5.4. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1], причому _nBMO, (n=1,2,...) . Якщо q>2, r>0 i послідовність a={a_n}l₂ така, що

_q,r(a)=(_n=1(^r_n-^r_n+1) _n^r(q-2)/q)^1/r < , (_n =_n* , _n=(_k=n a²_k)^1/2) ,

то ряд (2) збігається в L₂[0,1] до деякої функції f, причому

f_q,rc_q,r{f₂+_q,r(a)}.

Доведення цих результатів грунтуються на властивостях незростаючих переставлень функцій. Застосування такого методу дозволяє зробити доведення достатньо простими і досить універсальними.

крім перерахованих вище результатів, у підрозділі 2.5 міститься також ряд оцінок, які є прямим узагальненням теореми B на випадок просторів Лоренца L_q,r(q2,r>0). для прикладу наведемо такий результат.

Теорема 2.5.3. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1], причому, для деякого s(2,+] : _nsM_n, ⁿ_k=1 M²_k=B_n(n=1,2,...). Якщо 2<q<s, r>q і послідовність a={a_n}l₂ така, що

D_q,r(a)=(_n=1 a_n^rB_n M_n^2-r)^1/r<, , =r-1 - r(s-q)/(q(s-2)),

то ряд (2) збігається в L₂[0,1] до деякої функції f, причому

f_q,rc_q,r,s D_q,r(a).

У підрозділі 2.6 цього розділу наведені оцінки коефіцієнтів Фур'є функцій із просторів Лоренца в термінах величин, які використовувались у підрозділі 2.5. Ці оцінки двоїсті теоремам із 2.5.

Теорема 2.6.1.Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] і при деякому s(2,+] : _nsM_n, ⁿ_k=1 M²_k=B_n (n=1,2,...). Якщо q( s/(s-1), 2], r[1,q), fL_q,r[0,1] і {a_n} - коефіцієнти Фур'є функції f за системою {_n(x)}, то

D_q,r(a) c_q,r,s f_{q,r .}

У граничному випадку q=2 маємо наступне твердження.

Теорема 2.6.2. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] і при деякому s(2,+]. Якщо r>2, fL_2,r[0,1] і {a_n} - коефіцієнти Фур'є функції f за системою {_n(x)}, то

_r(a) c_r,sf_2,r ,

в позначеннях теореми 2.5.6.

Для простору ВМО нами одержано.

Теорема 2.6.3. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] і _n*M_n, ⁿ_k=1 M²_k=B_n (n=1,2,...). Якщо q(1,2], r[1,2] і fL_q,r[0,1] і {a_n} - коефіцієнти Фур'є функції f за системою {_n(x)}, то

D_q,r(a) c_q,rf_{q,r .}

У підрозділі 2.7 міститься твердження , яке показує , що теореми з підрозділу 2.5 в деякому розумінні остаточні. А саме, нами доведено, що теорема 2.5.3 точна у загальному випадку (для систем із L не обмежених в сукупності) в тому розумінні, що степінь r-r/q-1 у величини В_n , яка входить в D_q,r(a) не можна замінити ніяким меншим степенем. Більш того, справедлива

Теорема 2.7.1. Нехай {M_n} - деяка послідовність дійсних чисел, M_n1, ⁿ_k=1 M²_k=B_n (n=1,2,...), q>2,r2 і

M²_n+1cB_n

Знайдеться ортонормована на [0,1] система {_n(x)} і послідовність {c_n}l₂, такі, що _nM_n і при будь-якому <r-r/q-1

_n=1c_nrB_nM_n^2-r<,

але ряд _k=1 a_kk(x) збігається майже всюди до функції f₀ і f₀L_q,r.

Відомий цілий ряд робіт, які узагальнюють результати Харді і Літтлвуда, Пелі на випадок вагових просторів. Перша з них - це робота Пітта. Ним була здобута

Теорема С. Нехай p>1 та таке, що <p-1, max(p-2,0) і функція f(x) задовольняє нерівність

₀²f(x)^pxdx<.

якщо {c_n} - коефіцієнти Фур'є функції f за системою {e^inx} , то вірна нерівність

_n=1c_n^pn^p-2- c_{p, 0}²f(x)^pxdx .

Підсиленням цього результату є згаданий вище результат Стейна.

Для ваги виду

xlog¹ a₁/x log² log a₂/x...logⁿ...log a_n/x

оцінка такого типу раніш була одержана В.М.Кокілашвілі. У підрозділі 2.8 нашої роботи ми узагальнюємо цей результат, використовуючи вагову функцію загальнішого вигляду.

Нехай -множина всіх невід'ємних, монотонно зростаючих на [0,1] функцій. Скажімо, що функція (t) задовольняє ₂ - умову, якщо

(2t)c(t), t>0.

Припустимо, що при p>1 (t) задовольняє наступнi умови

B'=sup_0<r<1(¹_r((t)/t)^pdt)^1/p(^r₀(t)^-p' dt)^1/p'<, (4)

C'=sup_0<r<1(^r₀((t)/t^1/2)^pdt)^1/p(¹_r(t^1/2(t)^-p' dt)^1/p'<, (5)

Нами доведено таке твердження.

Теорема 2.8.2. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] і _nM при всіх n=1,2,..., а також

₀¹f^*(t)^pp(t)dt< , p>1 ,

послідовність {c_n} є послідовністю коефіцієнтів Фур'є функції f і (t) задовольняє ₂ -умову. Якщо p=2 і (t)const, або p>1, а (t) задовольняє умови (4), (5), то

_n=1 c_n^*p n^p-2p(1/n) c⁰₁ f^*(t)^pp(t)dt.

Серед результатів, які присвячені переносу теореми В на простір Орлича, відзначимо роботи Малхолланда, Маслова, Коляди. Для систем, у яких норми в L рівномірно обмежені, і функцій (t) спеціального вигляду, такого типу оцінка міститься в роботі малхоланда. В роботі Маслова подібна оцінка дана для систем обмежених функцій. При цьому умови, які накладаються на (t), носять порівняно з нашими інший характер.

В основі доведення головного твердження даного підрозділу лежить наступна лема.

Лема 2.9.1. Нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] , при деякому s(2,+] : _nL_s[0,1], _nsM_n, ⁿ_k=1 M²_k=B_n (n=1,2,...). Нехай також

f^(s)(t)={1/t^t₀f^*s(u)du}^1/s i 1/s+1/s'=1 .

Тоді

ⁿ_k=1 c_k²A¹_Tf^(s')2(u)du. (T=B_n-^s/(s-2)).

Використовуючи цю лему ми здобули наступну оцінку коефіцієнтів Фур'є.

нехай {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1] і при деякому s(2,+] : _nsM_n , ⁿ_k=1 M²_k=B_n (n=1,2,...). Нехай також - монотонно зростаюча неперервна функція і (0)=0. Будемо також вважати, що

B_n+1cB_n .

Теорема 2.9.1. Якщо (s)=(s^1/2) угнута на проміжку (0,+) і {c_k}- коефіцієнти Фур'є функції f, то

_k=1 (c_kB_k^(r-1)/(r-2) /M_k)M_k²/B_k^2(r-1)/(r-2) C₁₀¹(C₂f^(r'⁾ (t))dt.

Останній підрозділ нашої роботи присвячений переносу ряду результатів В.О. Родіна на випадок систем, які є обмеженими в сукупності, за допомогою методів, які вживалися в нашій дисертації.

Простір E вимірних функцій на [0,1] називається симетричним, якщо із нерівності f(t)g(t) і умови g(t)E випливає, що f_Eg_E і із рівновимірності функцій f і g виходить, що f_E=g_E.

Прикладами симетричних просторів є простори Лебега і Лоренца, які розглядалися раніше. наведемо деякі інші приклади симетричних просторів.

Нехай (t) - зростаюча, угнута на [0,1] функція і (0)=0. Загальним простором Лоренца назвемо множину вимірних функцій, для яких

f₍₎=₀¹f^*(t)d(t)<.

Якщо (t)0 зростає на відрізку [0,1] і (t)/t - спадає , то множину функцій, для яких

f_M()=sup_0<1 1/(t)₀f^*(t)dt<

називають простором Марцинкевича. Загальний простір Лоренца, як і простір Марцинкевича, є лінійними нормованими симетричними просторами.

Нехай тепер {_n(x)} - ортонормована система на відрізку [0,1], при всіх n=1,2,... _nL , _nM_n , ⁿ_k=1 M²_k=B_n (n=1,2,...).

У даному підрозділі ми одержали такі твердження, які узагальнюють ряд результатів В.O.Родіна на випадок систем, які не є обмеженими в сукупності.

Нехай

f(s/), 0smin(1,),

f(s)=

0, <s1.

Теорема 2.10.1. Нехай симетричний простір E такий, що

_EE=o(^1/2), 0,

_EE=o() , .

Якщо fE, {c_k} - коефіцієнти Фур'є функції f, то

_n=1c_nM_{n(0,1/Bn) E}cf_E.

Висновки

У першому розділі нашої роботи ми ввели новий клас S(p,)-систем, який є поширенням відомого класу S_p-систем. Основним результатом цього розділу є твердження про те, що при будь-якому >0 послідовність {ln²⁺ (e+_n)} є множником Вейля для збіжності майже всюди рядів за будь-якою S(p,)-системою. Більш того, ця послідовність є також множником Вейля для безумовної збіжності майже всюди. Таким чином встановлено таке, досить загальне, обмеження на ортонормовану систему, яке дозволяє в деяких частинних випадках підсилити твердження відомої теореми Ердеша-Стечкіна.

Нам не вдалося з'ясувати, чи залишиться згадане твердження вірним при =0. Це питання може бути метою подальших досліджень.

У другому розділі наші результати стосуються оцінок норм функцій через їх коефіцієнти Фур'є. Нам вдалося поширити відомі теореми Пелі та Стейна, щодо оцінок норм функцій у просторах Лебега та Лоренца, на ортонормовані системи з ВМО.

Ми довели, що для ортонормованих систем, у яких норми в L не є обмеженими у сукупності, не справджується гіпотеза, щодо підсилення відомої теореми Марцинкевича-Зігмунда, яку висунув Буллін на початку 50-х років.

Застосуванням оцінок незростаючих переставлень одержані нові оцінки норм функцій у просторах Лоренца через їх коефіцієнти Фур'є за загальними ортонормованими системами, та двоїсті їм оцінки коефіцієнтів Фур'є. Доведено остаточність, в деякому сенсі, означених результатів.

В останніх розділах роботи ми отримали нові оцінки коефіцієнтів Фур'є для функцій із класів Орлича, вагових просторів L_p, загальних симетричних просторів. Зазначимо, що методи дослідження в цій частині роботи також базуються на оцінках незростаючих переставлень. Такий підхід виявився ефективним для одержання нових коефіцієнтних оцінок норм функцій у різних функціональних просторах.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Кириллов С.А. О теореме Марцинкевича-Зигмунда//Матем. заметки.-1998.-Т. 63.-№ 3.-С. 386-390.

2. Кириллов С.А. О множителях Вейля для некоторых классов ортонормированных систем //Изв. вузов. Матем.-1994.- № 7.-C. 28-34.

3. Kirillov S.A. Some estimates for orthonormal systems from BMO//Acta Sci. Math. (Szeged).-1998.-V. 64.-P. 223-230.

4. Кириллов С.А. О теореме Марцинкевича-Зигмунда// Волинський математичний вісник.-1997.- № 3.-C. 43-45.

5. Kirillov S.A. Norm estimates of functions in Lorentz spaces//Acta Sci. Math. (Szeged).-1999.-V. 65.-P. 189-201.

Размещено на Allbest.ru

...