Основные законы распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Практическое занятие «Основные законы распределения»

Цель работы: закрепить знания по важнейшим законам распределения дискретных и непрерывных случайных величин, широко применяемым в теории вероятностей и математической статистике. Овладеть умением компьютерного моделирования и анализапараметров законов распределения.

Задачи: изучить встроенные статистическиефункции и средства табличного процессора MS Excel; освоить технику их применения длярешения задач вероятностного и статистического анализа; получить навыки определения гипотетического характера распределения по графикам.

Часть 1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯСПРАВКА

Дискретной случайной величиной называют любую функцию, определенную на множестве элементарных исходов и принимающую изолированные числовые значения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами («кси»),(«ита» или «эта»), («зита» или «зэта»), ...

Дискретные случайные величины задают при помощи закона распределения. Законом распределения случайной величины называют таблицу в верхней строке которой перечислены все возможные значения, принимаемые случайной величиной, а в нижней - вероятности, с которыми она принимает эти значения.

Таким образом, , Поэтому все вероятности , , ,... являются неотрицательными числами и удовлетворяют соотношениюполной группы событий .

Числовые характеристики случайных величин

Самыми важными числовыми характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называют число ,а дисперсией дискретной случайной величины называют число

.

Математическое ожидание является средним взвешенным значением случайной величины, а дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют числ

Часть 2. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Рассмотрим важные и широко распространенные в приложениях дискретные случайные величины с биномиальным законом распределения, геометрическим законом распределения и законом распределения Пуассона.

Биномиальный закон распределения с параметром () задается следующей таблицей, где использовано обозначение :

Характеристики: , .

Откройте в книге MS Excel лист «БИНОМ». Ознакомьтесь с расчетными таблицами и диаграммами биноминального распределения.

Выделите курсоромлюбую расчетную клеткустолбца С. В формульной строке появится записанная в этой клетке встроенная функция биноминального распределения «=БИНОМРАСП(B5;20;$A$2;ЛОЖЬ)».

Кликните левой кнопкой мыши на иконке «Вставка функции». В появившейся на поле листа вкладке откройте «Справку по этой функции». Изучите порядок создания биноминального распределения.

Обратите внимание, что для использования во всех клетках столбца С единого значения заданнойвероятностирадрес клетки А2 записан с помощью символов несмещаемости, т.е. как $A$2.

Для получения столбца C вероятностей закона распределения в строке меню «Интегральная» мы заносим термин «ЛОЖЬ». А для получения столбца D накопленной вероятности в строке меню «Интегральная» мы заносим термин «ИСТИНА».

Непосредственным сложением убедитесь, что число в каждой клетке столбца накопленной вероятности равно сумме значений величин, записанных в предыдущих клетках столбца С. Для этого выделите левой кнопки мыши несколько клеток столбца С, начиная от С3.Сумма проявится в правой нижней части листа.

Запишите в клетке А2 другое значение параметра (). Проследите, как изменяется вид закона распределения и кумуляты, как изменяется величина и положение экстремума функции.

Изучите схемы расчета математического ожидания и дисперсии в строках от №25. Сравните результаты с теоретическими значениями для биноминального распределения.

Геометрический закон распределения с параметром () задается следующей таблицей, где, как и в предыдущем случае, :

Характеристики

.

Откройте в книге MS Excel лист «ГЕОМЕТР». Ознакомьтесь с расчетными таблицами и диаграммами биноминального распределения.

Процессор MS Excelне имеет встроенной функции геометрического распределения, т.к. она очень проста. В нашем случае в столбце С записана расчетная формула. Проследите все действия на этом листе по аналогии с тем, как вы изучали биноминальное распределение.

Попробуйте самостоятельно вычислить математическое ожидание и дисперсию по предыдущему образцу.

Распределение Пуассона с параметром («ламба» или «ламбда», ) задается следующей таблицей:

Характеристики: ,

Откройте в книге MS Excel лист «ПУАССОН». Ознакомьтесь с расчетными таблицами и диаграммами этого распределения.

Проследите все действия на листе. Попробуйте самостоятельно вычислить математическое ожидание и дисперсию по образцу.

Часть 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯСПРАВКА

В отличие от дискретных случайных величин, принимающих только изолированные числовые значения, непрерывные случайные величины могут принимать значения из произвольного числового промежутка. Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения. Функцией распределения случайной величины называют числовую функцию , заданную соотношением

Замечание. Нижний индекс у обозначения можно не использовать, если речь идет о единственной случайной величине.

Свойства функции распределения:

§ для всех значений ;

§ функция не убывает для всех значений ;

§ ;

§ для любых значений;

Случайную величину можно задать также с помощью функции такой, что:

§ ;

§ ;

§ .

Функцию , удовлетворяющую перечисленным свойствам, называют плотностью распределения случайной величины .

Следствие 1. Если - непрерывная случайная величина, то

Следствие 2. Если плотность непрерывна в точке ,то

.

Математическим ожиданием случайной величины называют число

.

Как и в дискретном случае, математическое ожидание имеет смысл среднего значения случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют число

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины от ее математического ожидания.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин обладают теми же свойствами, как и в случае дискретных случайных величин. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют число

.

биноминальный дисперсия гауссовский числовой

Часть 4. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Рассмотрим наиболее распространенные в приложениях распределения непрерывных случайных величин: равномерное распределение, показательное (экспоненциальное) распределение и нормальное (Гауссовское) распределение.

Равномерное распределение случайной величины на отрезке задается плотностью распределения

Функция распределения

Характеристики: ,.

Откройте в книге MS Excel лист «РАВНОМ». Ознакомьтесь с расчетными таблицами и диаграммами этого распределения.

Процессор MS Excel не имеет встроенной функции равномерного распределения, т.к. она очень проста. В нашем случае в столбце D записана логическая расчетная формула

«=ЕСЛИ(ИЛИ($A$2>C57;C57>$B$2);0;1/($B$2-$A$2))».

Постарайтесь ее понять, используя подсказку «Справка по этой функции».

Проследите все действия на листе. Запишите в клетке А2 другое значение начала интервала существования случайной величины. Проследите, как изменяется вид плотности распределения и функции распределения.

Запишите в клетке В2 другое значение конца интервала существования случайной величины. Проследите, как изменяется вид плотности распределения и функции распределения.

Попробуйте объяснить, почему рассчитанные по формулам для дискретной случайной величины значения и несколько отличаются от теоретических, заданных соответственно, в клетках А2 и В2.

Замечание. Графики на листе «РАВНОМ» отличаются от теоретических, т.к. шаг вывода данных велик. Расчет для =3,5 и =9,5 с шагом 0,01 приводит к следующим результатам (см. лист «РАВНОМ(2)»).

Показательное распределение с параметром случайной величины задается плотностью распределения

Функция распределения

Характеристики: ,.

Откройте в книге MS Excel лист «ПОКАЗАТ». Ознакомьтесь с расчетными таблицами и диаграммами этого распределения.

Проследите все действия на листе.

Запишите в клетке А2 другое значение параметра . Проследите, изменяется ли вид плотности распределения и функции распределения, как изменяется величина экстремума плотности распределения.

Попробуйте объяснить, почему рассчитанные по формулам для дискретной случайной величины значения и несколько отличаются от теоретических, заданных соответственно, в клетках А2 и В2.

Нормальное распределение с параметрами и случайной величины задается плотностью распределения

.

Плотность нормального распределения не имеет интеграла, выражаемого элементарными функциями.Поэтому функция распределения нормально распределенной случайной величины задается формулой

,

где символом обозначена табличная (табулированная) функция Лапласа.

Характеристики

, , .

Откройте в книге MS Excel лист «НОРМ». Ознакомьтесь с расчетными таблицами и диаграммами этого распределения.

Проследите все действия на листе.

Запишите в клетке А2 другое значение параметра (математическое ожидание). Проследите, как изменяется вид плотности распределения и функции распределения, как изменяется положение экстремума плотности распределения.

Запишите в клетке В2 другое значение параметра (среднеквадратическое отклонение). Проследите, как изменяется вид плотности распределения и функции распределения, как изменяется величина экстремума плотности распределения.

Попробуйте объяснить, почему рассчитанные по формулам для дискретной случайной величины значения и несколько отличаются от теоретических, заданных соответственно, в клетках А2 и В2.

Размещено на Allbest.ur