Методи доведення ірраціональності та трансцендентності чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. ІСТОРИЧНА ДОВІДКА ВИНИКНЕННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ ЧИСЕЛ

1.1 Історія виникнення проблеми ірраціонального числа

Сукупність раціональних чисел немає властивості неперервності. Тому вона виявилась недостатньою при вивченні величин, які змінюються неперервно. Виникла потреба в розширенні поняття числа, яка полягає в переході від множини раціональних чисел до множини дійсних чисел. Цей перехід полягає в приєднанні до раціональних чисел так званих ірраціональних чисел, які виражаються через раціональні лише наближено.

Ірраціональні числа виникли пізніше від раціональних, і їх довго не визнавали за числа як такі; називали то “несумірними”, то “невиразними”, то “супротивними щодо розуму”.

Ще стародавні греки відкрили в геометрії існування несумірних відрізків. Це відкриття було поворотним пунктом в історії античної математики. Важко переоцінити значення цього відкриття. Ми не знаємо точно дослідження яких питань привело до відкриття несумірності. Це могло статися:

1) в геометрії при знаходженні спільної міри сторони і діагоналі квадрата;

2) в арифметиці могло виникнути питання про точне визначення такого дробу, квадрат якого дорівнює два.

Як би там не було, мова йшла про відшукання і дослідження величини, яку ми тепер позначаємо .

Існує легенда, що один з учнів Піфагора Гіпас бавився з числом "корінь квадратний з двох", намагаючись якраз знайти йому еквівалент з простого дробу. І Гіпас раптово зрозумів, що такого еквіваленту не існує. Піфагор же визначав те, що все відбувається за допомогою раціональних чисел, відкриття ірраціональних чисел руйнувало його вчення про гармонію світу. Зараз би сказали, що Піфагор втратив сенс існування. Тому, не зумівши спростувати аргументацію Гіпаса за допомогою математичної логіки, Піфагор засудив Гіпаса до смерті через утоплення.

Відкриття факту, що між двома відрізками - стороною і діагоналлю квадрата, не існує спільної, хоч як завгодно малої, міри, привело до справжньої кризи основ грецької математики.

Піфагорійці, які відкрили існування несумірних відрізків, тримали це відкриття в таємниці, були попереджені лише найбільш психічно стійкі та провірені учні, а тлумачилося воно як огидне явище, що порушує гармонію світу. Але нужда і війна змусили людство вчитися вирішувати алгебру рівняння не лише першого ступеня з цілими коефіцієнтами. Після Галілея снаряди стали літати по параболах, після Кеплера планети полетіли по еліпсах, механіка і балістика стали точними науками, і скрізь потрібно було вирішувати рівняння, коренями яких були ірраціональні числа. Тому з існуванням ірраціональних коренів алгебраїчних рівнянь довелося змиритися, якими б огидними вони не здавалися.

“Піфагорійці» пов'язували вічну душу з вічними формами числа, приписуючи цю властивість зокрема числу . Увесь світ, за їх ученням, складався з чистих чисел. Ця форма крайнього ідеалізму проявляється у Святій Трійці, чотирьох євангелістах, семи смертних гріхах тощо.

Відкриття несумірності діагоналі квадрата з його стороною нанесло серйозний удар по всій піфагорійській школі і сприяло її розпаду.

Незабаром було встановлено, що несумірність діагоналі і сторони квадрата не є винятком, що існують й інші величини, відношення яких не можна подати відношенням двох (цілих) чисел. Феодор з Кірени ( ст.до н.е.) показав, що сторони квадратів, площі яких дорівнюють , , , ,…, , несумірні з стороною одиничного квадрата.

Замість того, щоб розширити поняття числа, греки дійшли висновку, що треба відокремити вивчення цілих чисел від геометрії; встановлюється точна межа між арифметикою і геометрією.

Усі ірраціональності, до яких ведуть розв'язування квадратних рівнянь, Евклід побудував суто геометрично. Відомо “задача про подвоєння куба” привела греків до ірраціональностей вищого порядку; цю задачу вони розв'язали також геометрично і за допомогою побудови довели існування несумірних відрізків вищого порядку.

Відкриттю несумірних величин надавали важливого значення ще в старовину. Так, видатний старогрецький філософ Арістотель ( р.р. до н.е.) вказував, що воно викликало здивування, як і всяке справжнє наукове відкриття.

Факт існування несумірних відрізків не гальмував розвитку геометрії. Греки розробили теорію відношень відрізків, яка враховувала можливість їх несумірності; вони вміли порівнювати відношення за величиною, виконувати над ними арифметичні дії (в суто геометричній формі), інакше кажучи, користувалися такими відношеннями як числа.

Щоб позбутися ірраціональних чисел, греки вживали їх наближення, досить точні для практичних обчислень. В Архімеда ці наближення мали науковий характер. І хоч Герон Олександрійський при обчисленні площ добуває квадратний корінь з добутку чисел, а Діофант Олександрійський говорить уже про числа нераціональні, однак, ідея про те, що відношення довжин несумірних відрізків можна розглядати як число, в грецькій математиці не була усвідомлена до кінця.

Отже: можна сказати, що у вирішенні проблеми в галузі розширення поняття про число греки майже нічого не зробили. Як для Евкліда, так і, по суті, для Діофанта існувало тільки ціле число.

Індійці і араби розглядали ірраціональні числа як числа нового виду. Вони не задумувались над тим, чи законно додавати, перемножувати, ділити ірраціональні числа. Так, наприклад, Бхаскара знищує ірраціональніcть у знаменнику, множачи чисельник і знаменник на той самий ірраціональний множник.

Термін “ірраціональний” у математичному розумінні вперше застосував у ст. англійський математик Брадвардін (близько рр.). Поняття числа з цим терміном пов'язує вперше року німецький математик Штіфель. Але й він під час введення дій над ірраціональними числами вдається, як і Евклід, до відрізків.

Таким міркуванням властива загальна риса - ірраціональні числа не вважали повноправними числами. Але ці числа треба було розглядати, вивчати, бо зокрема, обчислюючи ірраціональні корені алгебраїчних рівнянь і логарифми чисел, визначаючи значення тригонометричних функцій і т.д., доводилося шукати їх достатні раціональні наближення і, по суті, оперувати ними як числами.

Велике значення для розвитку поняття ірраціонального числа мали праці Стевіна. Він був першим математиком, який повністю підтримував точку зору визнання повної рівноправності раціональних та ірраціональних чисел, однак, останні почали застосовувати разом з від'ємними числами тільки після появи геометрії Декарта у році.

Ідея Декарта привела до узагальнення поняття про число. Між точками прямої і числами було встановлено взаємно однозначну відповідність. У математику була введена змінна величина.

До початку ст. сформувалися три тлумачення поняття ірраціональної величини:

1) ірраціональне число розглядали як корінь -го степеня з цілого або дробового числа, коли результат добування кореня не можна виразити “точно” цілим або дробовим числом (найдавніше);

2) ірраціональне число трактували як межу, до якої його раціональні наближення можуть підійти як завгодно близько (це тлумачення йде від Стевіна і Валліса);

3) число розглядали як відношення однієї величини до другої величини такого самого роду, взятої за одиницю; коли величина несумірна з одиницею, число називали ірраціональним (Ньютон, Декарт).

Два останні означення ірраціонального числа довго не поширювались. Математики найчастіше трималися першого означення і говорили не про ірраціональні числа, а про ірраціональні величини. Тільки найпередовіші математики кінця і початку ст. - Ньютон, Лейбніц та інші - вважали поняття ірраціонального числа об'єктивним, трактували його по-новому і широко застосовували в математиці.

У другій половині ст., у зв'язку з дальшим розвитком механіки і математики, об'єктивність поняття ірраціонального числа набуває ширшого визнання. Третє означення ірраціонального числа стає на перше місце і повсюдно проникає в літературу. Водночас дещо розвивається і друге тлумачення поняття ірраціонального числа. Так, Ейлер, Ламберт та інші вчені встановили, що нескінченний періодичний дріб завжди є раціональним числом. Тому ірраціональне число є нескінченним неперіодичним дробом. Однак аж до другої половини ст. не було розроблено загальної теорії ірраціональних чисел.

Остаточного розвитку теорія ірраціональних чисел набула тільки в другій половині ст. у працях німецьких математиків Дедекінда, Кантора і Вейєрштрасса.

“Сучасне” доведення ірраціональності є вже у Арістотеля. Доведення ірраціональності , , …, належить Теодору з Нірени. Загальне вчення про ірраціональність створив Тєетет (учень Теодора). Можливо, і термінологія в теорії ірраціональності введена Теодором. Ціле раціональне число називалося "ariumoz"; відношення відрізків, тобто будь-яке дійсне число "logoz". Грецьке слово "alogioz" "що не має відношення", таким чином “відносилося не до ірраціонального числа, а до тих величин, відношення яких виражалося ірраціональним числом”. Сучасний термін з'явився як буквальне переведення грецького і утворений з латинського "in (ir)" ? заперечення і "ratio" ? відношення. Термін ввів Штіфель. До цього ірраціональні числа називали “глухими”, “безгласнимі” ? “surdi”.

Ірраціональні числа знайшли права громадянства в математиці лише після смерті Піфагора, вони не можуть бути точно виражені ні цілими числами, ні арифметичними дробами, а представляються безкінченними і неперіодичними десятковими дробами. Відрізняються особливими знаками (радикалами) або буквами .

Введення ірраціональних чисел означало гігантський прорив в математиці. Математики дістали можливість кинути погляд за межі цілих чисел і звичайних дробів, озирнутися і відкривати або, мабуть, винаходити нові числа. За словами математика сторіччя Леопольда Кронекера: «Бог створив цілі числа; вся остання справа рук людських».

1.2 Історія виникнення проблеми трансцендентного числа

Ми вже ознайомились з історією виникнення ірраціонального числа. Тепер розглянемо теорію походження трансцендентних чисел.

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Жозеф Ліувілль в , коли довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливе доволі добре наблизити раціональним дробом. У Шарль Ерміт довів трансцендентність числа (основи натуральних логарифмів). У Фердинанд фон Ліндеманн довів теорему про трансцендентність степеня числа з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа і нерозв'язність завдання квадратури круга.

У році на Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо , - алгебраїчне число і - алгебраїчне, але ірраціональне, чи вірно, що - трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число . Ця проблема була вирішена в році А. О. Гельфондом, який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.

Щодо походження трансцендентних чисел відомо досить мало, але є певні факти походження чисел та , які є основою трансцендентності та ірраціональності чисел.

1.2.1 Походження числа

Письмова історія числа починається з єгипетського папірусу, який датується приблизно роком до нашої ери, але воно було відомо ще древнім людям. Число звернуло на себе увагу людей ще в ті часи, коли вони не вміли письмово викладати ні своїх знань, ні своїх переживань, ні своїх спогадів. З тих пір як перші натуральні числа стали нерозлучними супутниками людської думки, допомагаючи оцінювати кількості предметів або їхні довжини, площі або об'єми, люди познайомилися із числом . Тоді воно ще не позначалося однією з букв грецького алфавіту і його роль грало число . Неважко зрозуміти, чому числу приділяли так багато уваги. Виражаючи величину відносини між довжиною окружності і її діаметром, воно з'явилося у всіх розрахунках пов'язаних із площею кругу або довжиною окружності. Але вже в далекій давнині математики досить швидко й не без подиву виявили, що число не зовсім точно виражає те, що тепер відомо як число (пі). Безумовно, до такого висновку могли прийти тільки після того, як до ряду натуральних чисел додалися дробові або раціональні числа. Так єгиптяни одержали результат: .. Індуси в століттях користувалися числом , китайці ? , а ще .

Позначення числа походить від грецького слова «періфєріа» ("окружність"). Уперше це позначення використовував в році англійський математик У.Джонс, але загальноприйнятим воно стало після того, як його (починаючи з року) став систематично вживати Леонард Ойлер. У кінці століття І.Ламберт і А.Лежандр установили, що ірраціональне число, а у році Ф.Ліндеман довів, що воно трансцендентне, тобто не може задовольняти ніякому алгебраїчному рівнянню із цілими коефіцієнтами.

Протягом усього існування числа , аж до наших днів, велася своєрідна "погоня" за десятковими знаками числа . Леонардо Фібоначі близько року визначив три перші точні десяткові знаки числа . В столітті Андріан Антонис визначив таких знаків. Франсуа Вієтт (подібно Архімедові), обчислюючи периметри вписаних і описаного багатогранників, одержав точних десяткових знаків. Андріан Ван Ромен таким же способом одержав 15 десяткових знаків, обчислюючи периметри багатогранників. Лудольф Ван Келень, обчислюючи периметри багатогранників, одержав точних десяткових знаків. Авраам Шарп одержав точних десяткових знаків числа . В році З.Дазе обчислює знаків після коми числа , в році Т.Клаузен одержує знаків, в Ріхтер обчислює знаків, у тім же році знаків одержує З.Дазе, а у цьому ж році У.Шенкс одержує знаків. З появою ЕОМ кількість вірних знаків десяткових знаків різко зростає:

рік - десяткових знаків (Джон фон Нейман, ENIAC),

рік - десяткових знаків (Ф.Женюи, IBM704),

рік - десяткових знаків (Д.Шенкс, IBM7090),

рік - десяткових знаків (Ж.Гийу, М.Буйе, CDC7600),

рік - десяткових знаків (Д.Бейли, Cray2),

рік - десяткових знаків (Я.Канада, NEC SX2),

рік - десяткових знаків (Д.Гудновски й Г.Гудновски, Cray2+IBM3040).

При обчисленні вірних десяткових знаків числа користувалися різними способами, деякі, як і Архімед обчислювали периметри вписаних і описаних багатогранників, але пізніше стали вдаватися до допомоги рядів. Так Лейбніц обчислював за допомогою ряду:

.

Шарп застосував ряд:

.

Л. Ейлер за допомогою ряду:

.

Джон Валлис (рр..) знайшов нескінченний добуток, за допомогою якого можна обчислити число (пі), у вигляді:

.

Число «пі» (позначається ) -математично визначається в Евклідовій геометрії як відношення довжини кола до його діаметру :

? або як площа круга одиничного радіусу.

Довжина кола дорівнює , якщо його діаметр .

Рисунок 1.1 ? Геометричне трактування числа

1.2.2 Походження числа

Історія числа (основа експонентної функції).

- математична константа, основа натурального логарифма, трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера або числом Непера. Позначається рядковою латинською буквою «e». Чисельне значення:

.

Число e може бути визначено декількома способами:

– через нескінчену границю:

(друга істотна границя);

– як сума ряду:

або

;

– як єдине число , для якого виконується

– як єдине додатне число , для якого вірно (похідна функції дорівнює самій функції)

ірраціональний трансцендентний число границя

Число з'явилося порівняно недавно. Його іноді називають "неперовим числом" на честь винахідника логарифмів шотландського математика Джона Непера (), однак це необґрунтовано, тому що немає твердих підстав для твердження, що Непер мав про число чітке позначення. Уперше математично обґрунтоване позначення числа "" увів Леонард Ойлер (). Він також обчислив точні десяткові знака цього числа після коми, використавши подання числа у вигляді нескінченного числового ряду:

,

отримане Данилом Бернулі(). В році Ерміт довів трансцендентність числа . Л.Ойлер одержав чудовий результат, що зв'язує числа , :

.

Йому належить і заслуга визначення функції для комплексних значень , що поклало початок математичному аналізу в комплексній області теорії функцій комплексного змінного. Ойлером були отримані наступні формули:

.

Клас логарифмів по основі , називаються натуральними й позначаються як . Експоненціальна функція з основою е має особливий характер - всі похідні функції дорівнюють самій функції:

2. МНОЖИНА ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

2.1 Методи встановлення ірраціональності чисел

У цьому розділі ми розглянемо прості методи, що дозволяють встановлювати ірраціональність деяких класів чисел, а також доведемо ірраціональність деяких величин, що часто зустрічаються в математиці таких як чисел „” та „”.

Сформулюємо теореми, що встановлюють ірраціональність досить широкого класу дійсних чисел, що зустрічаються особливо часто в шкільних курсах алгебри та геометрії.

Множина дійсних чисел містить у собі підмножину всіх раціональних чисел, тобто чисел, які можна представити у вигляді кінечного дробу, а всі інші дійсні числа називають ірраціональними.

Означення 1. Дійсне число називається ірраціональним, якщо воно відмінне від усіх раціональних чисел, тобто яке не може бути представлене у вигляді дробу , де ? ціле число, ? натуральне число.

Множина ірраціональних чисел зазвичай позначають . Таким чином ? множина ірраціональних чисел є різницею множин дійсних та раціональних чисел.

Властивості:

– будь-яке дійсне число може бути записане безкінченним десятковим дробом, при цьому ірраціональні числа і лише вони записуються неперіодичними десятковими дробами;

– ірраціональні числа визначають Дедекіндові перетини в множині раціональних чисел, в яких у нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому немає найменшого числа;

– кожне трансцендентне число є ірраціональним;

– кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним;

– множина ірраціональних чисел усюди щільне на числовій прямій: між двома будь-якими числами є ірраціональне число;

– множина ірраціональних чисел незчисленна, є множиною другої категорії.

Теорема 1 Нехай багаточлен із цілими коефіцієнтами, дійсне число ? корінь . Тоді або ціле, або ірраціональне число.

Доведення. ? ціле число, тому ми розглянемо тільки випадок . Припустимо, що не є ірраціональним числом , тобто що раціональне число де й цілі, . Підставляючи в рівняння й домножуючи обидві частини його на , одержуємо:

Із цього співвідношення безпосередньо видно, що є дільником (позначається, як ). Оскільки , то умови й можуть бути тільки при , тобто ціле.

Теорема доведена.

Приклад 1 Якщо натуральне число відмінно від всіх степенів цілих чисел, то ірраціональне число.

Дійсно, є корінь рівняння . Якщо число не є цілим, то згідно теореми воно ірраціональне. Наприклад, ірраціональне число, тому що послідовність квадратів цілих чисел має вигляд і жоден із цих квадратів не дорівнює . Число ірраціональне , тому що послідовність позитивних кубів цілих чисел має вигляд і жоден з них не дорівнює .

Ірраціональність деяких дійсних числі можна встановити за допомогою критеріїв, сформульованих у наступних двох теоремах.

Теорема 2 Якщо раціональне число, то існує таке що для будь-якого раціонального дробу буде справедлива нерівність :

. (2.1)

Доведення. Нехай , де .Візьмемо . Для будь-якого раціонального дробу буде , а отже, ціле число , і тоді

.

Теорема доведена.

Теорема 3Якщо для будь-якого позитивного числа існує хоча б одна пара цілих чисел , таких ,що то ? ірраціональне число

. (2.2)

Доведення. Якби було раціональним, то по теоремі (.2) найшлося б , таке, що для будь-якого дробу виконувалася б нерівність (2.), а це суперечить тому, що відповідно до наших умов для цього існує таке, що має місце нерівність (2.). Припущення, що раціональне число, привело нас до протиріччя, значить ірраціональне.

Теорема доведена.

Приклад 2. Довести ірраціональність числа :

.

Візьмемо довільне й виберемо настільки великим, щоб було .Покладемо,

, ,

і цілі числа . При таких і

,

так, що ? ірраціональне.

Теорема 4 Якщо при деякому розкладанні в систематичний дріб з підставою системи числення рівним , містить як завгодно довгі кінцеві ланцюжки , що складаються з однієї й тої ж цифри, то ірраціональне число.

Інакше кажучи , якщо в розкладанні

для кожного найдуться , причому й , те ? ірраціональне.

Доведення. Якби було раціональним, то розкладання в систематичний дріб з підставою було б періодичним. Таке розкладання не може мати однієї цифри в періоді, тому що для незліченної множини , . Припущення ж, що період складається з декількох цифр, також суперечить нашим умовам , тому що в цьому випадку не могли б існувати ланцюжка з однієї цифри довжиною більше, ніж число цифр у періоді.

Теорема доведена.

Приклад 3 Число , записуємо в десятковій системі зчислення у вигляді

ірраціональне.

Приклад 4 Довести, що число , де - просте число є ірраціональним числом.

Нехай - (нескоротний) дріб. Тоді , звідси ділиться на . Отже, ділиться на . Тому ділиться на , що є протиріччям нескоротності дробу .

Приклад 5 Довести, що число , де - різні прості числа.

З рівності випливає, що ділиться на . Тому ділиться на . Число взаємно просте з , тому ділиться на .

Приклад 6 Порівняти .

,

отже,

Приклад 7 Порівняти .

Нехай , тоді

- невірно,

отже, .

Приклад 8 Обчислити .

Розглянемо обчислення виразів, що містять «складні радикали».

Приклад 9 Обчислити .

,

? вірно.

Відповідь: .

Приклад 10 Обчислити .

? вірно,

? вірно.

Відповідь: .

2.2 Границі дробів, що мають ірраціональність

Приклади, які ми розглянемо в цьому параграфі, вкрай популярні серед тих, хто веде типові розрахунки. Схема їх досить проста: шукають границю дробу, у якого в чисельнику або в знаменнику розташовані, проще кажучи, корені. Для прикладу, розглянемо границю

.

Якщо ми спробуємо підставити замість трійку, то в чисельнику і в знаменнику отримаємо нулі:

В такому випадку говорять про невизначеність . Найбільш простий спосіб розкрити цю невизначеність, це домножити дріб на вираз, спряжений чисельнику. Під останньою фразою розуміють, що і чисельник і знаменник помножається на . Що це нам дасть? Для відповіді на це питання згадаємо формулу

(2.3)

Отже,

Використовуючи формулу (2.3) для виразу отримаємо:

Звідси, ми бачимо, що ірраціональність в чисельнику зникла

Приведемо ще кілька прикладів на застосування даного алгоритму.

Приклад 11 Знайти границю функції

Приклад 12 Знайти границю функції



В цьому прикладі ірраціональність зустрічається не тільки в чисельнику, а й в знаменнику, тому треба було домножити на два спряжених вирази як до чисельника, так і до знаменника.

2.3 Доведення ірраціональності числа „”

Доведемо ірраціональність числа .

Теорема 5 Число ірраціональне.

Доведення. Припустимо, що раціонально, тобто , де й натуральні числа. При збільшенні величина ; тому можна знайти таке, що виконується нерівність

(2.4)

Розглянемо для такого функцію

(2.5)

Заміняючи через і розкладаючи по ступенях , можна представити у вигляді:

(2.6)

так, що . Якщо рівність (2.6) продиференціювати разів, де , то одержимо:

Біноміальний коефіцієнт ціле число, так що цілі числа.

З рівності (5) видно, що , так що диференціюючи, одержуємо для всіх

,

і отже,

,

? цілі числа.

Інтегруючи вроздріб, одержуємо:

(2.7)

тому що наступна похідна тотожно дорівнює нулю.

З рівності (2.7) одержуємо:

(2.8)

де ціле число.

Оскільки в інтервалі підінтегральна функція позитивна, то інтеграл у лівій частині (2.8) більше нуля й . З іншого боку, з рівності (2.5) видно, що при маємо:

,

і оскільки , то при нашім виборі маємо:

,

тобто .

Припущення, що раціонально, привело нас до протиріччя, отже , ірраціональне.

Теорема доведена.

Ірраціональність числа була доведена вперше в році французьким математиком Ламбертом. Доказ Ламберта заснований на застосуванні безперервних дробів.

2.4 Доведення ірраціональності числа „”

Доведемо ірраціональність числа „” .

Теорема 6 Число ірраціональне.

Доведення. Припустимо, що , де й натуральні числа. Відомо, що

.

Із випливає, що - ціле число, тоді цілим буде й число

Звідси одержуємо, що

.

Тобто між 0 і 1 лежить ціле число. Припущення, що раціональне, привело нас до протиріччя, значить ірраціональне.

Теорема доведена.

Теорема 7 Число ірраціональне.

Припустимо, що раціонально. Тоді , де - ціле, а - натуральне, звідки .

Помножуючи обидві частини рівняння на , одержуємо

.

Переносимо в ліву частину:

Всі доданки правої частини цілі, отже:

? ціле.

Але з іншої сторони

Знов одержуємо протиріччя.

Теорема доведена.

3. МНОЖИНА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ ЧИСЕЛ

3.1 Означення та властивості трансцендентних чисел

У цьому розділі ми розглянемо прості методи, що дозволяють встановлювати трансцендентність деяких класів чисел, а також доведемо трансцендентність деяких величин, що часто зустрічаються в математиці таких як чисел „” та „”.

Сформулюємо теореми, що встановлюють трансцендентність досить широкого класу дійсних чисел, що зустрічаються особливо часто в шкільних курсах алгебри та геометрії.

Означення. Трансцендентні числа - це числа, які не задовольняють жодне алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами. Вони позначаються .

Властивості.

– Множина трансцендентних чисел континуальна.

– Кожне трансцендентне дійсне число є ірраціональним, але зворотне невірно.

Наприклад, число ? ірраціональне, але не трансцендентне, бо воно є коренем многочлена .

Трансцендентними числами є:

– основа натуральних логарифмів - число ;

– число ;

– десятковий логарифм будь-якого цілого числа, окрім чисел ;

– синус, косинус, тангенс будь-якого ненульового алгебраїчного числа .

Таким чином, називається трансцендентним числом, якщо не існує жодного багаточлена із цілими коефіцієнтами, коренем якого є , тобто для всіх , при будь-якому комплексі цілих, не рівних одночасно нулю чисел маємо .

3.2 Доведення трансцендентності числа „”

Для того щоб довести трансцендентність числа доведемо спочатку три допоміжних твердження.

Лема 1 При будь-якому цілому позитивному й будь-якому , має місце рівність

(3.1)

де .

Доведення. Скористаємося розкладанням функції в ряд

.

Із цього розкладу треба, щоб

,

де

.

Тому що

.

Лема доведена.

Лема 2 Нехай

,

,

де

Тоді

(3.2)

де

, (3.3)

. (3.4)

Покладаючи в рівності (3.1) , одержимо

Помноживши ці рівності, відповідно, на й склавши, одержимо рівність (3.2).

Лема 3 Сума й добуток двох алгебраїчних чисел є числами алгебраїчними (і притім цілими алгебраїчними, якщо такими є доданки й множники).

Доведення. Дійсно нехай алгебраїчне число, що є коренем рівняння -ого ступеня з раціональними коефіцієнтами й інших коренів цього рівняння й нехай - алгебраїчне число , що є коренем рівняння ой ступеня з раціональними коефіцієнтами , а - інших коренів цього рівняння.

Добуток всіх різниць виду, , мабуть, є багаточленом, одним з коренів якого є . Отже, нам досить переконатися в тім, що коефіцієнти цього багаточлена суть раціональні числа. Але ці коефіцієнти суть симетричні функції від аргументів і аргументів . Застосовуючи двічі теорему про симетрію функції «Якщо симетрична функція є багаточленом і корінь рівняння те де багаточлен. Зокрема, якщо коефіцієнти багаточлена цілі числа , то коефіцієнти багаточлена теж цілі числа», ми переконаємося в справедливості нашого твердження про добуток алгебраїчних чисел. Аналогічно доводиться твердження про суму.

Лема доведена.

Тепер перейдемо до доказу самої теореми, що ? трансцендентне число.

Теорема 1. Число ? транcцендентне.

Доведення. Нехай алгебраїчне число . На підставі леми 3 число теж алгебраїчне й отже, є коренем рівняння виду

(3.5)

з цілими коефіцієнтами. Нехай корінь цього рівняння , одним з них є . Тому що , то

. (3.6)

Розкривши дужки в лівій частині цієї рівності , одержимо

. (3.7)

Позначимо через ті з показників, які відмінні від нуля , а через інші. Приєднавши відповідні доданки в лівій частині (3.7) до першого, можемо записати рівність (3.7) у вигляді

, (3.8)

де ? ціле додатне число.

Числа суть цілі алгебраїчні числа, тому згідно лемі 3 цілими алгебраїчними числами є й числа

Дуже важливо помітити , що якщо симетричний багаточлен із цілими коефіцієнтами , те ціле число.

Дійсно, якщо

то буде також

тому що кожна із сум, що стоять у правій частині другої рівності, відрізняється від відповідної суми першої рівності, що складаються або рівними або утримуючого цього числа як множники, а числа дорівнюють нулю.

Вираз в правій частині останньої рівності є симетричним багаточленом відносно й отже , відносно . На підставі теореми: “Якщо симетричний багаточлен із цілими коефіцієнтами й корінь рівняння із цілими коефіцієнтами, то ? ціле число ” , треба, щоб було цілим числом. ”

Покладемо в рівності (3.2), послідовно , і складемо результати , помноживши попередньо перші з них на .Одержимо на підставі (3.8)

(3.9)

Якщо ми доведемо, що для деякого багаточлена рівність (3.9) неможлива, якщо алгебраїчні числа, то тим самим буде доведена трансцендентність .

Покладемо

, (3.10)

де ? просте число, що залишається поки невизначеним. Багаточлен (3.10) можна представити у видах:

(3.11)



Перше з рівностей (3.11) безпосередньо отримане з рівності (3.10), якщо в правій його частині розкрити дужки. При цьому одержимо

.

Добуток у правій частині симетричний й тому ціле число. Такі ж, легко зміркувати є й числа .

Друге з рівностей (3.11) виходить із рівності (3.10), якщо записати його у вигляді

і звільнитися від квадратних дужок. Важливо помітити, що …є багаточленами із цілими коефіцієнтами відносно

Легко підрахувати, що

(3.12)

(3.13)

Сума

,

є симетричним багаточленом із цілими коефіцієнтами й тому є цілим числом. Це число, через (3.8), ділиться на .

Ми будемо вважати більшим кожного із цілих чисел . Тоді:

буде цілим числом, яке не ділиться на , тому що таким буде перший доданок у правій частині, у той час, як інші доданки будуть цілими числами, що діляться на . Таким чином, сума, що визначена в першій частині рівності (3.12), при нашому виборі числа , є цілим числом, що не ділиться на , тобто є відмінним від нуля цілим числом.

Повернемося до розгляду суми

.

З рівності (3.4) , першої рівності (3.11) і того, що

.

легко доглянути, що буде по модулі меншим одиниці, при досить великому .

Таким чином, права частина рівності (9) є сумою цілого, відмінного від нуля, числа й числа, по модулі меншого одиниці. Така сума не може рівнятися нулю й тому рівності (9), при нашім виборі й , неможливі. Цим і завершений доказ трансцендентності числа .

Теорема доведена.

3.3 Доведення трансцендентності числа „”

Трансцендентність була доведена тільки в році французьким математиком Шарлем Ермітом.

Теорема 2 Число ? трансцендентне.

Доведення. Припустимо, що корінь багаточлена із цілими коефіцієнтами так що

. (3.14)

Позначимо через найбільшу з абсолютних величин коефіцієнтів , так що при всіх маємо .

При заданому функція при збільшенні прагне до нуля й, оскільки існують які завгодно більші прості числа, ми можемо вибрати просте число так , що будуть одночасно виконуватися умови:

.

Розглянемо функцію степеня :

Інтегруючи вроздріб, знаходимо:

Продовжимо цей процес, поки не дійдемо до похідної порядку , рівної тотожно нулю. Одержимо :

(3.15)

де ( до похідної порядку ).

Підставляючи в (3.15) замість число й множачи на ,, маємо:

(3.16)

Надаючи значення та складаючи при рівності (3.16) і беручи до уваги , що через тотожність (3.15) права частина виходить рівною нулю, знаходимо:

(3.17)

Розкладання по ступенях має вигляд :

, (3.18)

де цілі числа.

Одержуємо:

,

а є ціле число, оскільки просте й , не ділиться на ; , як легко бачити з (3.17), цілі числа, що діляться на ; являє собою суму цілого числа , що не ділиться на , і інші цілі числа, кратні , так що не є дільником . Оскільки , те буде також не є дільником .

Розкладання по ступенях , де , має вигляд:

(3.19)

де всі коефіцієнти цілі числа.

Диференціюючи (3.19), легко бачити, що при всіх таких :

ціле число , що ділиться на .

У сумі

,

перший доданок не ділиться на , а всі інші доданки діляться на , так що ? ціле число , що не ділиться на , і , таким чином, відмінне від нуля.

Ціле число, відмінне від нуля, має модуль, більший або дорівнюючий одиниці, так що .

Оцінимо тепер величину зверху. Згідно (3.17):

.

У всіх інтегралах, що входять в , величина пробігає значення, що не виходять за межі сегмента , а при таких справедлива нерівність:

так , що при всіх маємо

,

,

що суперечить отриманій раніше нерівності .

Таким чином, припущення, що алгебраїчне число, привело нас до протиріччя; отже, ? не алгебраїчне число, тобто трансцендентне число.

Теорема доведена.

Размещено на Allbest.ru

...