Теория алгоритмов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Теория алгоритмов - это раздел современной прикладной математики

Умение выделять алгоритмическую суть явлений и строить алгоритмы очень важно для человека любой профессии. Понятие алгоритма ценно не только практическим использованием, оно имеет также важное общеобразовательное и мировоззренческое значение.

Навыки алгоритмического мышления способствуют формированию особого стиля культуры человека, составляющими которого являются: целеустремленность и сосредоточенность, объективность и точность, логичность и последовательность в планировании и выполнении своих действий, умение четко и лаконично выражать свои мысли, правильно ставить задачу и находить окончательные пути её решения, быстро ориентироваться в стремительном потоке информации.

История теории алгоритмов

Двадцатый век в области науки и техники принёс человечеству много крупных достижений: радио, звуковое кино, телевидение, атомная энергия, космические полеты, электронные вычислительные машины, компьютеры - вот только главнейшие вехи, известные каждому из нас.

Но не всем известно, что крупнейшим достижением науки ХХ в. Является теория алгоритмов - новая математическая дисциплина. Теория электронных вычислительных машин, теория и практика программирования, а так же и математика не могут обойтись без неё. Математическая логика и кибернетика предъявляют на неё свои права. Однако она является самостоятельной наукой, которая готова служить всем наукам, и иметь своё лицо, свой предмет.

Само название - теория алгоритмов - говорит о том, что её предмет изучения - алгоритмы. Что это такое АЛГОРИТМ? Понятие алгоритма является и очень простым и очень сложным. Его простота в многочисленности алгоритмов, с которыми мы имеем дело, в их обыденности. Но эти же обстоятельства делают его определении е туманным, расплывчатым, трудно поддающимся строгому научному определению.

Слово «АЛГОРИТМ» происходит от имени узбекского математика Хорезми (по-арабски ал-Хорезми), который в 1Х веке до нашей эры разработал правила четырёх арифметических действий над числами в десятичной системе счисления. Совокупность этих правил в Европе стали называть «алгоритм». В последствии это слово переродилось в «алгоритм» и сделалось собирательным названием отдельных правил определённого вида (и не только правил арифметических действий). В течение длительного времени его употребляли только математики, обозначая правила решения задач.

В начале ХХ века понятие алгоритма стало объектом математического изучения (прежде им только пользовались), а появлением электронных вычислительных машин получило широкую известность. Развитие электронной вычислительной техники и методов программирования способствовало уяснению того факта, что разработка алгоритмов является необходимым этапом автоматизации. То, что сегодня записано алгоритмами, завтра будет выполняться роботами.

В настоящее время слово «АЛГОРИТМ» вышло далеко за пределы математики. Его стали применять в самых различных , понимая под ним точно сформулированное правило , назначение которого быть руководством, для достижения необходимого результата.

Формирование научного понятия алгоритма, ставшее важной проблемой, не закончено и в настоящее время. И хотя теория алгоритмов является математической дисциплиной, она ещё не очень похожа на такие широко известные науки, как теория чисел или геометрия. Теория алгоритмов ещё только зарождается.

Определение и свойства алгоритмов

Область математики, известная как теория алгоритмов, посвящена исследованию свойств, способов записи, видов и сферы применения различных алгоритмов. Научное определение понятия алгоритма дал А. Черч в 1930 году. Позже и другие математики вносили свои уточнения в это определение. В школьном курсе информатики используется следующее определение:

Алгоритм - описание последовательности действий (план), строгое исполнение которых приводит к решению поставленной задачи за конечное число шагов.

Алгоритмизация - процесс разработки алгоритма (плана действий) для решения поставленной задачи.

Мир алгоритмов очень разнообразен. Несмотря на это , удается выделить общие свойства, которым обладает каждый алгоритм. Внимательно анализируя примеры алгоритмов, можно найти в них много общего, несмотря на различие в сути самих действий. Эти общие характеристики называют свойствами алгоритма. Рассмотрим их.

Ё Дискретность (от лат. Discretus разделенный, прерывистый). Это свойство указывает , что любой алгоритм должен состоять из конкретных действий, следующих в определенном порядке. Для всех алгоритмов общим является необходимость строго соблюдения последовательности выполнения действий.

Ё Детерминированность (от лат. Determinate - определенность, точность). Это свойство указывает, что любое действие алгоритма должно быть строго и недвусмысленно определено в каждом случае.

Ё Конечность. Это свойство определяет, что каждое в отдельности и алгоритм в целом должны иметь возможность завершения..

Ё Массовость. Это свойство показывает, что один и тот же алгоритм можно использовать с разными исходными данными.

Ё Результативность. Это свойство требует, чтобы в алгоритме не было ошибок.

Описания действий в алгоритме следуют последовательно друг за другом. Однако очередность выполнения этих действий может быть изменена, если в алгоритме предусмотрен анализ некоторого условия. Путём включения условий создаются алгоритмы с различной структурой, в которой всегда можно выделить несколько типовых конструкций: линейную, циклическую, разветвляющуюся и вспомогательную.

Типы алгоритмов

Линейный алгоритм.

Линейный (последовательный) алгоритм - описание действий, которые выполняются однократно в заданном порядке.

Например:

Требуется составить алгоритм вычисления результата выражения:

100 + 15 - 40 + 20

1.Сложить числа 100 и 15.

2. Из полученной суммы вычесть 40.

3. К результату прибавить 20.

Разветвляющийся алгоритм

Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, в котором в зависимости от условия выполняется либо одна, либо другая последовательность действий.

Условие - выражение, находящееся между словом «если» и словом «то», и принимающее значение «истина» или «ложь».

Порою и анализ ситуации, и сам выбор не вызывают затруднений, а иногда сделать это очень не просто. Приходиться продумывать каждый возможный вариант и последствия принимаемого решения.

Прежде, чем сделать очередной ход, шахматист анализирует позицию на много шагов вперед.

Компьютерные игры также во многом построены на анализе ситуации и выборе.

Итак, чтобы сделать выбор, надо проанализировать условие.

В общем случае схема разветвляющего алгоритма выглядит так: «если условие, то … иначе».

Например, в предложении из сказки А.С. Пушкина о коте: «идет направо - песнь заводит, налево - сказку говорит».

Такое представление алгоритма получило название полная форма.

Неполная форма выглядит так: ««если условие, то …»

Например, в предложении «если выучишь урок, то получишь хорошую отметку!».

Циклический алгоритм

Циклический алгоритм - описание действий, которые должны повторяться указанное число или пока не выполнено заданное условие.

Перечень повторяющихся действий называется телом цикла.

Многие процессы в окружающем мире построены на многократном повторении одной и той же последовательности действий. Каждый год наступают весна, лето, осень, зима. Жизнь растений в течении года проходит одни и те же циклы. Подсчитывая число полных оборотов минутной или часовой стрелки, человек измеряет время.

Вспомогательный алгоритм

Вспомогательный алгоритм - алгоритм, который можно использовать в других алгоритмах, указав только его имя.

Вспомогательному алгоритму должно быть присвоено имя.

Понятие вспомогательного алгоритма значительно упрощает процесс алгоритмизации задачи. Создавая алгоритм, вы описываете действие результатом которого должно быть достижение поставленной цели. Этому алгоритму можно дать уникальное имя.

Если в процессе алгоритмизации удается выделить более простые этапы и для каждого из них установить промежуточные цели (подцели), то для их достижения рекомендуется разрабатывать вспомогательные алгоритмы. Итоговый алгоритм выглядит как связанные между собой вспомогательные алгоритмы, представленные только своими именами, причем описания самих вспомогательных алгоритмов хранятся отдельно.

«Алгоритмические джунгли» - алгоритмы вокруг нас

Среди разнообразных правил, с которыми приходится сталкиваться ежедневно и ежечасно, особую роль играют правила, предписывающую последовательность действий , ведущих к достижению некоторого необходимого результата.

Мы постоянно сталкиваемся с понятием алгоритма в различных сферах соей деятельности:

Ё В кулинарных книгах собраны рецепты приготовления различных блюд;

Ё Любой прибор, купленный в магазине, снабжается инструкцией по его использованию;

Ё В описании стиральных машин приводятся правила настройки управляющего устройства для различных видов стирки;

Ё Собираясь сшить платье, вы вначале постараетесь в модном журнале найти выкройку и описание к ней;

Ё Каждый шофер должен знать правила дорожного движения;

Ё Хорошие урожаи будут получаться из года в год, если при обработке земли будут соблюдаться определенные правила;

Ё Массовый выпуск автомобилей стал возможен только тогда, когда был придуман порядок сборки машин на конвейере.

Обычно мы выполняем привычные действия не задумываясь, механически. Например вы хорошо знаете, как открывать дверь ключом. Однако, чтобы научит этому малыша, придется чётко разъяснить и сами действия и порядок их выполнения:

1. Достать ключ из кармана .

2. Вставить ключ в замочную скважину.

3. Повернуть ключ 2 раза против часовой стрелки.

4. Вынуть ключ.

Разъясним понятие алгоритма в интуитивном смысле на ряде примеров

К числу алгоритмов не относятся правила, чего-либо запрещающие, вроде: «Посторонним вход воспрещен», «НЕ курить!», «Въезд запрещен!» и т. п. Не относятся к ним и правила, что-либо разрешающие, такие как: «Разрешена стоянка автотранспорта», «Вход», «Место для курения». А вот - «Уходя, гасите свет!», «Иди слева, Стоять - справа» (правила на эскалаторе в метрополитене) - это уже алгоритмы, хотя и очень примитивные.

Рождаясь, человек сразу попадает в «гущу» алгоритмов:

Ё Приготовление питательной смеси малышу, выдерживая все пропорции и правила приготовления и стерилизации бутылочки;

Ё Приготовление какого-либо блюда для праздничного стола, где должны быть строго выдержаны все пропорции продуктов и порядок их закладки в это блюдо;

Ё Садоводы, профессионалы и огородники свою работу выполняют только по строгим алгоритмам, которые предписывают когда сажать какую-либо культуру, как сажать, как ухаживать за посевами;

Ё Интересные примеры алгоритмов представляют широко известные рецепты приготовления лекарств в аптеках. Лишь очень опытные врачи составляют индивидуальный рецепт, в большинстве же случаев их выписывают из специального справочника. К каждому рецепту прилагается или рассказывается алгоритм приема лекарства;

Ё Все люди: дети и взрослые в своей большую часть своей жизни используют на алгоритмы - многие инструкции и приказы, определяющие наши действия на работе, - это алгоритмы.

Ё Даже выполнив свою работу, придя домой мы выполняем алгоритмы, занимаемся стиркой, приготовлением ужина, уборкой квартиры, или же выполняем какую-либо творческую работу рисуем картины, занимаемся лепкой и т. п.

Всюду алгоритмы. Они окружают нас, переплетаются, проникают друг в друга, шага нельзя ступить, не наталкиваясь на них. Но как разительно отличаются «алгоритмические джунгли» от настоящих, в которых густые спутавшиеся растения стесняют нас, тесно держат в плену. Удивительным образом алгоритмы не связывают нас, а ведут самыми надежными путями к решению сложнейших проблем.

Алгоритмы в изучении различных школьных предметов:

Алгоритмы в математике

Изобилие математических алгоритмов особенно бросается в глаза: алгоритмы вычитания десятичных положительных дробей, умножение десятичных дробей(столбиком), деление десятичных дробей и т.д. Ещё раннее каждый школьник изучает алгоритмы сложения натуральных чисел, вычитания натуральных чисел, таблицу умножения.

Алгоритм Евклид (алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел)

Ещё в I I I в. До н. Э. Математик Евклид, известный автор дошедшего до нас теоретического трактата по математике «Начала», в геометрической форме изложил правило получения общего наибольшего делителя двух натуральных чисел.

Обозначим z - наибольший общий делитель двух натуральных чисел х и у.

Алгоритм Евклида выглядит так,

1. Если х > у, то перейти к п. 4, иначе перейти к п. 2.

2. Если у > х, то перейти к п. 5, иначе перейти к п. 3.

3. Считать, что z = х. конец.

4. От х отнять у и впередь считать, эту разность значением у. Возвратиться к п. 1.

Решето Эратосфена (алгоритм получения простых чисел)

Целые положительные числа, отличные от единицы, которые без остатка делятся и только на единицу и на самих себя, называются простыми.

Древнегреческий учёный Эратосфен (I I I - I I вв до н. э.) предложил способ получении я простых чисел, не превосходящих заданного числа n. Этот способ можно описать в виде алгоритма:

1. Выписать последовательные целые числа, начиная с 2 и кончая числом n. Перейти к пункту 2.

2. Считать, что р является именем числа 2. Перейти к п. 3.

3. Если р 2 ? n, то перейти к пункту 4, иначе перейти к п.6

4. Начиная с числа р + 1 в последовательности чисел зачеркнуть (не отбрасывая его и не обращая внимания на то, было ли оно уже зачеркнуто) каждое р - е число. Перейти к п. 5.

5. Первое после р не зачеркнутое число последовательности считать новым значением имени р. Вернуться к п. 4

6. Процесс окончен. Все незачёркнутые числа последовательности являются простыми.

5 класс

Алгоритмы арифметических действий:

Алгоритм умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения)

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Алгоритм вычитания суммы.

Для того чтобы вычесть сумму из числа, можно вначале вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности - второе слагаемое;

Алгоритм вычитания числа из суммы.

Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить второе слагаемое.

Алгоритм умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения)

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Алгоритм умножения суммы на число (распределительное тельное свойство умножения относительно сложения).

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.

Алгоритм умножения разности на число (распределительное тельное свойство умножения относительно вычитания).

Для того, чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Алгоритмы при решении уравнений

Алгоритм нахождения неизвестного слагаемого

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо их суммы вычесть известное слагаемое.

Алгоритм нахождения неизвестного уменьшаемого

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Алгоритм нахождения неизвестного вычитаемого

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть и разность.

Алгоритм нахождения неизвестного множителя

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Алгоритм нахождения неизвестного делимого

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Алгоритм нахождения неизвестного делителя

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Алгоритм решения задач с помощью уравнения

1. Прочитать внимательно условие задачи;

2. Записать кратко условие задачи, записав все величины (единицы их измерения) , названные в задаче, установив связи и зависимости между ними;

3.Выбрать неизвестное задачи;

4. Выразить остальные величины задачи, установить связи их с неизвестным задачи;

5. Составить уравнение задачи, обосновав его условием задачи;

6. Решить уравнение;

7. Сделать проверку;

8. Выписать ответ.

Алгоритм выполнения порядка действий

1. Если в выражении нет скобок, и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.

2. Если выражение содержит действия первой (сложение и вычитание) и второй (умножение и деление) ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а потом - действия первой ступени.

3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Алгоритмы для обыкновенных дробей

Алгоритм сравнения дробей с одинаковыми знаменателями

а) Выбрать наибольшую дробь с одинаковыми знаменателями ту, у которой больше числитель;

б) Выбрать наименьшую дробь с одинаковыми знаменателями ту, у которой меньше числитель.

Алгоритмы сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

а) При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатели оставляют тот же;

б) При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатели оставляют тот же.

Алгоритмы представления смешанного числа в виде неправильной дроби

1. Умножить его целую часть на знаменатель дробной части;

2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части;

3. Записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Алгоритмы для десятичных дробей

Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

1. уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2. записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3. выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4. поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Алгоритм округления десятичных дробей

а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 5, 6,7, 8, 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.

а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.

Алгоритм умножения десятичной дроби на натуральное число

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1. умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;

2. в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа , сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Алгоритм умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000, ….

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, … надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоят в множителе после единицы.

Алгоритм деления десятичных дробей на натуральные числа

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2. поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

Алгоритм деления десятичной дроби на 10, 100, 1000, ….

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Алгоритм умножения десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1. выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2. отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе;

3. если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

Алгоритм умножения числа на 0,1; 0,01, 0,001 …

Для того чтобы умножить число на 0,1; 0,01, 0,001 надо:

1. разделить его на 10,100, 1000;

2. перенести запятую на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

множитель алгоритм арифметический число

Алгоритм деления числа на десятичную дробь

Для того чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:

1. В делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

2. после этого выполнить деление на натуральное число.

Алгоритм деления числа на 0,1; 0,01, 0,001

Для того чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01, 0,001…, надо:

перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей ( то есть умножить её на 10, 100, 1000.

Алгоритм нахождения среднего арифметического

Для нахождения среднего арифметического нескольких чисел надо:

1. найти сумму этих чисел;

2. разделить полученную сумму на число слагаемых;

3. выписать частное в ответ.

Алгоритм обращения десятичной дроби в проценты

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты надо умножить дробь на 100.

Алгоритм перевода процентов в десятичную дробь

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

6 класс

Признаки делимости

Признак делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.

Например:

100; 1000; 100000 и т.п.

Признак делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 и 5, то это число делится без остатка на 5.

Например:

45; 55; 15; 10; 10000 и т.п.

Признак делимости на 2

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и делится без остатка на 2.

Например:

32; 12; 224; 2098 и т. п.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Например:

15; 273; 474; 765; и т.п.

Признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

783; 549; 1233; 27954; и т.п.

Разложение на простые множители

Алгоритм нахождения НОД (наибольшего общего делителя)

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1. разложить их на простые множители;

2. из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3. найти произведение оставшихся множителей.

Например:

48 = 2*2*2*2*3; 36 = 2*2*3*3; НОД(48;36)= 2*2*3 = 12.

Алгоритм нахождения НОК

(наименьшего общего кратного)

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1. разложить их на простые множители;

2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3. добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4. найти произведение оставшихся множителей.

Например:

48 = 2*2*2*2*3; 36 = 2*2*3*3; НОК(48;36)= 2*2*2*2*3*3 = 144.

Алгоритм сокращения дробей

Для того чтобы сократить дробь необходимо и числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, отличный от 1.

Например:

Сократить дроби

;

.

Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю надо:

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2. разделить наименьший общий множитель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель;

Например:

Привсти дроби к наименьшему общему знаменателю:

Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 это число 12. Дополнительный множитель для дроби является число 3 (12:4=3). Получаем

.

Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 это число 12. Дополнительный множитель для дроби является число 2 (12:6=2).

Получаем .

Итак, , а .

Действия с обыкновенными дробями

Алгоритм сравнения, сложения, вычитания дробей с разными знаменателями.

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями надо:

1. привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;

2. сравнить, сложить, вычесть полученные дроби.

Например:

Найти значение суммы .

Решение

= .

Алгоритм сложения смешанных чисел

Чтобы сложить смешанные числа надо:

1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

2. отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части. Например:

Найти значение суммы16 .

Решение: Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 12, а затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части

16; 19; ( )+ () =(16 + 19) + () = 35 + = 36 .

Алгоритм вычитания смешанных чисел

Чтобы вычесть смешанные числа надо:

1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;

2. отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Например:

Найти значение разности: 5.

Решение: приведём дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы целой и дробной части:

5 = (5 +

Алгоритм умножения дроби на натуральное число

Чтобы умножить дробь на натуральное число , надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Например:

Выполнить умножение: 2*.

Решение

6 *

Алгоритм умножения дроби на дробь

Чтобы умножить дробь на дробь надо:

1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2. первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

Например:

Выполнить умножение

.

Алгоритм умножения смешанных чисел

Чтобы умножить смешанные числа надо:

1.их записать в виде неправильных дробей;

2.воспользоваться правилом умножения дробей.

Например:

Выполнить умножение: 2

Решение

2;

Алгоритм нахождения дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, надо умножить число на эту дробь.

Например:

Найти

Решение: ; так как 30%=0,3 то выполняем умножение 0,3*50=15.

Алгоритм умножения смешанного числа на натуральное число (применение распределительного свойства умножения)

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число надо:

1. умножить целую часть на натуральное число;

2. умножить дробную часть на это натуральное число;

3. сложить полученные результаты.

Например:

Выполните умножение: 5.

Решение

5= (5 +

Алгоритм деления обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую надо:

1. делитель представить в виде обратной дроби;

2. провести умножение делимого и преобразованного делителя.

Например:

Выполнить деление: 2.

Решение

2=

Алгоритм нахождения числа по его дроби

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Например:

Решите задачу: девочка прошла 300 м, что составляет всей дистанции; какова длина дистанции?

Решение: используя алгоритм нахождения числа по его дроби, получаем, что 300 : = 300*= 800 (м).Следовательно длина дистанции равна 800 м.

Арифметические действия с положительными и отрицательными числами

Алгоритм сложения отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

1. сложить их модули;

2. поставить перед полученным числом знак « - ».

Например - 8,7 + (- 3.5) = - (8,7 +3.5) = - 12,2.

Алгоритм сложения чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

1. из большего модуля слагаемых вычесть меньший;

2. поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.

Например: 6,1 + (- 4,2) = + (6,1 - 4,2) = 1,9.

Алгоритм нахождения длины отрезка на координатной прямой

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Алгоритм умножения чисел с разными знаками

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо:

1.перемножить модули этих чисел;

2. поставить перед полученным числом знак « - ».

Например: (-1,2) * 0,3 = - (-1,2 * 0,3) = - 0,36.

Алгоритм умножения отрицательных чисел

Чтобы перемножить два числа с отрицательными знаками, надо перемножить их модули.

Например: (-3,2) * (-9) = * 3,2 * 9 = 28,8.

Алгоритм деления отрицательного числа на отрицательное

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Например: - 4,5 : (-1,5) = 4,5 : 1,5 = 3.

Алгоритм деления чисел с разными знаками

При делении чисел с разными знаками, надо:

1. разделить модуль делимого на модуль делителя;

2. поставить перед полученным числом знак « - ».

Например: 3,6 : (-3) = - (3,6 : 3) = - 1,2.

Алгоритмы раскрытия скобок

а) Если перед скобками стоит знак « + », то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком « + ».

Например: - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 -7,639 = -7,639.

б). Если перед скобками стоит знак « - », то надо заменить этот знак на « + », поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Например: 16 - (10 - 18 + 12) = 16 + ( - 10 + 18 - 12) = 12.

Алгоритмы в химии

Алгоритм решения задач для проведения вычислений по химическим уравнениям:

1) Прочитайте текст задачи.

2) Запишите условие и требование задачи с помощью общепринятых обозначений.

3) Составьте уравнение реакции.

4) Подчеркните формулы веществ, о которых идёт речь. В условии задачи.

5) Надпишите над подчеркнутыми формулами исходные данные, под формулами - данные, закономерно вытекающие из уравнения реакции, и соответствующие коэффициентам.

6) Рассчитайте количество вещества.

7) Найдите молекулярную массу М определенного вещества, зная, |= М r .

8) Используя формулу расчета количества веществ:, вычислите его массу: m=M *v.

9) Составьте пропорцию.

10) Решите пропорцию.

11) Запишите ответ.

Алгоритм составления схемы образования ионной связи

(на примере CaF 2)

1) Определите заряд иона, образующегося из атомов металла при отдаче им электронов,

Сае > Са

2) Определить заряд иона, образующегося из атомов неметалла при присоединении им электронов , по формуле N - 8, где N - число электронов внешнего уровня, равное номеру группы,

F е > F

3) Устно найдите наименьшее общее кратное (Нок) между численными значениями зарядов образующихся ионов.

4) Определите число атомов металла, которое нужно взять, чтобы они отдали это НОК число электронов, и число атомов неметалла, чтобы они приняли это НОК число электронов. Для этого необходимо НОК разделить на соответствующие ионам числовые значения зарядов. (Это действие выполните устно).

5) Запишите схему образования ионной связи между атомами металла и неметалла с учетом вычислений, сделанных в пункте 4,

Са+ F > Са F

Алгоритм составления схемы образования молекул соединения с ковалентной полярной связью (на примере H 2 S)

1) Определите число электронов на внешнем уровне (N) у атомов неметаллов и число непарных электронов по формуле 8 - N.

2) Запишите электронную форму атома элемента- неметалла, который представлен одним атомом в центре, и через знак «+» - электронные формулы атома (атомов) другого элемента так, чтобы непарные электроны были обращены к непарному знаку.

3) Запишите электронную формулу образовавшейся молекулы, показав обобществленные электроны между взаимодействующими атомами (дополните запись в пункте 2).

4) Запишите структурную формулу образовавшейся молекулы, обозначив каждую общую электронную пару чёрточкой.

5) Покажите смещение электронных пар к атому (атомам) с большей электроотрицательностью, заменив черточки стрелками и обозначив частичные заряды (дополните запись в пункте 4)

Алгоритм составления формулы бинарного соединения (на примере оксида алюминия)

1) Запишите символы химических элементов, образующих соединении (слева запишите символ элемента с меньшей электроотрицательностью, а справа - с большей).

2) Проставьте степени окисления атомов записанных химических элементов (дополните запись в пункте 1).

3) Найдите наименьшее общее кратное (НОК) между значениями степеней окисления элементов ( \устно).

4) Определите индексы, разделив НОК на значение степени окисленеия каждого химического элемента (дополните в пункте 1).

Алгоритм составления химической реакции

1) Запишите формулы (формулу) исходных веществ, соединив их знаком «+» (это левая часть уравнения).

2) Поставьте стрелку.

3) Запишите после стрелки формулы (формулу) продуктов реакции(это правая часть уравнения).

4) Расставьте коэффициенты так, чтобы число атомов одинаковых элементов левой и правой частях уравнения были равными.

5) Замените стрелку знаком равенства.

Алгоритмы в физике

Алгоритм решения задач по физике:

1) Установить в общих чертах условие задачи.

2) Сделать краткую запись условия задачи.

3) Сделать чертёж, схему, рисунок, поясняющие описанный в задаче процесс.

4) Написать уравнение или систему уравнений, отображающих происходящий процесс.

5) Сопоставить векторным равенствам скалярные равенства.

6) Сопоставить векторным равенствам скалярные равенства использовать условия задачи и чертёж для преобразования исходных равенств так, чтобы в конечном виде в них входили лишь упомянутые в условиях задачи величины и табличные данные.

7) Исследовать полученные решения.

8) Перевести все величины в одну систему единиц.

9) Произвести вычисления.

Алгоритм решения простейших задач по кинематике

1) Выясните и запишите характер движения.

2) Выясните и запишите , есть ли начальная скорость.

3) Запишите краткое условие задачи, выразив все величины в единицах СИ.

4) Используя основные формулы кинематики, подберите формулы, которые необходимы для решения данной задачи.

5) Найдите искомую величину.

6) С помощью калькулятора вычислите её.

7) Проанализируйте ответ.

Алгоритм решения задач на второй закон Ньютона

1) Прочитайте внимательно условие задачи.

2) Выясните, какое тело движется, под каким действием, каких сил, каков характер движения?

3) Запишите краткое условие задачи, выразив все величины в единицах измерения СИ.

4) Сделайте чертеж, изобразив оси координат, тело и все действующие на тело силы.

Алгоритмы в информатике

В информатике существует несколько форм представления алгоритмов:

Ё Словесная;

Ё Таблицы - решения;

Ё Блок - схемы;

Ё Запись алгоритма на алгоритмическом языке.

Определение: блок - схема алгоритма - наглядное графическое изображение структуры алгоритма; она строится из блоков, соединенных стрелками, стрелки изображают последовательность шагов алгоритма.

Чаще всего используются блоки следующих типов: выполнения операций, выбора условий, ввод - вывод данный, начало и конец алгоритма.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Словесный алгоритм деления отрезка пополам с помощью циркуля и линейки

1. Провести по линейке отрезок АВ;

2. Отметить в начале отрезка т А;

3. Провести полуокружность с центром в точке А радиусом чуть больше середины отрезка АВ;

4. Поставить ножку циркуля в т. В;

5. Провести полуокружность тем же радиусом с центром в точке В;

6. Соединить по линейке точки пересечения полуокружностей;

7. Отметить точку пересечения отрезка АВ и линии пересечения полуокружностей.

Блок - схема алгоритма решения квадратного уравнения а х2 + b х + с = 0 (а ? 0)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на Allbest.ur

...