Матрицы. Определители

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ ИМЕНИ К. Г. РАЗУМОВСКОГО

Кафедра педагогики и психологии

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Математика

Тема: «Матрицы. Определители»

СТУДЕНТА 1-ГО КУРСА

филиала ФГБОУВПО

"МГУТУ имени К.Г. Разумовского

Капля Ильи Викторовича

МОСКВА - 2013 г.

Содержание

Введение

Глава 1. Матрица. Виды матриц

Глава 2. Матрицы и действия над ними

Глава 3. Определители и их свойства

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Темой данной контрольной работы является матрица и её определители. Матрица - это довольно многозначное слово, которое пришло в нашу речь из немецкого языка. Это слово можно встретить в сфере математики, техники и электроники и даже в сфере киноиндустрии.

В математике термин "матрица" обозначает математический объект, который представляет собой прямоугольную таблицу, состоящую из целых или дробных чисел. По сути дела, это совокупность строк и столбцов, на пересечении которых располагаются элементы матрицы. Размер матрицы определяется как раз количеством строк и столбцов. Для чего нужны матрицы в математике? В основном они применяются для удобного и компактного расположения систем линейных уравнений. При такой записи количество строк матрицы будет равно количеству уравнений в системе, а столбцы будут соответствовать неизвестным. Таким образом, упрощается поиск неизвестных. С матрицами можно производить алгебраические операции: умножение, сложение, умножение на матрицу вектора и на скаляр.

Целью данной контрольной работы является раскрытие сущности матрицы.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

Дать определение матрицы и рассмотреть её виды.

Показать на примерах математические действия, осуществляемые над матрицами.

Детально охарактеризовать свойства определителя матрицы.

Матрица. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы.

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером mЧn записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй - номер столбца. Например, a₂₁ - элемент стоит во 2-ой строке, 1-ом столбце.

Рассмотрим виды матриц:

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются первая матрица - её порядок равен 3.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это вторая матрица.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей - строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей - столбцом. В приведённых примерах таковой является матрица под номером 3.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол. К примеру, в первой матрице это числа 1, 2, 3 (они выделены подчёркиванием).

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей. (Пример под № 4.)

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид.

Матрицы и действия над ними.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

.

- нельзя, т.к. размеры матриц различны.

.

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу

Примеры.

.

, .

Найти C=-3A+4B.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц-сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой - 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

Другим важным случаем является умножение матрицы-строки на матрицу-столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Найти произведение матриц.

.

.

- нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй - 3-м.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если

, то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование - это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Определители и их свойства

таблица умножение матрица математический

Определители второго и более высоких порядков. Пусть - квадратная матрица 2-го порядка. Определителем 2-го порядка (матрицы а) называется число

D(А) = . Пример. Вычислить определитель матрицы . РЕШЕНИЕ. D(А) = . Пусть - матрица 3-го порядка. Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется число

D(А) =

Пример. Вычислить определить

D(А) =

Свойства определителей Изложенные ниже свойства справедливы для любого n-го порядка.

1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. D(А^Т) = D (А). Поэтому в дальнейшем большинство свойств формулируется и доказывается для строк.

2. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю.

6.

7. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. 8. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой сроки (столбца) равно 0.

Заключение

На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы:

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей - строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей - столбцом.

Матрица бывает нескольких видов:

Квадратная

Прямоугольная

Единичная

Нулевая

Диагональная

Кроме того, существует ряд математических операций, которые можно осуществлять с матрицами. К ним относят: транспонирование, сложение, умножение.

Список используемой литературы

И.В. Виленкин, В.М. Гробер Высшая математика. Ростон-на-Дону, 2002.-180 с.

Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр. М.: Новое знание, 2002.- 240 с.

Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие. - Мн.: ЧИУП, 2003. - 232 с.

Ганичева А.В. Математика для психологов: учебное пособие. - М.: Аспект-Пресс, 2006.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х частях. - М.: Оникс, 2007.

Размещено на Allbest.ru