Решение систем алгебраических уравнений в среде MathCAD Windows

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Постановка задачи

2. Теоретические сведения к работе

2.1 Понятие математической модели и свойства математических моделей

2.2 Описание методов аппроксимации, применяемых для построения регрессионных математических моделей

2.3 Обзор основных функций системы MathCad

3. Алгоритмический анализ задачи и описание функционирования

3.1 Исходные данные

3.2 Графическая схема решения задачи

3.3 Описание работы в системе MathCad

3.4 Результаты и их анализ

4. Системное и техническое обеспечение

Заключение

Список литературы

Введение

Одна из задач ЭВМ - автоматизация труда, повышение эффективности научных исследований. Основная особенность ЭВМ - ориентация на применение пользователями, не владеющими языками программирования. Такой подход позволяет преодолевать языковой барьер, отделяющий человека от машины. С этой целью разрабатываются пакеты прикладных программ, рассчитанные на широкие круги специалистов. К подобным пакетам относится MathCad.

MathCad - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

В данной работе в среде MathCad 7.0 Professional был проведен расчет параметров регрессионной математической модели на основе трех серий экспериментов.

1. Постановка задачи

Используя заданные экспериментальные данные при помощи системы MathCad 7.0 Professional определить параметры регрессионной математической модели . Для нахождения коэффициентов необходимо использовать два метода:

а) метод средних отклонений;

б) метод наименьших квадратов.

Для математической модели необходимо рассчитать параметры, используя стандартные функции системы MathCad для аппроксимации и сравнить результаты с полученными по вышеуказанным методам.

Результаты расчетов должны быть отображены графически.

Модели проверить на адекватность с использованием дисперсии адекватности и средней ошибки аппроксимации.

2. Теоретические сведения к работе

2.1 Понятие математической модели и свойства математических моделей

Модель - это физический или абстрактный образ объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Под математической моделью понимается совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающих физические свойства объекта. Математическое моделирование - это процесс формирования модели и использования ее для анализа и синтеза.

На каждом уровне иерархии различают математические модели элементов и систем. Математические модели классифицируются:

по форме представления: инвариантные (представляют собой систему уравнений вне связи с методом решения), алгоритмические (модели связаны с выбранным численным методом решения и его реализацией в виде алгоритма), аналитические (отображаются явными зависимостями переменных), графические (схемные);

по характеру отображаемых свойств: функциональные (описывают процессы функционирования объектов), структурные (отображают только структуру и используются при решении задач структурного синтеза);

по степени абстрагирования: модели микроуровня с распределенными параметрами, модели макроуровня с сосредоточенными параметрами, модели метауровня;

по способу получения: теоретические, экспериментальные;

по учету физических свойств: динамические, статические, непрерывные, дискретные, линейные, нелинейные;

по способности прогнозировать результаты: детерминированные, вероятностные.

Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, которая оценивается степенью совпадения предсказанного в процессе эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными значениями.

Погрешность о по совокупности m выходных параметров оценивается одной из норм вектора :

или ,

где оj - относительная погрешность модели по j-тому выходному параметру ,

- значение j-того выходного параметра, полученное в результате эксперимента на принятой для проектирования математической модели;

yj - значение того же параметра, полученное при испытаниях технического объекта в тестовых условиях.

2.2 Описание методов аппроксимации, применяемых для построения регрессионных математических моделей

Для аппроксимации используются метод средних отклонений и метод наименьших квадратов.

Суть метода средних отклонений заключается в том, что математическая модель аппроксимирует множество оценок зависимой переменной таким образом, чтобы сумма невязок была равна 0. Для построения математической модели все множество эмпирических значений функции и множество независимых переменных делится на три почти равные группы для нахождения неизвестных параметров a, b и c. Для каждой группы записывается условие невязок в группе, т. е. фактически составляется система линейных уравнений, которая в применении к данной задаче имеет вид:

Метод наименьших квадратов основан на том, что при определении параметров модели сумма квадратов отклонений расчетного значения от опытного была минимальной:

.

Метод основан на том, что параметры функции находятся из условий достижения минимального значения. Условием достижения точки экстремума является обращений в нуль частных производных. Фактически решение задачи сводится решению системы уравнений:

2.3 Обзор основных функций системы MathCad

Самыми простыми функциями для определения коэффициентов линейной аппроксимации являются функции slope(х, у) и intercept(х, у). Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept - точку пересечения графика с вертикальной осью. Аргументами функций являются массивы значений х и у. В Mathcad 2000 для этих же целей используется функцию line(х, у) с такими же аргументами.

Для подбора полиномиальной функции служат встроенные функции regress и описанная выше interp. Очевидно, что если в качестве аппроксимирующей функции брать полином степени на единицу меньше числа точек, то задача сведется к задаче глобальной интерполяции и полученный полином будет точно проходить через все заданные узлы. Функция regress является вспомогательной и используется для подготовки данных, необходимых для работы функции interp. Общий вид функции: regress (x, y, k), где k -степень полинома. Применение после этого функции interp позволяет определить значение полинома в любой точке. Также может использоваться функция loess (x, y, s), которая аппроксимирует данные полиномом второй степени с заданной погрешностью s.

Mathcad предоставляет пользователям встроенную функцию linfit для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов линейной комбинацией произвольных функций. Функция linfit (x, y, f) имеет три аргумента: вектор x - x-координаты заданных точек, вектор y - y-координаты заданных точек, функция f - содержит набор функций, который будет использоваться для построения линейной комбинации.

Для аппроксимации при помощи функции дробно-рационального типа используется функция genfit(x, y, f, v). Функция имеет следующие параметры: x, y - векторы, содержащие координаты заданных точек, f - функция, задающая искомую функциональную n-параметрическую зависимость и частные производные этой зависимости по параметрам, v - вектор, задающий начальные приближения для поиска параметров.

математический аппроксимация регрессионный

3. Алгоритмический анализ задачи

3.1 Исходные данные

Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1 Исходные данные

3.2 Графическая схема алгоритма решения задачи

Графическая схема алгоритма решения задачи приведена на рисунке 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3.3 Описание работы в системе MathCad

Рабочая область для ввода программы в MathCad представляет собой чистый лист, разбитый на отдельные страницы зелеными линиями.

При набор документа любой набранный на клавиатуре символ (за исключением «“») воспринимается как начало ввода формулы. Ввод текста должен предваряться нажатием клавиши «“».

Операция присвоения вводится нажатием клавиши «:» и на экране отображается как «:=».Для ввода ранжированной переменной (например f:=1..15) необходимо после ввода первого значения диапазона нажать клавишу «;». Данная клавиша преобразуется на экране в вид «..».

Для задания векторов и матриц используется операция «Insert»/«Matrix...» (рисунок 2), с последующим заданием в окне количества строк и столбцов.

Рисунок 2 Окно вставки матрицы

Для набора индексированной переменной, указывающей на элемент массива, необходимо набрать имя массива, а затем перейти к набору индексов нажатием клавиши «[». Сначала указывается индекс строки, а затем через запятую индекс столбца.

Построение графика начинается либо с нажатия клавиши «@», либо с вызова вида графика со специальной панели для построения графиков. После этого вместо квадратиков, расположенных посередине осей необходимо ввести переменные, для которых строится график. Для изменения параметров графика необходимо дважды щелкнуть на изображении графика. После этого появляется специальное меню, состоящее из нескольких закладок. Путем изменения параметров на этих закладках, можно изменять толщину и вид линии, параметры осей, проводить промежуточные линии по осям Х и У, а также изменять другие параметры.

Для решения системы уравнений, реализующих метод средних отклонений и метод наименьших квадратов, применяется конструкция вида:

Given

<уравнения системы>

Find (x1, …, xn)

В данной конструкции <уравнения системы> - записанные в соответствии с правилами пакета уравнения, количество которых должно быть равно количеству неизвестных; х1, …, xn - неизвестные в уравнениях. Перед использованием данной конструкции всем неизвестным должны быть присвоены прогнозируемые значения.

Для ввода функций необходимо либо набрать ее с клавиатуры, либо использовать пункт меню «Insert»/«Function» и выбрать функцию из списка. Ввод знака суммы производится при помощи панели ввода математических символов.

Для вывода результатов на принтер необходимо нажать на кнопку с изображением принтера на панели управления либо выбрать пункт меню «File»/«Print …». После этого открывается окно настройки печати. Перед печатью возможен просмотр выводимого документа выбором в меню пункта «File»/«Print Preview».

Сохранение файла производится выбором пункта меню «File»/«Save» или «File»/«Save as …». В первом случае файл сохраняется под старым именем, во втором пользователь получает возможность сохранить файл под новым именем. Для этого после выбора данного пункта необходимо в открывшемся окне ввести имя файла.

Документ MathCad приведен в приложении 1.

3.4 Результаты и их анализ

В результате исследований получены следующие результаты моделирования

1) методом наименьших квадратов и при помощи стандартной функции linfit:

уравнение аппроксимации: ;

критерий Фишера Ft=0,643, что меньше табличного значения, следовательно полученная модель адекватна;

средняя ошибка аппроксимации Р=4,741;

2) методом средних отклонений:

уравнение аппроксимации: ;

критерий Фишера Ft=0,671, что меньше табличного значения, следовательно полученная модель адекватна;

средняя ошибка аппроксимации Р=5,0.

При сравнении средней ошибки аппроксимации и критерия Фишера можно сделать вывод, что наилучшие результаты дают регрессионные модели, построенные на основе метода наименьших квадратов или с использованием стандартной функции linfit.

4. Системное и техническое обеспечение

При решении задачи в данной работе применяется пакет MathCad 7.0 Professional, который предъявляет следующие требования к техническому и программному обеспечению:

Процессор 80486 или выше;

18 Мб (минимальная конфигурация) или 55 Мб (типовая конфигурация) места на винчестере;

12 Мб RAM (рекомендуется 16 Мб и больше);

совместимые монитор, принтер, мышь;

одна из следующих операционных сиcтем: Windows 95/98 или выше, Windows NT.

При решении задачи применялся компьютер следующей конфигурации:

Микропроцессор Celeron. Тактовая частота - 1800 МГц.

Внутренняя память ПК: ОЗУ - 512 Мб.

Внешняя память: Винчестер Seagate - 80 Гб. Дисковод - 3,5” для дискеты емкостью 1,44 Мб. CD-ROM Mitsumi 52х скоростной.

Монитор LG Studioworks 57i 15”, разрешающая способность 800x600, размер точки 0,28 мм, видеоконтроллер ATI Radeon 9000, память 128 Мб.

Принтер Epson LX-1050 (формат А3) подключен к порту LPT1, скорость печати - от 2 до 0,2 стр/мин.

Операционная система Windows ХР.

Заключение

В данной работе была построена в среде MathCad регрессионная математическая модель на основе данных эксперимента.

В первой главе дается постановка задачи. Во второй главе приводятся теоретические сведения к работе, которые включают в себя краткий анализ понятия математическая модель, описание методов аппроксимации и обзор основных функций MathCad. В третьей главе описывается графическая схема алгоритма решения задачи, исходные данные, а также описание работы в MathCad. Четвертая глава посвящена описанию системного и технического обеспечения. Документ MathCad со всеми результатами приведен в приложении.

В результате исследований были получены следующие регрессионные модели:

- методом наименьших квадратов и при помощи стандартной функции linfit:;

- методом средних отклонений: ;

По критерию Фишера и средней ошибке аппроксимации наилучшие результаты дает первая из вышеуказанных моделей, по которой можно рассчитывать значения функции для любого значения аргумента.

Работа соответствует поставленному заданию. Полученная модель является адекватной и может использоваться при изучении поведения реального объекта.

Список литературы

1. Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Мн.: «Вышэйшая школа», 1987 - 127 с.

2. Новиков А. А. Решение инженерно-экономических задач в среде MathCad for Windows. Гомель: ГГТУ, 2000 - 45 с.

3. Токочаков В. И. Решение систем алгебраических уравнений в среде MathCAD Windows. Гомель: ГГТУ, 2000 - 25 с.

4. Трохова Т. А. Основные приемы работы в системе MathCAD, версии 6.0. Гомель: ГГТУ, 1998 - 45 с.

5. Турчак Л. И. Основы численных методов. М.: «Наука», 1987 - 256 с.

6. Харитонова В. В. Математические методы решения физических задач, Мн.: «Вышэйшая школа», 1991 - 245 с.

Размещено на Allbest.ru