Математична модель електричної системи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Застосування топологічних методів для опису електричної системи

електричний рівняння математичний схема

Розрахунки режимів роботи електричної системи виконуються на основі математичних моделей. Математична модель - це інформаційне відображення реальної електричної системи засобами математичних рівнянь, що в повному обсязі відображають властивості всіх елементів системи.

Найпростіші математичні моделі - лінійні. Такі моделі, зазвичай, формуються у матричному вигляді.

Електрична система складається з джерел живлення, споживачів електроенергії, ліній електропередачі, трансформаторів. Структура електричної системи та взаємозв'язок її елементів зображуються графічно за допомогою принципової схеми електричної системи.

Складання математичної моделі електричної системи засновано на поданні кожного з її елементів деякою схемою заміщення. Для опису симетричних режимів системи трифазного змінного струму всі величини визначаються комплексними числами і схеми заміщення елементів складаються на одну фазу з нейтралю.

Джерело живлення може бути представлене як джерело напруги з ЕРС Е_Д та внутрішнім опором Z_Д, або як джерело струму J_Д (рис. 1.а). При розрахунках усталених режимів використовують представлення через струми, а представлення за допомогою ЕРС та опорів використовують при розрахунках струмах замикання та перехідних режимів.

Схеми заміщення елементів електричної системи

Споживачі електроенергії (електричні навантаження) мають схему заміщення або у вигляді провідності Y_н, або у вигляді струму навантаження J_н (рис. 1.б). Лінії електропередачі представлені П-подібною схемою заміщення (рис. 1.в), а трансформатори (рис. 1.г) представлені Г-подібною схемою заміщення.

Схеми заміщення окремих елементів електричної системи об'єднують в такий самій послідовності, що і в принциповій схеми, і враховують те, що шунти трансформаторів, ліній електропередачі можна об'єднувати з шунтами споживачів та джерел електроенергії. Отримана схема називається розрахунковою схемою електричної системи.

Розрахункова схема електричної системи являє собою електричне коло, складовими якого є гілки, вузли та контури. Гілкою називається ділянка електричного кола, що складається з послідовно з'єднаних ЕРС та опору (активна гілка), або тільки з опору (пасивна гілка), вздовж якої струм має одне і те ж значення. Вузол визначається як пункт з'єднання гілок. Один з вузлів приймається за балансуючий пункт з відомим рівнем напруги U_БП. Зазвичай, це пункт приєднання потужного джерела живлення. Контуром називається ділянка електричного кола, що була отримана з послідовно з'єднаних декількох гілок таким чином, що початок першої гілки контуру з'єднується з кінцем останньої гілки в одному вузлі.

Схеми заміщення сучасних електричних систем містять сотні гілок та вузлів. Для розрахунків режимів роботи електричних систем доцільно використовувати формалізований підхід на основі аналітичного опису конфігурації схем за допомогою теорії графів та алгебри матриць.

Конфігурація електричної системи відтворюється за допомогою графів, а матриці використовують для аналітичного запису структури графів, параметрів розрахункової схеми електричної системи, параметрів усталеного режиму електричної мережі.

Граф становить множину вершин (вузлів) та ребер (гілок), що з'єднують пари вершин. Якщо ребра графа мають фіксований напрямок, то цей граф називається направленим. Схема заміщення електричної системи є зв'язаним графом. Вона складається з гілок, з'єднаних у вузли. Гілки складають ланцюги, що можуть бути замкненими. Усі величини, що характеризують стан гілок: струми, ЕРС, падіння напруги, повинні мати певний напрям, і тому доцільно кожній гілці надати певний, довільно обраний, напрямок.

При зображенні схем у вигляді графа гілка зображується прямою з зазначенням її напрямку. Таким чином, напрямок гілки від початкового вузла до кінцевого одночасно є додатним напрямком і для інших величин - ЕРС,

струму та падіння напруги.

Матрицею називається спрощена таблиця однорідних величин, що записані у визначеній послідовності.

Матриця може бути одномірною - вектор-рядок, або вектор-стовпчик, наприклад, матриця вузлових струмів [J] - вектор-стовпчик; прямокутною розміру (m x n); діагональною розміру (n x n).

Матриця називається діагональною, якщо всі елементи, крім елементів на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Наприклад, матриця опорів гілок розрахункової схеми є діагональною матрицею, позначають її наступним чином:

Діагональна матриця з діагональними елементами, що дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею.

Для аналітичного опису схеми електричної системи застосовують матриці інциденцій. Матрицями інциденцій називаються матриці, у яких елементи приймають одне з трьох значень: 1; -1; 0.

Існує три матриці інциденцій [M], [N], [C].

Перша матриця інциденцій - матриця [М]. Матриця, що показує з'єднання гілок і вузлів. Це прямокутна матриця розміру (т x n), де т - дорівнює числу розрахункових вузлів, а п - відповідає числу гілок. Правило її формування: на перетині j-го рядка та i-го стовпця ставлять 1, якщо j-й вузол є початковою вершиною i - гілки; -1, якщо j-й вузол є кінцевою вершиною i-ї гілки і ставлять 0, якщо вузол j не зв'язаний з гілкою i.

Друга матриця інциденцій - матриця |N|. Матриця з'єднання контурів та гілок. Це прямокутна матриця розміру (к x п), де k - дорівнює числу контурів, а n - числу гілок. Правило її формування: на перетині к-го рядка та і-го стовпця ставлять 1, якщо i-та гілка входить до k-го контуру та співпадає з ним за додатним напрямком; ставлять -1, якщо i-та гілка входить до k-го контуру та не співпадає з ним за додатним напрямком; ставлять 0, якщо і-та гілка не належить до k-го контуру.

Третя матриця інциденцій - матриця [С]. Матриця коефіцієнтів розподілу вузлових струмів по гілках схеми електричної мережі.

Правильність складання матриць [М] та [N] перевіряють за загальною топологічною властивістю графа схеми, а саме:

N·M^T = 0

де: M^T - транспонована матриця М.

Матриці [М] та [N] дають змогу записати рівняння стану електричної системи в матричному вигляді, і сформувати моделі електричної системи: узагальнене рівняння стану електричної системи; вузлову модель електричної системи; контурну модель електричної системи.

2. Узагальнене рівняння стану електричної системи

Систему взаємонезалежних рівнянь першого закону Кірхгофа в

матричному вигляді можна записати наступним чином:

М · І +J = 0

де: М - перша матриця інциденцій; І - вектор-стовпчик струмів у гілках схеми; J - вектор-стовпчик струмів навантаження у вузлах.

Систему взаємонезалежних рівнянь другого закону Кірхгофа в матричному вигляді можна записати наступним чином:

N·U_Д=0

де: U_Д - стовпчик падінь напруги у гілках схеми.

Закон Ома можна записати матричним рівнянням:

U_Д =Z_д · І - E

де: U_Д - діагональна матриця опорів гілок; E - вектор-стовпчик ЕРС у гілках.

Після підстановки (1.3) у (1.2) отримаємо матричне рівняння другого закону Кірхгофа:

N(Z_д · І - E) = 0;

яке можна записати наступним чином:

N·Z_д· І=E_к

де: Е_к = N * Е - стовпчик контурних ЕРС, які визначаються як алгебраїчна сума ЕРС гілок, що входять до кожного незалежного контуру.

Після об'єднання матричних рівнянь законів Кірхгофа та Ома у загальну систему, отримаємо узагальнене рівняння стану електричної системи:

M·I= - J

N·Z_д· І = E_к

де: Е_к - вектор-стовпчик контурних ЕРС.

Ці рівняння можна з'єднати в одне, якщо матриці М та добуток N·Z_д розглядати як блоки однієї об'єднаної матриці параметрів схеми заміщення електричної системи:

A=

а матриці J і Е_к розглядати як блоки однієї об'єднаної матриці вихідних параметрів режиму електричної системи:

F=

Отже, узагальнене рівняння стану електричної системи приймає наступний вигляд:

А · І = F

Отримане рівняння розв'язують відносно вектор-стовпчика невідомих струмів гілок.

Узагальнене рівняння стану електричної системи характеризується значною розмірністю, тому для практичних розрахунків використовують більш компактну контурну або вузлову моделі.

3. Контурна модель електричної системи

При формуванні контурної моделі електричної системи з вихідної замкненої схеми умовно видаляють деякі гілки і мережа перетворюється у розімкнену та розподіляється на «дерево» та «хорди».

Дерево - розімкнена частина схеми, всі вузли якої зв'язані з балансуючим вузлом. Хорди - це гілки, що були умовно видалені. У результаті розділення на дерево і хорди, матриці інциденцій розпадаються на відповідні блоки:

де: індекс б - вказує на належність до дерева мережі, а індекс в - на належність до хорд.

Для розділення розрахункової схеми електричної системи на дерево та хорди необхідно вибирати хорди таким чином, щоб кожна хорда входила тільки до одного контуру. При нумерації гілок спочатку нумерують гілки дерева, а потім хорд, тобто хорди необхідно нумерувати останніми. Крім того, нумерація хорд виконується відповідно до нумерації контурів і додатні напрямки хорди та контуру повинні співпадати. За умови виконання цих вимог, отримують базисну систему контурів, де матриця N_в є одиничною матрицею.

Контурна модель електричної системи базується на виконанні другого закону Кірхгофа і в матричному вигляді може бути представлена наступною системою рівнянь:

Z_к· І_к=E_к

де: Z_к - квадратна матриця власних та взаємних опорів контурів; І_к - вектор-стовпчик струмів контурів; - вектор-стовпчик контурних ЕРС.

Матрицю власних та взаємних опорів контурів знаходять за виразом:

Z_к= N·Z_д·N^T

де: N - друга матриця інциденцій; Z_д - діагональна матриця опорів гілок розрахункової схеми: N^T - транспонована матриця N.

Вектор-стовпчик ЕРС контурів розраховують за виразом:

E_к = N·E-N_б·Z_б·C_б·J

де: Е - вектор-стовпчик ЕРС у гілках; N_б - матриця N, що відноситься до дерева схеми; Z_б - діагональна матриця опорів дерева; C_б - матриця С дерева мережі; J - вектор-стовпчик вузлових струмів.

Матриця - матриця коефіцієнтів розподілу вузлових струмів по дереву мережі. Це третя матриця інциденцій. Правило формування матриці наступне: на перетині і-го рядка та j-го стовпця матриці ставлять 1, якщо в і-й гілці дерева протікає струм j-го вузла та співпадає з додатним напрямком гілки; якщо напрямок не співпадає, ставлять -1 і ставлять 0, якщо вказаний вузловий струм в даній гілці не протікає.

Складену систему рівнянь контурної моделі розв'язують будь-яким відомим методом і отримують значення контурних струмів. Далі визначають параметри режиму електричної системи, а саме: струми у гілках та рівні напруги у вузлах розрахункової схеми.

Струми у гілках розрахункової схеми знаходять за виразом:

I=N^T· І_к+C ·J

де: N^T - транспонована матриця N; І_к - вектор-стовпчик контурних струмів. Рівні напруги у вузлах розрахункової схеми електричної системи:

U=U_БП - · Z_б· І_б

де: U_БП - напруга в балансуючому пункті; -транспонована матриця С_б;

Z_б - діагональна матриця опорів дерева мережі; І_б - вектор-стовпчик струмів гілок дерева.

4. Вузлова модель електричної системи

Вузлова модель електричної системи заснована на першому законі Кірхгофа. В загальному вигляді її можна представити як систему рівнянь:

Y_в·U=J+Y_в· U_БП - М · Y_д ·Е

де: Y_в - матриця власних та взаємних провідностей у вузлах; U - вектор - стовпчик невідомих напруг у вузлах схеми електричної системи; J - вектор - стовпчик струмів у вузлах; U_БП - модуль напруги у балансуючому пункті;

М - перша матриця інциденцій; Y_д - діагональна матриця провідностей гілок; Е - вектор-стовпчик ЕРС гілок.

Власна провідність вузла складається з провідностей всіх гілок розрахункової схеми, що з'єднані з даним вузлом.

Матрицю Y_в власних та взаємних провідностей у вузлах розраховують за виразом:

Y_в = - М· Y_д·М^Т

де: М^Т - транспонована матриця М.

Складену систему рівнянь (1.14) вузлової моделі розв'язують будь-яким відомим методом розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь та отримують значення рівнів напруги у вузлах розрахункової схеми.

Таким чином, вузлова модель електричної системи - це система рівнянь, де невідомими є рівні напруги у вузлах розрахункової схеми. Кількість рівнянь в системі дорівнює кількості незалежних вузлів в схемі електричної мережі.

Размещено на Allbest.ru