Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛЕКЦІЯ № 1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла

Питання

1. Визначення та основні поняття визначеного інтеграла. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

2. Геометричний та економічний зміст визначеного інтеграла

3. Властивості визначеного інтеграла

1. Визначення та основні поняття визначеного інтеграла. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

Нехай функція f(x) визначена і обмежена на відрізку [а;b] і ? навмання розбито на n елементарних проміжків. Нехай на кожному проміжку вибрана точка . Тоді сума

(1)

називається . інтегральною сумою функції f(x) на відрізку [а;b].

Якщо функція , то інтегральна сума представляє собою площу зафарбованої ступінчастої фігури.

Позначимо

.

Кінцева границя інтегральної суми при і називається. визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [а;b] і позначається

(2)

де f(x) називається підінтегральною функцією, а і b ? нижньою і верхньою границями інтегрування.

Границя (2) не залежить від способу розбиття проміжку [а;b] і вибору точки на елементарних проміжках.

Означення 1. Якщо визначений інтеграл існує, то функція f(x) називається інтегруючою на відрізку [а;b].

Теорема 1. (Коші)

Якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а;b], то визначений інтеграл

існує.

Приклад 1.

Функція неперервна на відрізку [0;а], де а ? будь-яке число, і тому вона інтегруюча на цьому відрізку, тобто для неї існує визначений інтеграл

.

Теорема 2.

Якщо функція визначена і неперервна на відрізку [а;b] за виключенням кінцевого числа точок розриву першого роду, то вона інтегрована на цьому відрізку.

Приклад 2.

Функція інтегрована на відрізку [0;1], тому що вона обмежена, , [0;1] і має на цьому відрізку одну точку розриву х=0 (точка розриву ІІ роду).

Теорема 3.

Якщо функція визначена і являється монотонно зростаючою (спадною) на відрізку [а;b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

2. Геометричний та економічний зміст визначеного інтеграла

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Поняття визначеного інтеграла введено таким чином, що у випадку, якщо функція невід'ємна на відрізку [а;b] (де а < b), численно дорівнює площі S під кривою на [а;b]. Дійсно, при прямуванні до нуля ламана необмежено наближається до вихідної кривої і площа ламаної переходить в площу під кривою. Враховуючи вище сказане, можна вказати значення деяких інтегралів, використовуючи уже відомі формули планіметрії для площ плоских фігур. Так,

і т.д.

(Перший із інтегралів - площа квадрата зі стороною одиничної довжини; другий - площа прямокутного трикутника, катети, якого також одиничної довжини; третій - площа чверті круга одиничного радіуса).

Рівність відображає геометричний зміст визначеного інтеграла: у випадку, коли відрізок інтегрування стягнуто в точку, фігура під кривою стягується у відрізок, площа якого дорівнює нулеві оскільки це площа прямокутника, довжина однієї із сторін якого дорівнює нулеві.

Економічний зміст визначеного інтеграла

Нехай функція описує зміну продуктивності деякого виробництва протягом певного часу. Знайдемо об'єм продуктивності и, виробляємої за проміжок часу [0; T].

Відмітимо, що якщо продуктивність на змінюється протягом часу (f(t) - постійна функція), то об'єм продукції ?и, виробничої за деякий проміжок часу [t, t+?t] задається формулою ?u=f(t)?t. В загальному випадку справедлива рівність ?u=f(??)?t, де ??[t, t+?t], яка буде більш точнішою, чим менше ?t.

Розіб'ємо відрізок [0; T] на проміжки часу точками . Для величини об'єму продукції , виробничої за проміжок часу , маємо . Тоді

При прямуванні до нуля кожне з використаних наближених рівностей стає все більш точним, тому

Враховуючи означення визначеного інтеграла в кінцевому результаті отримаємо

тобто, якщо - продуктивність праці в момент часу t, то - об'єм випускаємої продукції за проміжок [0; T].

Порівняння даної задачі з задачею про площу криволінійної трапеції показує, що величина и об'єму продукції, виробляємої за проміжок часу [0; T], численно дорівнює площі під графіком функції , яка описує зміну продуктивності праці з часом, на проміжку [0; T] або .

Теорема 4.

(Достатня умова існування визначеного інтеграла(інтегрування функції))

Якщо функція неперервна на відрізку [а;b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Приклад 3. Обчислити .

Розв'язання:

Запишемо вираз для інтегральної суми, враховуючи, що всі відрізки розбиття мають однакову довжину, яка дорівнює (де n - число відрізків розбиття, причому для кожного із відрізків розбиття точка співпадає з правим кінцем цього відрізка, тобто . (В силу інтегрованості функції , вибір такого «спеціального» способу розбиття відрізка інтегрування на частини і точки …. на відрізках розбиття не вплине на шукану границю інтегральної суми). Тоді

Відомо, що сума квадратів чисел натурального ряду

Тому



Аналіз приведеного прикладу показує, що успішне розв'язання поставленої задачі можливе лише тому, що інтегральну суму вдалось привести до виду зручному для знаходження границі. Однак така можливість існує далеко не завжди, тому довгий час задача інтегрування конкретних функцій залишалась надзвичайно складною. Встановлення зв'язку між визначеним і невизначеним інтегралами дозволило розробити ефективний метод обчислення визначеного інтеграла,який буде розглядатися пізніше.

3. Властивості визначеного інтеграла

Розглянемо спочатку властивості визначеного інтеграла які мають аналоги у випадку невизначеного інтеграла.

10. Якщо f(x) інтегрована на [а;b], і А - деяке число, то Аf(x) також інтегрована на [а;b] то

Доведення:

. #

20. ( Властивість лінійності )

Якщо функції і інтегрована на [а;b], то їх сума також інтегрована на [а;b] і

 (7)

Доведення:

#

Переходимо до властивостей визначеного інтеграла, які не мають аналогів у випадку невизначеного інтеграла.

30. Визначений інтеграл залежить тільки від величини нижньої і верхньої границі інтегрування, тобто від чисел а і b і від виду підінтегральної функції f(x), але не залежить від змінної інтегрування. Тому величина визначеного інтеграла не зміниться, якщо букву х, яка позначає змінну інтегрування замінити будь-якою іншою.

(8)

40. Визначений інтеграл з однаковими границями інтегрування дорівнює нулю (за означенням).

(9)

50. При зміні місць верхньої і нижньої границі інтегрування визначений інтеграл змінює знак на протилежний.

(10)

Доведення:

Якщо для проміжків інтегрування [а;b] і [b;а], де (аb) взяти одні й ті ж точки розбиття і загальні точки , то відповідні цим проміжком інтегральні суми будуть відрізнятися орієнтацією, а тому відповідно знаком. Звідси переходячи до границь отримаємо даний вираз (10). #

60. Нехай функція f(x) інтегрована в найбільшому з проміжків [а;b], [а;с], [с;b]. Тоді вона інтегрована і в двох інших і має місце рівність:

(11)

яке б не було взаємне розташування точок а, b, c. Цю рівність називають властивістю адитивності визначеного інтеграла. Ця властивість випливає з означення визначеного інтеграла, якщо в якості точки розбиття взяти точку с.

70. Якщо функція f(x) інтегрована на [а;b], аb і f(x)?0, то

(12)

Доведення:

#

80. Якщо функції f(x) і g(x) інтегровані на [a; b] a < b і то

(13)

Дійсно, якщо розглянути різницю, то з урахуванням властивості 70, отримаємо

90. Якщо функція f(x) інтегрована на [а;b], аb то функція також інтегрована на [а;b] і

(14)

Доведення:

Інтегруємо в границях від а до b очевидну подвійну нерівність

отримаємо

тобто

#

100 (Теорема про середнє) Нехай дана функція у = f(x) неперервна на відрізку [а;b]. Тоді на цьому відрізку знайдеться точка с, така, що виконується рівність

(15)

Число називається середнім значенням функції f(x) на [а;b].

Доведення:

Так як функція f(x) неперервна на відрізку [а;b], то вона інтегрована на цьому відрізку. Нехай m i M відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [а;b]. Вираз m(b-a) і M(b-a)являються нижньою і верхньою сумами Дарбу для розбиття, який складається тільки з одного відрізка, а саме із відрізка [а;b]. Оскільки розділяє ці суми, то виконується подвійна нерівність

визначений інтеграл нерівність

m(b-a) ?? M(b-a)

поділивши обидві частини нерівності на b-a >0 отримаємо

m ?? M.

Число знаходиться між найменшим і найбільшим значенням неперервної функції, тому це значення досягається в деякій точці с на відрізку [а;b]. #

Геометричний зміст теореми видно на Рис 2. Площа криволінійної трапеції аАВb дорівнює площі трикутника з тією ж основою і висотою f(с).

«Оцінка інтеграла»

Якщо числа m i M являються відповідно найменшим і найбільшим значенням ф-ї f(x) на відрізку , то

m(b-a) ?? M(b-a) (12)

Д-ня:

Так як для всіх [а;b], то ми отримаємо

Але так, як

;

то ми отримаємо

m(b-a) ?? M(b-a) #

Приклад 3.

Оцінити інтервал

.

Р-ня: Так як

.

П.2. Ф-ма Ньютона-Лейбніца.

Т-ма 4:

Нехай ф-я f(x) неперервна на відрізку [а;b], а ф-я F(x) являється її первісною на цьому відрізку, тоді

 (13)

Цю формулу наз. формулою Ньютона-Лейбніца.

Д-ня:

Візьмемо ф-ю Ф(х)= [а;b]. Ця ф-я являється первісною для ф-ї f(x) на [а;b], а любі дві первісні для однієї і тієї ж ф-ї відмінні один від одного постійним доданком, тобто існує така постійна С, що

Ф(х)=F(x)+C

для всіх [а;b]. При х = а маємо

то F(a)+C = 0, звідки С = - F(a). Тому

. Поклавши x = b, отримаємо

, а поклавши замість t = x

.

Приклад 4.

Знайти

.

П.3. Обчислення визначеного інтеграла. Інтегрування підстановкою (заміна змінною).

Т-ма 5.

Якщо:

1) ф-я x = ц(t) і її похідна x' = ц'(t) неперервна при [а;b];

2) множиною значень ф-ї x = ц(t) при [б;в] являється відрізок [а;b];

3) ц(б)= а і ц(в)= b, то

(14)

Д-ня:

Нехай F(x) є первісна для f(x) на відрізку [а;b]. Тоді за формулою Ньютона-Лейбніца

.

Так як то являється первісною для ф-ї [б;в]. Тому за формулою Ньютона-Лейбніца отримаємо

Відмітимо, що:

1. при обчисленні визначеного інтеграла методом підстановки повертатися до старої змінної не потрібно;

2. часто замість підстановки x = ц(t) застосовують підстановку t = g(x);

3. не слідує забувати міняти границі інтегрування при заміні змінних.

Приклад 5.

Обчислити

Р-ня:

Інтегрування по частинам.

Т-ма 6:

Якщо ф-ї u = u(x) і v = v(x) мають неперервні похідні на відрізку [а;b], то має місця формула

(15)

Д-ня:

На відрізку [а;b] має місце рівність Тому ф-я uv є первісна для неперервної ф-ї Тоді за формулою Ньютона-Лейбніца отримаємо:

Тому

#

Приклад 6.

Обчислити



П.4. Геометричне, економічне та фізичне застосування в.і.

а) геометричне

Коли ми розглянули поняття в.і. то вияснили, що для неперервної невід'ємної ф-ї у = f(x) заданої на відрізку [а;b] визначений інтеграл від даної ф-ї по даному відрізку дає площа криволінійної трапеції aABb.

	S	L(довжина дуги)	Vx [Vy]	Sб
Декартові система координат у = f(x)
Параметрична система координат
Полярна система координат			______	______

Размещено на Allbest.ru

...