Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Государственный университет управления»

Институт управления на транспорте, в сфере туризма и международного бизнеса (ИУТИТиМБ)

Кафедра «Математических методов в управлении»

Курсовая работа

по учебной дисциплине «Прикладная математика»

Выполнил:

студент 2 курса ИУТИТиМБ

Группы МО 2-1

Костин А.А.

Москва - 2012

1. Теория вероятностей

вероятность математический дисперсия квантиль

1. В аналитическом отделе фирмы 7 менеджеров и 13 финансистов. Для выполнения задания случайным образом из списка выбирают 3 человек. Найти вероятность того, что менеджеров среди них будет:

а) ровно два;

б) не менее одного.

Решение.

Пусть n - количество возможных вариантов выбора, n - количество удачных вариантов выбора. Тогда искомая вероятность Р вычислится по формуле

.

А).

Б).

Где Р(0) - вероятность того, что в выборке менеджеров не будет;

Р(1) - вероятность того, что в выборке будет один менеджер. Тогда



2. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,17. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 0,22. Для третьего клиента - 0,12. Найти вероятность того, что в течение года в страховую компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов - события независимые.

Решение.

Пусть - вероятность того, что i-й клиент обратится в страховую компанию в течение года. Тогда - вероятность того, что он не обратится.

А - событие обращения клиентов в страховую компанию. Тогда

3. В консультационной фирме 23% сотрудников получает высокую заработную плату. Известно также, что женщины составляют 42% сотрудников фирмы, при этом 6,6% сотрудников - женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что в консультационной фирме существует дискриминация женщин в оплате труда? Ответ объяснить, сформулировав решение задачи в терминах теории вероятностей.

Решение.

Допустим, в фирме работает Х сотрудников. Тогда сотрудников получают высокую зарплату. Из Х сотрудников - женщины, а - женщины, получающие высокую зарплату. Вероятность того, что случайно выбранный сотрудник окажется женщиной равна , а вероятность того, что среди высокооплачиваемых сотрудников окажется женщина, равна . Таким образом. Можно сказать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда.

4. В брокерской компании, в которой 32% составляют сотрудники первого отдела, 27% - второго, остальные третьего, результаты работы оцениваются по отдаче с каждого инвестированного сотрудником рубля (высокая или низкая). Анализ последнего месяца работы показал, что низкую отдачу имеют 2,2% сотрудников первого отдела, 1,2% - второго и 1,7% - третьего отдела. Какова вероятность того, что случайно выбранный сотрудник компании за последний месяц показал высокую отдачу? Если сотрудник показал низкую отдачу, то в каком отделе, скорее всего, он работает?

Решение.

Обозначим события - случайно выбранный сотрудник работает в i-м отделе; В - вероятность высокой отдачи.

Тогда:

Тогда, по формуле полной вероятности,

Определим вероятности того, что случайно выбранный сотрудник работает в i-м отделе, по формуле Байеса:



Таким образом, этот сотрудник, скорее всего, работает в третьем отделе.

5. В рамках маркетингового исследования нового товара компания-производитель проверяет спрос на него по результатам отзывов случайно выбранных потенциальных покупателей. Для определенного товара известно, что вероятность его возможного успеха на рынке составит 0,77, если товар действительно удачный, и 0,17, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?

Решение.

Событие А состоит в том, что новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех. Возможны гипотезы:

В₁ - товар действительно удачный;

В₂ - товар неудачный.

По условию, вероятность того, что товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех Р(А)=0,6. Вероятность возможного успеха, для действительно удачного товара ; вероятность возможного успеха, что неудачного товара

По формуле полной вероятности получаем



Учитывая, что события В₁ и В₂ несовместны, а, значит, , получаем:

Ответ. Вероятность того, что новый товар, прошедший выборочную проверку, результаты которой указали на возможный его успех, действительно удачный, равна 0,72.

6. Отдел менеджмента одного из предприятий разрабатывает новую стратегию выпуска продукции. Известно, что при определенном технологическом процессе 77% всей продукции предприятия - высшего сорта, а всего производится 220 изделий. Стратегия, разработанная отделом менеджмента, основана на том, что предприятие будет рентабельным, если выпуск продукции высшего сорта будет составлять не менее 170 изделий. Оценить критически новую стратегию выпуска продукции (определив наивероятнейшее число изделий высшего сорта из 220 изделий и вероятность этого события).

Решение.

Вероятность того, что изделие будет высшего сорта, равна . Соответственно, . Тогда наивероятнейшее количество качественных изделий вычислится по формуле

Вероятность того, что качественных изделий m при таком технологическом процессе будет больше 170 вычислим по формуле:



Тогда, можно сказать, что с вероятностью 0,44 новая стратегия будет удачной.

7. Торговый агент в среднем контактирует с 4 потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,32. Составить закон распределения ежедневного числа продаж для агента. Найти числовые характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что у агента будет хотя бы 2 продажи в течение дня?

Решение.

, х - количество продаж.

Составим ряд распределения возможных покупок.

х	0	1	2	3	4
Р(х)

Найдем математическое ожидание количества продаж в день:

Найдем дисперсию объема продаж:

Среднеквадратическое отклонение равно:



8. Дискретная случайная величина Х с математическим ожиданием М(Х)=5,5 задана рядом распределения

Хі	-9	0	8	20
Рі	Р1	0,4	Р3	0,2

а) Найти р₁ и р₃;

б) построить многоугольник распределения;

в) построить интегральную функцию распределения F(x) и ее график;

г) вычислить дисперсию D(X); пояснить, как можно интерпретировать ее значение.

Решение.

Вероятности Р₁ и Р₃ найдем из условий:

Решив данную систему. Получаем:

Тогда ряд распределения будет иметь вид:

Хі	-9	0	8	20
Рі	0,1	0,4	0,3	0,2

Построим многоугольник распределения.



Построим интегральную функцию распределения F(X).

Хі	<-9	<0	<8	<20	20
F(X)	0	0,1	0,5	0,8	1

Ее график:

Вычислим дисперсию:

Дисперсия характеризует степень разброса случайной величины относительно математического ожидания. Более вразумительно охарактеризовать дисперсию сложно, т.к. она имеет размерность квадрата случайной величины.

9. В нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X меньше 13 и 47% значений случайной величины X больше 19. Найти параметры этой совокупности.

Решение.

Определим квантили Х для нормального стандартного распределения по указанным вероятностям.

Здесь .

Тогда:

Т.е.

10. Прибыль от реализации инноваций в течение месяца описывается следующей функцией плотности распределения вероятностей

Найти:

а) параметр k;

б) среднюю ожидаемую прибыль;

в) интегральную функцию распределения F(x) и ее график;

г) вероятность того, что прибыль от реализации инноваций составит не меньше, чем 9.

Решение.

Параметр k найдем из условия:

Тогда функция плотности будет иметь вид:

Средняя ожидаемая прибыль или математическое ожидание найдем из формулы:

Интегральную функцию распределения найдем из формулы:

На интервале , очевидно, эта функция равна нулю.

На интервале поведение этой функции будет таким:

На интервале значение функции распределения определим как:

Таким образом, интегральная функция распределения имеет такую форму:

Ее график:

Вычислим искомую вероятность.

11. Случайная величина имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием М(Х)=3 и дисперсией D(X)=1,2.

Найти Р(Х > 2).

Решение.

Определим параметры биномиального распределения.

Тогда

12. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет руб., а вероятность того, что случайно выбранный вклад не превышает руб., равна 0,8. Каково число вкладчиков данного банка?

Решение.

Пусть Х - размер случайно взятого вклада, а n - число всех вкладов. Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада руб.

Согласно неравенству Маркова:



Учитывая, что Р(Х ? 3*10⁴) = 0,8, получим

,

Т.е. число вкладчиков не более 667.

13. В среднем за час автомойку посещает 7 клиентов. Найти вероятность того, что за два часа автомойку посетят не менее 10 клиентов, и вероятность того, что в течение как минимум 12 минут на автомойке не будет ни одного клиента. Число посетителей за час распределено по закону Пуассона, а время ожидания клиента распределено по показательному закону.

Решение.

Интенсивность потока клиентов

Случайная величина X - число посещений за 2 часа распределена по закону Пуассона с параметром лф = 7*2 = 14.

При решении задачи введем противоположное событие, состоящее в том, что поступит от 0 до 9 автомобилей. Тогда:

Интенсивность посещения за 12 минут равна: .

Тогда за 12 минут ни одного посетителя не будет с вероятностью:



14. Фирма принимает заказы на некоторые услуги по телефону в течение одного часа. В стационарном режиме интенсивность потока входных заявок , а среднее время обслуживания одной заявки .

Доход, приносимый одной принятой заявкой в среднем составляет D=12 ден. ед., а стоимость содержания одного канала, т.е. телефонного аппарата вместе с оператором С=48 (ден.ед./мин).

Оценить работу фирмы (определив характеристики работы системы) и найти доходы фирмы для n=1,2,3 (n-число каналов). Предполагается, что в случае занятости канала, происходит отказ без постановки в очередь.

Провести анализ влияния числа каналов обслуживания на оценку работы фирмы и сделать вывод о целесообразности двухканальной и трехканальной системы.

Примечание. Доход , где А_n- абсолютная пропускная способность системы массового обслуживания. При расчетах вероятностей состояний рекомендуется сохранить две значащие цифры после запятой.

Решение.

Данная система является системой массового обслуживания с отказами.

Для определения дохода необходимо вычислить абсолютную пропускную способность СМО. В литературеприводятся следующие формулы расчета.

,

где

А - абсолютная пропускная способность системы;

Q - относительная пропускная способность системы ();

- вероятность отказа.

,

где

- трафик (показатель нагрузки СМО). ,

- вероятность того, что система свободна.

1). Рассчитаем сначала характеристики системы для 3-х каналов.

Тогда доход получим такой:

2). Для двух каналов.

1). Для одного канала.

Таким образом, можно сделать вывод, что наиболее доходная система - с тремя каналами, и наименее выгодная - с одним каналом.

2. Математическая статистика

15. Объем дневной выручки в пяти торговых точках (в тыс. у.е.) составил: 12, 17, 22, 19, х₅. Учитывая, что , найти выборочную дисперсию s².

Решение.

Неизвестный параметр х₅ найдем из выражения для выборочного среднего:



Выборочную дисперсию найдем по формуле:

16. Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем продаж товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение месяца регистрировал продажи соды и представил результаты в виде дискретного вариационного ряда

	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	11	6	5	2	1

где -частоты.

Требуется:

а) построить полигон относительных частот

б) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D_x и среднее выборочное квадратичное отклонение .

Какие рекомендации следует дать администрации универсама?

Решение.

Расчеты удобнее производить в пакете Excel.

Полигон накопленных частот выглядит следующим образом.



	1	2	3	4	5	6	7	Сумма
	2	3	11	6	5	2	1	30
	0,066667	0,1	0,366667	0,2	0,166667	0,066667	0,033333	1

Среднее выборочное, дисперсию и среднеквадратичное отклонение рассчитаем по формулам:

	1	2	3	4	5	6	7	Сумма
	2	3	11	6	5	2	1	30
	0,066667	0,1	0,366667	0,2	0,166667	0,066667	0,033333	1
	0,066667	0,2	1,1	0,8	0,833333	0,4	0,233333	3,633333
	0,462296	0,4	3,3	3,2	4,166667	2,4	1,633333	15,5623

Из таблицы видно, что , значит, в среднем за день покупается около 4 единиц продукции .

Тогда, если на прилавок выкладывать 8 единиц продукции , то с вероятностью 0,6 спрос на нее будет удовлетворен.

17. При изучении структуры коммерческих банков по объявленному уставному фонду из трех тысяч банков страны было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки сто.

Данные о распределении банков по этому признаку представлены в таблице:

Размер уставного фонда		До 30	30	60	90	120	Свыше 150	Итого
			60	90	120	150
Число банков		7	9	18	34	22	10	100

Найти:

а) вероятность того, что средний размер уставного фонда всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,9 заключена доля всех банков, размер уставного фонда которых не менее 120 миллионов рублей;

в) объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей (см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение.

Для начала необходимо найти средний уставной фонд. Для этого составим таблицу:

Средний размер уставного фонда		15	45	75	105	135	165
Число банков		7	9	18	34	22	10

По формуле определим средний уставной фонд.

По формуле найдем среднеквадратичное отклонение.

Средний размер уставного фонда		15	45	75	105	135	165	Сумма
Число банков		7	9	18	34	22	10	100
Среднее		105	405	1350	3570	2970	1650	100,5
Дисперсия		511,7175	277,2225	117,045	6,885	261,855	416,025	1590,75

Тогда, 40

Теперь найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней:

..

Наконец, найдем доверительную вероятность

.

Ответ: вероятность того, что средний размер уставного фонда всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей, составляет 0,898.

б) N=3000, n=100, m=56.

Выборочная доля всех банков, размер уставного фонда, который не менее шестидесяти миллионов w=m/n=56/100=0.56

Найдем среднюю квадратичную ошибку бесповторной выборки для доли:

Учитывая, что у=Ф(t)=0,9; таким образом t=1,65. Найдем предельную ошибку выборки для доли:=1,65*0,049=0,0807.

Теперь искомый доверительный интерес определяем как:



Ответ: С вероятностью 0,9, доля всех банков, размер уставного капитала которых не менее 120 миллионов рублей, заключена от 0,4793 до 0,6407.

в) В качестве неизвестного значения для определения объема выборки берем его состоятельную оценку =1590,75

,

учитывая, что у=Ф(t)=0,95, t=1,96.

Ответ: Объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей), можно гарантировать с вероятностью 0,95, составит 226.

18. По данным задания 17 необходимо:

а) выдвинуть гипотезу о виде модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, обосновав выбор;

б) используя - критерий Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - размер уставного фонда распределена по нормальному закону.

Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение.

Распределение случайной величины, приведенное в задании 17, очень похоже на нормальное распределение с той лишь разницей, что размер уставного фонда не может быть отрицательным. Однако, степень приближения к нему можно проверить.

Проверим гипотезу о том, что данное распределение при уровне значимости нормальное по критерию Пирсона.

Теоретическое нормальное распределение имеет вид:

,

где в качестве параметров а и используются их состоятельные выборочные оценки, равные соответственно и . Тогда:

Для расчета вероятностей попадания случайной величины в интервал , используя функцию Лапласа в соответствии со свойством нормального распределения.

[Ф(-1,75)-Ф(-2,5)]=0,034;

[Ф(-1)-Ф(-1,75)]=0,12;

[Ф(-0,25)-Ф(-1)]=0,242;

[Ф(0,5)-(-0,25)]=0,29;

[Ф(1,25)-Ф(0,5)]=0,202;

[Ф(2)-Ф(1,25)]=0,082;

Расчеты сведем в таблицу:

I	Интервал	Эмпирические частоты ni	Вероят-ности pi	Теоретические частоты Npi	(ni-Npi)^2	(ni-Npi)^2/Npi
1	до 30	7	0,034	3,4	12,96	3,811765
2	30-60	9	0,12	12	9	0,75
3	60-90	18	0,242	24,2	38,44	1,58843
4	90-120	34	0,29	29	25	0,862069
5	120-150	22	0,202	20,2	3,24	0,160396
6	свыше 150	10	0,082	8,2	3,24	0,395122
Сумма						7,567781

Таким образом, .

Определим количество степеней свободы по формуле:k=m-r-1,

m- число интервалов (m=6) , r- число параметров закона распределения (в нормальном распределении равно двум). Таким образом, к=3. Соответствующее критическое значение статистики =7,81.

Так как , то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе с параметрами N(100,5;1590) согласуется с опытными данными.

Гистограмма эмпирического распределения и нормальная кривая:

19. В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: , s = 220. В предположении о нормальном законе:

а) найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800;

б) выяснить при уровне значимости =0,05 можно ли считать 1800 руб. нормативом среднедушевого дохода (проверить гипотезу Н₀: a= 1800 против конкурирующей гипотезы Н₁ ;

в) построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а и дисперсии (принять = 0,95).

Решение.

А). Долю семей можно определить по вероятности попадания в интервал от 1200 до 1800.

Б). Область принятия Н₀ при двусторонней альтернативе определяется неравенством , где статистика критерия

Статистика Стьюдента равна . Так как неравенство не выполняется, гипотезу Н₀ следует отвергнуть.

В). Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии определим по формуле:

Найдем для нашего случая: . Тогда:

Доверительный интервал для дисперсии вычислим по формуле:

20. По данным 16 сотрудников фирмы, где работает 220 человек, среднемесячная заработная плата составила 320 у.е., при s = 72 у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью 0,99 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Решение.

По таблице Лапласа определяем параметр Х=2,58.

Определим

Тогда минимальная сумма равна:

21. С целью размещения рекламы опрошено 420 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 170 человек. С доверительной вероятностью 0,95 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае. Случайны ли результаты опроса, если согласно статистике доля телезрителей, охваченных рекламой составляет 0,43 при уровне значимости =0,05?

Решение.

Определим .

Для вероятности 0,95 определим по таблице Лапласа Х=1,96.

Определим

Тогда, доля охваченных в лучшем случае зрителей определим, как:

. Т.е. - это 45% зрителей.

22. Распределение пятидесяти предприятий по размерам основных производственных фондов Х (миллионов рублей) и выпуску продукции У (миллионов рублей) дано в таблице:

Х\У	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	Итого
35-45	1	1	1				3
45-55		3	2				5
55-65		4	1	11			16
65-75				6	9		15
75-85				1	1	1	3
85-95					4	4	8
Итого	1	8	4	18	14	5	50

Необходимо:

а) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии.

б) Предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость:

- найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию получившихся уравнений

- вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости =0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У

- используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятий на основные фонды которого сост 81 млн руб.

Решение:

а)Находим групповые средние по формулам:

,

где n_ij-частоты пар (x_i,y_j) и n_i=,m-число интервалов по переменной У.

,

где n_j=, l-число интервалов по переменной Х.

x_i,y_j-середины интервалов

x_i =[40;50;60;70;80;90], y_j =[45;55;65;75;85;95].

Групповые средние:

1=(45+55+65)/3=55,

2=(55*3+65*2)/5=59,

3=(55*4+65+75*11)/16=69,375,

4=(75*6+85*9)/15=81,

5=(75+85+95)/3=85,

6=(85*4+95*4)/8=90.

1=(40)/1=40,

2=(40+50*3+60*4)/8=53,75,

3=(40+50*2+60)/4=50,

4=(60*11+70*6+80)/18=64,44,

5=(70*9+80+90*4)/14=76,43, 6=(80+90*4)/5=88

Х\У	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	Итого	Уi
35-45	1	1	1				3	55
45-55		3	2				5	59
55-65		4	1	11			16	69,38
65-75				6	9		15	81
75-85				1	1	1	3	85
85-95					4	4	8	90
Итого	1	8	4	18	14	5	50
Хi	40	53,75	50	66,44	76,43	88

б) По данным таблицы найдем уравнения регрессии У по Х и Х по У:

40*3+50*5+60*16+70*15+80*3+90*8=120+250+960+1050+240+720=3340.

40²*3+50²*5+60²*16+70²*15+80²*3+90²*8=4800+12500+57600+73500+19200+64800=232400.

45+55*8+65*4+75*18+85*14+95*5=45+440+260+1350+1190+475=3760.

45²+55²*8+65²*4+75²*18+85²*14+95²*5=2025+24200+16900+101250+101150+45125=290650.

(40*45+40*55+40*65)+(50*3*55+50*2*65)+(60*4*55+60*65+60*11*75)+(70*6*75+70*9*85)+(80*75+80*85+80*95)+(90*4*85+90*4*95)=6600+14750+66600+85050+20400+64800=258200.

Находим выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии:

Уравнения регрессии:

У_х-75,2=0,7625(х-66,8); У_х=0,7625х-50,935+75,2; У_х=0,7625х+24,265.

Х_у-66,8=0,8967(х-75,2); Х_у-66,8=0,8967х-67,432; Х_у=0,8967х-0,632.

Из первого уравнения регрессии У по Х следует, что при увеличении основных производственных фондов на один млн. руб. выпуск продукции предприятия У увеличивается в среднем на 0,7625. Второе уравнение регрессии Х по У показывает, что для увеличения выпуска продукции У на один млн. руб. необходимо в среднем увеличить ОПФ на 0,8967.



- Находим коэффициент корреляции

,

берем радикал с положительным знаком, так как коэффициенты положительны.

Связь между рассматриваемыми переменными прямая и достаточно тесная, r близок к единице.

Оценим значимость коэффициента корреляции:

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим t 0,95;48=2,01.

Поскольку t>t 0,95;48, коэффициент корреляции между выпуском продукции У и размерами основных производственных фондов Х значимо отличается от 0.

- у₈₁=0,7625*81+24,265=86,0275.

Ответ: а) групповые средние: 1=55, 2=59,3=69,375,4=81,5=85,6=90.1=40,2=53,75,3=50,4=64,44,5=76,43, 6=88.

б) Уравнения прямых регрессии:

У_х=0,7625х+24,265, Х_у=0,8967х-0,632

Коэффициент корреляции: t=10,195 t 0,95;48=2,01. Средний выпуск продукции предприятий на основные фонды которого составляет 81 млн. соответствует 86,0275 млн. руб.

23-24. Сформулировать две задачи из предметной области своей будущей профессиональной деятельности, требующие применения вероятностно-статистических методов. Привести необходимые исходные данные, решить задачи, сделать обоснованные выводы.

Задача 1.(23) Данные о полной себестоимости товарной продукции и стоимости товарной продукции в оптовых ценах за 2006г. по 25 предприятиям приведены в таблице 1. Для выявления зависимости между данными показателями произведите группировку, образовав 5 групп с равными интервалами (группировочный признак - стоимость товарной продукции).

В каждой группе подсчитать:

Частоты и частости.

Стоимость товарной продукции - в процентах к итогу, а также в среднем на одно предприятие.

Себестоимость товарной продукции - в процентах к итогу, а также в среднем на одно предприятие.

Затраты, приходящиеся на 1 рубль товарной продукции.

Решение:

Для проведения группировки используем формулу, по которой определим величину равного интервала:

,

где x_max, x_min - максимальное и минимальное значения группировочного признака;

k - число групп (по исходным данным равно 5). Имеем h= (450-100) / 5 = 70.

Произведем группировку и расчет частоты, частости, стоимости товарной продукции (в процентах к итогу, а также в среднем на одно предприятие), себестоимости товарной продукции (в процентах к итогу, а также в среднем на одно предприятие), затрат, приходящихся на 1 рубль товарной продукции. Группировку и расчетные данные занесем в таблицу 1.

Таблица 1

Группировка	Признак группы	Частота	Частость	Стоимость товарной продукции, млн. руб.	Стоимость товарной продукции, %	Стоимость товарной продукции в среднем на одно предприятие, млн. руб.	Себестоимость товарной продукции, млн. руб.	Себестоимость товарной продукции, %	Себестоимость товарной продукции в среднем на одно предприятие, млн. руб.	Затраты, приходящиеся на 1 рубль товарной продукции, млн. руб.
Группа 1	100-170	5	20%	717	10,98	143,4	596	12,12	119,2	0,8312
Группа 2	170-240	7	28%	1403	21,49	200,4286	1205	24,51	172,1429	0,8589
Группа 3	240-310	5	20%	1345	20,60	269	962	19,57	192,4	0,7152
Группа 4	310-380	4	16%	1425	21,83	356,25	1143	23,25	285,75	0,8021
Группа 5	380-450	4	16%	1639	25,10	409,75	1010	20,55	252,5	0,6162
ИТОГО	-	25	100%	6529	100	261,16	4916	100	196,64	0,7529

Изобразим на графике в виде гистограммы частостей ряд распределения по стоимости товарной продукции (Рисунок 1).

Рисунок 1

Задача 2.(24) На основании данных о средней стоимости товарной продукции, полученным в результате группировки при решении задачи №1, рассчитать:

Среднюю стоимость товарной продукции.

Моду и медиану (аналитически и графически).

Дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Коэффициент вариации.

Сравнить средние (среднюю стоимость товарной продукции, моду, медиану, дисперсию и среднеквадратическое отклонение), рассчитанные по группированным данным и рассчитанные по массиву исходных данных по всем 25 предприятиям.

Решение:

Для расчета средней стоимости товарной продукции используем исходные данные таблицы 2 и формулу средней арифметической взвешенной

.

Серединное значение интервала определим как полусумму верхней и нижней границ интервала.

Таблица 2

Группировка	Признак	Середина интервала, xi	Частота, fi	Сумма накопленных частот	Отклонение стоимости товарной продукции от среднего значения, млн. руб.,	Квадрат отклонения стоимости товарной продукции от среднего значения, млн. руб.,	Произведение квадрата отклонения стоимости товарной продукции от среднего значения и частоты,
Группа 1	100-170	135	5	5	-126	15 876	79 380
Группа 2	170-240	205	7	12	-56	3 136	21 952
Группа 3	240-310	275	5	17	14	196	980
Группа 4	310-380	345	4	21	84	7 056	28 224
Группа 5	380-450	415	4	25	154	23 716	94 864
Итого	-	-	25	-	-	-	225 400

Расчет средней стоимости товарной продукции:

.

Для расчета моды и медианы используем исходные данные таблицы 3 и следующие формулы:

, ,

где Мо - мода,

Ме - медиана,

и - соответственно нижняя граница и величина модального (или медианного) интервала,

- частота модального интервала,

- частота медианного интервала,

,- частота предмодального и послемодального интервалов,

- кумулятивная частота предмедианного интервала.

Расчет моды начнем с определения модального интервала, которому соответствует наибольшая частота. Таким модальным интервалом будет интервал со значениями 170-240 (наибольшая частота 7).

.

Моду можно определить графически гистограмме распределения (Рисунок 2).

Рисунок 2

Расчет медианы сначала необходимо начать с определения медианного интервала. Медианным интервалом является тот, которому соответствует член кумулятивного ряда или ряда накопленных частот (Значение 17) , впервые превысившая половину общей суммы частот (Значение 12,5 = 25 / 2). Итак, медианный ряд равен 240-310.

Рассчитаем конкретное значение медианы: .

Графически медиану можно определить по кумуляте (Рисунок 3).

Рисунок 3

Для расчета дисперсии и среднеквадратического отклонения используем исходные данные таблицы 3 и следующие формулы:

и ,

где - дисперсия,

- среднеквадратическое отклонение.

Расчет дисперсии:

.

Расчет среднеквадратического отклонения: .

Для расчета коэффициента вариации применим следующую формулу:

.

Расчет коэффициента вариации:

Список использованной литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, 12-е изд., перераб. - М.: Высшее образование, 2006.-776 с. (основы наук).

2. Карандаев И.С., Малыхин В.И., Соловьев В.И. Прикладная математика: Учеб. Пособие для вузов/ГУУ.-М: ИНФРА-М, 2002. - 256 с.

3. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. 3-е изд., перераб. и доп. Учебник. М.: КНОРУС, 2009. - 384 с.

Размещено на Allbest.ru

...