Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

План контрольної роботи

1. Правило Саррюса

2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

3. Метод Гаусса, Крамера

Список використаних джерел

1. Правило Саррюса

Правило Саррюса - правило обчислення визначника 3-го порядку:

Закон складання виразу для визначника 3-го порядку вельми простий. З членів, що входять зі знаком +, один буде твором елементів головної діагоналі, кожен з двох інших - твором елементів, що лежать на паралелі до цієї діагоналі, з додаванням третього множника з протилежного кутка матриці. Члени, що входять зі знаком -, будуються таким же, чином щодо іншої діагоналі. Саррюса правило називають також правилом Саррюса або правилом діагоналей і трикутників.

Обчислити визначник матриці за правилом Саррюса:

Рішення:

Будемо використовувати другу схему правила Саррюса: до визначника приписують справа два перших шпальти і обчислюють суму добутків елементів розташованих на головній діагоналі і «прямих» паралельних їй і зі знаком мінус обчислюють суму добутків елементів, розташованих на побічної діагоналі, і «прямих», паралельних їй.

2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) -- в лінійній алгебрі система лінійних рівнянь виду:

Це система m-лінійних рівнянь з n не відомими, де

є невідомими,

є коефіцієнтами системи,

- вільними членами.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри,теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь називаються еквівалентними, якщо множина їхніх розв'язків збігається, тобто будь-який розв'язок однієї системи є водночас розв'язком іншої, і навпаки.

Систему, еквівалентну даній, можна отримати, зокрема, замінивши одне з рівнянь на це ж рівняння, помножене на будь-яке відмінне від нуля число. Еквівалентну систему можна отримати також, замінивши одне з рівнянь сумою цього рівняння з іншим рівнянням системи. Загалом, заміна рівняння системи на лінійну комбінацію рівнянь дає систему, еквівалентну початковій.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

еквівалентна системі

,

де - не вироджена матриця.

Зокрема, якщо сама матриця - не вироджена, і для неї існує обернена матриця , то розв'язок системи рівнянь можна формально записати у вигляді

.

Методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь можна досить чітко поділити на три групи: точні, ітераційні та ймовірнісні. За Бахваловим (1987 рік), точні методи застосовні до систем з числом змінних до порядку 10⁴, ітераційні -- 10⁷.

Точні методи

До точних методів належать методи, що дають точний результат у припущенні ідеальної арифметики. Точні методи можна застосовувати й тоді, коли коефіцієнти й вільні члени рівняння задані в аналітичній, символьній формі.

Метод послідовного виключення. Найпростішим, хоча важким для практичних застосувань, методом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих. Суть його в тому, що із першого рівняння змінна виражається через інші змінні, й підставляється в усі інші рівняння. Це можна зробити, якщо коефіцієнт відмінний від нуля. У випадку, якщо він нульовий, можна вибрати інше рівняння, оскільки перестановка рівнянь у системі дає еквівалентну систему. В результаті утворюється нова система рівнянь, в якій рівнянь на одне менше. З цією системою рівнянь можна поступити так само, отримуючи ще меншу систему рівнянь. Продовжуючи так, отримують одне лінійне рівняння, з якого можна визначити одну із змінних, а інші, виключені, виразити через неї.

Метод Гауса -- метод, найчастіше застосовуваний при ручному розв'язуванні СЛАР.

Метод Гауса-Жордана - модифікація методу Гауса.

Метод Крамера (за формулами Крамера) -- чисто теоретичний метод, непридатний до практичного використання через обчислювальну складність і малу точність, оскількивимагаєобчислення визначників, а тільки в одному визначнику доданків. Метод Крамера може застосовуватися для матриць 2Ч2, або, щонайбільше, 3Ч3.

Матричний метод (за допомогою оберненої матриці) - певна теоретична абстракція всіх інших точних методів.

Метод квадратного кореня -- квадратичний метод, який вимагає симетричної матриці системи.

Метод прогонки зручний для розв'язування систем з тридіагональною матрицею, які часто виникають в задачах математичної фізики.

Ітераційні методи

Ітераційні методи встановлюють процедуру уточнення певного початкового наближення до розв'язку. При виконанні умов збіжності вони дозволяють досягти будь-якої точності просто повторенням ітерацій. Перевага цих методів у тому, що часто вони дозволяють досягти розв'язку з наперед заданою точністю швидше, а також розв'язувати більші системи рівнянь. Суть цих методі полягає в тому, щобзнайти нерухому точку матричного рівняння:

,

еквівалентного початковій системі лінійних алгебраїчних рівнянь. При ітерації в правій частині рівняння заміняється, наприклад, у методі Якобі (метод простої ітерації) на наближення, знайдене на попередньому кроці:

Збіжність ітераційної процедури досягається вибором матриці , що залежить від задачі. Умови збіжності конкретні для кожного конкретного метода.

3. Метод Гаусса, Крамера

рівняння лінійний алгебраїчний матриця

Метод Гаусса - класичний метод рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівнозначної системі ступеневої (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться всі інші змінні.

Хоча в даний час даний метод повсюдно називається методом Гаусса, він був відомий і до К. Ф. Гаусса. Перше відоме опис даного методу - у китайському трактаті "Математика в дев'яти книгах", складеному між I ст. до н.е. і II ст.н.е.

Нехай вихідна система виглядає наступним чином

Матриця A називають основною матрицею системи, b - стовпцем вільних членів.

Тоді відповідно до властивості елементарних перетворень над рядками основну матрицю цієї системи можна привести до східчастого виду (ці ж перетворення потрібно застосовувати до стовпця вільних членів):

При цьому будемо вважати, що базисний мінор (ненульовий мінор максимального порядку) основної матриці знаходиться у верхньому лівому кутку, тобто в нього входять лише коефіцієнти при змінних .

Тоді змінні називаються головними змінними. Всі інші називаються вільними.

Якщо хоча б одне число , Де i> r , То розглянута система не сумісна.

Нехай для будь-яких i> r .

Перенесемо вільні змінні за знаки рівностей і поділимо кожне з рівнянь системи на свій коефіцієнт при самому лівому ( , Де - Номер рядка):

,

де

Якщо вільним змінним системи (2) надавати всі можливі значення і вирішувати нову систему щодо головних невідомих знизу вгору (тобто від нижнього рівняння до верхнього), то ми отримаємо всі рішення цієї СЛАУ. Так як ця система отримана шляхом елементарних перетворень над вихідною системою (1), то по теоремі про еквівалентність при елементарних перетвореннях системи (1) і (2) еквівалентні, тобто безлічі їх рішень збігаються.

Алгоритм рішення СЛАУ методом Гауса підрозділяється на два етапи.

На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастою або трикутній формі, або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають вийшла після перестановки перший рядок з решти рядків, до множити її на величину, рівну відношенню першого елемента кожної з цих рядків до першого елементу першого рядка, обнуляючи тим самим стовпець під ним.

Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують поки не залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся не нульовий, то переходять до наступного колонку і проробляють аналогічну операцію.

На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити все отримані базисні змінні через небазисних і побудувати фундаментальну систему рішень, або, якщо всі змінні є базисними, то виразити в чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь. Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого висловлюють відповідну базисну змінну (а вона там всього одна) і підставляють в попередні рівняння, і так далі, піднімаючись по "сходинках" наверх. Кожному рядку відповідає рівно одна базисна змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (самого верхнього), ситуація в точності повторює випадок останнього рядка.

Метод Гаусса вимагає порядку O (n ³⁾ дій.

Крім аналітичного рішення СЛАУ, метод Гаусса також застосовується для:

- знаходження матриці, оберненої до даної (до матриці справа приписується одинична такого ж розміру, що і початкова: ,Після чого приводиться до виду одиничноїматриці методом Гаусса-Жордана; в результаті на місці початкової одиничної матриці справа виявляється зворотна до вихідної матриця: );

- визначення рангу матриці (згідно слідству з теореми Кронекера-Капеллі ранг матриці дорівнює числу її головних змінних);

- чисельного рішення СЛАР в обчислювальній техніці (зважаючи похибки обчислень використовується Метод Гаусса з виділенням головного елемента, суть якого полягає в тому, щоб на кожному кроці в якості головної змінної вибирати ту, при якій серед залишилися після викреслювання чергових рядків і стовпців варто максимальний по модулю коефіцієнт ).

Метод Крамера -- спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (при цьому для таких рівнянь розв'язок існує і є єдиним). Метод було створено Габріелем Крамером у 1750 році.

Для системи лінійних рівнянь з невідомими (над довільним полем)

з визначником матриці системи , що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

(i-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).
Іншим чином правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c₁, c₂, …, c_n виконується рівність:

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що не рівне нулю, не треба навіть, аби коефіцієнти системи були елементами цілісного кільця (визначник системи навіть може бути дільником нуля у кільці коефіцієнтів). Також можна вважати, що або набори та , або набір складаються не з елементів кільця коефіцієнтів системи, а деякого модуля над цим кільцем. В такому вигляді формула Крамера використовується, наприклад, при доведенні формули для визначника Грама і Леми Накаями.

Під рішенням системи розуміється всяка трійка чисел (х,у,z), вдовольняючи цієї системі, при підстановці яких в систему лінійних рівнянь є вірні рівняння.

Введемо визначник системи

,

та додаткові визначники

Якщо визначник системы (2) відмінне від нуля, то існує, та притому єдине, рішення цієї системи, та й воно вирізняється формулами

(3)

Формули (3) називаються формулами Крамера.

Невідомі стандартної лінійної системи з ненульовим визначником являють собою дробу, знаменники яких є визначник системи, а чисельники рівні відповідним додатковим определителям.

Зауваження: Якщо визначник системи дорівнює 0, то система (2) або несумісна або має нескінченно багато рішень.

Приклад 1:

Знайдемо рішення системи трьох рівнянь з трьома невідомими методом Крамера:

Зіставимо визначник системи, додаткові визначники та визначимо їх методом трикутників.

Підставляючи отримані результати у формули Крамера (3) знаходимо єдине рішення системи лінійних рівнянь:

Список використаних джерел

1. Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: - М.: Физматлит, 2003. - 303 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов: в 3т.-5-е изд., стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник).т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с.

3. Волков О. А. Чисельніметоди - М .: Физматлит, 2003.

4. Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Лінійна алгебра: Підручник для вузів - 6-е изд., Стер. - М .: Физматлит, 2004. - 280 с.

5. Кирчей И. И. Классическая присоединённая матрица для эрмитовой над телом //Мат. методы и физико-механические поля. -- 2001. -- Т. 44, № 3. -- С. 33--48.

Размещено на Allbest.ru