Розробка математичної моделі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторна робота

на тему: Розробка математичної моделі

1. Теоретичні відомості

Система (від дав.-гр. уэуфзмб - «сполучення») - множина взаємопов'язаних елементів, відокремлена від середовища і яка взаємодіє з ним, як ціле.

В системному аналізі використовують різні визначення поняття «система». Зокрема, за В.М. Сагатовським, система - це скінченна множина функціональних елементів й відношень між ними, відокремлена з середовища відповідно до певної мети в межах визначеного часового інтервалу. Згідно з Ю.І. Черняком система - це відображення у свідомості суб'єкта (дослідника, спостерігача) властивостей об'єктів та їх відношень у вирішенні завдання дослідження, пізнання. Відома також велика кількість інших визначень поняття "система", що використовуються залежно від контексту, галузі знань та цілей дослідження.

Модель (рос. модель, англ. model, нім. Modell n, фр. modele, від лат. modulus - «міра, аналог, зразок») - відтворення чи відображення об'єкту, задуму (конструкцій), опису чи розрахунків, що відображає, імітує, відтворює принципи внутрішньої організації або функціонування, певні властивості, ознаки чи(та) характеристики об'єкта дослідження чи відтворення (оригіналу).

Ознаки класифікацій моделей:

- за областю використання;

- за фактором часу;

- по галузі знань;

- за формою подання.

1) Класифікація моделей по області використання:

- Навчальні моделі - використовуються при навчанні;

- Досвідчені - це зменшені або збільшені копії проектованого об'єкта. Використовують для дослідження і прогнозування його майбутніх характеристик;

- Науково-технічні - створюються для дослідження процесів і явищ;

- Ігрові - репетиція поведінки об'єкта в різних умовах;

- Імітаційні - відображення реальності в тій чи іншій мірі (це метод проб і помилок).

2) Класифікація моделей за фактором часу:

- Статичні - моделі, які описують стан системи в певний момент часу (одноразовий зріз інформації по даному об'єкту). Приклади моделей: класифікація тварин, будова молекул, список посаджених дерев, звіт про обстеження стану зубів у школі і т. д.;

- Динамічні - моделі, які описують процеси зміни і розвитку системи (зміни об'єкта в часі). Приклади: опис руху тіл, розвитку організмів, процес хімічних реакцій.

3) Класифікація моделей по галузі знань - це класифікація по галузі діяльності людини: Математичні, біологічні, хімічні, соціальні, економічні, історичні і т. д.

4) Класифікація моделей за формою подання:

- Матеріальні - це предметні (фізичні) моделі. Вони завжди мають реальне втілення. Відображають зовнішнє властивість і внутрішній устрій вихідних об'єктів, суть процесів і явищ об'єкта оригіналу. Це експериментальний метод пізнання навколишнього середовища. Приклади: дитячі іграшки, скелет людини, опудало, макет сонячної системи, шкільні посібники, фізичні та хімічні досліди;

- Абстрактні (нематеріальні) - не мають реального втілення. Їх основу складає інформація. це теоретичний метод пізнання навколишнього середовища. За ознакою реалізації вони бувають: уявні і вербальні;

- Уявні моделі формуються в уяві людини в результаті роздумів, умовиводів, іноді у вигляді деякого образу. Це модель супроводжує свідомої діяльності людини;

- Вербальні - уявні моделі виражені в розмовній формі. Використовується для передачі думок;

- Інформаційні моделі - цілеспрямовано відібрана інформація про об'єкт, яка відображає найбільш істотні для дослідника властивостей об'єкта.

Типи інформаційних моделей:

- Табличні - об'єкти та їх властивості представлені у вигляді списку, а їхні значення розміщуються в осередках прямокутної форми. Перелік однотипних об'єктів розміщений в першому стовпці (або рядку), а значення їх властивостей розміщуються в наступних стовпцях (або рядках);

- Ієрархічні - об'єкти розподілені за рівнями. Кожен елемент високого рівня складається з елементів нижнього рівня, а елемент нижнього рівня може входити до складу лише одного елемента вищого рівня;

- Мережеві - застосовують для відбиття систем, в яких зв'язки між елементами мають складну структуру;

- За ступенем формалізації інформаційні моделі бувають образно-знакові і знакові.

Наприклад:

Образно - знакові моделі:

1) Геометричні (малюнок, піктограма, креслення, карта, план, об'ємне зображення);

2) Структурні (таблиця, граф, схема, діаграма);

3) Словесні (опис природними мовами);

4) Алгоритмічні (нумерований список, покрокове перерахування, блок-схема).

Знакові моделі:

1) Математичні - представлені математичними формулами, що відображають зв'язок параметрів;

2) Спеціальні - представлені на спец. мовах (ноти, формули);

3) Алгоритмічні - програми (формули).

Моделювання - це метод дослідження явищ і процесів, що ґрунтується на заміні конкретного об'єкта досліджень (оригіналу) іншим, подібним до нього (моделлю).

Принципи та основні етапи побудови математичних моделей систем.

За мірою повноти опису моделі поділяють на повні, неповні та наближені. Повні моделі адекватні об'єкту у просторі та часі. Для неповного моделювання ця адекватність не зберігається. При наближеному моделюванні беруться до уваги тільки найважливіші аспекти системи. Залежно від характеру досліджуваних процесів у системі моделі поділяють на детерміновані та стохастичні, статичні та динамічні, неперервні та дискретно-неперервні. Детерміновані моделі відображають процеси, для яких передбачається відсутність випадкових впливів, а у стохастичних враховують випадкові процеси та події.

Статичне моделювання застосовується для описування стану системи у фіксований момент, а динамічне - для дослідження поведінки системи у часі.

Дискретне, неперервне та дискретно-неперервне моделювання застосовуються для опису процесів, які змінюються у часі.

Залежно від форми подання об'єкта моделювання поділяють на реальне та абстрактне.

При реальному моделюванні використовують можливість дослідження характеристик на реальному об'єкті чи на його частині. При натурному моделюванні проводять дослідження на реальному об'єкті із подальшим обробленням результатів експерименту на основі теорії подібності.

Фізичне моделювання здійснюється через відтворення досліджуваного процесу на моделі, яка в загальному випадку має відмінну від оригіналу природу, але однаковий математичний опис процесу функціонування.

Абстрактне моделювання має різноманітні види: наочне, символьне, математичне. При наочному моделюванні на базі уявлень людини про реальні об'єкти створюють наочні моделі, що відображають явища та процеси, які відбуваються в об'єкті.

Символьне моделювання являє собою штучний процес створення об'єкта, який замінює реальний та виражає основні його властивості через певну систему знаків та символів.

Символьне моделювання поділяється, в свою чергу, на мовне та знакове. В основі мовного моделювання лежить деякий тезаурус, який утворюється із набору вхідних понять, причому цей набір має бути фіксованим. Під тезаурусом розуміють словник, одиниці якого містять набори ознак, що характеризують родово-видові зв'язки та згруповані за змістовною близькістю. Між тезаурусом та звичайним словником існують принципові розбіжності. Тезаурус - це словник, який не містять неоднозначних слів. Кожному його слову відповідає лише одне поняття.

Дослідження математичної моделі дає змогу одержати характеристики реального об'єкта чи системи. Вигляд математичної моделі залежить як від природи системи, так і від завдань дослідження. Математична модель системи містить, як правило, опис множини можливих станів системи та закон переходу із одного стану в інший.

Математичне моделювання, в свою чергу, включає імітаційне, інформаційне, структурне, ситуаційне моделювання тощо.

При імітаційному моделюванні намагаються відтворити процес функціонування системи у часі за допомогою деяких алгоритмів. При цьому імітуються основні явища, що утворюють процес, який розглядається, із збереженням їх логічної структури та послідовності перебігу в часі. Це уможливлює одержання інформації про стан процесу в певний момент та оцінку характеристик системи. Імітаційні моделі дають змогу враховувати такі ознаки, як дискретність та неперервність елементів системи, не лінійність їхніх характеристик, випадкові збурення тощо.

Інформаційне (кібернетичне) моделювання пов'язане з побудовою моделей, для яких відсутні безпосередні аналоги фізичних процесів. У такому разі намагаються відобразити лише деяку функцію і розглядають об'єкт як «чорний ящик», який має певну кількість входів та виходів. У такий спосіб моделюють тільки окремі зв'язки між входами та виходами. Отже, в основі кібернетичних моделей лежить відображення окремих інформаційних процесів регулювання, що дають змогу оцінити поведінку реальної системи.

Гнучка виробнича система (технологічне обладнання) - (скор. ГВС) керований засобами обчислювальної техніки комплекс технологічного обладнання, що автоматично адаптується до змін у програмі виробництва.

Компоненти ГВС:

- Гнучкий виробничий модуль (ГВМ) - одиниця технологічного обладнання, що має автономне програмне керування та автоматично здійснює задані технологічні операції. ГВМ здатна працювати автономно, у складі гнучкої виробничої комірки або гнучкої виробничої системи;

- Гнучка виробнича комірка (ГВК) - комплекс декількох гнучких виробничих модулів та системи забезпечення функціонування, що керується засобами обчислювальної техніки та здійснює сукупність технологічних операцій. ГВК здатна працювати автономно та у складі гнучкої виробничої системи;

- Система забезпечення функціонування (СЗФ) - комплекс взаємозв'язаних автоматизованих систем, що забезпечують проектування виробів, технологічну підготовку їх виробництва та автоматичного розподілення предметів виробництва й технологічного оснащення.

Класифікація ГВС:

- Гнучкі автоматизовані лінії (ГАЛ) - ГВС, в якій технологічне обладнання розташоване в прийнятній послідовності технологічних операцій;

- Гнучкі автоматизовані ділянки (ГАД) - ГВС, в якій функціонування здійснюється за технологічним маршрутом, в якому передбачена можливість зміни первісної послідовності використання технологічного обладнання;

- Гнучкі автоматизовані цехи (ГАЦ) - комплекс технологічного обладнання, до складу якого входять автоматизовані та робото технічні лінії та ділянки, що виготовляє вироби заданої номенклатури.

Підсистема - компонент системи - об'єднання елементів, але за масштабом менше, ніж система в цілому. Якщо розглядати технологічний комплекс, то елементом може бути технологічний процес, технологічний апарат або конкретна конструкція. Підсистемами виступають об'єднання технологічних процесів або апаратів на рівні технологічних відділень або цехів. З точки зору завдань управління завжди існує оптимальна кількість підсистем, яке призводить до найвищих техніко-економічними показниками. Кількість підсистем залежить від структури загальної системи управління: децентралізовані, централізовані, розподілені системи управління. Кількість підсистем залежить також від кількості технологічних операцій.

Рис. 1. - Класифікація СМО:

Структура - це зображення елементів і зв'язків між ними. Тут розглядається функціональна, алгоритмічна, технічна, організаційна структура.

Передбачається, що система має два і більше рівнів управління.

Зв'язок - найбільш важливим є те, що тут використовуються узагальнені оцінки (наприклад, зв'язку: спрямована або ненаправленої, сильна або слабка, позитивна чи негативна). Зв'язок однозначно характеризує структуру системи.

Стан - Це миттєва оцінка або фаза розвитку системи.

Рівновага - це певне усталене стан, а перехід з одного стану в інший називають поведінкою системи.

ГВС складається із підсистем:

- технологічна;

- транспортна;

- забезп. інструментами;

- контролю якості;

- складська.

Технологічна - це сукупність технологічних машин, які здійснюють формоутворення деталей в автоматичному режимі.

Транспортна - це транспорт та накопичення пристроїв, які здійснюють зберігання та доставку заготівок вироблених деталей.

Контролю якості - призначена для контролю якості продукції, яка виготовляється для контролю вимірювальних пристроїв.

Забезпечення - здійснює контроль інструменту.

Складська - зберіг. заготівок, виготов. продукції. Має дві організації: централізований склад, децентралізований склад (накопичувач біля технічного обладнання).

Управління - здійснює оптимальне управління роботою всіх підсистем.

Система масового обслуговування (СМО) - це будь-яка система, яка призначена для обслуговування заявок, які надходять до неї у випадкові моменти часу.

Найпростіша СМО - це така СМО, в якій всі потоки є найпростішими.

Основні поняття СМО:

- Вимога (заявка) - запит на обслуговування;

- Вхідний потік вимог - сукупність вимог, що надходять у СМО;

- Час обслуговування - період часу, протягом якого обслуговується вимогу.

Математична модель СМО - це сукупність математичних виразів, що описують вхідний потік вимог, процес обслуговування та їх взаємозв'язок.

Ймовірність відмови.

Для розрахунку ймовірності відмови, використовуються такі формула:

Р = 1 - Q

Або:

Q = A / л

2. Хід роботи

Розробимо найпростішої багатоканальної СМО з обмеженою чергою.

Рис. 2. - Граф стану СМО з обмеженою чергою:

Дана СМО має стани:

- S0 - «всі канали вільні»;

- S1 - «один канал зайнятий, інші С-1 канал вільні»;

- S2 - «два канали зайняті, інші С-2 канал вільні»;

- SС - «С каналів зайняті (ті що є у розпорядженні), черги немає»;

- SС+1 - «С каналів зайняті, одне замовлення знаходиться в черзі»;

- SN - «всі С каналів зайняті, N-С замовлень знаходяться в черзі»;

- л - інтенсивність потоку заявок;

- м - інтенсивність потоку обслуговування.

При інтенсивності л помилок на один станок інтенсивність помилок у всьому цеху пропорційна кількості станків в робочому стані.

Мовою теорії СМО наявність з станків у системі означає, що з станків зламані. Отже інтенсивність помилок у всьому цеху визначаться як:

математичний моделювання імітаційний

Інтенсивність відповідно:

Гранична ймовірність:

Висновок

Виконуючи лабораторну роботу я розробила і представила математичну модель системи у вигляді СМО.

Размещено на Allbest.ru