Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции
Рассмотрение примеров дифференциального исчисления функций одного переменного. Исследование на монотонность, определение асимптот и экстремумов. Проведение полного исследования свойств и построение эскиза графика функции. Исследование функции Лагранжа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.12.2013 |
| Размер файла | 232,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФГБОУ ВПО "ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ "Экономика"
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине: Математический анализ
Вариант № 2
Когалым 2013
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
дифференциальный функция экстремум асимптота
1. Вычислить предел:
При
2. Найти асимптоты функции:
Очевидно, что функция не определена при .
Отсюда получаем, что
Следовательно, - вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
Следовательно, - горизонтальная асимптота при .
3. Определить глобальные экстремумы: при
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .
Находим критические точки
Найдем значение функции на концах отрезка.
Сравнивая значения, получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .
Затем находим критические точки.
|
x |
0 |
1 |
3 |
|||||
|
+ |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
||
|
возрастает |
нет экстр. |
возрастает |
max |
убывает |
min |
возрастает |
Функция возрастает при , убывает при .
Точка - локальный максимум.
Точка - локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
|
x |
2 |
|||
|
- |
0 |
+ |
||
|
выпуклая |
перегиб |
вогнутая |
Функция выпуклая при , вогнутая при .
Точка - точка перегиба.
Дифференциальное исчисление функций и его приложение
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
1) Область определения функции
2) Поскольку , функция не является четной или нечетной.
3) Точки пересечения с осями:
а) с оx:
б) с oy .
4) Асимптоты.
а) .
- вертикальная асимптота.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда получаем, что
- наклонная асимптота при .
5) Критические точки
К тому же не существует при .
6)
К тому же не существует при
|
x |
0 |
2 |
4 |
|||||
|
+ |
0 |
- |
Не сущ. |
- |
0 |
+ |
||
|
- |
- |
- |
Не сущ. |
+ |
+ |
+ |
||
|
y |
возрастает выпуклая |
max |
убывает выпуклая |
не сущ. |
убывает вогнутая |
min |
возрастает вогнутая |
Эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции
Найдем частные производные
Необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
Получили две критические точки
Проведем исследование этих точек. Найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки :
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Для точки :
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Вывод - локальных экстремумов у функции - нет.
3. Определить экстремумы функции , если
Функция Лагранжа
Исследуем ее
Получим две критические точки:
В силу условия нам подходит только точка .
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
Для точки получаем .
Следовательно,
Получили положительно определенную квадратичную форму.
- точка условного локального минимума.
Интегральное исчисление функции одного переменного
1-3. Найти неопределенный интеграл
1.
2.
3.
4. Вычислить
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного. Нахождение локальных экстремумов функции. Интегральное исчисление функции, пределы интегрирования. Практический пример определения площади плоской фигуры, ограниченной кривыми.
контрольная работа [950,4 K], добавлен 20.01.2014Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.
презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013Нахождение асимптот функции, локальных и глобальных экстремумов. Промежутки выпуклости и точки перегиба функции. Область определения функции и точки пересечения с осями. Нахождение определенного и неопределенного интегралов. Выполнение деления с остатком.
контрольная работа [312,9 K], добавлен 26.02.2012Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Расчет производной функции. Раскрытие неопределенности и поиск пределов. Проведение полного исследования функции и построение ее графика. Поиск интервалов возрастания, убывания и экстремумов. Решение дифференциальных уравнений. Расчет вероятности события.
контрольная работа [117,5 K], добавлен 27.08.2013Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.
реферат [255,0 K], добавлен 12.08.2009Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.
контрольная работа [77,3 K], добавлен 11.07.2013Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание "Выпуклость функции". Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7).
презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015Определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графиков функций. Точки разрыва и область определения функции. Нахождение конечного предела функции. Неограниченное удаление точек графика от начала координат. Примеры нахождения асимптот.
презентация [99,6 K], добавлен 21.09.2013Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Исследование функции, построение ее графика, используя дифференциальное исчисление. Вычисление неопределенных интегралов, используя методы интегрирования. Пределы функции. Определение области сходимости степенного ряда. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [592,7 K], добавлен 06.09.2015Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Исследование функции на четность-нечетность, экстремумы и интервалы монотонности, наличие асимптот и построение ее графика. Точки пересечения с осями координат. Расчет площади, ограниченной графиками функций. Поиск длины дуги кривой, заданной уравнением.
контрольная работа [95,2 K], добавлен 28.03.2014Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015
