Геометрические места точек пространства

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные геометрические места точек пространства

1.1 Сущность задачи на нахождение ГМТ

Напомним, что геометрическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством. Все остальные точки пространства указанным свойством не обладают. ГМТ задается свойством точек, которое называется характеристическим свойством этого ГМТ (фигуры). геометрический пространство параболоид аполлония

Каждая задача, в которой требуется найти ГМТ по его характеристическому свойству, предполагает требование описать это ГМТ наглядно через известные элементарные фигуры. Решение задачи на отыскание ГМТ неизбежно приводит к доказательству двух утверждений -- прямого и ему противоположного: необходимо доказать, что

1) каждая точка предполагаемого (искомого) ГМТ обладает заданным свойством;

2) любая точка, не принадлежащая этой фигуре, заданным свойством не обладает.

Вместо второго утверждения можно доказывать эквивалентное ему утверждение, обратное первому: если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит искомой фигуре.

Решение задачи на нахождение ГМТ пространства по заданному его характеристическому свойству в большинстве случаев начинается с создания предположения (гипотезы) о виде искомой фигуры, в чем существенную роль играют известные ГМТ плоскости. Потом исследуются другие положения плоскости, сохраняющие заданное свойство точек, что позволяет определить вид искомой фигуры.

Нередко искомое ГМТ представляет собой пересечение уже известных ГМТ.

Исследование полученного решения состоит в рассмотрении особых случаев взаимного расположения объектов (точек, прямых, плоскостей и др.), через которые задано характеристическое свойство точек искомой фигуры (ГМТ).

Для примера найдем геометрическое место точек пересечения плоскостей, содержащих данную точку A, со всеми перпендикулярными им прямыми, лежащими в данной плоскости б и пересекающимися в данной точке B.

Пусть точка A не лежит в плоскости б и точка H -- ее ортогональная проекция на плоскость б (рис. 1).

Рис. 1

Пусть M -- произвольная точка искомого ГМТ, т. е. M = (BM) ? г, BM?г, BM ? б, A ? г.

По определению б?г . На основании следствия из него (AH) ? г. Поскольку BM?AM , то MH?BM. Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром BH .Докажем обратное утверждение. Пусть M -- произвольная точка окружности с диаметром BH, не совпадающая с точками B и H . Тогда угол BMH прямой и из BM?MH следует BM?AM и затем BM?(AMH). Значит, точка M обладает заданным свойством (является точкой пересечения прямой, лежащей в плоскости б, и плоскости, перпендикулярной этой прямой и содержащей точку A). Точки H и B также обладают этим свойством: точка H лежит в плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной BH , а точка B лежит в плоскости ABH и на прямой плоскости б и перпендикулярной BН.

Таким образом, искомым ГМТ является окружность в плоскости a с диаметром BH .

Отметим два частных случая. 1) A ?a. Тогда точки A и H совпадают и искомым ГМТ является та же окружность. 2) Если точки B и H совпадают, то искомым ГМТ является одна точка B.

1.2 Простейшие ГМТ пространства. Следующие девять ГМТ пространства являются простейшими (в определенном смысле первоначальными)

I. Множество точек пространства, удаленных от данной точки O на заданное расстояние R, есть по определению сфера (O, R) с центром O радиуса R. Ее можно рассматривать и как ГМТ пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом.

II. Множество точек пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных точек A и B, есть плоскость , проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно этому отрезку (плоскость симметрии точек A и B). Действительно, проведем через прямую AB произвольную плоскость б. Множество точек плоскости б, каждая из которых равноудалена от точек A и B, есть серединный перпендикулярк отрезку AB. Объединение всех таких перпендикуляров, получаемых во всех плоскостях б, и есть указанная плоскость .

III. Геометрическое место точек пространства, удаленных от данной плоскости б на данное расстояние h, есть пара плоскостей, параллельных данной плоскости a. Эти же две плоскости можно рассматривать как объединение прямых, каждая из которых параллельна плоскости a и удалена от нее на расстояние h.

IV. ГМТ пространства, равноудаленных от двух данных параллельных плоскостей, есть параллельная им плоскость, делящая пополам любой отрезок с концами на данных плоскостях.

V. ГМТ пространства, удаленных от данной прямой l на данное расстояние r, есть круговая цилиндрическая поверхность с осью l радиуса r. Ее можно рассматривать как объединение всех прямых, каждая из которых параллельна l и удалена от нее на расстояние r, а также как объединение всех окружностей радиуса r с центрами на l в плоскостях, перпендикулярных прямой l.

VI. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от двух

данных параллельных прямых a и b, есть плоскость г, перпендикулярная плоскости этих прямых и содержащая среднюю линию m полосы между этими прямыми (рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

VII. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых a и b, есть пара взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярных плоскости данных прямых и содержащих биссектрисы углов между ними (рис. 3).

VIII. Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся плоскостей, состоит из двух перпендикулярных плоскостей -- биссекторных плоскостей двугранных углов между данными плоскостями.

IX. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от трех неколлинеарных точек A, B, C есть пересечение двух геометрических мест II: плоскости г симметрии точек A и B и плоскости б симметрии точек B и C, т. е. прямая l = г ? б(рис. ). Точка O = l ? (ABC) является центром окружности, описанной около треугольника ABC

По этой причине прямая l называется осью окружности ABC. Она принадлежит также и плоскости b симметрии точек C и A.

Рис.4

2. ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми

2.1 Серединная плоскость скрещивающихся прямых. Найдем геометрическое место середин отрезков, концы каждого из которых принадлежат двум данным скрещивающимся прямым a и b

Решение 1. Пусть M -- произвольная точка искомого множества, т.е. середина некоторого отрезка AB, A ?a, B ?b (рис. 5). Построим пару параллельных плоскостей a и b, содержащих соответственно прямые a и b. Проведем через точку M плоскость g, параллельную этим плоскостям. В плоскости г лежат середины всех отрезков с концами на a и b, в частности, и середины всех отрезков с концами на прямых a и b. Плоскость г называется серединной плоскостью скрещивающихся прямых.

Рис. 5

Обратно, пусть точка M -- произвольная точка серединной плоскости г. Прямая l пересечения плоскостей (M, a) и (M, b) пересекает каждую из прямых a и b. Следовательно, точка M принадлежит искомому ГМТ.

Итак, геометрическим местом середин отрезков, концы каждого из которых принадлежат двум скрещивающимся прямым, является серединная плоскость г этих прямых.

Решение 2 (методом преобразований). Фиксируем точку A прямой a. Гомотетия с центром A и коэффициентом 1/2 отображает прямую b на прямую b0 b (рис. 6), на которой лежат середины отрезков AB для любой точки B прямой b. Аналогично фиксируем точку B. Гомотетия с центром B и коэффициентом 1/2 отображает прямую a на прямую а0.Если перемещать одновременно точку A по прямой a, а точку B по прямой b, то объединение всех прямых a0 и b0 -- образов прямых a и b при указанных гомотетиях есть серединная плоскость г, содержащая середины всех отрезков AB.

Рис. 6

2.2 Гиперболический параболоид

Поставим задачу найти ГМТ, каждая из которых равноудалена от двух скрещивающихся прямых a и b. Для этого пересечем их произвольной прямой c. На основании ГМТ VII геометрическим местом точек, каждая из которых равноудалена от прямых a и c, есть определенная пара плоскостей и . Геометрическим местом точек, каждая из которых равноудалена от прямых c и b есть определенная пара плоскостей и .

Точки четырех прямых пересечения плоскостей принадлежат искомому ГМТ. Меняя секущую прямую c, получим этим путем бесконечное множество прямых, каждая точка которых равноудалена от данных скрещивающихся прямых a и b. Объединение всех прямых этого множества представляет собой поверхность, называемую гиперболическим параболоидом. Часть его изображена на рис. 7.

Рис. 7

Эта седлообразная поверхность изучается в вузах. Гиперболический параболоид может быть о п р е д е л е н как множество прямых, каждая из которых пересекает три данные попарно скрещивающиеся прямые, параллельные одной плоскости. Тогда три данные прямые также принадлежат заданному ими гиперболическому параболоиду. Каждая принадлежащая ему прямая называется его образующей.

Параболоид имеет два подмножества (два семейства) образующих: одно семейство состоит из всех секущих прямых для заданных трех прямых, а второе включает эти три прямые. Любые две образующие одного семейства скрещиваются, а любые две образующие разных семейств пересекаются или параллельны.

Теорема. Каждая точка биссектрис l и m углов между ортогональными проекциями двух данных скрещивающихся прямых на их серединную плоскость равноудалена от данных прямых, т. е. принадлежит гиперболическому параболоиду.

Доказательство. Пусть AB -- общий перпендикуляр данных скрещивающихся прямых a и b, г -- их серединная плоскость, l -- одна из биссектрис углов между ортогональными проекциями a2 и b2 прямых a и b на плоскость г (рис. 8). Из произвольной точки P ? l опустим перпендикуляры P C и P D на плоскости б и в, а также перпендикуляры P E и P F на прямые a и b. По теореме о трех перпендикулярах CE?a и DF ?b. Из равенства прямоугольных треугольников ACE и BDF следует CE = DF , а из равенства прямоугольных треугольников P CE и P DF следует P E = P F . Некоторые опущенные подробности доказательства читатель восполнит сам, пользуясь рис. 8.

Указанные в теореме прямые l и m принадлежат к разным семействам образующих гиперболического параболоида.

Рис. 8

3. Три ГМТ пространства, аналогичные ГМТ плоскости

3.1 Окружность Аполлония и сфера Аполлония

Найдем ГМТ пространства, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек A и B одно и то же (равно данному отношению m : n двух отрезков).

Проведем через прямую AB произвольную плоскость б и найдем сначала множество точек плоскости б, принадлежащих искомому ГМТ- пространства. На прямой AB существуют две точки P и Q, для которых P A : P B = QA : QB = m : n. Для их построения проведем через точки A и B две параллельные прямые произвольного направления и отложим на них данные отрезки m и n как показано на рис. . Дальнейшее ясно из этого рисунка. Говорят, что точка P делит отрезок AB в данном от- ношении внутренним образом, а точка Q делит его внешним образом.

Рис. 9 Рис. 10

Пусть точка M ? a принадлежит искомому ГМТ, т. е. MA : MB =

= m : n. Тогда MA : MB = P A : P B = QA : QB. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника и биссектрисы его внешнего угла луч MP есть биссектриса угла AMB, а луч MQ -- биссектриса его внешнего угла, смежного с углом AMB, и поэтому MP ?MQ. Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром P Q (рис.).

Обратно, пусть N -- произвольная точка этой окружности. Докажем, что NA : NB = m : n. Проведем CD AN , B ? (CD). Из подобия

треугольников ANP и CBP и из подобия треугольников ANQ и BDQ получаем: AN :BC = AP :P B = m :n и AN :BD = AQ :QB = m :n, откуда BC = BD. В прямоугольном треугольнике CND медиана NB равна половине гипотенузы CD, т. е. NB = BC. Но AN : BC = m : n и поэтому AN : NB = m : n.

Таким образом, ГМТ плоскости б, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек A и B равно заданному отношению, есть окружность с диаметром P Q. Она называется окружностью Аполлония для данного отрезка AB и данного отношения m : n.

Теперь будем поворачивать плоскость б около прямой AB. В каждом ее положении получим свою окружность Аполлония с одним и тем жедиаметром P Q. Поэтому их объединением является сфера, называемая сферой Аполлония для данного отрезка и заданного отношения.

Итак, ГМТ пространства, для каждой из которых отношение расстояний до данных точек A и B постоянно, есть сфера Аполлония, концы диаметра которой делят отрезок AB в заданном отношении (внутренним и внешним образом).

3.2 ГМТ пространства, разность квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка, найдем сначала для произвольной плоскости б, проходящей через прямую AB

Пусть точка M этой плоскости удовлетворяет заданному условию AM2 ? BM2 = a2 (a -- данный отрезок). Проведем MC? AB (рис.). Тогда AM2 = AC2 + MC2 и BM2 = BC2 + MC2 , откуда AM2 ? BM2 = AC2 ? BC2 = a2 . Следовательно, любая точка перпендикуляра MC удовлетворяет заданному условию.

В каждой из плоскостей, содержащих прямую AB, имеется проходящий через точку C перпендикуляр к AB, каждая точка которого принадлежит искомому ГМТ пространства. Объединением всех этих перпендикуляров является плоскость, перпендикулярная к прямой AB и содержащая ее точку C, определяемую равенством AC2 -ВС2=а2

Рис. 11 Рис. 12

Построение точки C ? (AB) можно выполнить так. Построим отрезок BD?AB, BD = a. Тогда серединный перпендикуляр к отрезку AD пересечет AB в искомой точке C (рис. ). В самом деле, AC = CD, AC2 = CD2 = CB2 + a2 и AC2 ? CB2 = a2 . При a < AB точка C лежит внутри отрезка AB, при a = AB совпадает с B, а при a > AB -- вне отрезка AB.

Итак, ГМТ пространства, разность квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, есть плоскость, перпендикулярная прямой AB в точке C, определяемой условием AC2 - BC2 = a2 .

3.3 ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, найдем аналогично решению двух предыдущих задач. Сначала рассмотрим произвольную плоскость б, содержащую прямую AB, и в ней найдем точки искомого ГМТ

Пусть M -- какая-нибудь точка этой плоскости, удовлетворяющая условию AM2 + BM2 = a2 . Построим параллелограмм AMBN с диагональю AB (рис.). Тогда AB2 + MN2 = 2(AM2 +BM2 ) = 2a2 , откуда MN2 = 2a2 ? AB2. Так как отрезки a и AB даны, то точка M принадлежит окружности с центром в середине O отрезка AB радиуса OM = . Эта окружность существует при условии AB .Обратно, если точка M принадлежит этой окружности, то из того же параллелограмма AB2 + BM2 = (AM2 + MN2 ) = (AB2 +(2ОМ)2)= (АВ2+2а2-АВ2)=а2 , т. е. точка M принадлежит искомому ГМТ плоскости б. Следовательно, ГМТ плоскости б, удовлетворяющих заданному условию, есть окружность.

При повороте плоскости б около прямой AB центр и радиус этой окружности остаются неизменными. Поэтому объединением всех полученных окружностей будет сфера, являющаяся искомым ГМТ пространства.

Итак, ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, есть сфера с центром в середине отрезка AB и радиуса r = (AB ).

Рис. 13

Радиус r этой сферы можно построить так. На заданном отрезке a как на диаметре построим окружность и вписанный в нее некоторый прямоугольный треугольник P QK (рис.). Затем построим треугольник ABC по трем сторонам, две из которых равны катетам m и n треугольника P QK. Тогда вершина C и середина O отрезка AB определяют радиус r = OC указанной сферы. Действительно, квадрат медианы OC треугольника ABC равен OC2 = 2m2 + 2n2 ? AB2 = 2a2 ? AB2 = r2 .

Рис. 14

4. Метод ГМТ в стереометрических задачах на построение

Сущность метода геометрических мест заключается в следующем. Данная задача на построение сводится к построению некоторой точки, которая в дальнейшем давала бы возможность построить всю искомую фигуру. В процессе анализа выясняется, что эта «ключевая» точка обладает несколькими (чаще двумя) свойствами по отношению к заданным элементам искомой фигуры.

Одно из этих свойств временно оставляется в стороне и находится ГМТ, удовлетворяющих остальным свойствам. Затем привлекается отброшенное свойство и устраняется другое свойство из тех, которым должна обладать искомая «ключевая» точка. Находится ГМТ, удовлетворяющих новой совокупности свойств. Искомая точка должна принадлежать пересечению двух полученных ГМТ. Если эти два ГМТ исчерпывают всю совокупность свойств, то искомая точка (одна или несколько) найдена, а если нет, то процесс продолжается дальше до тех пор, пока все требуемые свойства не будут использованы.

Для иллюстрации сказанного решим две задачи.

Задача 1. Даны три попарно скрещивающиеся прямые a, b, c, не параллельные одной плоскости, и точка D, не принадлежащая этим прямым. Постройте плоскость, которая бы пересекала эти прямые в точках, являющихся вершинами параллелограмма, одна из вершин которого есть точка D.

Решение. «Ключевой» точкой может служить центр O параллелограмма, так как она позволяет построить неизвестные его вершины A, B, C (рис. 15). Точка O обладает двумя свойствами: 1) она являет- ся серединой отрезка DB, B ? b, 2) она является серединой отрезка AC с концами на прямых a и c. Множество точек, удовлетворяющих только первому из этих свойств, есть прямая l b. Прямая l строится как образ прямой b при гомотетии с центром D и коэффициентом 1/2. Множество точек, обладающих только вторым свойством, есть серединная плоскость г скрещивающихся прямых a и c (п.). Прямая l не параллельна плоскости г, так как иначе прямые a, b, c были бы параллельны г, что исключено условием задачи. Итак, центр O искомого параллелограмма -- это точка пересечения прямой l и плоскости г, которые строятся известными способами.

Рис. 15

В условии задачи не оговорено требование, чтобы непременно B ? b.

Возможно также B ?a или B ?c. Следовательно, существуют три плоскости (три параллелограмма), удовлетворяющих условиям задачи.

Задача 2. Постройте сферу, делящую пополам данную сферу (O, r) и содержащую три данные неколлинеарные точки A, B, C.

Решение. Задача сводится к построению центра S искомой сферы, которая пересекает данную сферу (O, r) по большой окружности (радиуса r). Если M -- произвольная точка этой окружности, то SM2 ? SO2 = r2 и SM = SA = SB = SC, т. е. SA2 ? SO2 = r2. Это значит, что искомый центр S принадлежит двум ГМТ: 1) ГМТ, разность квадратов расстояний каждой их которых до известных точек A и O равна квадрату данного отрезка r (п. ) -- плоскости, перпендикулярной прямой OA и 2) оси окружности ABC (ГМТ IX). Этим положение точки S определено. Определен и радиус R искомой сферы: R = SA = SB = SC.

В этом построении центра S вместо точки A может быть использована точка B или точка C. Поэтому три ГМТ первого вида имеют общую точку S.

Размещено на Allbest.ru