Математическое моделирование и вычислительный эксперимент

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Математическое моделирование

Математизация знаний

Использование математических моделей

Компьютеры в математическом моделировании

Новые возможности математики

Аналитические методы исследования математических моделей

Использование компьютеров

Обработка экспериментальных данных

Математическая модель прибора

Вычислительный эксперимент

Основные этапы вычислительного эксперимента

Основные особенности новой технологии научных исследований

Вычислительный эксперимент в науке и технологии

Области применения вычислительного эксперимента

Различные типы вычислительного эксперимента

Заключение

Список использованной литературы

Введение

математическое моделирование вычислительный эксперимент

В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований - математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей. Методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки больших технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Широкое применение математических методов позволяет поднять общий уровень теоретических исследований, дает возможность проводить их в более тесной связи с экспериментальными исследованиями. Математическое моделирование может рассматриваться как новый метод познания, конструирования, проектирования, который сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен. Вычислительный эксперимент позволяет провести исследование быстрее и дешевле. Математическое моделирование является в настоящее время одной из важнейших составляющих научно-технического прогресса. Без применения этой методологии в развитых странах не реализуется ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект.

Рождение и становление методологии математического моделирования пришлось на конец 40-х-начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первым, но не основным, побудительным мотивом послужило появление компьютеров, которые избавили исследователей от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Второй, более важной, причиной явился беспрецедентный социальный заказ - выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита. Эти сложнейшие научно-технические проблемы не могли быть реализованы традиционными методами без широкого использования вычислительных средств. Ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были промоделированы сначала на компьютерах и лишь затем претворены на практике.

Основу математического моделирования составляет триада модель - алгоритм - программа. Математические модели реальных исследуемых процессов сложны и включают системы нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Ядро математической модели составляют уравнения с частными производными.

На первом этапе вычислительного эксперимента выбирается (или строится) модель исследуемого объекта, отражающая в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. Математическая модель (ее основные фрагменты) исследуется традиционными аналитическими средствами прикладной математики для получения предварительных знаний об объекте.

Второй этап связан с выбором (или разработкой) вычислительного алгоритма для реализации модели на компьютере. Необходимо получить искомые величины с заданной точностью на имеющейся вычислительной технике. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, они должны быть адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых вычислительных средств. Изучение математических моделей проводится методами вычислительной математики, основу которых составляют численные методы решения задач математической физики - краевых задач для уравнений с частными производными.

На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную с использованием ряда (иерархии) математических моделей, многовариантностью расчетов. Это подразумевает широкое использование комплексов и пакетов прикладных программ, разрабатываемых, в частности, на основе объектно-ориентированного программирования.

Успех математического моделирования определяется одинаково глубокой проработкой всех основных звеньев вычислительного эксперимента. Опираясь на триаду модель - алгоритм - программа, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется и калибруется на решении содержательного набора пробных задач. После этого проводится широкомасштабное исследование математической модели для получения необходимых качественных и количественных свойств, и характеристик исследуемого объекта.

Вычислительный эксперимент по своей природе носит междисциплинарный характер, невозможно переоценить синтезирующую роль математического моделирования в современных научно-технических разработках. В совместных исследованиях участвуют специалисты в прикладной области, прикладной и вычислительной математике, по прикладному и системному программному обеспечению. Вычислительный эксперимент проводится с опорой на широкое использование самых разных методов и подходов - от качественного анализа нелинейных математических моделей до современных языков программирования.

Моделирование в том или ином виде присутствует почти во всех видах творческой деятельности. Математическое моделирование расширяет сферы точного знания и поле приложений рациональных методов. Оно базируется на четкой формулировке основных понятий и предположений, апостериорном анализе адекватности используемых моделей, контроле точности вычислительных алгоритмов, квалифицированной обработке и анализе данных расчетов.

Решение проблем жизнеобеспечения на современном этапе основывается на широком использовании математического моделирования и вычислительного эксперимента. Вычислительные средства (компьютеры и численные методы) традиционно хорошо представлены в естественнонаучных исследованиях, прежде всего в физике и механике. Идет активный процесс математизации химии и биологии, наук о земле, гуманитарных наук и т. д.

Наиболее впечатляющие успехи достигнуты при применении математического моделирования в инженерии и технологии. Компьютерные исследования математических моделей в значительной степени заменили испытания моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах, взрывы ядерных и термоядерных устройств на полигонах.

Современные информационные технологии используются в медицине. Сбор и анализ диагностических данных позволяет провести своевременную диагностику заболеваний. Например, компьютерный томограф является примером того, как использование математических методов обработки больших массивов данных позволило получить качественно новый медицинский инструментарий.

Здесь изложены основные подходы к построению и анализу математических моделей, общие для различных областей знания, не зависящие от конкретной специфики. Окружающий людей мир един, что проявляется, в частности, в универсальности математических моделей, в использовании одних и тех же математических конструкций для описания различных явлений и объектов. Указаны общие черты вычислительного эксперимента с теоретическими и экспериментальными методами в научных исследованиях. Ниже приводится краткое описание различных типов вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент рассматривается как наиболее высокая ступень математического моделирования, порожденная преобладающим использованием компьютеров и численных методов для изучения математических моделей.

Математическое моделирование

Математизация научного знания, под которой понимается применение математических понятий в естественных и гуманитарных науках, технике, является приметой нашего времени. Часто и уровень развития той или иной науки характеризуется по степени использования математических методов. Известный афоризм «Во всяком знании столько науки, сколько в ней математики» отражает это мнение.

Математизация знаний

На эмпирическом уровне развития науки описываются наблюдаемые явления, проводятся опыты, собираются и классифицируются экспериментальные данные. Для теоретического уровня характерно введение новых абстракций и идеализаций, понятий, формулировка основных законов, образующих ядро теории. При этом достигается целостный взгляд на исследуемый объект, дается единое истолкование всей совокупности экспериментальных данных.

Большая эвристическая роль теории проявляется в том, что она позволяет предсказать новые, ранее не известные характеристики объекта, явления или процесса. История развития науки содержит блестящие иллюстрации этого: открытие Нептуна, открытие позитрона и т. д. Математические идеи и методы служат не просто математическими украшениями, а действенными средствами количественного и качественного анализа.

Различные науки имеют разный уровень математизации. Для наук, в которых превалирующее значение имеют качественные математические модели, характерен невысокий (более точно, относительно невысокий) уровень математизации. Степень математизации можно характеризовать по тому, какие математические модели используются и насколько широко. Например, применение математики в механике базируется на использовании систем уравнений с частными производными. Причем такие математические модели используются не от случая к случаю, а во всех разделах механики, таких как теория упругости, гидро-аэродинамика и т. д. Большой уровень математизации характерен и для физики, хотя в различных ее разделах математические методы пока используются в разной степени.

В настоящее время отмечается все возрастающий уровень математизации химии. Например, химическая кинетика базируется на системах обыкновенных дифференциальных уравнений, химическая гидродинамика - на уравнениях в частных производных и т. д. Повышается и уровень математизации биологии. В этой связи достаточно сослаться на классические работы В. Вольтерра по моделированию системы хищник - жертва, выполненные еще в начале двадцатого века.

Мы являемся свидетелями все более широкого использования математических идей в экономике, истории и других гуманитарных науках. Процесс математизации наук идет чрезвычайно быстро благодаря опыту, накопленному при математизации механики и физики, благодаря достигнутому уровню развития самой математики. Применение математики в химии и биологии в большой степени базируется на уже разработанном ранее математическом аппарате. Поэтому темпы математизации этих наук в значительной степени сдерживаются только уровнем развития самой химии, самой биологии. Здесь важное значение имеет и психологический фактор боязни математики. Без развития экспериментальных и теоретических исследований существенное продвижение за счет только математических методов невозможно. Успешное применение математических методов требует прежде всего глубокого овладения содержанием исследуемого процесса или явления, необходимо быть прежде всего специалистом в прикладной области, а потом уже математиком.

Единство природы проявляется в том, что для описания различных физических, химических, биологических и т. д. процессов и явлений применяются одни и те же математические модели. Это свойство конечного числа математических моделей отражает прежде всего их абстрактность. Одно и то же математическое выражение (понятие) может описывать совершенно различные процессы, характеристики. Так например, уравнение Лапласа описывает движение несжимаемой жидкости в гидродинамике, электростатическое поле вне заряженных тел, стационарное тепловое поле, прогиб мембраны в теории упругости и т. д. Как отмечал А. Пуанкаре «Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование». Это позволяет, в частности, при исследовании одного конкретного явления или процесса использовать результаты, полученные при исследовании другого явления или процесса. В такой общности, единстве математических моделей проявляется интегрирующая роль (ее наддисциплинарный характер) математики, ее методов.

Использование математических моделей

При математизации научных знаний выделяется этап абстрагирования от конкретной природы явления, идеализации и выделения его математической формы (строится математическая модель). Именно абстрактность математической модели порождает определенные трудности для ее применения к описанию конкретного явления или процесса. Сейчас, благодаря накопленному опыту, процесс идеализации, абстрагирования проходит значительно спокойнее и быстрее в различных науках.

Вторым этапом математизации является исследование математических моделей как чисто математических (абстрактных) объектов. С этой целью используются средства самой математики как уже созданные, так и специально построенные. В настоящее время большие возможности для исследования математических моделей предоставляют вычислительные средства: компьютеры и численные методы.

Третий этап применения математики в прикладных исследованиях характеризуется интерпретацией - приданием конкретного прикладного содержания математическим абстракциям. Специалист по прикладному математическому моделированию, работая бок о бок со специалистами в прикладной области, всегда за математическими абстракциями видит конкретное прикладное содержание.

Математические модели могут изучаться в традициях чистой математики. В этом случае математические модели изучаются сами по себе, без какой-либо связи с прикладным содержанием. Они исследуются на принятом в математике уровне строгости, что обеспечивает им универсализм и необходимую общность. Здесь уместно сослаться на мнение крупных математиков: Д. Гильберта, А. М. Ляпунова и др. Эта точка зрения сводится к следующему. После математической формулировки прикладной проблемы ее нужно рассматривать на уровне чистой математики. Несомненно, что исследование математических моделей является одним из самых мощных стимулов развития самой математики.

Эвристическая роль математического моделирования проявляется в том, что вместо натурного эксперимента проводится математический эксперимент. Вместо исследования проявления того или иного воздействия на исследуемый объект используется параметрическое изучение математической модели, устанавливается зависимость решения от того или иного параметра. Такой эксперимент, дополняя натурный, позволяет значительно глубже исследовать явление или процесс.

Компьютеры в математическом моделировании

Появление электронных вычислительных машин, быстрое развитие вычислительной математики, повсеместное использование вычислительной техники чрезвычайно расширило возможности математического моделирования.

Новые возможности математики

Вычислительные средства, под которыми мы понимаем компьютеры и вычислительные методы, позволили решить с приемлемой точностью и за разумное время задачи, которые ранее были недоступны для исследования, дали возможность реализовать крупнейшие научно-технические проекты.

В качестве примеров отметим использование компьютеров при запуске и управлении полетом космических кораблей, при обработке данных сейсмической разведки полезных ископаемых, полное численное моделирование аэродинамики реальной конфигурации самолета, и т. д. Даже в чистой математике компьютеры нашли достойное применение: доказательные вычисления на компьютере, решение знаменитой проблемы четырех красок и т. д.

Идет быстрое формирование новых научных дисциплин, новых научных направлений, основанных на широком использовании вычислительных средств при теоретическом исследовании прикладных проблем. Отметим в этой связи, прежде всего вычислительную физику, вычислительную гидродинамику, вычислительную геометрию, вычислительную алгебру, вычислительную теплофизику и другие.

Исследование математических моделей подразумевает, прежде всего качественное изучение математических моделей и получение точного или приближенного решения. Компьютер предоставляет новые возможности не только для нахождения приближенного решения численными методами, но и для качественного исследования математической модели.

Аналитические методы исследования математических моделей

Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Приведение задачи к безразмерному виду позволяет сократить число определяющих параметров задачи. Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель, учесть особенности задачи при разработке численных методов ее решения.

Сама математическая модель может быть достаточно сложной, нелинейной. Это зачастую делает невозможным ее качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в громадном большинстве случаев проводиться качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных, по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае мы должны говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели). Так например, особенности модели потенциального течения с дозвуковыми и сверхзвуковыми подобластями течения в плане качественного исследования передаются уравнением Трикоми, которое в математической физике относится к классу уравнений смешанного типа.

Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректности. Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие строгие результаты (теоремы существования) дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи.

При прикладном математическом моделировании важным является вопрос об устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных. Неустойчивость (неограниченный рост решения при малых возмущениях) наиболее характерна для обратных задач и должна учитываться при построении приближенного решения.

Для нелинейных математических моделей может быть характерна множественность, не единственность решения. При качественном исследовании математических моделей изучаются точки ветвления, бифуркации решения, вопросы выделения нужного искомого решения и т. д.

Методы качественного исследования для различных типов математических моделей разработаны с неодинаковой полнотой. Среди моделей, где качественные методы принесли наиболее впечатляющие результаты, отметим обыкновенные дифференциальные уравнения. В теории уравнений с частными производными качественные методы также используются, хотя и не в такой большой степени. В качестве содержательного примера отметим принцип максимума для параболических и эллиптических уравнений второго порядка, который позволяет провести качественное исследование математических моделей, основанных на уравнениях с частными производными.

Точное или приближенное решение находится с использованием аналитических и численных методов. В этой связи среди классических примеров аналитических методов отметим методы разделения переменных, интегральных преобразований для линейных задач математической физики.

Для нелинейных математических моделей особое значение имеют методы линеаризации, различные варианты методов возмущений. Теория возмущений базируется на использовании асимптотических разложений по выделенному малому параметру. Особое внимание этим методам, несмотря на их ограниченность, уделяется при рассмотрении сингулярно-возмущенных задач.

Качественное поведение решения нелинейной задачи может хорошо передаваться некоторыми частными решениями. Поиск частных решений нелинейных задач основывается на использовании автомодельных переменных, на результатах группового анализа уравнений, лежащих в основе математической модели.

Сложные нелинейные многопараметрические модели могут быть исследованы на компьютере численными методами. В отличие от аналитического решения, которое может давать явную параметрическую зависимость решения от тех или иных условий задачи, при численном решении требуется многократное решение задачи при изменении того или иного параметра. Но ведь численное решение может быть получено и для тех задач, для которых аналитического решения нет.

Использование компьютеров

Перейдем теперь к характеристике основных этапов использования компьютеров при математическом моделировании. Мы будем основное внимание обращать на использование вычислительных средств при нахождении приближенного решения задачи. Необходимо однако отметить и возможности применения компьютеров и на этапе качественного исследования математической модели, этапе отыскания аналитических решений модельных задач. Например, компьютер можно использовать для нахождения автомодельных решений. При выделении автомодельной переменной исходная задача для уравнения в частных производных сводится, например, к обыкновенному дифференциальному уравнению, происходит понижение размерности. Общее решение последнего находится на основе использования систем аналитических вычислений на компьютере (методов вычислительной алгебры), широко представленных в современных математических пакетах.

В применении компьютеров при математическом моделировании можно выделить, по крайней мере, два этапа, два уровня. Первый из них характеризуется исследованием достаточно простых математических моделей. На этом этапе (уровне) применения компьютеров вычислительные средства используются наряду и наравне с другими методами (чисто математическими) прикладной математики.

Выделенный этап применения компьютеров при математическом моделировании характеризуется условной цепочкой заказчик (теоретик) - исполнитель (прикладной математик). Заказчик ставит задачу, анализирует результаты, а исполнитель обеспечивает решение задачи с применением компьютеров. В этом случае речь идет о решении конкретной (достаточно узкой) задачи с определенным набором входных данных.

Для этого уровня применения компьютеров в прикладном математическом моделировании характерен лозунг Р. Хеминга: «Цель расчетов - понимание, а не числа». Это отражает традиции работы заказчика-теоретика, который больше всего ценит качественный анализ. Для современного этапа научных исследований и разработок одного понимания мало. Для выхода на эксперимент, реальную конструкцию требуются точные количественные зависимости и характеристики.

Второй этап (уровень) применения компьютеров характеризуется исследованием сложных нелинейных математических моделей. В этих условиях вычислительные средства становятся основными, абсолютно преобладающими. Традиционные средства прикладного математического моделирования выполняют вспомогательную, обслуживающую роль (качественное исследование задачи в сильно упрощенных постановках - модельные задачи, тестирование вычислительных алгоритмов и т. д.).

Именно возможность исследования сложных математических моделей на основе численных методов и компьютеров позволяет с новых позиций рассмотреть методологию научных исследований. Мощные компьютеры, высокоэффективные вычислительные алгоритмы, современное программное обеспечение позволяют в настоящее время организовать научные исследования в рамках единой технологии вычислительного эксперимента, который включает в себя теоретические и экспериментальные исследования.

Обработка экспериментальных данных

Экспериментатор, в самой общей схеме своего исследования, воздействует на исследуемый объект, получает информацию о результатах этого воздействия и обрабатывает ее. Эти данные зашумлены случайными погрешностями измерений. В силу этого при первичной обработке экспериментальных данных основной математический аппарат базируется на теории вероятностей и математической статистике. Экспериментальные исследования все чаще ведутся с помощью измерительно-вычислительных комплексов, которые позволяют получать, хранить и обрабатывать экспериментальные данные.

В каждом экспериментальном исследовании проводится статистическая обработка опытных данных. Количественная оценка влияния отдельных факторов (параметров) проявляется в построении эмпирических зависимостей, интерполирующих с той или иной точностью экспериментальные данные. В этом случае можно говорить об использовании аппроксимационных математических моделей, в которых содержательные математические модели как таковые просто отсутствуют. Выбор числа и условий проведения опытов для решения той или иной проблемы осуществляется на этапе планирования эксперимента. Здесь привлекаются результаты математической теории оптимального эксперимента, математической теории планирования эксперимента.

Математическая модель прибора

Настоящий уровень развития экспериментальных исследований характеризуется возрастающим применением все более совершенных приборов. Сами приборы с неизбежностью вносят возмущения в исследуемое явление или процесс. С целью избавления от этих погрешностей строится математическая модель прибора.

При проведении экспериментов необходимо иметь в виду две принципиально различные ситуации. Первая из них связана с ситуацией, когда для исследуемого явления или объекта нет теоретического описания, нет математической модели и ставится задача накопления экспериментального материала с тем, чтобы в последующем дать теоретическое описание. В этом случае математические методы используются для хранения и переработки информации, в частности, для получения эмпирических зависимостей.

При построении аппроксимационных математических моделей типичной является ситуация с определением параметров эмпирических формул, подборе самой формулы. По массе экспериментальных данных необходимо подобрать параметры аппроксимационных моделей так, чтобы с приемлемой точностью можно было описать экспериментальные данные. В этом случае мы сталкиваемся с необходимостью приближенного решения соответствующих задач минимизации.

Второй класс экспериментов проводится в условиях, когда есть теоретическое описание исследуемого объекта. Структура математической модели определена и ставится задача определения параметров модели. Сам натурный эксперимент направлен на то, чтобы определить те или иные свойства объекта, на конкретизацию математической модели объекта.

При обработке опытных данных таких экспериментов часто приходится иметь дело с обратными задачами. Такие задачи могут быть некорректными в классическом смысле и поэтому трудными для численного исследования. На стадии обработки и интерпретации данных экспериментальных исследований вычислительные средства находят все более широкое применение с использованием различных классов математических моделей.

Вычислительный эксперимент

Теоретические и экспериментальные исследования обладают большой степенью автономности. В условиях когда фундаментальные модели известны, апробированы может быть поставлена проблема более тесного координирования и связи теоретических и экспериментальных исследований. Речь идет о новой объединяющей технологии научных исследований, которой является математическое моделирование и вычислительный эксперимент.

Основные этапы вычислительного эксперимента

Изложим вначале общую схему вычислительного эксперимента, а затем дадим краткую характеристику его основных этапов. Понимая вычислительный эксперимент в узком смысле, как создание и изучение математических моделей исследуемого объекта с помощью вычислительных средств, можно выделить в качестве основы триаду модель - алгоритм - программа. В широком (методологическом) смысле под вычислительным экспериментом мы понимаем новую технологию научных исследований.

Для исследуемого объекта сначала строится математическая модель. Она базируется на известных фундаментальных моделях. Вычислительный эксперимент, по своей сути, предусматривает исследование группы близких моделей. Вначале строится простая, но достаточно содержательная и полная с точки зрения описания исследуемых процессов, с точки зрения близости к экспериментальным данным модель.

В процессе проведения вычислительного эксперимента, на его последующих циклах модель уточняется, учитываются новые факторы и т. д. Поэтому мы всегда можем говорить (более того, должны говорить) о наборе, упорядоченном наборе (об иерархии) математических моделей, каждая из которых с той или иной точностью описывает действительность. И в рамках наиболее простой модели необходимо добиваться согласия с экспериментом. Это и является, в конце концов, целью вычислительного эксперимента.

После построения математической модели традиционными средствами прикладной математики проводится предварительное исследование математической модели. Суть вычислительного эксперимента, его содержательное зерно состоит в исследовании на компьютере математических моделей численными методами. Здесь же речь идет только о предварительном исследовании математической модели. На этом этапе с доступной полнотой, на принятом в математике уровне строгости решаются вопросы о корректности полной задачи в узком математическом смысле.

Основное содержание предварительного исследования математической модели состоит в выделении более простых (модельных) задач и их всестороннем исследовании, так как полная математическая модель слишком сложна. Модельные математические задачи в цикле вычислительного эксперимента строятся для двух различных целей: во-первых, для качественного исследования полной задачи (а опосредовано и исследуемого объекта), во-вторых - для проверки, тестирования вычислительных алгоритмов приближенного решения полной задачи.

При качественном исследовании модельных (упрощенных) задач изучаются вопросы множественности решения, его устойчивости и т. д. Большое значение имеют также точные частные решения существенно нелинейных задач, асимптотические решения и т. д. Таким образом здесь применяется обычный математический арсенал теоретического исследования проблемы.

На следующем этапе вычислительного эксперимента строится дискретная задача и численный метод решения этой дискретной задачи. Сама математическая модель включает в себя, как правило, уравнения с частными производными (ядро математической модели), системы дифференциальных и алгебраических уравнений. Построение вычислительных алгоритмов и их исследование является прерогативой вычислительной математики.

При прикладном математическом моделировании наблюдаются две тенденции научных исследований. В традициях (парадигме) чистой математики одни исследователи изучают дискретные модели и численные методы их исследования вне связи их с прикладным математическим моделированием, реализацией на компьютере в контексте решения прикладной проблемы. Проводятся строгие доказательства существования решения дискретной задачи, получают теоретические оценки погрешности приближенного решения, сходимости итерационного процесса. Это уместно прежде всего при разработке методов решения базовых задач, при разработке вычислительного арсенала исследователя.

Представители прикладного направления в вычислительной математике работают на несколько другом («физическом») уровне строгости, для которого характерны такие нестрогие понятия как «практическая сходимость», «реальные сетки» и т. д. Безусловное требование полной строгости при прикладном математическом моделировании ни к чему хорошему не приводит.

Вычислительный эксперимент характеризуется двумя особенностями, которые необходимо учитывать при создании адекватного ему программного обеспечения. Это, во-первых, многовариантность расчетов в рамках фиксированной математической модели и, во-вторых, многомодельность. Здесь уже нельзя обойтись одной программой на компьютере, нужно иметь возможность легко менять ее для решения близких задач (задач для набора моделей).

Программное обеспечение вычислительного эксперимента базируется на использовании комплексов и пакетов прикладных программ. Комплекс программ предназначен для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Он включает в себя библиотеку программных модулей (в большой или меньшей степени независимых), из которых комплектуются рабочие программы. В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуществляется вручную.

В пакетах прикладных программ для сборки используются системные средства компьютера, что позволяет в значительной степени автоматизировать этот процесс. Пакеты прикладных программ, рассматриваемые как технология решения задач в рамках вычислительного эксперимента, позволяют наиболее эффективно использовать накопленный программный продукт, резко поднять производительность труда программистов.

В наибольшей степени основные особенности вычислительного эксперимента учитывается при использовании объектно-ориентированного программирования и современных языков программирования.

Затем в цикле вычислительного эксперимента проводится серия расчетов на компьютерах при изменении тех или иных параметров задачи. Полученные данные анализируются и интерпретируются с участием специалистов в прикладной области. Обработка результатов проводится с учетом имеющихся теоретических представлений и экспериментальных данных. Она осуществляется, во-многом, в традициях классического натурного эксперимента. Сами опытные данные представляются в виде таблиц, графиков, фотографий с дисплея, кинофильмов и т. д.

Надо только всегда иметь в виду, что объем обрабатываемой информации, детализация полученных результатов в вычислительном эксперименте несравненно больше. В вычислительном эксперименте проблемы хранения и обработки информации имеют все возрастающее значение.

На этапе анализа результатов становиться ясным, удачно ли выбрана математическая модель, ее вычислительная реализация. Если есть необходимость, модели и численные методы уточняются и весь цикл вычислительного эксперимента повторяется, то есть совершается новый виток спирали в познании истины.

Основные особенности новой технологии научных исследований

Характеризуя вычислительный эксперимент в целом, чрезвычайно важно отметить его универсальность, которая позволяет легко переносить эту технологию на исследование других объектов. Это обстоятельство характерно вообще для математического моделирования и порождено тем, что многие явления и процессы имеют одни и те же математические модели.

Отмеченная многоцелевая направленность и методологическая универсальность вычислительного эксперимента позволяет на основе накопленного опыта математического моделирования, банка вычислительных алгоритмов и программного обеспечения быстро и эффективно решать новые задачи.

Второй особенностью вычислительного эксперимента, как технологии научных исследований, является его междисциплинарный характер. Мы постоянно подчеркиваем это обстоятельство, говоря о том, что прикладной математик объединил теоретика и экспериментатора для более быстрого достижения общей цели. Вычислительный эксперимент может рассматриваться как удобная форма кооперации умственного труда, повышения его производительности. В едином цикле вычислительного эксперимента работает и теоретик, и экспериментатор, и прикладной математик, и программист.

Можно отметить следующие отличительные особенности и преимущества вычислительного эксперимента перед натурным экспериментом.

Во-первых, вычислительный эксперимент проводится даже тогда, когда натурный эксперимент невозможен. Такая ситуация имеет место с крупномасштабными экологическими экспериментами. Отметим в этой связи моделирование глобальных климатических изменений при использовании атомного оружия. Другой пример - исследование процессов при термоядерных параметрах (кроме взрыва атомной бомбы пока нет других возможностей достичь их).

Во-вторых, при использовании вычислительного эксперимента резко снижается стоимость разработок и экономится время. Это обеспечивается многовариантностью выполняемых расчетов, простотой модификации математических моделей для имитации тех или иных реальных условий.

В качестве иллюстрации отметим то, что расчеты на компьютерах в большой степени заменили эксперименты в аэродинамических трубах при создании космического корабля многоразового использования Шаттл. Создание новых изделий и технологий с необходимостью связано с тяжелой, дорогостоящей и длительной доводкой. Вычислительные средства позволяют в значительной степени сэкономить время и деньги именно на этой стадии.

Данные экспериментальных исследований используются для калибровки математических моделей, контроля точности приближенного решения задачи. В традициях экспериментального исследования мы воздействуем на математическую модель и обрабатываем результаты (вот почему мы говорим об эксперименте, хотя и вычислительном). И лишь изредка мы контролируем точность своего «прибора», сравнивая его с эталоном. В традициях теоретического исследования в вычислительном эксперименте мы имеем дело с математической моделью, а не с самим объектом. Эти общие черты мы рассматриваем как дополнительные аргументы в пользу интерпретации вычислительного эксперимента в широком (методологическом) смысле как интегрирующей технологии научных исследований.

Вычислительный эксперимент необходимо рассматривать как новую технологию научных исследований в перспективе, как тенденцию, как логику развития организации научных исследований. В настоящее время он, зачастую, реализуется в узком смысле по цепочке «заказчик - прикладной математик». Более тесная увязка теоретических и экспериментальных исследований в единой технологии научных исследований является ярко выраженной тенденцией нашего времени. И примечательно, что основным связующим звеном этой методологии является математическое моделирование и вычислительный эксперимент.

Вычислительный эксперимент в науке и технологии

Остановимся теперь на краткой характеристике основных областей применения математического моделирования. Основное внимание уделим классификации видов вычислительного эксперимента по применениям и по типам используемых математических моделей. Отмеченная взаимоувязанная классификация позволяет ориентировать исследователя на использование адекватного математического аппарата исследования математических моделей. Такая методологическая проблема зачастую затушевывается и сдерживает интеграционные процессы в самой прикладной математики, не говоря уже о трудностях математического моделирования.

Области применения вычислительного эксперимента

Математическое моделирование традиционно развивается в недрах фундаментальных наук: механике и физике, для которых отмечается наивысший уровень теоретических исследований (другими словами, уровень математизации). В этих науках с внедрением современных математических методов, в том числе и численных, относительно благополучно. Для механики, например, характерно наличие устоявшихся математических моделей, существует банк основных задач. Поэтому здесь основное внимание уделяется построению вычислительных алгоритмов и созданию достаточно гибкого программного обеспечения. В биологии и химии фронт работ по математическому моделированию проходит на первой части триады вычислительного эксперимента модель - алгоритм - программа. Хотя и в разной степени, на разном уровне, но вопросы применения математических методов в фундаментальных науках решаются.

Значительно менее совершенен математический арсенал инженера и технолога. В технике до настоящего времени традиционным является путь опосредованного внедрения научного знания. Прежде всего новые идеи становятся достоянием фундаментальных наук, затем трансформируются в той или иной прикладной области и лишь затем - в конкретных технических проектах и разработках. Это относится прежде всего к применению современных математически методов теоретического исследования, математическому моделированию и вычислительному эксперименту. Такой путь превращения идеи в конкретное научно-техническое решение, новую технологию неоправданно долог и расточителен.

В современных условиях необходимо обеспечить повсеместное непосредственное внедрение математических методов в науку и технологию. Математическое моделирование технологических процессов сулит огромную выгоду, переход на новый качественный уровень самой технологии. Наиболее благодатное поле для приложения методов математического моделирования и вычислительного эксперимента - техника и промышленность, технология. Особое внимание заслуживают отрасли определяющие научно-технический прогресс сегодня, и прежде всего микроэлектроника. Численное моделирование в этом случае обеспечивает подъем своей технической базы - компьютеров.

Отметим еще один аспект в применении вычислительного эксперимента. В настоящее время мировая общественность совершенно справедливо обеспокоена экологическими последствиями крупномасштабных проектов, обеспечением безопасности функционирования работающих установок и проектируемых объектов. Вычислительный эксперимент на базе адекватных моделей позволяет испытать модель экологически опасного объекта в мыслимых и немыслимых условиях, дать практические рекомендации обеспечения условий безопасной работы, дать, если хотите, гарантии такой работы.

Различные типы вычислительного эксперимента

При исследовании нового процесса или явления обычный подход связан с построением той или иной математической модели и проведением расчетов при изменении тех или иных параметров задачи. В этом случае мы имеем поисковый вычислительный эксперимент. Если основу математической модели составляют уравнения с частными производными, то в цикле вычислительного эксперимента исследуется и решается численными методами прямая задача математической физики.

В результате проведения поискового вычислительного эксперимента дается описание наблюдаемым явлениям, прогнозируется поведение исследуемого объекта в тех или иных условиях, возможно и не достижимых в реальных условиях. Такой тип вычислительного эксперимента характерен при проведении теоретических исследований в фундаментальных науках.

С другой стороны, при математическом моделировании технологических процессов в качестве основного может быть выбран оптимизационный вычислительный эксперимент. Для него характерно решение задачи оптимизации по уменьшению затрат, облегчению конструкции и т. д. Для сформулированной математической модели ставится соответствующая задача оптимального управления, задача оптимизации.

Характерным примером могут служить задачи оптимального управления для уравнений математической физики, например, граничного управления, когда граничные условия подбираются так, чтобы минимизировать соответствующий функционал (функционал качества). В этом случае многовариантные расчеты проводятся с целью подобрать управляющие параметры, а результатом является решение в том или ином смысле оптимальное.

При обработке данных натурных экспериментов используется диагностический вычислительный эксперимент. По дополнительным косвенным измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, ставится задача идентификации модели, например, определяются коэффициенты уравнений. Диагностическому вычислительному эксперименту обычно ставится в соответствие обратная задача математической физики.

Часто приходится сталкиваться с положением, когда математической модели исследуемого процесса или явления нет и создать ее не представляется возможным. Такая ситуация характерна, в частности, при обработке данных натурного эксперимента. Тогда обработка проводится в режиме «черного ящика» и мы имеем дело с аппроксимационными моделями. При отсутствии математических моделей на основе широкого использования компьютеров проводится имитационное моделирование.

Заключение

Мы пытались дать общий взгляд на ситуацию, которая складывается в прикладной математике. Ее современный этап характеризуется исследованием математических моделей на основе широкого использования возможностей вычислительных средств (компьютеров и соответствующего аппарата самой математики - численных методов).

Возможность исследования сложнейших математических моделей позволила подойти по-новому и к вопросу организации прикладных научных исследований, более тесной координации экспериментальных и теоретических исследований в рамках новой методологии научных исследований - вычислительного эксперимента. Она основана на качественно новом уровне научных исследований, который связан с использованием сложных прикладных математических моделей, которые не могут быть изучены стандартными аналитическими методами прикладной математики.

Суть вычислительного эксперимента наиболее полно отражается в триаде модель - алгоритм - программа. Для исследуемого объекта строится математическая модель (набор моделей), которые исследуются численными методами на компьютере. Для предварительного исследования математических моделей используются традиционные методы прикладной математики. Данные расчетов анализируются, сопоставляются с данными экспериментальных исследований, проводится уточнение математической модели и т. д.

Методология вычислительного эксперимента сложилась при решении наиболее крупных научно-технических проблем, которые ставит перед нами жизнь. Активное внедрение идей математического моделирования, которое является интеллектуальным ядром информатизации общества, позволит поднять уровень научных исследований в естественнонаучных и гуманитарных областях.

Список литературы

1. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., Наука, 1969, 528с.

2. Васильев Н. И., Клоков Ю. А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, Зинатне, 1978, 189с.

3. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., Наука, 1973, 272с.

4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М., Издательство МГУ, 1978, 108с.

5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Высшая школа, 1990, 208с.

6. Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. Мат. анализ. Итоги науки и техники. Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1982, т. 20, с. 3-77.

7. Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. Определение структуры обобщенного решения нелинейных задач оптимального управления. ДАН СССР, 1980, т. 250, №3, с. 525-528.

8. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968, 464с.

9. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М., Наука, 1984, 320с.

10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., Наука, 1967.

11. Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. М., Наука, 1986, 256с.

Размещено на Allbest.ru

...