Математический расчет безотказной работы машин

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

1. Исходные данные

2. График статистической функции распределения

3. Гистограмма наработок между отказами

4. График функции распределения на вероятностной сетке

4.1 Экспоненциальное распределение

4.2 Распределение Вейбулла

4.3 Логарифмически нормальное распределение

5. Согласование теоретического со статистическим (критерий Пирсона)

6. Средний и гамма - процентный ресурс машины

Список использованных источников

1. Исходные данные

Наработка машин до отказа (в часах) имеет распределение Вейбулла, нормальное, логарифмически нормальное или экспоненциальное. На испытание поставлены 50 машин, а испытания проводятся до их отказа.

С использованием вероятностных сеток найти закон распределения случайной величины и определить 80 процентный ресурс машины.

1008	2114	1503	1133	2405	2408	3012	3024	1337	966
2015	2453	1524	2184	1128	1358	2207	2276	1611	1700
1406	2960	2463	887	3105	1679	809	710	2007	1761
1689	2960	1701	1052	2178	1608	3057	1401	1025	2319

Таб. 1 - Исходные данные наработки до отказа пятидесяти машин

2. График статической функции распределения

Удобным способом получить представление о распределении случайной величины Х является построение графика статической функции распределения выборки .

где q - число опытов, в которых случайная величина Х принимала значения меньше х; n - общее число произведенных опытов.

Статический ряд перестраивается так, чтобы полученные числовые значения случайной величины располагались в возрастающем порядке (вариационный ряд).

Для возрастающего ряда эмпирическая функция распределения записывается:

,

где i - порядковый номер опыта.

i*	t, час	F*(t)	i	t, час	F*(t)
1	710	0,025	18	1679	0,45
2	809	0,05	19	1689	0,475
3	887	0,075	20	1700	0,5
4	966	0,1	21	1701	0,525
5	1008	0,125	22	1761	0,55
6	1025	0,15	23	2007	0,575
7	1052	0,175	24	2015	0,6
8	1128	0,2	25	2114	0,625
9	1133	0,225	26	2178	0,65
10	1337	0,25	27	2184	0,675
11	1358	0,275	28	2207	0,7
12	1401	0,3	29	2276	0,725
13	1406	0,325	30	2319	0,75
14	1503	0,35	31	2405	0,775
15	1524	0,375	32	2408	0,8
16	1608	0,4	33	2453	0,825
17	1611	0,425	34	2463	0,85
35	2960	0,875
36	2960	0,9
37	3012	0,925
38	3024	0,95
39	3057	0,975
40	3105	1

Таб.2 - Вариационный ряд наработки до отказа

3. Гистограмма наработок между отказами

Из данных статического ряда для непрерывных величин строим гистограмму, изображающую статистическую плотность распределения. Она позволяет получить первое представление о виде распределения.

Зону рассеяния принимаем равной 3105.

Зону рассеяния разбиваем на 6 разрядов, имеющих длины: 250,250,250,250,700 и 1405 соответственно.

Плотность распределения

где - частость; - время разряда.

Частотность :

где - число наблюдений в разряде (частота).

Расчеты значений частости и плотности распределения для каждого разряда:

Номер разряда i	Разряд	Время разряда	Частота	Частость	Высота разряда
	от	до
1	0	300	300	7	0,17	0,56
2	300	600	300	5	0,12	0,4
3	600	900	300	6	0,15	0,5
4	900	1200	300	5	0,12	0,4
5	1200	1900	700	8	0,2	0,28
6	1900	3105	1205	9	0,22	0,18

Таб. 3 - Статический ряд наработки между отказами

Исходя из вида диаграммы, предполагаем, что функция подчиняется либо экспоненциальному закону распределения, либо закону распределения Вейбулла, либо логарифмически нормальному.

4. График функции распределения на вероятностной сетке

Для нахождения свойств, определяющих надежность машин или элементов по статическому распределению случайной величины в выборке, должен быть найден закон распределения данной случайной величины.

При небольшом числе опытов для определения закона распределения, его параметров, значений гамма-процентного ресурса и вероятности безотказной работы удобно пользоваться вероятностными шкалами. На сетке, построенной на этих шкалах, график функции распределения является прямой линией.

На сетке наносятся точки, соответствующие экспериментальным значениям случайной величины t и значениям экспериментальной функции распределения F(t). Если эти точки располагаются на вероятностной сетке близко к прямой, то это свидетельствует о согласии опытных данных с тем законом распределения, для которого построена вероятностная сетка.

4.1 Экспоненциальное распределение

Функция распределения случайной величины определяется по формуле:

.

Логарифмируя, получим линейную зависимость:

.

На горизонтальной оси наносится равномерная шкала t с масштабным фактором Кt:



где L - длина шкалы, мм; - интервал значений.

На вертикальной оси F(t) наносят значения - ln[1-F(t)], а надписываются значения F(t).Наименьшее значение F(t) равно нулю, наибольшее принимаем 0,999. Тогда -ln[1-0,999]=6,908.

При длине вертикальной оси 150мм.

Параметр распределения:

4.2 Распределение Вейбулла

Функция распределения случайной величины:

Величина SF, для вертикальной шкалы длиной 150 мм определяется по формуле:



Горизонтальная шкала t неравномерная, логарифмическая.

Величины St определяются по формуле:

В ней значения t изменяются в пределах от 1 до 10. Длина шкалы при этом составляет 100 мм.

Для диапазона изменения t от 10 до 100 рассматривается величина 10t. Тогда:

Для диапазона изменения t от 100 до 1000 получим:

Для диапазона изменения t от 1000 до 10000 получим:

Точка, соответствующая опыту с порядковым номером 1 на графике не отображена ввиду затруднений, которые возникают при построении графика с данной точкой.

Параметр b:

Параметр a определяется точкой пересечения найденной прямой с осью t: a=2525ч.

4.3 Логарифмически нормальное распределение

Для логарифмически нормального распределения величина SF определяется:

Горизонтальная шкала t неравномерная, логарифмическая.
Величина St определяется пол формуле:

St=lg t.

В ней t изменяется в пределах от 1 до 100. Длина шкалы при этом составляет 100 мм.

Для диапазона изменения t от 10 до 100рассматривается величина 10t. Тогда:

S10t=100+St.

Для диапазона изменения t от 100 до 1000 получим:

S100t=200+St.

Среднее квадратическое отклонение

5. Согласование теоретического распределения со статистистическим (критерий Пирсона)

Если значения параметров функции распределения неизвестны, то для проверки правильности выбора закона рекомендуется использовать критерий согласия Пирсона, так называемый (хи квадрат):

где - частость; - теоретическая вероятность попадания случайной величины наработки между отказами в каждый из n разрядов.

Распределение зависит от параметра r, называемого числом степеней свободы:

где k - число разрядов статического ряда; - число параметров предполагаемого распределения.

Выбираем предполагаемый закон распределения исходя из количества точек, которые пересекает прямая наклоненная под углом к оси абсцисс.

При экспоненциальном законе распределения прямая при распределении пересекает больше точек, также при экспоненциальном законе распределения наблюдается меньший разброс точек относительно прямой. Следовательно, проверяем экспоненциальное распределение.

Плотность распределения экспоненциального закона:



По данным определяется параметр потока отказов:

где - оценка математического ожидания,

.

.

Тогда плотность распределения вероятности:

,

а теоретический закон распределения:

.

Вероятность попадания случайной величины в i-й разряд:

.

Подставляя сюда и значения и для каждого разряда из табл. 2 получим теоретические значения вероятностей .

Номер разряда i	Середина разряда	Математич. ожидание		Теоретич. вероятность
1	125	25	1-0,8	0,2	0
2	375	52,5	0,8-0,65	0,147	0,0003
3	625	75	0,65-0,53	0,12	0
4	875	122,5	0,53-0,43	0,1	0,016
5	1125	112,5	0,43-0,35	0,08	0,005
6	1600	192	0,35-0,19	0,16	0,01
7	3282,5	590,9	0,19-0,02	0,17	0,00058

Таб. 4 - Теоретические значения вероятности при экспоненциальном распределении

Определим критерий Пирсона:

Число степеней свободы при числе параметров для экспоненциального закона :

Опираясь на данные таблицы, для и вероятность .

Известно, что зависимость величины вероятности от величины критерия Пирсона обратная. На основании этих данных можно утверждать, что для и значение вероятности , что больше 0,05 - минимально необходимое значение вероятности.

Следовательно, предполагаемый экспоненциальный закон с параметром не противоречит опытным данным.

пирсон вариационный экспоненциальный

6. Средний и гамма-процентный ресурс машины

Средний ресурс (средняя наработка машины до отказа), ч:

где - наработка i-ой машины до отказа.

.

Гамма-процентный ресурс (с заданной вероятностью процентов) для экспоненциального распределения, ч:

.

При (80-процентный ресурс машины, указанный в задании):

Исходя из этого, можно утверждать, что 80% машин будут работать без отказов 248,5 ч.

Список использованных источников

1. Основы теории надежности и технической диагностики. Каргин В.А., Учеб. Пособие. Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2002. 99с.

2. СТО СГУПС 1.01СДМ.01-2007. Курсовой и дипломный проекты. Требования к оформлению: СГУПС, 2007, 59с.

Размещено на Allbest.ru

...