Понятие алгебраического числа степени n

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

I. Краткий исторический очерк

II. Понятие алгебраического числа степени n

III. Поле всех алгебраических чисел

IV. Алгебраическая замкнутость поля

V. Рациональные приближения алгебраических чисел. Теорема Лиувилля

VI. Простое алгебраическое расширение поля

VII. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел. Если рассматривать корни многочленов: f(x)=xn+a1xn-1+…+an с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.

I. Краткий исторический очерк.

Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b - обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел. Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел. Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота. В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел. Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как, например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете. К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.

II. Понятие алгебраического числа степени n

Определение. Алгебраическим числом называется корень какого-либо алгебраического уравнения f(x)= a0xn+a1xn-1+…+an=0, (1) коэффициенты, которого a0, a1,…, an суть целые рациональные числа, не все равные нулю.

Если предположить, что коэффициенты в (1)-числа рациональные, то от этого класса определяемых чисел не изменится, так как и в таком случае можно (1) преобразовать в уравнение с целыми коэффициентами.

Определение. Если число б удовлетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами степени n, но не удовлетворяет такому же уравнению степени <n, то б называют алгебраическим числом степени n.

Из этого определения вытекает, что уравнение (1) степени n, корнем которого является алгебраическое число б степени n, является не приводимым в поле рациональных чисел, т.е.что многочлен f(x) нельзя разложить в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами степени не ниже первой.

В самом деле, если бы это было возможно, то мы имели бы , и тогда оказалось бы, что б удовлетворяет, по крайней мере, одному из уравнений f1(x)=0, f2(x)=0 степени <n с рациональными коэффициентами и не может поэтому быть алгебраическим числом степени n.

К алгебраическим числам, очевидно, относятся все рациональные числа , так как последние удовлетворяют уравнению bx-a=0. (При этом ясно, что они будут алгебраическими числами степени 1, так как уравнению с меньшей степенью они удовлетворять не могут.) Алгебраическими числами также будут числа вида am, где а - целое, а m - любое рациональное число, например число 3v5, которое удовлетворяет уравнению x3-5=0.

Неприводимый целочисленный многочлен f(x), корнем которого является б, определен с точностью до постоянного множителя.

Действительно, если б было бы корнем двух не приводимых многочленов f(x) и ц(x), отличающимся постоянным множителем, то НОД этих многочленов был бы отличен от многочлена нулевой степени (так как он должен делиться на x - б), а это не возможно, в силу неприводимости f(x) и ц(x).

Алгебраические числа, являющиеся корнями одного и того же неприводимого над полем рациональных чисел многочлена, называются сопряженными.

Определение. Если алгебраическое число б степени n является корнем многочлена (1), где n?1 с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для б.

Теорема 1. Если f(x) - минимальный многочлен для алгебраического числа б и F(x) - многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(б)=0, то f(x) - делитель F(x), то есть F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами.

Доказательство. Согласно теореме о делении многочлена с остатком, многочлен F(x) можно представить в виде F(x)=f(x)g(x)+r(x), где g(x) и r(x) - многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x).

Поскольку F(б)=0 и f(б)=0,то, придавая x значение б, получаем r(б)=0; б - корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньше, чем у минимального для б многочлена, т.е.меньше, чем степень б. Это может быть только, если r(x) тождественно равен нулю, а, значит, F(x)=f(x)g(x).

Для данного б существует единственный минимальный многочлен. Действительно, частное от деления друг на друга двух минимальных многочленов для б должно быть рациональным числом, равным единице, что означает тождественное их равенство. Теорема доказана.

Теорема 2. Для любого алгебраического числа б минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство. Пусть f(x) - минимальный многочлен для б. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е.что f(x)=щ(x)ш(x), где щ(x) и ш(x) - многочлены с рациональными коэффициентами степени, меньше, чем n.

Из равенства щ(б)ш(б)=f(б)=0 следует, что из двух чисел:щ(б) и ш(б), по крайней мере, одно равно нулю. Пусть, например, щ(б)=0, тогда б - корень тождественно неравного нулю многочлена щ(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем у f(x), а это противоречит тому, что f(x) - минимальный многочлен для б. Предположение, что многочлен f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е.f(x) неприводим над этим полем. Теорема доказана.

Теорема 3. Если б - корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то б - алгебраическое число степени n.

Доказательство. Обозначим минимальный многочлен для б через f(x). Согласно теореме1 F(x)=f(x)g(x); где g(x) - многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где c рационально, F(x)=cf(x), т.е.степень f(x) равна n и, следовательно, б - алгебраическое число степени n. Теорема доказана.

Пример 1. Пусть p - простое число. при любом целом б (б>1), не равном p-й степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно, это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел двучленного уравнения xp-б=0.

Если б - алгебраическое число степени n и f(x) - минимальный многочлен для б, то все корни б1, б2,…, бn уравнения f(x)=0, отличные от б, называются сопряженными с б. Один из корней б1, б2,…, бn , мы будем ставить его на первое место, совпадает с б, так что б= б1.

III. Поле всех алгебраических чисел

Покажем, что алгебраические числа образуют поле.

Теорема 4. Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел б и в (для частного при в?0) являются алгебраическими числами.

Доказательство. 1)Пусть б - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого:б1, б2,…, бn (б= б1), а в - корень многочлена ш(x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого:в1, в2,…, вm (в=в1). Рассмотрим многочлен:

=(x-б1- в1)(x-б1- в2) … (x-б1- вm),

(x-б2- в1)(x-б2- в2) … (x-б2- вm),

………………………………

(x-бn- в1)(x-бn- в2) … (x-бn- вm). (2)

Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин б1,б2,…, бn, то некоторые строки переставляются местами, но произведение в целом останется неизменным. Это значит, что F(x) - симметрический многочлен по отношению к б1,б2,…, бn. Точно также подстановка величин в1, в2,…, вm будет менять только порядок столбцов в правой части выражения (2), так что F(x) - симметрический многочлен по отношению к в1,в2,…, вm . В целом F(x) - симметрический многочлен от двух систем аргументов: б1,б2,…, бn и в1, в2,…, вm.

Согласно известным теоремам о симметрических многочленах коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от б1,б2,…, бn и в1, в2,…, вm, т.е.через целые коэффициенты f(x) и ш(x). Это значит, что коэффициенты многочлена F(x) рациональны, и, следовательно, число б+в=б1+в1, являющееся, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.

2)Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел б и в есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен:

(3)

Этот многочлен с целыми коэффициентами имеет в качестве одного из своих корней б1в1=бв.

3)Пусть в - корень многочлена ш(x)=b0xn+b1xn-1+…+bn, (bi - целые числа), тогда -в - является корень многочлена с целыми коэффициентами ш(-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+…+bn, а при в?0 - корень многочлена xnш(1/x)=b0+b1x+…+bnxn. Таким образом, вместе с в алгебраическими числами являются -в и 1/в.

Разность б-в может быть представлена в виде б+(-в), т.е.в виде суммы двух алгебраических чисел, а поэтому также представляет собой алгебраическое число. При в?0 частное =, является произведением двух алгебраических чисел, представляет собой также алгебраическое число.

Если степени алгебраических чисел б и в равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и ш(x) соответствующие минимальные многочлены, будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и, таким образом, непосредственно видно, что б+в и бв - алгебраические числа степени, не больше чем mn. Многочлены ш(x), ш(-x) и xnш() одинаковой степени, а следовательно, в, -в и - алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и б-в и имеют степени, не более чем mn. Теорема доказана.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 5. Множество А всех алгебраических чисел замкнуто в кольце С={С,+, - , ?,1} комплексных чисел. Алгебра А={А,+, - , ?,1} является полем, подполем поля С.

Доказательство. Пусть a и b - любые элементы из А. По следствию, составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля, поле Q(a,b) является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -a, ab, 1 являются алгебраическими, т.е. принадлежат множеству А. Таким образом. Множество А замкнуто относительно главных операций кольца С. Поэтому алгебра А - подкольцо кольца С - является кольцом.

Кроме того, если а - ненулевой элемент из А, то а-1єQ(a,b) и поэтому а-1єА. Следовательно, алгебра А есть поле, подполе поля С. Теорема доказана.

IV. Алгебраическая замкнутость поля

Определение. Поле А={А,+,-,/, ?,1} называется полем алгебраических чисел.

Теорема 6. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть А[x] - кольцо полиномов от х над полем А алгебраических чисел. Пусть f=a0+a1x+…+anxn (a0,…,an є А) - любой полином положительной степени из А[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f принадлежит C[x] и поле С алгебраически замкнуто, то f имеет корень в С, т.е.существует такое комплексное число c, что f(c)=0. Пусть Ј=Q(a0,…,an) и Ј(с) - простое алгебраическое расширение поля Ј с помощью с. Тогда Q<Ј<Ј(с), Ј(с) есть конечное алгебраическое расширение поля Ј. По теореме (Любое конечное расширение поля является алгебраическим над этим полем. ), Ј есть конечное расширение поля Q. В силу теоремы (Если F - конечное расширение поля Ј и Ј - конечное расширение поля Ю, то F является конечным расширением поля Ю. ) Ј(с) является конечным расширением поля Q. Отсюда следует, что поле Ј(с) является алгебраическим расширением поля Q и, значит с є А. Таким образом, любой полином из А[x] положительной степени имеет в А корень, т.е. поле А алгебраически замкнуто. Теорема доказана.

V. Рациональные приближения алгебраических чисел. Теорема Лиувилля

Продолжительное время считалось, что все числа являются алгебраическими. Только в 1844г. французский математик Ж. Лиувилль показал, что существуют такие числа, которые не являются алгебраическими, т.е. не могут удовлетворять ни одному алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Такие числа называются трансцендентными.

Действительно, алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби. С отдельными частными случаями, наталкивающими нас на мысль об этом, мы уже встречались раньше. Например, было показано, что для рационального б, т.е. алгебраического числа 1 - й степени, существует постоянная c > 0, такая, что для любой рациональной дроби , отличной от б, будет выполняться неравенство

Можно доказать, что неравенство

при соответствующем с=с(б) имеет место для всех квадратичных иррациональностей. Оказывается, что имеет место общая теорема, доказанная впервые французским математиком Лиувиллем.

Идея доказательства Лиувилля заключается в следующем. Он сперва показывает, что алгебраические числа приближаются рациональными числами по определенному закону, а затем показывает, что существуют такие числа, которые этой закономерности не подчиняются.

Теорема Лиувилля 7.

Для любого действительного алгебраического числа б степени n можно подобрать положительное с, зависящее только от б, такое, что для всех рациональных чисел (?б) , иметь место неравенство

. (1)

Доказательство. Пусть f(x)=A0xn+A1xn-1+…+An - неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является б.

В качестве f(x) можно, например, взять многочлен, получающийся из минимального для б многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей.

Согласно теореме Безу имеем:

f(x)=(x- б)g(x), (2)

где g(x) - многочлен с действительными коэффициентами.

Возьмем произвольное д>0; |g(x)| - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от х в сегменте [б-д; б+д], т.е. существует положительное число М, такое, что |g(x)|?M, для всех х из этого сегмента. Обозначим через с=min(,д), так что с? и с?д. Для произвольного рационального числа могут представиться две возможности:

1) лежат вне сегмента [б-д; б+д]. Тогда

.

2) удовлетворяет неравенствам б-д??б+д, тогда

и, подставляя в (1) вместо х значение , получаем:

. (3)

Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен f(x) степени n?2 не имеет рациональных корней, а при n=1 не имеет корней, отличных от б, так что

.

Поскольку числитель |A0an+A1an-1b+…+Anbn| - целое неотрицательное, отличное от нуля, то есть число, большее или равное 1, то:

. (4)

Сравнивая неравенства (2) и (3), получаем:

,

так что и в этом случае имеем:

.

Конечно, заменив с немного меньшей величиной, можно в выражении (1) вместо знака ? написать знак >.

Теорема доказана.

Пример 2. Пусть D - неквадратное целое число.

Найти c>0, такое, что для всех рациональных чисел имело бы место неравенство

.

- корень многочлена . Деля на , находим: g(x)= . При -д<x< + д имеем |g(x)|<2+ д, то есть M=2+ д. В качестве с берем , при этом выгоднее всего взять д так, что д=, , то есть д=-+. При таком д получаем с=-, так что при любых целых a и b имеем:

.

Теорема Лиувилля показывает, что приближение любого алгебраического числа степени n рациональными дробями ограниченно снизу величиной порядка . В частности, для квадратических иррациональностей имеем здесь величину порядка .

Можно показать, что, кроме квадратических иррациональностей, имеются и другие иррациональности, для которых порядок приближения рациональными дробями ограничен снизу величиной порядка .

Теорема 8. Если все элементы разложения б в цепную дробь ограничены, то для б можно подобрать c>0 так, что для любой иррациональной дроби будет иметь место неравенство

. (5)

Доказательство. Пусть б= и существует M, такое, что an?M при всех n=0, 1, 2,…

Возьмем произвольную дробь и пусть b заключено между двумя знаменателями соседних подходящих дробей, так что Qs-1?b<Qs (s?1), тогда, поскольку подходящие дроби являются наилучшими приближениями имеем:

.

Пользуясь теоремами и некоторыми преобразованиями, находим:

Qs=Qs-1бs+Qs-2?b(M+1),

Qs+1=Qsбs+1+Qs-1?b(M+1)M+b=b(M2+M+1),

,

то есть неравенство (5) справедливо при . Теорема доказана.

Теорема 9. Если элементы разложения б в цепную дробь неограниченны, то для любого c>0 существует бесконечное множество рациональных дробей , таких, что

. (6)

Доказательство. Пусть б= Возьмем произвольное c>0. По условию существует бесконечное множество s, таких, что . Для каждой подходящей дроби с номером s, таким, что , согласно теореме будем иметь:

,

что доказывает существование бесконечного множества дробей , удовлетворяющих неравенству (6). Теорема доказана.

Теоремы 8 и 9 показывают, что существование положительного с, такого, что для любой дроби выполняется неравенство (5), есть необходимое и достаточное условие ограниченности элементов разложения б в цепную дробь. В теореме 8 доказана необходимость этого условия. Из теоремы 9 следует, что это условие достаточно. Действительно, если существует c>0, такое, что для любой дроби выполняется неравенство (5), то по теореме 9 элементы разложения б в цепную дробь не могут быть неограниченными.

VI. Простое алгебраическое расширение поля

трансцендентный гаусс алгебраический

Пусть P[x] - кольцо полиномов от x над полем P, где P - подполе поля F. Напомним, что элемент б поля F называется алгебраическим над полем P, если б является корнем какого - нибудь полинома положительной степени из P[x].

Определение. Пусть P<F и бєF. Простым расширением поля P с помощью элемента б называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество P и элемент б. Простое расширение P с помощью б обозначается через P(б), основное множество поля P(б) обозначается через P(б).

Пусть бєF, P[x] - кольцо полиномов от x и P[б]= {f(б)|fє P[x] }, то есть P[б] есть множество всех выражений вида

,

где єP и n - любое натуральное число.

Легко видеть, что алгебра { P[б], +, -, ·, 1} - подкольцо поля P(б) - является кольцом; это кольцо обозначается символом P[б].

Теорема 10. Пусть P[x] - кольцо полиномов от x над полем P и P(б) - простое расширение поля P. Пусть ш - отображение P[x] на P[б] такое, что ш(f)=f(б) для любого f из P[x]. Тогда:

для любого а из P ш(a)=a;

ш(x)=б;

ш является гомоморфизмом кольца P[x] на кольцо P[б];

Kerш={ fє P[x] | f(б)|=0};

фактор - кольцо P[x]/ Kerш изоморфно кольцу P[б].

Доказательство. Утверждения (a) и (b) непосредственно следуют из определения ш. Отображение ш сохраняет главные операции кольца P[x], так как для любых f и g из P[x]

Ш(f+g)=f(a)+g(a), ш(fg)=f(a)g(a), ш(1)=1.

Далее, по условию, ш есть отображение P[x] на P[б]. Следовательно, ш является гомоморфизмом кольца P[x] на кольцо P[б].

Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения ш.

Поскольку ш - гомоморфизм кольца P[x] на P[б]. Пусть P'= P[x]/ Kerш - множество всех классов вычетов кольца P[x] по идеалу Kerш и P[x]/Kerш={P[x]/ Kerш, +, -, ·, 1'}, где 1'=1+ Kerш. Обозначим через h отображение P[x]/ Kerш в | P[б] |, определяемое следующим образом:

h()=ш() (1)

для каждого элемента из P[x]. В силу предложения о том, что если ш - гомоморфизм кольца P[x] на кольцо P[б], то для любых a и b из P[x] равенство ш(a)=ш(b), выполняется тогда и только тогда, когда =. Значение h() не зависит от выбора представителя a в смежном классе . Далее отображение h сохраняет главные операции кольца P[x]/ Kerш. В самом деле, h(1')= и для любых , из P[x] имеем:

h(+)=h()=ш(a+b)= ш(a)+ ш(b)=h()+h();

h(-)=h()=ш(-a)=- ш(a)=- h();

h(·)=h()=ш(ab)= ш(a)· ш(b)= h()·h().

По условию, ш отображает | P[x] | на | P[б] |. В силу (1) отсюда следует, что h есть отображение множества P[x] на множество | P[б] |. Отображение h инъективно. В самом деле, в силу (1) из равенства h()=h() следует ш(a)=ш(b); в силу того же предложения отсюда следует, что =. Следовательно, ш является изоморфизмом фактор - кольца P[x]/Kerш на кольцо P[б]. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть б - трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P[x] изоморфно кольцу P[б].

Доказательство. В силу трансцендентности б над P Kerш={0}. Поэтому, согласно теореме 10, P[x]/{0}P[б]. Кроме того, фактор - кольцо кольца P[x] по нулевому идеалу изоморфно P[x]. Следовательно, P[x]P[б].

Теорема 11. Пусть б - алгебраический над полем P элемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P[б] однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, б,…, с коэффициентами из P.

Доказательство. Пусть в - любой элемент из поля P[б]. Тогда, по теореме о минимальном полиноме над полем P, где кольцо P[б] совпадает с полем P(б) следует, что P(б)= P[б], следовательно, существует в P[x] полином f такой, что в= f(б) (1).

Пусть g - минимальный полином для б над P; в силу условия теоремы его степень равна n. По теореме о делении с остатком, существует в P[x] полином h и r такие, что

f=gh+r,

где r=0 (2)

или deg r < deg g=n, то есть

r= ().

Полагая в (2) x=б и учитывая равенство (1), имеем

. (3)

Покажем, что элемент в однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, б,…, . Пусть

() (4)

- любое такое представление. Рассмотрим полином ц

.

Случай, когда степень ц меньше n, невозможен, так как в силу (3) и (4) ц(б)=0 и степень ц меньше степени g. Возможен лишь случай, когда ц=0, то есть . Следовательно, элемент в однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, б,…, . Теорема доказана.

Пусть P - подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, то есть рассматривать векторное пространство

{F, +, {|лєP}},

где - операция умножения элементов из F на скаляр лєP.

Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F:P].

Предложение 1. Если б - алгебраический элемент степени n над P, то [P(б):P]=n.

Это предложение непосредственно следует из теоремы 11.

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.

Теорема 12. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n - размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n=0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, б,…, , то есть существуют в P такие элементы , не все равны нулю, что .

Следовательно, элемент б является алгебраическим над P. Теорема доказана.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

VII. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть б - алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h - полиномы из кольца полиномов P[x] и h(б)?0. Требуется представить элемент в виде линейной комбинации степеней элемента б, то есть в виде ц(б), где цє P[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g - минимальный полином для б над P. Так как, по теореме 11, полином неприводим над P и h(б)?0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g - взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что uh+vg=1 (1).

Поскольку g(б)=0, из (1) следует, что

, .

Следовательно, , причем f,uє P[x] и f(б)u(б)є P[б]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби .

Пример 3. Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби .

Решение. I способ. Поиски минимального многочлена для знаменателя приводят к громоздким выкладкам. Будем искать множитель, рационализующий знаменатель, с помощью метода неприводимых коэффициентов. Так как и базис над Q состоит из чисел , то этот множитель будем искать в виде , где a, b, c, d єQ. Из условия , где f - некоторое (отличное от нуля) рациональное число, получаем систему



Найдем какое - нибудь рациональное решение первых трех уравнений системы и, подставив в четвертое, определим f. При d=1 будем иметь c=-1, b=1, a=-2 и f=1. Поэтому .

II способ. В данном примере освободиться от иррациональности можно и проще, «по - школьному»:

.

Заключение

Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел. Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену. В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Все теоремы даны с полными доказательствами. Приведенные примеры алгебраических чисел и действий над ними, даны с доступными пояснениями и, при необходимости, с доказательством. Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел. Помимо введения, дающего общий очерк развития теории чисел, первый параграф посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел. Так же на протяжении всей работы можно наблюдать исторические комментарии. Данная работа дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса и дает представление о теории алгебраических чисел и о теории чисел вообще, как о развивающейся науке.

Список литературы

1. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.,1966.

2. Боревич З. И. и Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.,1964.

3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М.,1979.

4. Михелович Ш. Х. Теория чисел. М.,1967.

Приложение 1

Пример 4. Является ли алгебраическим число ?

Решение. Число алгебраическое как сумма двух корней многочленов и . Над полем Q(г) число является алгебраическим элементом как корень многочлена . Поэтому поле , являясь повторным алгебраическим расширением поля рациональных чисел, состоит из алгебраических чисел. Значит число является алгебраическим.

Пример 5. Является ли алгебраическим число ?

Решение. , возведем в квадрат

,

,

,

,

,

,

, , следовательно г - алгебраическое число.

Пример 6. Проверить, что кратное расширение поля рациональных чисел является простым алгебраическим расширением. Найти какой - нибудь примитивный элемент расширения.

Решение. Следуя доказательству теоремы о простоте составного алгебраического расширения поля, примитивный элемент расширения можно искать в виде

,

где с - произвольное рациональное число, отличное от чисел 0, , . Здесь - число, сопряженное с ; и - числа, сопряженные с относительно поля рациональных чисел, то есть - корень многочлена , отличный от , а и - корни многочлена , отличные от . Имеем =-; =; =.

Для с, таким образом, получаем условия: с?0,

,

.

В качестве с можно взять любое отличное от нуля рациональное число. При с=1, например, . Поле как векторное пространство над Q шестимерно, ибо является последовательным конечномерным расширением: над Q двумерно и над трехмерно. Остается проверить, что над Q также шестимерно. Для проверки построим для минимальный многочлен. Пусть = и =. Составим всевозможные суммы (их шесть) и построим многочлен, корнями которого эти суммы являются: . При раскрытии скобок используем формулы Виета: +=0; =-3; =2; ++=++=0.

Перемножим первые три скобки, а затем три вторые. Тогда

.

Многочлен f(x) неприводим над полем рациональных чисел, ибо непосредственная проверка показывает, что из шести его линейных множителей никакие два и никакие три в произведении не дают многочлен с рациональными коэффициентами. Итак, есть алгебраическое число шестой степени, содержащееся в шестимерном расширение . Поэтому является примитивным элементом расширения.

Пример 7. Найти какой - либо примитивный элемент расширения поля рациональных чисел с помощью элементов и .

Решение. Так как , то . Но , и поэтому . Отсюда . Аналогично, поскольку , то . А так как , то . Следовательно, .

Используя результаты примера 5, в качестве примитивного элемента расширения можно взять элемент .

Замечание. В данном случае сумма не является примитивным элементом расширения, так как , а .

Пример 8. Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби .

Решение. - число создающее иррациональность в знаменателе. Проверим, является ли это число алгебраическим

, , ,

, б - алгебраическое число.

возможно, избавиться от иррациональности

- минимальный многочлен. Запишем многочлен, значение которого при x=б равно знаменателю .

Найдем НОД(g,h)

-

-

g=h(x+3)+(x-3)

h=(x-3)x+4 НОД(g,h)=(4).

4=h-(x-3)x;

(x-3)=g-h(x+3);

4=h-(g-h(x+3))x=h-g(x)+h(x+3)x=h(1+x2+3x)-g(x);

4=h(б)( б2+ 3б+1)-g(б);

g(б)=0, так как минимальный множитель корень.

.

Пример 9. Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби .

Решение. - число создающее иррациональность в знаменателе. Проверим, является ли это число алгебраическим

, , ,

, б - алгебраическое число.

возможно, избавиться от иррациональности

- минимальный многочлен. Запишем многочлен, значение которого при x=б равно знаменателю .

Найдем НОД(g,h)

50

g=h(x)+(-x-7)

h=(-x-7)(-x+7)+50 НОД(g,h)=(50).

50=h-(-x-7)(-x+7);

(-x-7)=g-h(x);

50=h-(g-h(x))(-x+7)=h-g(-x+7)+h(x)(-x+7)=h(1-x2+7x)-g(-x+7);

50=h(б)(1-б2+7б)-g(б);

g(б)=0, так как минимальный множитель корень.

.

Пример 10. Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби .

Решение. - число создающее иррациональность в знаменателе. Проверим, является ли это число алгебраическим

, , ,

, б - алгебраическое число.

возможно, избавиться от иррациональности

- минимальный многочлен. Запишем многочлен, значение которого при x=б равно знаменателю .

Найдем НОД(g,h)

g=h()+;

НОД(g,h)=( ).

=g-h();

g(б)=0, так как минимальный множитель корень.

.

Размещено на Allbest.ru

...