Запровадження гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Лежандра, Бесселя)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

Запровадження гібридних інтегральних перетворень (Фур'є, Лежандра, Бесселя)

Пилипюк Тетяна Михайлівна

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано у відділі математичної фізики і теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Березовський Арнольд Анатолійович, Інститут математики НАН України, завідувач лабораторії

Офіційні опененти:

доктор фізико-математичних наук, професор Селезов Ігор Тимофійович завідувач відділу гідродинаміки хвильових процесів інституту гідромеханіки НАН України,

кандидат фізико-математичних наук Сіденко Микола Романович старший науковий співробітник відділу нелінійного аналізу Інституту математики НАН України

Провідна установа: Національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики. Міністерство освіти України, Київ.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Лучка А.Ю.

Анотація

Пилипюк Т.М. Запровадження гібридних інтегральних перетворень (Фур'є-Лежандра-Бесселя). - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут математики НАН України, Київ, 1999.

Методом дельта-подібних послідовностей побудовано гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Лежандра, Бесселя), породжені всеможливим сполученням диференціальних операторів Фур'є, Лежандра та Бесселя на полярній осі з двома точками спряження. Логічну схему застосування показано на типових задачах математичної фізики неоднорідних структур.

Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, інтегральні перетворення, ядро Діріхле, ядро Коші, спектральна функція, вагова функція, спектральна густина, основна тотожність.

Annotation

Pilipyuk T.M. Introduction of hybrid integral transformations (Furie, Legendres, Bessel). - Manuscript. The tesis to the obtain of Master's degree of physics-mathematics scienses on speciality 01.01.02 - differential equations; The Institute of mathematics of the Ukrainian NAN, Kiev, 1999.

The hybrid integral transformations (Furie, Legendres, Bessel) are constructed by means of -image sequenses. These transformations are created by all kinds of combinations of the Furie, Legendres and Bessel differential operators on polar oxis with two conjugated points. Logical plan of usig is described on typycal problems of mathematical physics of non-gomogeneous structures.

Key words: hybrid differential operator, integral transformations, Dirichlet kernel, Cauchy kernel, spectral function, weight function, spectral density.

Аннотация

Пилипюк Т.М. Введение гибридных интегральных операторов (Фурье, Лежандра, Бесселя). - Рукопись. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт математики НАН Украины, Киев, 1999.

Одним из эффективных методов решения задач математической физики есть метод интегральных преобразований. Для решения линейных задач математической физики с непрерывными коэффициентами широко применяются классические интегральные преобразования Фурье, Лапасса, Фурье-Бесселя, Вебера, Меллина, Лежандра, Гильберта, Канторовича-Лебедева, Мелера-Фока и др. В связи с широким внедрением композитных материалов возникла острая необходимость в построении таких интегральных преобразований, которые давали бы возможность алгебризации дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами.

Это определило направление диссертационной работы, посвященной построению и математическому обоснованию гибридных интегральных преобразований, порожденных на полярной оси с двумя точками сопряжения всевозможным сочетанием дифференциальных операторов Фурье, Фурье, Лежандра (раздел 1); Лежандра, Лежандра, Бесселя (раздел 2) и Фурье, Лежандра, Лежандра (раздел 3). Логическая схема применения введенных гибридных интегральных преобразований показана на типичных задачах математической физики неоднородной среды. При этом мы получаем точное решение задачи статики, квазистатики, динамики в замкнутой аналитической форме алгоритмического характера, удобное как для качественного исследования, так и для инженерных расчетов.

Методом построения гибридных интегральных преобразоваений есть метод дельта-образных последовательностей (ядро Дирихле, ядро Коши. В процессе исследования использовано элементы теории краевых задач для дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, элементы теории функций комплексного переменного, теории обобщенных функций, интегральное преобразование Лапласа (операционный метод).

Научная новизна полученных в диссертации результатов сводится к следующему:

- на полярной оси с двумя точками сопряжения методом дельта-образных последовательностей, в качестве которых служит ядро Коши, построены гибридные интегральные преобразования Фурье-Фурье-Лежандра, Ганкеля- Лежандра 2-го рода-Лежандра, Лежандра-Ганкеля 2-го рода-Лежандра, Фурье-Лежандра 2-го рода-Лежандра и Лежандра-Фурье-Лежандра;

- на полярной оси с двумя точками сопряжения методом дельта-подобных последовательностей, в роли которых выступает ядро Дирихле, введены гибридные интегральные преобразования Фурье-Лежандра-Фурье, Лежандра-Фурье-Фурье, Лежандра-Лежандра-Вебера и Лежандра-Лежандра-Фурье;

- получены теоремы об интегральном представлении кусочно-непрерывных, абсолютно суммируемых функций ограниченной вариации через ядра построенных гибридных интегральных преобразований;

- получены основные тождества интегральных преобразований гибридных дифференциальных операторов, позволяющих построить их алгебру и, следовательно, исключить их из рассмотрения в соответствующих сингулярных задачах математической физики неоднородных структур;

Ключевые слова: гибридный дифференциальный оператор, гибридные интегральные преобразования, дельта-образные последовательности, ядро Дирихле, ядро Коши, спектральная функция, весовая функция, спектральная плотность, основное тождество.

1. Загальна характеристика роботи

інтеграл сингулярний математичний

Актуальнiсть теми. До найбiльш значних технiчних досягнень двадцятого столiття вiдносяться розвиток ядерних джерел енергiї та освоєння на базi ракетної технiки високих швидкостей польоту. В обох випадках приходиться мати справу з надзвичайно високими температурами, а також з явищами аеродинамiчного нагрiву. Крiм високих рiвнiв температури в робочих умовах часто виникають також значнi градiєнти температури. Наслiдком цього є температурнi напруження, якi є одним з важливих факторiв, що визначає довговiчнiсть матерiалу. Ось чому питання визначення температурних полiв i викликаних ними температурних напружень являють собою iстотний теоретичний, практичний та економiчний iнтерес. Оскiльки до рiвнянь (систем рiвнянь) стацiонарної й нестацiонарної теплопровiдностi та пружностi приводиться досить широкий клас задач математичної фiзики, то ми повиннi мати в своєму арсеналi достатньо ефективний апарат побудови точних аналiтичних розв'язкiв (хоча би лiнiйних задач).

Провiдне мiсце серед ефективних методiв розв'язання задач математичної фiзики займає метод iнтегральних перетворень. Для розв'язання лiнiйних задач математичної фiзики з неперервними коефiцiєнтами широко застосовуються класичнi iнтегральнi перетворення Фур'є, Лапласа, Фур'є-Бесселя, Вебера, Меллiна, Лежандра, Гiльберта, Канторовича-Лєбєдєва, Меллера-Фока та iн. У зв'язку з широким впровадженням композитних матерiалiв виникла гостра потреба в побудовi таких iнтегральних перетворень, якi б давали можливiсть алгебраїзацiї диференцiальних рiвнянь з кусково-неперервними коефiцiєнтами.

Указанi обставини визначили напрямок дисертацiйної роботи, яка й присвячена побудовi гiбридних iнтегральних перетворень, породжених на полярнiй осi з двома точками спряження всеможливим сполученням диференцiальних операторiв Фур'є, Фур'є, Лежандра (роздiл 1); Лежандра, Лежандра, Бесселя (роздiл 2) та Фур'є, Лежандра, Лежандра (роздiл 3).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в планi теми "Якiснi дослiдження та конструктивнi методи розв'язання некласичних граничних задач для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь" вiддiлу математичної фiзики i теорiї нелiнiйних коливань Iнституту математики НАН України.

Мета i задачi дослiдження. Метою даної роботи є:

а) запровадження на полярнiй осi з двома точками спряження гiбридних iнтегральних перетворень (Фур'є, Фур'є, Лежандра), (Бесселя, Лежандра, Лежандра) та (Фур'є, Лежандра, Лежандра);

б) застосування побудованих гiбридних iнтегральних перетворень за розробленою логiчною схемою до побудови точних аналiтичних розв'язкiв вiдповiдних сингулярних задач математичної фiзики неоднорiдних структур та до задач обчислення полiпараметричних невласних iнтегралiв.

Методом побудови гiбридних iнтегральних перетворень є метод дельта-подiбних послiдовностей (ядро Дiрiхле, ядро Кошi). У процесi дослiдження використано елементи теорiї крайових задач для звичайних диференцiальних рiвнянь та систем рiвнянь, елементи теорiї функцiй комплексної змiнної, iнтегральне перетворення Лапласа (операцiйний метод) та основнi положення теорiї узагальнених функцiй.

Наукова новизна одержаних результатiв:

- на полярнiй осi з двома точками спряження побудовано методом дельта-подiбних послiдовностей, в якостi яких виступає ядро Кошi, гiбриднi iнтегральнi перетворення Фур'є-Фур'є-Лежандра, Ганкеля-Лежандра 2-го роду-Лежандра, Лежандра-Ганкеля 2-го роду-Лежандра, Фур'є-Лежандра 2-го роду-Лежандра та Лежандра-Фур'є-Лежандра;

- на полярнiй осi з двома точками спряження методом дельта-подiбних послiдовностей, в ролi яких служить ядро Дiрiхле, запроваджено гiбриднi iнтегральнi перетворення Фур'є-Лежандра-Фур'є, Лежандра-Фур'є-Фур'є, Лежандра-Лежандра 2-го роду-Вебера та Лежандра-Лежандра 2-го роду-Фур'є;

- одержано теореми про iнтегральне зображення кусково-неперервних, абсолютно сумовних функцiй обмеженої варiацiї через ядра побудованих гiбридних iнтегральних перетворень;

- одержано основнi тотожностi iнтегрального перетворення гiбридних диференцiальних операторiв, якi дають можливiсть побудувати алгебру гiбридних диференцiальних операторiв;

- за вiдомою логiчною схемою запровадженi гiбриднi iнтегральнi перетворення застосовано до обчислення полiпараметричних невласних iнтегралiв, побудови точних аналiтичних розв'язкiв алгоритмiчного характеру типових крайових задач статики, квазiстатики, динамiки та кручення кусково-однорiдних тiл.

Практична цiннiсть. Запровадженi в дисертацiї гiбриднi iнтегральнi перетворення можуть бути застосованi для побудови точних аналiтичних розв'язкiв алгоритмiчного характеру достатньо широкого класу задач теплопровiдностi, пружностi, гiдромеханiки, електростатики, задач теорiї коливань, задач кручення неоднорiдних об'єктiв та iн. з метою вивчення впливу степенi неоднорiдностi.

Особистий внесок здобувача. У роботах [11, 13] Березовському А.А. належить постановка задач та обговорення результатiв. Всi iншi наведенi в дисертацiї результати дослiджень належать авторовi.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Матерiали дисертацiйної роботи доповiдались на VIII республiканськiй конференцiї "Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей" (м. Донецьк, 1991), на третiй всесоюзнiй конференцiї "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (м. Дрогобич, 1991), на мiжнароднiй науковiй конференцiї "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (м. Самара, 1992), на мiжнароднiй конференцiї, присвяченiй пам'ятi академiка М.П.Кравчука (м. Київ, 1992), пiд час роботи школи-семiнару "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения" (м. Тернопiль, 1994; м. Чернiвцi, 1995), на наукових семiнарах кафедри диференцiальних рiвнянь та кафедри прикладної математики i механiки Чернiвецького унiверситету, вiддiлу нелiнiйних коливань i математичної фiзики Iнституту математики НАН України, кафедри математичної фiзики та обчислювальної математики Харкiвського унiверситету; на мiському семiнарi ,, Диференцiальнi рiвняння та їх застосування " (м. Київ, Нацiональний Технiчний Унiверситет України (КПI), 1996), на науковому семiнарi ,,Сучаснi проблеми математики" (м. Чернiвцi, Чернiвецький державний унiверситет, 1996).

Публiкацiї. Основнi результати опублiкованi у наукових працях [1-13], cписок яких подано в кiнцi автореферату.

Структура та обсяг дисертацiї . Дисертацiя складається iз вступу, трьох роздiлiв, висновкiв та списку лiтератури, що налiчує 58 найменувань. Загальний обсяг роботи 109 сторiнок.

2. Основний змiст роботи

У вступi до дисертацiї обгрунтовано актуальнiсть теми, зроблено короткий огляд лiтератури за тематикою дисертацiї, зроблено опис одержаних результатiв за роздiлами.

У першому роздiлi методом дельта-подiбної послiдовностi, в ролi якої виступає ядро Кошi, побудовано на полярнiй осi з двома точками спряження гiбриднi iнтегральнi перетворення Фур'є-Фур'є-Лежандра, а методом дельта-подiбних послiдовностей, в ролi яких виступає ядро Дiрiхле, побудовано гiбриднi iнтегральнi перетворення Фур'є-Лежандра 2-го роду-Фур'є та Лежандра-Фур'є-Фур'є (§3 i §4). В усiх випадках в точках стикування iнтервалiв прийнятi умови спряження

; j, k = 1, 2 (1)

* 0, * 0, ,

У кожному параграфi сформульовано теореми про iнтегральне зображення кусково-неперервних, абсолютно-сумовних (з точно визначеною ваговою функцiєю) функцiй обмеженої варiацiї через ядра запроваджених гiбридних iнтегральних операторiв та теореми про основну тотожнiсть iнтегрального перетворення гiбридного диференцiального оператора.

Оскiльки змiст другого, третього та четвертого параграфiв iдентичний, то наведемо результати третього параграфа.

Розглянемо гiбридний диференцiальний оператор

. (2)

Тут > 0, (x) - одинична функцiя Хевiсайда, - диференцiальний оператор Лежандра для приєднаних функцiй

,

Обмеженим на множині розв'язком сингулярної спектральної задачi Штурма-Лiувiлля

 (3)

(4)

є функції

(5)

.

У рiвностях (5) прийнятi позначення:

; j, k = 1, 2;

(6)

Визначимо величини та функцiї:

, , ,

, (7)

.

Наявнiсть спектральної функцiї V (r,), вагової функцiї (r) та спектральної густини дозволяє написати iнтегральне зображення мiри Дiрака

(8)

Iнтегральне зображення (8) дельта-функцiї ( мiри Дiрака ) породжує пряме i обернене гiбридне iнтегральне перетворення Лежандра 1-го роду-Фур'є-Фур'є:

, (9)

. (10)

Справджуються твердження.

Теорема 3.1.: Якщо функцiя

+ + +

кусково-неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варiацiю на промiжку (0), то для справедливе iнтегральне зображення

. (11)

Доведення nтеореми наведено в роботi [10].

Теорема 3.2: Якщо функцiя , задовольняє умови спряження (1), обмежена в точцi r = 0, а при r ? ? разом iз своєю похiдною першого порядку перетворюється в нуль, то справедлива основна тотожнiсть iнтегрального перетворення гiбридного диференцiального оператора :

. (12)

Доведення теореми одержується безпосередньо методом iнтегрування частинами з урахуванням властивостей функцiї f(r), структури й властивостей функцiї та вагової функцiї (r).

Другий роздiл присвячено побудовi : 1) методом дельта-подiбних послiдовностей, в ролi яких виступає ядро Кошi, гiбридних iнтегральних перетворень Ганкеля-Лежандра 2-го роду-Лежандра та Лежандра-Ганкеля 2-го роду- Лежандра; 2) методом дельта-подiбних послiдовностей, в ролi яких виступає ядро Дiрiхле, гiбридних iнтегральних перетворень Лежандра- Лежандра 2-го роду-Вебера (§ 7).

Внаслiдок iдентичностi наведемо результати шостого параграфу.

Розглянемо гiбридний диференцiальний оператор

, (13)

, ,

диференцiальний оператор Бесселя, - диференцiальний оператор Лежандра. Вiн породжує сепаратну систему рiвнянь теплопровiдностi параболiчного типу другого порядку

(14)

Обмежений в області

розв'язок системи (14) за початковими умовами

(15)

та умовами спряження

(16)

будується методом інтегрального перетворення Лапласа по часовій змінній t й має структуру

(17)

Внаслідок початкових умов (15) в розумінні теорії узагальнених функцій маємо інтегральне зображення міри Дірака

(18)

яке породжує на множині пряме i обернене гібридні інтегральні перетворення Лежандра 1-го роду-Ганкеля 2-го роду-Лежандра

(19)

(20)

Підсумком є твердження.

Теорема 6.1.: Нехай функцiя

+ +

неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варiацiю на множині (0,). Тоді для справджується iнтегральне зображення

. (21)

Теорема 3.2: Якщо функцiя , задовольняє умови спряження (1), крайові умови

(22)

то справедлива основна тотожнiсть iнтегрального перетворення гiбридного диференцiального оператора :

(23)

У третьому розділі запроваджено гібридні інтегральні перетворення Фур'є-Лежандра 2-го роду-Лежандра, Лежандра- Фур'є-Лежандра (математичне обгрунтування одержано методом дельтуватих послідовностей: в ролі яких виступає ядро Коші) та Лежандра-Лежандра 2-го роду-Фур'є (метод методом дельтуватих послідовностей: в ролі яких виступає ядро Діріхле). Теореми, сформульовані в цьому розділі, ідентичні вищенаведеним.

Логічна схема застосування запроваджених в дисертаційній роботі гібридних інтегральних перетворень показана на типових задачах математичної фізики неоднорідних структур як стаціонарних (задача статики та задача про кручення неоднорідних пружних об'єктів), так і нестаціонарних (задача квазістатики та задача динаміки). Розв'язки задач одержано в замкнутій аналітичній формі алгоритмічного характеру. Це дозволяє використовувати їх в інженерних розрахунках (з допомогою сучасних ПЕОМ). Обчислення невласних поліпараметричних інтегралів методом гібридного інтегрального перетворення Лежандра 2-го роду-Лежандра 2-го роду-Фур'є показує, що запроваджені гібридні інтегральні перетворення можуть успішно застосовуватися й до обчислення невласних інтегралів, підінтегральна функція яких виражається через алгебраїчну функцію, приєднані функції Лежандра, функції Бесселя, тригонометричні функції та ін., маючи при цьому відповідну до інтегральних перетворень конструкцію.

Висновки

1. На полярнiй осi з двома точками спряження запроваджено гібриднi iнтегральнi перетворення Фур'є, Фур'є-Лежандра, Фур'є-Фур'є та Фур'є-Лежандра 2-го роду-Лежандра.

2. На полярнiй осi з двома точками спряження методом дельту-ватих послiдовностей побудовано гiбриднi iнтегральнi перетворення Лежандра 1-го роду-Фур'є-Фур'є, Ганкеля 1-го роду-Лежандра 2-го роду-Лежандра, Лежандра 1-го роду-Ганкеля 2-го-Лежандра, Лежандра 1-го роду-Лежандра-2-го роду-Вебера, Лежандра 1-го роду-Фур'є-Лежандра та Лежандра 1-го роду- Лежандра 2-го роду-Фур'є.

3. На полярнiй осi з двома точками спряження методом дельтуватих послiдовностей побудовано гiбриднi iнтегральнi перетворення Лежандра 2-го роду-Фур'є-Фур'є, Ганкеля 2-го роду-Лежандра 2-го роду-Лежандра, Лежандра 2-го роду- Ганкеля 2-го-Лежандра, Лежандра 2-го роду-Лежандра-2-го роду-Вебера, Лежандра 2-го роду-Фур'є-Лежандра та Лежандра 2-го роду-Лежандра 2-го роду-Фур'є.

4. Сформульовані й доведені теореми про iнтегральне зображення кусково-неперервних, абсолютно сумовних (з точно визначеною ваговоюфункцією) функцiй обмеженої варiацiї через ядра запроваджених гiбридних iнтегральних перетворень;

5. Сформульовані й доведені теореми про наявність основної тотожностi iнтегрального перетворення гiбридного диференцiального оператора, що дозволяє побудувати алгебру гiбридних диференцiальних операторiв, а, значить, виключити їх з розгляду у відповідних задачах математичної фізики неоднорідних структур.

6. Різновидність застосування запроваджених гiбридних iнтегральних перетворень показано на типових задачах математичної фізики неоднорідних структур та на задачі полiпараметричної сім'ї невласних iнтегралiв методом гібридного інтегрального перетворення Лежандра 2-го роду- Лежандра 2-го роду- Фур'є.

Основні роботи

1. Пилипюк Т.М. Гібридні інтегральні перетворення Лежандра 2-го роду-Лежандра 2-го роду-Фур'є // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики АН України, 1992. - Вип. 1. - С. 149-160.

2. Пилипюк Т.М. Гібридні інтегральні перетворення (Лежандра 1-го роду-Фур'є-Лежандра) // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики АН України, 1993. - Вип. 2. - С. 201-216.

3. Пилипюк Т.М. Гібридні інтегральні перетворення (Лежандра 2-го роду-Фур'є-Лежандра) // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики АН України, 1994. - Вип. 4. - С. 153-165.

4. Пилипюк Т.М. Гібридні інтегральні перетворення (Ханкеля 1-го роду-Лежандра 2-го роду-Лежандра) // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики АН України, 1994. - Вип. 5. - С. 182-187.

5. Пилипюк Т.М. Гібридні інтегральні перетворення Лежандра 1-го роду-Лежандра-Вебера // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики АН України, 1994. - Вип. 6. - С. 164-172.

6. Пилипюк Т.М. Гібридні інтегральні перетворення Лежандра 1-го роду-Ханкеля 2-го роду-Лежандра) // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики АН України, 1994. - Вип. 7. - С. 208-218.

7. Пилипюк Т.М. Інтегральні зображення функцій обмежено. варіаці. через тригонометричні функції та функції Лежандра//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1994. - С. 221.

8. Пилипюк Т.М. Гібридні інтегральні перетворення (Лежандра 1-го роду-Лежандра-Фур'є) // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1995. - С. 213-215.

9. Пилипюк Т.М. Обчислення невласних інтегралів методом гібридного інтегрального перетворення Лежандра 2-го роду-Лежандра 2-го роду-Фур'є) // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1996. - Вип. 13. - С. 188-196.

10. Пилипюк Т.М. Об одном интегральном представлении функций ограниченной вариации//Міжнародна конференція, присвячена пам'яті академіка М.П. Кравчука (22-28 вересня 1992 р., Київ-Луцьк): Тез. доп. - Київ, 1992. - С. 159.

11. Березовський А.А., Пилипюк Т.М. Запровадження гібридних інтегральних перетворень типу Лежандра-Лежандра-Фур'є // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - Київ, 1998. - 4. - С. 16-22.

12. Пилипюк Т.М. Запровадження гібридних інтегральних перетворень типу Лежандра-Фур'є-Фур'є // Доп. НАН України, 1998. - № 2. - С. 52-56.

13. Березовський А.А., Пилипюк Т.М. Запровадження гібридних інтегральних перетворень типу (Лежандра, Лежандра, Бесселя) // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1998. - Вип. 1 (17). - С. 28-37.

Размещено на Allbest.ru

...