Поняття про функціональні рівняння та способи їх розв'язання

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

функціональне рівняння

Вступ

1. Функціональні рівняння

1.1 Означення функціонального рівняння і його розв'язки

1.2 Розв'язання функціонального рівняння способом заміни та утворенням системи лінійних рівнянь

1.3 Задачі про існування функції при певних умовах

1.4 Розв'язання нестандартних функціональних рівнянь

2. Функціональні рівняння і групи

3. Метод підстановок

4. Графічне розв'язання функціонального рівняння f(x)= f(f(x))

Література

Вступ

„Ніяке людське дослідження не може бути назване істиною, якщо воно не проходить через математичні доведення”

Леонардо да Вінчі

Головним видом математичної діяльності є розв'язання проблем, тобто завдань пошукового і дослідницького характеру, а також математичний опис моделей реальних ситуацій. У процесі вивчення та дослідження різноманітних явищ природи, розв'язування технічних задач тощо, доводиться розглядати не стільки змінні величини, взяті окремо, скільки зв'язок між ними, залежність однієї величини від іншої. Ці актуальні питання допомогають вирішити створення функціональних рівнянь та їх розв'язки.

Предмет дослідження -- функціональні рівняння, які повною мірою є математичною моделю опису реальних ситуацій.

Мета роботи -- систематизувати методи розв'язування функціональних рівнянь; показати, що розв'язки функціональних рівнянь є результат ідеалізації реальних операцій над предметами та виділення їх властивостей.

Методи дослідження:

теоретичні -- вивчення та аналіз відповідної наукової літератури;

практичні -- оволодіння методами розв'язування функціональних рівнянь.

Практичне значення цієї роботи полягає в тому, що надає можливість молоді розвинути науковий світогляд, поняття про математичну модель, що відображає реальну картину навколишнього світу;

допоможе розвинути аналітично-синтетичне та графічне мислення, а також розумові дії, як аналіз, порівняння, узагальнення, абстрагування, встановлення та використання аналогій;

застосовувати мову функціональних рівнянь для узагальнення спостережень над конкретними прикладами і їх взаємозв'язками.

1. Функціональні рівняння

1.1 Означення функціонального рівняння і його розв'язки

1. Функціональними рівняннями називаються рівняння в яких невідома функція пов'язана з відомими функціями з допомогою операції композиції.

Приклад 1. Рівняння

де у - незалежна змінна, будуть функціональними.

2. Функція f(х) називається розв'язком функціонального рівняння на множині Д , якщо вона задовольняє його для всіх значень незалежних змінних із цієї множини.

Приклад 2. Розв'язком рівняння є рівняння

Функціональними рівняннями

задають такі властивості функції, як парність, непарність і періодичність.

Більшість функціональних рівнянь задають не одну конкретну функцію, а визначають цілий клас таких функцій.

Приклад 3. Рівнянням може бути задана одна з функцій:

3. Частинним розв'язком функціонального рівняння є функція або система функцій, що задовольняє рівняння на заданій множині.

4. Загальним розв'язком функціонального рівняння є сукупність усіх функцій, що задовольняють рівняння.

1.2 Розв'язання функціонального рівняння способом заміни та утворенням системи лінійних рівнянь

1) Знайдіть функцію у = f (х) з областю визначення D, якщо виконуються такі рівності:

для

Розв'язування:

Нехай Тоді

Отже,

Маємо систему рівнянь:

Відповідь:

1.3 Задачі про існування функції при певних умовах

2) Доведіть, що не існує функції, яка для всіх дійсних значень х

задовольняє нерівність і не набуває жодного значення більше ніж в одній точці

Розв'язування:

Для х = 0 маємо:

Для х = 1 маємо:

Отже, f (0) і f (1) набувають однакових значень, що суперечить умові. Тому такої функції f (х) не існує.

Відповідь: Не існує.

1.4 Розв'язання нестандартних функціональних рівнянь

3) Розв'яжіть рівняння:

Розв'язування:

Замінимо х на 1- х, маємо:

Отже, маємо систему рівнянь:

звідки

;

Перевіркою переконуємось, що знайдена функція задовольняє дане рівняння.

Відповідь:

4) Розв'язати рівняння:

Розв'язування:

Маємо систему рівнянь:

Перевіркою переконуємось, що знайдена функція задовольняє дане рівняння.

Відповідь:

5) Відомо, що

Знайдіть усі можливі значення та

Розв'язування:

Нехай існує таке, що Тоді для х = 0 із рівності (3) маємо:

Тоді з рівності (3) для маємо, що

звідки дістанемо, що стала, а це суперечить умові.

6) Розв'яжіть рівняння де

Розв'язування:

Якщо існує таке, що то і тоді для х = 0

маємо:

Якщо х = 0, то маємо:

Тому функція не задовольняє умову.

Відповідь:

Нехай Тоді

Отже,

Нехай Тоді

Нехай Тоді

Маємо систему рівнянь:

звідки

Відповідь:

9) Розв'яжіть рівняння: де

Розв'язування

Нехай Тоді

Маємо систему рівнянь:

звідки

З першого рівняння системи для х = 2 маємо:

Для х = -1 маємо:

Розв'яжемо систему рівнянь:

Тоді

Перевірка:

5 = 5

Відповідь: для

10) Розв'яжіть рівняння:

Розв'язування

Нехай Тоді

Отже,

Маємо систему рівнянь:

Звідки

Якщо х = 1, то із даного рівняння одержимо:

Отже,

Перевірка:

Відповідь:

11) Розв'яжіть рівняння:

Розв'язування:

Для маємо, що

звідки

Отже, для х = 1 маємо, що

Тому та шукані розв'язки, в чому легко переконатись, виконавши перевірку.

Відповідь:

12) Для кожного дійсного значення параметра а знайдіть всі функції f , які визначені на множині дійсних чисел, набувають дійсних значень, і для всіх х та у задовольняють рівність:

Розв'язування

Для х = у = 1 маємо, що звідки

Для маємо, що звідки тобто

Тому а = 0 єдине значення, для якого можуть існувати розв'язки.

Нехай а = 0. Тоді

Підставивши у = 1 в рівність, дану в умові, отримаємо, що

Якщо х = у, то

Оскільки то для всіх х виконується рівність

Функція задовольняє умову задачі.

Відповідь: , якщо а = 0, розв'язків немає, якщо

13) Знайдіть усі функції f , що визначені на множині всіх

цілих чисел і набувають лише цілих невід'ємних значень та задовольняють умови:

1) f (mn) = f (m) f (n);

2)

3) f ( 1997) = 0 для всіх цілих значень min

Розв'язування

З умов 1) - 3) випливає, що для довільних n і k

Оскільки

Це означає, що:

1)функція f обмежена, тобто для всіх де

2) Якщо для всіх ( зокрема

Для числа 0, k, 2k…, 1996k дають усі можливі залишки від ділення на 1997 ( усього таких чисел 1997, і жодні два не дають один і той самий залишок від ділення на 1997, інакше їх різниця ділилася б на 1997, що неможливо, оскільки

a 1997- просте число).

Тому за умовою 1) або для всіх або для всіх m , що не діляться на 1997.

Перший випадок задовольняє всі умови задачі.

У другому випадку покладемо для деякого m .

Тоді за умовою 1) для довільного що суперечить обмеженості функції f .

Отже, для m , що ділиться на 1997 і для m , що не ділиться на 1997.

Відповідь: для довільного m ;

14) Знайдіть усі функції f(х), визначені на множині дійсних чисел такі, що для довільних х та у виконують рівність

Розв'язування

Якщо

Якщо

Якщо

Якщо

Тоді маємо:

Отже,

Тому для довільного маємо:

Відповідь:

15) Функція f така, що множину цілих чисел відображає в множину дійсних чисел і задовольняє умови:

Доведіть, що для довільного справедлива рівність

Розв'язування

Нехай тобто

Тоді маємо:

Отже,

Нехай n < 90. Виберемо таке число щоб виконувалась умова

Тоді маємо:

Отже, рівність доведена для всіх значень

16) Знайдіть усі функції f , які множину дійсних чисел відображають у множину дійсних чисел такі, що для всіх виконується рівність

Розв'язування

Покладемо Тоді для маємо:

Для у = 0 маємо:

Для даного вибором відповідного значення х можна зробити праву частину рівною будь-якому наперед заданому значенню Z.

Тому для кожного існують такі, що

Тоді з рівняння умови маємо:

Отже, звідки C = 1.

Перевірка показує, що функція задовольняє умову.

Відповідь:

2. Функціональні рівняння і групи

Композиція функцій

Число початкових, основних функцій, що вивчаються в шкільному курсі математики, порівняно невелике. До них, наприклад, відносяться лінійна, сттепенева, показникова, тригонометрична функції. Інші функції виходять з основних за допомогою композицій і дій алгебри. Так, функція f(x) sin(2x + 1) є композицією лінійної функції g(x)2x+1 і тригонометричної функції h(x)sin x тобто f(x)h(g(x)) (h?g)(x). Функція f(x)lg arcsin x одержана в результаті композиції функцій

g(x)arcsin х і h(x)lg x.

Зверніть увагу на те, що в область визначення композиції h?g входять i значення х з D(g), для яких g(x) D(h). У останньому прикладі D(g)=[-1;1], D(h)=(0;). Оскільки arcsin х>0 при х(0;1), то D(f)=(0;1).

Якщо узяти композицію цих же функцій в зворотному порядку, тобто функцію f(x)=arcsin lg х, то одержимо:

Композицією дробово-лінійних функцій і є функція

Тут

Як правило, f?g g?f. В той же час для будь-яких функцій (f?g)?h = f?(g?h),

що безпосередньо витікає з визначення композиції.

Функціональні рівняння

Розв'яжимо наступну задачу.

Задача 1. Знайдіть всі функції y=f(x) такі, що

2f(1-х)+1= xf(x). (1)

Розв'язання. Припустимо, що існує функція f(x), що задовольняє даному рівнянню. Замінивши х на 1-х, одержимо

2f(х)+1= (1-х)f(1-х). (2)

З (1) знаходимо f(1-х)= (xf(x)-1).

Підставляючи значення f(1-х) і рівняння (2), одержимо

2f(х)+1= (1-х)· (xf(x)-1), звідки

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що одержана функція задовольняє рівнянню (1).

У розглянутому рівнянні під знаком невідомої функції стоять функції і . Заміна х на 1-х переводить функції і один в одного. В результаті підстановки х 1-х одержано ще одне рівняння, що містить f(x) і f(1 -х). Рішення функціонального рівняння ми звели до розв'язання системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

Розглянемо тепер складнішу задачу.

Задача 2. Вирішіть рівняння

. (3)

Рішення. Спробуємо діяти так само, як і в першому випадку. Виконаємо заміну . Одержуємо (4)

Разом з виразами і у нас з'явилося нове «невідоме» -- Спробуємо застосувати в (3) ще одну підстановку:

Маємо (5)

Окрім , в рівнянні з'явився «небажаний» вираз

Що ж, спробуємо виконати в (3) підстановку І, нарешті, успіх. Одержуємо рівняння (6)

де нові невідомі не виникли -- побудована система чотирьох лінійних рівнянь (3) -- (6) з чотирма невідомими , і . Послідовно виключаючи,, знайдемо

Як і при розв'язанні рівняння (1), ми припускали, що функція, яка задовольняє (3), існує. Перевірка показує, що f задовольняє рівнянню (3).

З'являються групи

Спробуємо розібратися чому нам вдалося розв'язати рівняння попереднього пункту.

Розглянемо ще одне рівняння f(х + 1 )+f(x)=x.

Воно виглядає не більш «страшним», ніж рівняння (3), проте всі спроби вирішити його тим же способом виявляться марними: при заміні х х+1 з'являється «невідоме» f(x+2), і так далі. Ланцюжок не замикається: ми ніколи не одержимо лінійної системи. Пригадаємо, що, вирішуючи перше рівняння, ми виконали підстановку х 1-х. При цьому 1-х х. Тобто дві функції g(x)=x і g(x)=1x по відношенню до операції композиції поводяться так g?g=g?g=g,

g?g=g, g?g =g.

Розглянемо таблицю «множення» (на перетині рядка з номером i і стовпця з номером j стоїть g?g. У кожному рядку і кожному стовпці цієї таблиці зустрічаються і g і g

Допустимо тепер, що нам потрібно розв'язати рівняння

a(x)f(x)+b(x)f(1-x)=c(x), (*) де а, b, с -- деякі функції. Ясно, що виконуючи підстановку

х 1--х, ми одержимо рівняння a(1-x)f(1-x)+b(2-x)fx)=c(1-x) (**), яке разом з рівнянням (*) утворює лінійну систему щодо функцій f(x) і f(1-х). Далі рішення розвиватиметься так само. як і при рішенні задачі 1.

У другому розглянутому прикладі ми робили підстановки,, , тобто мали справу з функціями g(x)=x , g(x)=, g(x)=, g(x)=. Подивимося, як поводяться функції g, g, g, g по відношенню до oneрації композиції. Складемо таблицю 2, аналогічну таблиці 1 (у перетині i-й рядка і k-ro стовпця запишемо g?g).



Таблиця ця симетрична щодо своєї діагоналі (це значить що g?g=g?g, при будь-яких

k и i). Крім того, всі функції g зустрічаються в кожному рядку і кожному стовпці рівно один раз, і, нарешті легко помітити, що , ,

Тут .

Таким чином, система функцій володіє наступними властивостями: а) вона замкнута щодо композицій; б) серед цих функцій є тотожне відображення в) у кожної з функцій g, є обернена :

Тими ж властивостями володіє і система функцій з при-клада 1.

Якби тепер нам запропонували вирішити будь-яке функціональне рівняння виду (***)

ми зробили б це, виконавши заміни після чого прийшли б до лінійної системи. Для прикладу запишемо, що вийде з (***) після заміни ). При цьому

отже вийде рівняння

Тепер дамо наступне означення.

Означення. Довільна множина G функцій, визначених на деякій множині М, називається групою щодо операції ?, якщо воно володіє тими ж властивостями, що і система тобто

1. Для будь-яких двох функцій fG, gG їх композиція f?g теж належить G.

2. Функція е(х)=х належить G.

3. Для всякої функції fG існує оберненана функція, яка також належить G.

Це визначення є окремий випадок загального визначення поняття групи -- одного з найважливіших понять сучасної математики. Детально і популярно основні поняття теорії груп висловлені в книзі П. С. Александрова «Введення в теорію груп» (Бібліотека «Квант», вип. 7, М.: Наука, 1980).

Два приклади груп функцій ми вже бачили. Приведемо ще деякі приклади.

а) Множина G лінійних функцій f(x)=ax+b (а0, bR);

б)

в) Множина G функцій виду f(x)=x+a.

Доведемо, наприклад, що лінійні функції утворюють групу. Всі ці функції визначені з числової прямої R. Хай тоді

знову є лінійна функція. Функція е(х)=х -- також лінійна. Якщо f(x)=ax+b, то функція, обернена до f буде лінійна функція

Підведення підсумків

Тепер ми можемо викласти загальний метод рішення деяких функціональних рівнянь з використанням поняття групи функцій.

Хай у функціональному рів-нянні (7)

вирази, що стоять під знаком невідомої функції f(x) є елементами групи G, що складається з n функцій: … , причому коефіцієнти рівняння (7),, …, -- деякі функції від х. Припустимо, що рівняння (7) має рішення. Замінимо ). В результаті послідовність функції, , … перейде в послідовність …,що складається знову таки зі всіх елементів групи.

Тому «невідомі» … переставляться і ми одержимо нове лінійне рівняння того ж вигляду, що і (7). Далі в рівнянні (7) робимо заміни , , …,, після чого одержимо систему з n лінійних рівнянь, яку слід вирішити. Якщо рішення є, то ми ще винні перевіркою переконатися у тому, що вони задовольняють рівнянню (7).

Як приклад розглянемо рівняння

, (8) Множина функцій , , утворює групу з «таблицею множення»

0

Замінюючи в рівнянні (8) х на, і на , одержимо систему

де, , вирішуючи яку одержимо, виконавши перевірку при х0, х-1.

Приведемо на закінчення деякі приклади груп функцій, які можуть бути використані при рішенні функціональних рівнянь.

(тут і далі а0)

3. Метод підстановок

Іноді під час розв'язування функціональних рівнянь вдається визначити явний вигляд шуканої функції, вдало підбираючи ті чи інші окремі значення змінних і комбінуючи знайдені співвідношення.

Цей метод називається методом підстановок.

Задача 1.1 Знайти всі розв'язки функціонального рівняння

(1)

де f визначена на R функція, що задовольняє рівняння (1) при довільних причому

Розв'язання. Покладемо спочатку в рівнянні (1) х = 0 і у = х. Тоді воно набере вигляду:

(2)

Якщо y = 2x, то

(3)

При y = -2х

Додаючи і віднімаючи рівняння (3) і (4), матимемо:

Звідки

(5)

Комбінуючи, нарешті, рівняння (2), (5), дістанемо:

Ця єдина функція справді задовольняє рівняння (1) і буде його розв'язком при всіх

Задача 1.2 Знайти всі розв'язки функціонального рівняння

(6)

де f визначена на R функція, що задовольняє (6) при довільних , причому

f (1) = 1 і при всіх х 0.

(7)

Розв'язання. Покладемо в (6) у =0, тоді f (0) = 0. Якщо ж

y = - x, то

при довільних і, отже, f - непарна на R функція. Звідки дістанемо:

(8)



при довільних .

Скористаємося тепер умовою (7), замінивши в ній х

значенням

Маємо із застосуванням (8) при всіх \ з одного боку:

з другого,

Звідки при зазначених вище х

Враховуючи, що f (0) = 0 і f (1) = 1 матимемо при всіх xR єдиний розв'язок рівняння (6): f (x) = х (перевірка очевидна).

4. Графічне розв'язання функціонального рівняння

Розглянемо одну з найкрасивіших задач на тему “Абсолютна величина числа “. Приклад 23 (МАІ, 1988р.). При яких a і b для функції виконується умова при всіх дійсних х: ?»

При розв'язанні цієї задачі акцентуємо увагу в більшій мірі на особливості графіка функції, формула якої містить знаки модуля. Тому на перший план виходить опис загального виду графіка функції y = f(x), яка :

а) неперервна на всій числовій осі;

б) задовольняє рівнянню

Трохи випереджаючи події, зазначимо, що графіком такої функції є лінія, що має характерні „злами”, і саме ця обставина прояснює, чому все ж таки природно cтавити задачі, подібні прикладу 23, для функції, формули яких містять знаки модуля і графіки яких також є лініями з „зламами”.

Спочатку нагадаємо, як графічно одержати

точку з ординатою

припускаючи відомим розташування графіка функції у = -- це ордината

точки (мал. 1).

Якщо справедлива рівність, , то кожній точці графіка , що лежить поза прямої у = х, відповідає точка графіка, яка лежить на прямій у = х і має ту ж ординату.

Для обгрунтування такого висновку помітимо, що на мал. 1 ординати точок М і М повинні співпасти, тоді точка М графіка співпадає з точкою М прямої у = х.

Таким чином, поки ситуація з графіком функції що задовольняє умові виглядає, як на мал. 2 (точки М і N належать графіку).

Зробимо тепер основний висновок.

Висновок 2. Якщо функція безперервна на всій числовій осі і задовольняє рівнянню, то частинами її графіка обов'язково є частини прямої у = х (або вся пряма, або її промінь, або її відрізок, або її точка), а сам графік у = f(x) має один з п'яти видів, зображених на мал. 3.

Для обгрунтування цього висновку візьмемо дві точки графіка, що лежать на прямій у = х: і .

Як відомо, значення функції f(x) через її неперервність заповнять на осі Оу весь відрізок з кінцями в точках і . А цьому відрізку (див. Мал. 2) буде на прямій у=х відповідати відрізок графіка (мал. 4).

Таким чином, на прямій у = х графіку функції належить множина, яка або складається тільки з однієї точки, або, разом з будь-якими двома різними точками, містить і весь відрізок між ними. Подібні множини на прямій називаються однозв'язними. Необхідно звернути увагу і на те, що через неперервність функції на всій числовій осі даній множині належать його граничні точки.

Використовуємо без доведення -- геометрично майже очевидне -- твердження про те, що на прямій однозв'язними множинами, які містять і всі свої граничні точки, є тільки сама пряма; окремі її точки N; промені , відрізки (див. Мал. 3). Частина графіка, що лежить на прямій у=х, визначає верхню і нижню межі для частин графіка, що не лежать на прямій (див. Мал. 2). У іншому ці частини довільні -- настільки, звичайно, наскільки довільні можуть бути частини графіка неперервної на всій числовій осі функції, оскільки неважко перевірити, що для будь-якої неперервної функції, графік якої належить до одного з п'яти видів, вказаних на мал. 3, справедлива рівність

Тепер приведемо розв'яння прикладу 23. Нагадаємо, що функція

повинна задовольняти рівнянню .

Розв'язок. При а=0 функція f(x)=0, і рівняння, очевидно, задовольняється.

Хай а > 0, тоді при великих х > 0 функція

.

По мал. 3 визначаємо, що можлива тільки рівність f(x)=x, якщо значення х достатньо великі і х >0. Конкретно, .

Отже, можливі (!) значення для параметрів а і b визначаються з системи яка має два розв'язки:

і

При одержуємо функцію

Її графік (мал. 5) є графічним розв'язком рівняння (див. Мал. 3).

Тепер припустимо, що а < 0, тоді при великих по абсолютній величині х < 0

Функція

По мал. 3 визначаємо, що рівність f(x)=х можливо тільки в тому випадку, якщо значення х достатньо великі по абсолютній величині і х < 0. Конкретно, х < b.

Отже, можливі (!) значення для параметрів а і b визначаються з системи яка має два розв'язки: і

Якщо , то функція задовольняє рівнянню (див. Мал. 3).

Якщо , тоді одержуємо функцію

А ось її графік (мал. 6) не є графічним розв'язком рівняння

Відповідь:

Література

1. Бродський Я. С., Сліпченко А. К. Функціональні рівняння. Київ, Вища школа, 1983 р.

2. Вороний О. М. Ще раз про функціональні рівняння/ Київ, Вища школа, 1997 р.

3. Вороний О. М. Розв'язування функціональних рівнянь метод Коші. азета «Математика» № 40. 2002 р.

4. Гопаченко В. В. Функціональні рівняння. Газета «Математика» № 11,№ 12. 2002 р.

5. Колягін Ю. М. Про функціональні рівняння. Журнал «Математика в школі» № 5, 1959 р.

6. Колтуновський О. А. Графічне розв'язування функціональних рівнянь f(x)=f(f(x)). Журнал « Математика в школі» № 3, 1996 р.

7. Богданов К. М. Хижак і жертва. Журнал «Квант» № 3/4, 1993 р.

8. Бродський Я. С., Сліпченко А. К. Граничний перехід і функціональні рівняння. Газета «Математика» № 49. 1998 р.

9. Бродський Я. С., Сліпченко А. К. Функціональні рівняння і групи. Журнал «Квант», № 7. 1985 р.

Размещено на Allbest.ru

...