Моделювання фізичних полів методами теорії R-функцій та нечіткої логіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МОДЕЛЮВАННЯ ФІЗИЧНИХ ПОЛІВ МЕТОДАМИ ТЕОРІЇ R-ФУНКЦІЙ ТА НЕЧІТКОЇ ЛОГІКИ

Спеціальність: Математичне моделювання та обчислювальні методи

Тоніца Олег Володимирович

Харків, 1999 рік

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. При створенні систем дослідження задач розрахунку фізичних полів важливо враховувати технічні та технологічні допуски на геометричну та фізичну інформацію, погрішності виміру фізичних величин та похибки округлення. У зв'язку з цим виникає необхідність розвитку систем розрахунку полів з метою отримання допусків на розв'язок та подальшого експертного висновку.

В даний час автоматизація програмування в галузі математичної фізики досягла значного прогресу. Ефективність проблемно-орієнтованих мов та спеціалізованих систем полягає в скороченні часу вирішення багатьох науково-технічних задач, а також створенні бази для переходу до індустріальних методів та нової технології програмування. Такі мови та системи є інструментальною базою для проведення обчислювальних експериментів, що звільняють математиків та інженерів від рутинної роботи по створенню та налагодженню громіздких програм. Для проведення обчислювальних експериментів в галузі математичної фізики в багатьох випадках необхідно серйозне та глибоке вивчення процесу чи явища, що моделюється, пізнання законів природи та їх проявів у складній взаємодії. Окрім того, при вирішенні задач математичної фізики необхідно враховувати питання збіжності, стійкості обчислювального процесу, точності обчислень, ефективності методів, що застосовуються і т. ін.

Ці обставини створюють додаткові труднощі при розробці математичного забезпечення для вирішення крайових задач. Вітчизняними та закордонними дослідниками розроблено велику кількість прикладних систем програмування, пакетів прикладних програм, що мають проблемно-орієнтовані мови та використовуються для дослідження задач з різних прикладних областей.

Створення проблемно-орієнтованих мов та спеціалізованих систем можливо в тому випадку, якщо для конкретної прикладної області розроблений універсальний математичний апарат, який дозволяє достатньо ефективно описувати алгоритмічні процеси з урахуванням всієї інформації про задачу, що розв'язується. Таким математичним апаратом для вирішення крайових задач математичної фізики є теорія R-функцій (міжнародна абревіатура RFM - R-functions method), методи та засоби якої розширюють можливості варіаційних та проекційних методів по розв'язку крайових задач в областях складної форми.

Результати, що отримані в галузі додатків цієї теорії, дозволили створити комплекс програмних та мовних засобів для автоматизації наукових досліджень в математичній фізиці. Це спеціалізовані системи серії «Поле», що створені для вирішення крайових задач, які сформульовані для рівнянь з частинними похідними при довільних крайових умовах та складної геометрії області, що досліджується. Системи серії «Поле» є відкритими системами, які постійно доповнюються новими програмними модулями різного призначення. Ці системи знаходяться у постійному розвитку.

Сучасні тенденції розвитку прикладних програмних систем пов'язані з підвищенням рівня їх інтегрованості, інтелектуальності та доступності для користувачів, які є спеціалістами в проблемних областях вирішення тих чи інших класів задач. Проблема створення таких систем є важливою науковою проблемою, а дослідження в цій галузі - актуальними та перспективними.

Вагомий внесок в розвиток цього напрямку досліджень в галузі математичної фізики внесли вітчизняні вчені - В.М. Глушков, В.П. Іл'їн, В.Я. Карпов, В.С. Михалевич, Г.С. Поспєлов, В.Л. Рвачов, А.А. Самарський, И.В. Сергієнко, В.В. Скопецький, Ю.Г. Стоян, К.Л. Ющенко, М.М. Яненко, І.М. Молчанов, Г.П. Манько, Л.В. Курпа, Т.І. Шейко,О.М. Шевченко, М.С. Синєкоп та інші. Одним з важливих аспектів цих досліджень є автоматизація вирішення крайових задач, які пов'язані з розрахунком взаємодіючих фізико-механічних полів різної природи.

Актуальним є створення нових технологій, які можуть маніпулювати складними, багатофакторними та стохастичними об'єктами, підтримувати складні взаємозв'язки між даними, виконувати коректуючи дії в умовах невизначеності та робити висновки при недостачі інформації. Іншими словами, необхідні інформаційні технології з елементами штучного інтелекту. Обчислювання в системах розрахунку полів, як правило, мають детермінований характер, а тим часом реальні процеси у певній мірі є стохастичними, містять в собі деяку нечіткість. Для того, щоб врахувати цю нечіткість, доцільно так перетворити існуючу схему дослідження фізичних полів, щоб в результаті багатоваріантного обчислення отримати більш точний «нечіткий» розв'язок, який буде ближче до реальності. Потрібно ввести в схему вирішення урахування допусків, тобто джерел нечіткості, що найбільш сильно впливають на результуючий розв'язок. Практика свідчить, що таких джерел, як правило, три: допуски моделі (на геометричні та фізичні характеристики), помилки методу (зрізання ряду, помилки) та помилки округлення. Необхідно встановити вплив на рішення варіювання цих величин в межах допусків та дослідити можливості побудови допусків на розв'язок. У зв'язку з цим значний інтерес представляє розробка систем дослідження фізико-механічних полів, що орієнтовані на багатоваріантне вирішення крайових задач з метою врахування варіювання величин, що розглядаються, в межах заданих допусків.

Дослідженню таких проблем методами інтервальної математики в галузі геометричного проектування присвячені теорія інтервальної геометрії Ю.Г. Стояна та наукові розробки його учнів О.О. Ємця, Т.Є. Романової та інших. В даній дисертаційній роботі пропонуються конструктивні методи та алгоритми моделювання фізичних полів методами теорії R-функцій та нечіткої логіки з врахуванням допусків на геометричну та фізичну інформацію, а також помилок округлення. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами ґрунтується на тому, що дисертаційні дослідження автор виконував у 1994-1999 рр. у відділі прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування НАН України відповідно до держбюджетної теми №185 Г.Р. №0194И0353430 НАН України "Високоінтелектуальні системи програмування, орієнтовані на використання алгебраїзованих структурних формул розв'язання крайових задач" (1994-1997 рр.), держбюджетної теми №1 Г.Р. №0198И0054125 НАН України "Розвиток теорії R-функцій /RFM/, поширення її предметної області, удосконалення конструктивних та програмних засобів" (1998-2001 рр.), гранту 1.4/162 Міністерства у справах науки та технологій "Розробка нових методів математичного моделювання задач механіки суцільних середовищ на основі теорії R-функцій та не числень" (1998-2001 рр.).

Метою роботи є створення на основі фундаментальних результатів теорії R-функцій та нечіткої логіки методів моделювання реальних фізико-механічних полів, що враховують допуски та похибки вимірів, а також ефективних обчислювальних алгоритмів для їх реалізації та дослідження розпаралелювання обчислювального процесу.

Для досягнення мети дисертації було поставлено задачі:

- дослідити зв'язок теорії R-функцій та нечіткої логіки;

- розробити методи аналітичного моделювання нечітких геометричних об'єктів у двовимірному просторі;

- дослідити джерела нечіткості в реальних задачах моделювання полів та їх стохастичні характеристики;

- створити структурні моделі фізичних полів з урахуванням нечіткості геометричних та фізичних даних та алгоритми реалізації;

- дослідити та раціонально використати елементи інтервального аналізу для урахування помилок округлення.

Методи дослідження. Методологічною основою є:

- теорія R-функцій, яка орієнтована на розширення можливостей варіаційних та інших методів вирішення крайових задач математичної фізики;

- алгебра диференційних кортежів, яка лежить в основі формалізації обчислювальних процесів розв'язання крайових задач;

- теорія паралельних систем;

- нечітка логіка, яка дає можливість перейти від ідеалізованого детермінованого моделювання до більш реального стохастичного моделювання фізичних полів;

- інтервальний аналіз, що дозволяє враховувати помилки округлення;

- сучасні ідеї та технології програмування.

Наукова новизна результатів дисертації, які винесені на захист, полягає в розробці на основі теорії R-функцій та нечіткої логіки методів та алгоритмів моделювання фізико-механічних полів, які враховують технічні допуски, похибки вимірів та помилки округлення, та на основі їх аналізу дозволяє зробити експертний висновок про прийнятність знайденого рішення. Зокрема, новизною характеризуються такі розробки:

1. Досліджено зв'язок теорії R-функцій та нечіткої логіки. Доведено, що при необхідному узагальненні законів протиріччя та виключення третього множина функцій нечіткої логіки співпадає з множиною {R[0,1]} умовних R-функцій. Показано, що функції алгебри логіки є супровідними для умовних R-функцій f є {R[0,1]} та множина умовних R-функцій є функціонально замкненою. В замкненій множині умовних R[0,1] - функцій досліджені питання функціональної повноти, побудови виразів та їх тотожних перетворень;

2. На основі результатів досліджень в теорії R-функцій та нечіткій логіці розроблені методи та алгоритми моделювання нечітких областей складної форми;

3. Розроблені нечіткі моделі поля та структури нечітких (інтервальних) розв'язків, запропонована методика їх реалізації. Показано, що реалізація структури нечіткого розв'язку для моделі поля з нечіткими крайовими умовами зводиться до системи лінійних рівнянь з k правими частинами, а для моделі поля з нечіткою областю розпадається на k систем лінійних рівнянь;

4. Для підвищення точності та узгодженості накопиченої та методичної погрішності з метою зберігання нормального закону розподілу для нечіткого розв'язку запропоновано використовувати засоби інтервального аналізу. Конструктивно застосована методика оцінки похибок округлення з автоматичним диференціюванням в інтервальних методах. Розроблено інтервальні обчислювачі для операцій алгебри диференційних кортежів;

5. Досліджено задачі розпаралелювання схеми реалізації запропонованої методики моделювання.

Практична цінність та реалізація результатів роботи полягає в розробці та практичному дослідженні методів та алгоритмів моделювання фізичних полів, що конструктивно враховують допуски на фізичну та геометричну інформацію і можуть використовуватись для широкого класу дослідницьких та проектних задач. Результати можуть бути застосовані в експертних системах, системах автоматизації наукових досліджень при розв'язку задач в умовах апріорної невизначеності, автоматизації проектування.

Розробки складають основу для розвитку систем серії "Поле" з предметною областю, що включає стохастичне моделювання. Результати роботи впроваджені у відділі прикладної математики та обчислювальних методів ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України при виконанні держбютжетної теми "Високоінтелектуальні системи програмування, орієнтовані на використання алгебраїзованих структурних формул розв'язання крайових задач".

Публікації. За темою дисертації опубліковані 19 друкованих праць: 6 статей (з них 3 - у збірниках наукових праць, 3 - депоновані у ВІНІТІ), 5 тез доповідей в працях міжнародних наукових конференцій та 8 інформаційних листків ХОРПНТЕІ при Міністерстві України у справах науки та технологій.

Особистий внесок здобувача в роботи, опубліковані у співавторстві. В усіх зазначених публікаціях автор приймав участь у розробці теоретичних положень, алгоритмів та їх реалізації на ПЕОМ. Крім того, автору належать: в роботах методи та алгоритми моделювання реальних фізичних полів, що враховують стохастичний характер технологічних допусків для геометричної та фізичної інформації, методи моделювання геометричних об'єктів із використанням теорії R-функцій та нечіткої логіки, розробка інтервальних обчислювачів в середовищі "Поле", дослідження шляхів удосконалення спеціалізованих систем аналізу фізико-механічних полів.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на:

- Всеукраїнській міжнародній конференції «Розробка та застосування математичних методів в науково-практичних дослідженнях», присвяченій 70-річчю від дня народження професора П.С. Казимірського (м. Львів, 1995 р.);

- Міжнародній конференції «Теорія і техніка передачі, приймання та обробки інформації» (м. Туапсе, 1995, 1996 рр.);

- Міжнародній конференції «Parallel simulation of complex systems and large-scale application» (м. Делфт, Нідерланди, 1996 р.);

- Міжнародній конференції «Математичні моделі та чисельні методи механіки суцільних середовищ» (м. Новосибірськ, 1996 р.) та на XIV Міжнародній конференції з інтервальної математики (м. Новосибірськ, 1998 р.).

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох глав, висновків, списку використаних джерел із 121 найменування, 22 малюнків, 4 таблиць, 123 сторінок друкованого тексту. Усього 131 сторінка.

2. Зміст роботи

У ВСТУПІ обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі роботи, її наукову новизну та практичну цінність, і подана її загальна характеристика.

ПЕРША ГЛАВА присвячена обґрунтуванню розробки методів моделювання фізико-механічних полів з врахуванням технологічних допусків, похибок вимірів та помилок округлення. Описані основні напрямки розробки методів та алгоритмів моделювання. В основу розробки покладені ідеї теорії R-функцій, яка дозволяє вирішувати крайові задачі математичної фізики в областях складної конфігурації, нечіткої логіки, що дозволяє моделювати нечіткі розв'язки.

Наведені необхідні для теоретичних розробок відомості з теорії R-функцій та структурних методів, котрі стосуються моделювання геометричних об'єктів та побудування наближених рішень (структур рішень) крайових задач. Розглянуто варіаційні методи, що використовуються. Виконано аналіз сучасних засобів нечіткої логіки відповідно до поставлених задач. Досліджені основні напрямки реалізації підходів, що досліджуються, за допомогою конструктивних методів аналізу та паралельних обчислень.

В ДРУГІЙ ГЛАВІ наводиться опис методів врахування допусків при моделюванні фізичних полів, методики моделювання методами теорії R-функцій та нечіткої логіки та алгоритмів обчислювання функції належності. Запропоновані підходи до опису об'єктів в класі функцій нечіткої логіки та R-функцій, побудування нечіткого розв'язку задачі, обчислювання функції належності поточного рішення, та отримання на її основі експертного висновку про прийнятність знайденого рішення.

Для ілюстрації нечіткості реальної задачі моделювання розглянемо задачу Діріхле для диференціального рівняння загального вигляду.

Припустимо, задана область D та крайові умови з врахуванням допусків:

Змінюючи допуски на геометрію та крайові умови в заданих межах, отримуємо допуски на розв'язок U, яким повинен задовольняти розв'язок реальної крайової задачі.

Методика моделювання, що запропонована, для задачі аналізу складається з таких етапів:

1) побудування моделі, що враховує розмитість;

2) побудування нечіткого аналітичного опису області D за допомогою методів теорії R-функцій та нечіткої логіки;

3) генерування вибірки поточних об'єктів за допомогою варіації фізичних величин в межах допусків на крайові умови;

4) розв'язок крайової задачі для кожного елемента вибірки;

5) формування інтервалів з можливих розв'язків крайової задачі (формування допусків на розв'язок);

6) побудування моделі поточної крайової задачі;

7) обчислення функції належності для поточної області відносно еталонної;

8) розв'язання поточної задачі та експертний висновок про прийнятність знайденого розв'язку.

В результаті проведених досліджень встановлено зв'язок між теорією R-функцій та нечіткою логікою. Доповнимо систему тотожностей нечіткої логіки узагальненими законами виключення третього та суперечності:

Тоді будуть мати місце твердження.

Твердження 1. Функції нечіткої логіки є умовними R-функціями на відрізку [0,1], що визначаються поділенням:

В трьохзначному та двозначному випадках відповідно.

Твердження 2. Функції алгебри логіки є супровідними для R [0.1].

Доведено теореми.

Теорема 1. Множина {R[0,1]} умовних R-функцій є функціонально замкненою.

Теорема 2. Система R-функцій:

Розглянуто питання алгоритмізації моделювання фізико-механічних полів, котрі містять в собі побудування функції належності поточної геометричної області нечіткій області.

Складну нечітку множину можна розглядати як множину, побудовану за допомогою операцій перетину, об'єднання та заперечення з простих нечітких множин, для яких функції належності відомі.

Припустимо, побудований множинний опис складної нечіткої множини D з початкових нечітких множин Di. Якщо в описі D виконати заміну множин Di на відповідні функції мd (x), то знайдемо функцію належності складної нечіткої множини.

Функції належності частіше всього задаються обчислювальними функціями, тобто алгоритмами обчислень.

Дослідження, що були проведені, показали, що для побудування функції належності є раціональними наступні алгоритми: клас характеристик по дискретній множині характерних точок та клас інтегральних характеристик.

В першому випадку будуємо опис області розмиття границі та знаходимо відношення кількості характерних точок границі, в яких функція розмиття більше нуля до загальної кількості характерних точок. У другому класі алгоритмів функція належності знаходиться як відношення інтегралів по контуру та площі перетину поточної області з нечіткою областю до відповідних інтегралів поточної області. Розглянемо модель фізичного поля, наприклад, задачу Діріхле. Чітку модель поля будемо позначати через m:

Де:

w - аналітичний опис області D;

Ci - невизначені коефіцієнти;

Ш - функція, що продовжує крайові умови всередину області.

Відповідно до наведених вище джерел нечіткості побудуємо нечітку модель поля:

Яку будемо позначати через М. Для вибірки потрібно отримати нечіткий розв'язок:

Розв'язок задачі структурно-варіаційним методом, що представлена моделлю, зводиться до k систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що відрізняються тільки стовпцем вільних членів. Тому необхідно використати метод Гаусса для вирішення систем рівнянь з k правими частинами. При вирішенні задачі, що представлена моделлю, отримаємо k різних систем рівнянь. В цьому випадку для підвищення швидкодії процесу їх вирішення доцільно використовувати розпаралелювання обчислювального процесу по задачах. Розглянемо питання формування вибірки та інтервального розв'язку.

В даних методах важливо, щоб для інтервального розв'язку зберігався той же закон розподілу, що і для початкових даних. Згідно з центральною граничною теоремою Ляпунова, цього можна досягнути, якщо накопичена погрішність не буде домінувати над методичною. Тому доцільно розглянути проблему врахування похибок округлення, які виникають в процесі розв'язання крайових задач.

ТРЕТЯ ГЛАВА присвячена питанням реалізації запропонованих підходів моделювання в обчислювальному середовищі «Поле», розробці моделей обчислювального процесу на основі інтервального аналізу та розпаралелювання алгоритмів моделювання фізичних полів.

Досліджені можливості вирішення проблем врахування помилок округлення, що виникають в процесі вирішення крайових задач математичної фізики. Для цього пропонується використовувати конструктивні засоби інтервального аналізу (методику проф. Kubota, Токіо), які дозволяють здійснити оцінку помилок округлення за допомогою методів автоматичного диференціювання. Повна формалізація обчислювального процесу за допомогою кортежної алгебри дозволила автоматизувати процеси вирішення крайових задач в системі «Поле». При розробці функціонального наповнення системи була прийнята стратегія чисельно-аналітичного диференціювання з використанням поняття диференціального кортежу. Суть алгоритму диференціювання полягає в наступному. Обчислення похідних високого порядку від основних функцій (додавання, множення, елементарні функції та ін.) може бути здійснено по точним алгоритмам на ЕОМ. Такі обчислення отримали назву кортежних операцій. В результаті їх виконання обчислюються диференціальні кортежі (значення функції та їх частинних похідних до заданого порядку, які разом з кортежними операціями підлягають законам кортежної алгебри).

При цьому обчислювальний процес можна представити у вигляді r кроків, кожний з яких виконує основні операції та запам'ятовує їх значення у проміжних змінних, j=1,...,r.

Таким чином, основу алгебри диференційних кортежів і оцінки помилок округлення складає один і той же базис - формула чисельно-аналітичного диференціювання. Це дозволяє на одних і тих же обчисленнях похідних виконувати роботу по розв'язку крайових задач і одночасно враховувати помилки округлення, що дає можливість оптимізувати обчислювальний процес.

Досліджені можливості застосування методики оцінки помилок округлення для підвищення точності виконання операцій алгебри диференціальних кортежів. Побудовані інтервальні обчислювачі для арифметичних операцій зі скінченною точністю, тобто з врахуванням помилок округлення, які підвищують ефективність реалізації кортежних операцій. Наведемо приклад побудування формули для обчислення помилок округлення для операції множення двох кортежів.

Аналогічно отримуємо вирази верхньої границі помилки округлення для інших операцій кортежної алгебри. Використання інтервальних обчислювачів приводить до збільшення об'єму робіт, тому актуальними є питання паралельних реалізацій. Розглянуто розпаралелювання для алгебри диференційних кортежів та інтервальних обчислювачів, яке засноване на ярусно-паралельних формах. Побудовані паралельні операторні схеми для обчислення диференціального кортежу функції, кортежних операцій та запропонованих інтервальних обчислювачів. Розглянуті питання розпаралелювання загальної схеми вирішення крайових задач. Запропоновані підходи використовуються при проектуванні систем серії «Поле» для обчислювальних комплексів паралельної дії.

В ЧЕТВЕРТІЙ ГЛАВІ наведені результати чисельних експериментів з використанням обчислювального середовища "Поле" по визначенню надійності та ефективності розроблених методів та алгоритмів на прикладі модельних задач. Досліджено задачу Діріхле для рівняння Пуассона та змішану крайову задачу для рівняння Пуассона в двох зв'язних областях складної форми. Експериментально досліджено збіжність процесу. Застосована наступна схема чисельного експерименту:

- відповідно до розділу 2 генеруємо вихідну вибірку потужності п;

- знаходимо нечіткий розв'язок крайової задачі;

- оцінку якості розв'язку за формулою:

Аналіз результатів показав високу стійкість та експериментальну збіжність процесу.

Висновки

1. На основі теорії R-функцій та нечіткої логіки розроблені конструктивні методи та алгоритми моделювання фізико-механічних полів, які дозволяють враховувати технічні та технологічні допуски на фізичну та геометричну інформацію, похибки вимірів, помилки округлення, та на основі виявлення їх комплексного впливу на розв'язок робити експертний висновок. Запропоновані моделі фізичних полів, що враховують допуски на фізичні та геометричні дані. Методика дозволяє отримувати допуски на розв'язок за допомогою варіювання цих величин в межах заданих допусків, а потім робити експертний висновок про прийнятність знайденого розв'язку;

2. Досліджено зв'язок теорії R-функцій та нечіткої логіки. Здійснено вибір конструктивних засобів теорії R-функцій для моделювання;

3. Розглянуті підходи до застосування методів інтервальної арифметики. Побудовані інтервальні обчислювачі арифметичних операцій з врахуванням помилок округлення, які підвищують ефективність реалізації алгебри диференційних кортежів, яка лежить в основі обчислювального процесу при вирішенні крайових задач. Обчислювачі, що запропоновані, дозволяють конструювати формули для визначення верхньої межі абсолютного значення помилок, що розглядаються. Наведені приклади обчислення оцінок помилок округлення для операцій множення двох кортежів, елементу для множення, квадратного кореня, степеневої та логарифмічної функції, диференціювання суперпозиції функцій;

4. Досліджені можливості розпаралелювання обчислювального процесу на основі ярусно-паралельних форм. Побудовані паралельні операторні схеми для підвищення швидкодії. Наведені зручні для розпаралелювання обчислювальні графи для інтервальних обчислювачів, що пропонуються. Вивчені також можливості використання методів розпаралелювання при обчислюванні диференційного функції. Розглянуті різні підходи до розпаралелювання алгоритмів моделювання фізичних полів: розпаралелювання по потокам по потокам інформації, операційне розпаралелювання. Запропоновано поєднання даних підходів за допомогою використання методу послідовного поглиблення;

5. Проведений ряд чисельних експериментів по дослідженню надійності та ефективності розроблених алгоритмів та програм;

6. Результати, що отримані, застосовуються для розширення можливостей системи «Поле» на випадки вирішення крайових задач, в постановці яких суттєву роль грають допуски на фізичну та геометричну інформацію, погрішності вимірів та помилки округлення.

Основні результати дисертації опубліковані в таких роботах

алгоритм геометричний арифметичний

1. Шевченко А.Н., Тоница О.В. Моделирование физических полей с использованием теории R-функций и нечеткой логики // Методы оптимизации технических и информационных систем: Сб. науч. тр. / НАН Украины. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова - Киев, 1995. - С. 64-67.

2. Шевченко А.Н., Тоница О.В. Моделирование геометрических объектов в системах анализа физических полей // Проблемы бионики. - 1998. - Вып. 49. - С. 130-134.

3. Шевченко А.Н., Тоница О.В. Развитие интеллектуальных информационных систем анализа физических полей серии «Поле» // Проблемы бионики. - 1998. - Вып. 49. - С. 135-140.

4. Шевченко А.Н., Тоница О.В. Об одной методике моделирования реальных физико-механических полей - НАН Украины. Ин-т пробл. машиностроения - Харьков, 1996. 17 с. - деп. в ВИНИТИ 22.01.96, №241В-96.

5. Тоница О.В. Применение методов интервального анализа при решении краевых задач математической физики. - НАН Украины. Ин-т пробл. машиностроения. - Харьков, 1997. - 22 с. - деп. в ВИНИТИ 10.08.98, №2544-В98.

6. Шевченко А.Н., Тоница О.В. Высокоэффективные методы, алгоритмы и средства моделирования физико-механических полей с использованием методов теории R-функций, интервального анализа и нечеткой логики. - НАН Украины. Ин-т пробл. машиностроения. - Харьков, 1997. - 38 с. - деп. в ВИНИТИ 21.08.98, №2624-В98.

Размещено на Allbest.ru