Асимптотичні зображення розв’язків диференціальних рівнянь n-го порядку з нелінійностями типу Емдена-Фаулера

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. І.І. Мечнікова

УДК 517.925.54

Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь n-го порядку з нелінійностями типу Емдена - Фаулера

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Шебаніна Олена В'ячеславівна

Одеса 1999

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського державного університету ім.І.І.Мечнікова

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент ЄВТУХОВ В'ячеслав Михайлович, Одеський державний університет ім.І.І.Мечнікова, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: академік АН Грузії, доктор фізико-математичних наук, професор КІГУРАДЗЕ Іван Таріелович, Інститут математики ім.А.Размадзе АН Грузії, директор;

доктор фізико-математичних наук, професор ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович, Кам'янець-Подільський педагогічний університет, завідувач кафедри.

Провідна установа: Київський національний університет ім.Тараса Шевченка, кафедра інтегральних рівнянь.

Захист відбудеться “1” жовтня 1999р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 Одеського державного університету ім.І.І.Мечнікова за адресою 270026, м.Одеса, вул.Дворянська,2, ауд.73.

З дисертацією можна ознайомитись у наукові бібліотеці Одеського державного університету ім.І.І.Мечнікова (270026, м.Одеса, вул.Преображенська, 24).

Автореферат розісланий “31” серпня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.

диференціальний асимптотика кігурадзе

АНОТАЦІЯ

Дисертацію присвячено дослідженню асимптотичного поводження -розв'язків звичайних диференціальних рівнянь - го порядку, що містять у правій частині суму доданків з нелінійностями типу Емдена-Фаулера. За своїми асимптотичними властивостями множина всіх -розв'язків таких рівнянь розпадається на неперетинних класів. Для -розв'язків кожного з цих класів одержано точні асимптотичні формули при . Крім того, встановлено необхідні і достатні умови існування -розв'язків з отриманими асимптотичними зображеннями. Розроблена для даного класу рівнянь методика дослідження може бути поширена на рівняння - го порядку більш загального виду.

Ключові слова: диференціальні рівняння - го порядку з нелінійностями типу Емдена-Фаулера, асимптотичні зображення неколивних розв'язків.

АННОТАЦИЯ

Проблема изучения асимптотического поведения решений нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений традиционно занимает одно из центральных и принципиально важных мест в качественной теории дифференциальных уравнений.

В диссертации для обыкновенных дифференциальных уравнений -го порядка, содержащих в правой части сумму слагаемых с нелинейностями типа Эмдена-Фаулера, разработан подход, базирующийся на идеях, заложенных в работах И.Т.Кигурадзе, А.В. Костина и В.М.Евтухова, позволяющий описать асимптотику всех его -решений. По своим асимптотическим свойствам множество всех -решений уравнений -го порядка распадается на непересекающихся классов. Решения каждого из таких классов исследовались по следующей схеме. Сначала с использованием априорных асимптотических свойств -решений, установленных В.М. Евтуховым, рассматриваемое уравнение заменялось асимптотически эквивалентным на решениях из данного класса уравнением первого порядка, содержащего в правой части сумму слагаемых со степенными нелинейностями и общего вида переменными коэффициентами. На коэфициенты этого уравнения накладывались ограничения, допускающие применения к нему методики исследования, разработанной в работах А.В.Костина. С использованием этой методики для полученного уравнения первого порядка были установлены асимптотические представления при всех его правильных решений, а также необходимые условия существования каждого из них. Это позволило, с учетом априорных асимптотических свойств исследуемых -решений исходного уравнения, получить для них все возможные асимптотические представления и необходимые условия существования решений с такими представлениями. Вопрос о фактическом их существовании решался путем сведения к вопросу о существовании исчезающих на бесконечности решений у некоторой системы квазилинейных дифференциальных уравнений, полученной в результате преобразования, определяемого найденными асимптотическими представле-ниями. А этот вопрос в свою очередь решался на основании результатов работ А.В.Костина и В.М.Евтухова.

В результате применения указанного подхода получены все возможные асимптотические представления при для каждого из - х типов -решений рассматриваемых в диссертации уравнений. Более того, установлены необходимые и достаточные условия существования у них решений с полученными асимптотическими представлениями.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения - го порядка с нелинейностями типа Эмдена-Фаулера, асимптотические представления неколеблющихся решений.

ANNOTATION

The thesis deals with the research of the asymptotic behavior of the -solutions of the ordinary differential equations of the n-th order, which contain the sum of the addends with the nonlinearties of the Emden-Fowler type in their right part. According to its asymptotic properties the set of all -solutions of such equations can be divided into n+2 different classes. The exact asymptotic formula under are obtained for each of such solutions. Besides, the necessary and sufficient conditions for the existence of -solutions with obtained asymptotic representations are stated. The research methodic worked out for the given class may be spread onto the n-th order equations of the more ordinary type.

Key words: differential equations of the n-th order with nonlinearties of the Emden-Fowler type, asymptotic representations of the non-oscillation solutions.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У зв'язку з сучасними потребами практики все більшого значення набувають проблеми дослідження нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь. Останнім часом (див. монографію І.Т.Кігурадзе, Т.А.Чантурія ”Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений”.-М.: Наука, 1990) теорія таких рівнянь суттєво поширилася за рахунок значної кількості результатів принципового характеру. Наприклад, дано класифікацію рівнянь за осциляційними властивостями їх розв'язків, одержано ознаки існування і відсутності сингулярних, правильних, коливних, неколивних та монотонних розв'язків різних типів, отримано асимптотичні оцінки для деяких типів розв'язків в околі нескінченності та ін.

Велику роль в побудові асимптотичної теорії нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь відіграло класичне рівняння Емдена-Фаулера, окремі випадки якого виникають в багатьох галузях природознавства. Одержані для цього рівняння результати сприяли в подальшому розгляду двочлених узагальнених рівнянь типу Емдена-Фаулера другого порядку. В роботах І.Т.Кігурадзе, Т.А.Чантурія, Ш. Белогорця, Л.Б. Клебанова, О.В.Костіна, В.М. Євтухова та ін. були розроблені ефективні методи дослідження асимптотичного поводження всіх їх правильних та сингулярних розв'язків.

Для нелінійних рівнянь n-го порядку у роботах І.Т. Кігурадзе і Г.Г. Квінікадзе були одержані умови існування розв'язків із степеневою асимптотикою , а також асимптотичні оцінки для так званих кнезеровських та швидкозростаючих розв'язків.

Узагальнюючи ідею, яку було використано при дослідженні асимптотичного поводження розв'язків рівнянь типу Емдена-Фаулера другого порядку,

О.В. Костін запропонував підхід застосування формул Г. Харді

при

для отримання асимптотичних зображень такого типу комплекснозначних розв'язків, відмінних від степеневих, нелінійних рівнянь n-го порядку виду

.

Цей підхід набув подальшого розвитку у роботах В.М.Євтухова, в яких для рівняння типу Емдена-Фаулера - го порядку

,

де {1,1}, і - неперервна функція, були одержані необхідні та достатні умови існування, а також асимптотичні зображення при усіх можливих типів так званих - розв'язків.

Означення. - розв'язком рівняння - го порядку називається визначений на проміжку розв'язок , який задовольняє такі три умови:

при ;

для кожного або , або ;

існує скінченна або нескінченна границя

.

Множина всіх - розв'язків за своїми асимптотичними властивостями розпадається на неперетинних класів, з яких (особливих) не охоплюються формулами Г. Харді.

У зв'язку з вищевказаним актуальним є питання про поширення результатів В.М.Євтухова на істотно нелінійні неавтономні диференціальні рівняння більш загального виду.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках теми «Асимптотична поведінка розв'язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь», що виконується на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського державного університету ім.І.І.Мечникова згідно з координаційним планом наукових досліджень Міністерства освіти України з напрямку «Геометричні і аналітичні методи та їх застосування».

Мета і задачі дослідження. Отримати необхідні і достатні умови існування, а також асимптотичні зображення при кожного з можливих типів - розв'язків суттєво нелінійного неавтономного звичайного диференціального рівняння - го порядку

(1)

де -дійсні сталі, які задовольняють умовам

для кожного при - неперервно диференційовані функції, -<<.

Наукова новизна одержаних результатів.

На підставі методик І.Т. Кігурадзе, О.В. Костіна і В.М. Євтухова розроблено підхід для дослідження асимптотичного поводження -розв'язків істотно нелінійних неавтономних звичайних диференціальних рівнянь виду (1);

Одержано теореми про асимптотику кожного з можливих типів - розв'язків рівняння (1);

Встановлено необхідні та достатні умови існування у рівняння (1) - розв'язків з отриманими асимптотичними зображеннями.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має в основному теоретичний характер. Але результати дисертації та розроблена в ній методика дослідження можуть бути використані для вивчення асимптотичних властивостей розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь n-го порядку більш загального виду, а також дослідження конкретних нелінійних диференціальних рівнянь, які трапляються в теоретичній фізиці, механіці і т. ін.

Особистий внесок здобувача. Напрямок досліджень, постановка завдань та розробка деяких з методів дослідження належать науковому керівникові. Результати дисертації, які виносяться на захист, одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати, одержані в дисертації, доповідалися та обговорювалися на V Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1996 р.), на Всеукраїнській конференції «Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування» (Чернівці, 1996р.), на І Міжнародній науково-практичній конференції «Математика та психологія в педагогічній системі» (Технічний університет, Одеса, 1996 р.), на Міжнародній науковій конференції «Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування» (Каменець-Подільський, 1996 р.), на Міжнародній науковій конференції (треті Боголюбівські читання) «Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань» (Київ, 1997 р.), на наукових семінарах з якісної теорії диференціальних рівнянь у Московському державному університеті ім. Ломоносова (1997 р.) і в Одеському державному університеті ім І.І. Мечникова.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 наукових роботах. У 5-ти роботах, написаних у співавторстві з науковим керівником, В.М.Євтухову належать постановка завдань та напрямок досліджень, а конкретні результати отримані здобувачем самостійно.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку та списку цитованої літератури, що містить 100 найменувань. Загальний обсяг роботи - 149 сторінок машинописного тексту.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі стисло висвітлюється стан наукової проблеми за темою дисертації, обгрунтовується актуальність теми, дається загальна характеристика роботи і формулюються основні результати, одержані автором.

В першому розділі дано огляд літератури, в якому окреслено основні етапи розвитку асимптотичної теорії диференціальних рівнянь з нелінійностями типу Емдена-Фаулера і проаналізовано розроблені для такого типу рівнянь методи дослідження. З використанням цих методів і доведених лем про асимптотику розв'язків одного класу нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку обґрунтовано підхід для дослідження основного об'єкта дисертації. Йому присвячено наступні три розділи роботи. Тут використовуються такі допоміжні позначення:

, , ;

;

; ),

Асимптотичні властивості - розвязків рівняння (1), для яких , вивчаються у випадках, коли для кожної фіксованої пари (i, j) J при деякому виконуються такі дві умови:

S l.1) функції

є асимптотично порівнюваними при ;

Sl.2) функція

відмінна від нуля у деякому лівому околі і для головного елемента системи функцій з S l.1) існує скінченна або рівна границя

.

- розвязки, для яких , досліджуються у випадку, коли і для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови:

S0.1) функції



є асимптотично порівнюваними при ;

S0.2) для головного елементу системи функцій з S0.1) існує скінченна або рівна границя

де .

Головним елементом системи функцій будемо називати функцію , для якої при кожному .

- розв'язкам рівняння (1), для яких та , присвячено теореми 2.1-2.7.

Теорема 2.1. Нехай і для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sn.1) та Sn.2). Тоді будь-який додатний -розв'язок рівняння (1), для якого , допускає при асимптотичні зображення виду

(2)

де має при одне з зображень:

, (3)

, (4)

де - відмінна від нуля стала, ,

.

Теорема 2.2. Нехай і для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sn.1) та Sn.2). Тоді будь-який додатний -розв'язок рівняння (1), для якого , допускає при асимптотичні зображення виду

(5)

де має при одне з зображень:

, (6)

, (7)

де - відміна від нуля стала,,

.

В теоремах 2.3-2.7 встановлюються необхідні і достатні умови існування у рівняння (1) розв'язків з асимптотичними зображеннями (2)-(3); (2),(4); (5)-(6); (5), (7).

Теорема 2.3. Нехай при для деякої фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sn.1), Sn.2) і при існує скінченна або рівна границя . Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв'язків з , які допускають при асимптотичні зображення (2)-(3), необхідно, щоб

, (8)

, (9)

, . (10)

Якщо ж для деякого поряд з умовами (8)-(10) алгебраїчне рівняння

,

,

не має коренів з нульовою дійсною частиною і при , то у рівняння (1) існує - розв'язок вказаного типу.

Теорема 2.4. Нехай виконуються умови теореми 2.1. Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв'язків з , які допускають при асимптотичні зображення (2), (4) і відрізняються від розв'язків з зображеннями (2), (3), необхідно, щоб виконувались умови:

при ;

при будь-якому ;

,

де та визначається аналогічно .

Якщо ж для деякого поряд з цими умовами алгебраїчне рівняння

,

не має коренів з нульовою дійсною частиною, то у рівняння (1) існує -розв'язок з асимптотиками (2), (4).

Теорема 2.5 Нехай при для деякої фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sn.1), Sn.2) і при існує скінченна або рівна границя . Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв'язків, для яких , що допускають при асимптотичні зображення (5), (6), необхідно, щоб виконувались умови

, , (11)

, (12)

при (13)

(14)

Теорема 2.6. Нехай виконуються всі умови теореми 2.5, а також умови (11)-(14). Тоді: 1) якщо і, то у рівняння (1) існуює -розв'язок, який допускає при асимптотичні зображення (4), (5); 2) якщо , алгебраїчне рівняння

,

, ,

не має коренів з нульовою дійсною частиною, то у рівняння (1) існує - розв'язок з асимптотиками (4), (5).

Теорема 2.7. Нехай виконуються умови теореми 2.2. Тоді для існування у рівняння (1) додатних - розв'язків, які допускають при асимптотичні зображення (4), (6), що відрізняються від зображень (4), (5), для яких , необхідно і достатньо, щоб для деякого виконувались умови:

при , .

для будь-якого ,

,

де і визначається аналогічно .

Результати дослідження асимптотичної поведінки -розв'язків рівняння (1), для яких , де , містяться у теоремах 3.1-3.6.

Теорема 3.1. Нехай , і для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sl.1) та Sl.2). Тоді будь-який додатний -розв'язок рівняння (1), для якого , допускає при або асимптотичні зображення виду

(15)

,

або асимптотичні зображення

,

,

де - відміна від нуля стала,

,

,

.

Більш того, якщо , то для похідних -розв'язків з асимптотиками (15) мають місце при асимптотичні співвідношення:

,

.

При доводиться теорема 3.2, що кожен -розв'язок, для якого , допускає при одне з зображень (15) або (16) при у випадку, коли для цього розв'язку існує скінченна або рівна границя

.

Далі встановлюються (теореми 3.3-3.6) необхідні і достатні умови існування у рівняння (1) -розв'язків з асимптотичними зображеннями (15), (16) ().

Для прикладу сформулюємо дві з них.

Теорема 3.3. Нехай і для деякої фіксованої пари (i, j) J виконуються умови Sl.1), Sl.2). Нехай, крім того, . Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв'язків, для яких і мають місце при асимптотичні зображення (15), (17), необхідно, щоб виконувались умови

, ,

при ;

де і визначений так, щоб відповідний інтеграл прямував або до 0, або до при . Якщо ж поряд з цими умовами

,

то рівняння (1) має -розв'язок з асмптотиками (15), (17).

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови теореми 3.1. Тоді для існування у рівняння (1) додатних -розв'язків, для яких , що допускають при асимптотичні зображення (16) і відрізняються від розв'язків з зображеннями (15), (17), необхідно і достатньо, щоб

,

для будь-якого ,

,

де границя інтегрування (- будь-яке число з проміжку ) і вибрана таким чином, щоб інтеграл прямував або до 0, або до при .

Асимптотична поведінка -розв'язків, для яких досліджується у випадку рівняння

. (18)

Тут також, як і раніше, спочатку встановлюється теорема 4.1 про всі можливі асимптотичні зображення -розв'язків рівняння (18), для яких , а потім вирішується питання (теореми 4.2-4.3) про фактичне існування у нього розв'язків з одержаними асимптотичними зображеннями.

Теорема 4.1. Нехай для кожної фіксованої пари (i, j) J виконуються умови S0.1), S0.2) і при цьому . Тоді будь-який додатний -розв'язок рівняння (18), для якого , допускає при або асимптотичні зображення

, (i, j) J,(19)

або зображення виду

, (20)

де сij, при n- непарному, при n- парному і границя інтегрування вибрана так, щоб відповідний інтеграл прямував при або до 0, або до .

Теорема 4.2. Нехай для будь-якої фіксованої пари (i, j) J виконуються умови S0.1), S0.2) і при цьому . Тоді для існування додатних -розвязків рівняння (18), для яких і мають місце при асимптотичні зображення (19), необхідно виконання умов:

, , ,(21)

, , (22)

де , якщо n- парне число і , якщо n- непарне число, а та вибрано так, щоб відповідні інтеграли прямували при або до 0, або до .

Більш того, якщо поряд з умовами (21)-(22) алгебраїчне рівняння

,

,

не має коренів з нульовою дійсною частиною, то у рівняння (18) існує - розв'язок вказаного типу.

Теорема 4.3. Нехай виконуються умови теореми 4.1. Тоді для існування додатних -розвязків рівняння (18), для яких і мають місце при асимптотичні зображення (20), відмінні від зображень (19), необхідно, щоб для деякого у випадку парного n і виконувались умови:

при , (23)

при будь-якому , (24)

, (25)

де границі інтегрування і вибрані так, щоб відповідні інтеграли прямували при або до 0, або до .

Більш того, якщо для деякого поряд з умовами (23)-(25) алгебраїчне рівняння , не має коренів з нульовою дійсною частиною, то у рівняння (18) існує - розв'язок виду (20).

ВИСНОВКИ

З використанням ідей О.В. Костіна і В.М. Євтухова запропоновано і обґрунтовано методику дослідження асимптотичного поводження -розв'язків істотно нелінійних диференціального рівняння n-го порядку виду (1).

2. Доведено теореми про асимптотичні зображення при всіх можливих типів -розв'язків рівняння (1).

3. Отримано необхідні та достатні умови існування у рівняння (1) -розв'язків з одержаними асимптотичними зображеннями.

4. При вперше одержано результати про асимптотику -розв'язків з умовою .

5. У випадку і перетину класів рівнянь, розглянутих в дисертації і в працях О.В.Костіна, для -розв'язків з умовою одержано не тільки достатні, але і необхідні умови їх існування. При цьому для таких розв'язків отримано асимптотичні зображення нового виду. Більш детально досліджено розв'язки з умовою . Деякі з випадків розглянуто при слабіших обмеженнях на гладкість коефіцієнтів рівняння.

6. При результати дисертації є новими і дозволяють описати асимптотику не тільки правильних, але і сингулярних розв'язків рівняння (1).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Шебаніна О. В. Об асимптотическом поведении решений одного нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложение. Сб.научн.тр. НАН Украины.-К., 1996.-С. 275-276.

2. Шебаніна О. В., Євтухов В. М. К вопросу об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка // Дифференциальные уравнения.-1997.-т.33, № 6.- С.858.

3. Шебаніна О. В. Асимптотика решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка// Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения. Сб.научн.тр. НАН Украины.-К., 1997.-С. 233-236.

4. Shebanina E. V., Evtukhov V. M. Asymptotic behaviour of solutions of n-th order differential equations// Mem. Differential Equations Math. Phys. Tbilisi.-1998.- V.13.-P.150-153.

5. Шебанина Е. В. Асимптотические представления монотонных решений дифференциальных уравнений n -го порядка с нелинейностями типа Эмдена-Фаулера //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб.научн.тр. НАН Украины.- К., 1999.-С.270-274.

6. Шебаніна О. В., Євтухов В. М. Об асимптотике правильных решений некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка.//Математика и психология в педагогической системе «Технический университет» Сб.ст. 1-й Международной научно-практической конференции.- Одесса, 1996.-Ч.1.-С.33-35.

7. Шебаніна О. В. Асимптотическое поведение решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка// Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування: Всеукраїнська конференція, 1996. м.Чернівці.-Київ, 1996. - С.198.

8. Шебаніна О. В., Євтухов В. М. Асимптотическое поведение решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка //V Міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука. - К., 1996. - С.135.

9. Шебаніна О. В. Правильні монотонні розв'язки одного класу нелінійних диференціальних рівнянь n-го порядку//Перспективні напрями розвитку АПК Причорноморського регіону: Тези доповідей обласної науково-практичної конференції. - Миколаїв, 1996. -С. 101-102.

10. Шебаніна О. В., Євтухов В. М. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка// Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань: Міжнародна конференція, Треті Боголюбівські читання.- К.-1997.-С.55.

Размещено на Allbest.ru

...