Еволюція вільних поверхней, зв’язаних з розв’язками квазілінійних параболічних рівнянь довільного порядку, що вироджуються

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 517.9

Еволюція вільних поверхней, зв'язаних з розв'язками квазілінійних параболічних рівнянь довільного порядку, що вироджуються

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Щелков Андрій Георгійович

Донецьк 1999

Дисертацією є рукопис.

Работа виконена в Інституті прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк.

Захист відбудеться “ 22 ” ______жовтня___ 1999 року о _17__ годині на засіданні спеціалізованної вченої ради Д 11.193.01 в Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, м.Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74, аудиторія 309.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (340114, м.Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74).

Автореферат розісланий “ _18__ ” ____вересня___________ 1999 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ковалевський О.А.

iнерцiя локалiзацiя нейман

АНОТАЦIЯ

Щелков А.Г. Еволюцiя вiльних поверхней, зв'язаних з розв'язками квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь довiльного порядку, що вироджуються.-Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01. 01. 02 - диференцiальнi рiвняння.-Iнститут прикладної математики i механіки НАН України, Донецьк, 1999.

Дисертацiя присвячена дослiдженню властивостей загальних параболiчних рiвнянь, характерною особливiстю яких є подвiйне виродження. Основнi результати роботи полягають у наступному:

Одержано точнi умови наявностi властивостей iнерцiя та зменшення розмiрiв носiя.

Отримано оцiнки, якi повнiстю описують стартовий рух носiя розв'язку в залежностi вiд локальних властивостей початковоі функцiї.

Отримано умови, якi гарантують наявнiсть локалiзацiї та обмеженість розв'язків задач Коши-Неймана для параболiчних рiвнянь загального виду, у випадку, коли гранична функцiя необмежено зростає з ростом часу до деякого фіксованого Т.

Зменшено умови на регулярнiсть граничної функцiї, якi також гарантують ефекти , перерахованi у пункті 3).

Узагальнено результати про обмеженість розв'язку задачi Кошi-Неймана для класичного рiвняння теплопровiдностi майже всюди в будь-якій строго внунрiшної підобластi у випадку граничного режиму з загостренням.

Результати дисертацiї мають теоретичний характер. Вони можуть бути використанi для порiвняльного аналiзу рiзних властивостей розвязків загальних параболiчних задач.

Ключовi слова: параболiчнi рiвняння, дифузiя, абсорбцiя, стартовий рух, режими з загостренням, локалiзацiя, обмеженiсть.

Щелков А.Г. Эволюция свободных поверхностей, связанных с решениями квазилинейных вырождающихся параболических уравнений произвольного порядка. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 01. 02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1999.

В диссертации изучается вопрос о том, каким образом локальные свойства некоторой интегральной нормы начальной функции (при различных соотношениях на параметры уравнения) влияют на характер движения границы носителя решения вырождающегося параболического уравнения произвольного порядка при малых значениях времени. Как оказалось, при достаточно сильном поглощении тепла (в терминах уравнения теплопроводности) для уравнения типа “медленной” диффузии существуют "критические" ограничения на поведение этой нормы, такие, что носитель либо уменьшается, либо остается неподвижным, либо начинает двигаться в сторону своего увеличения. Даны оценки стартовой скорости движения границы носителя. Как следствие получен такой результат: если носитель начальной функции компактен, то носитель решения сначала будет расширяться, а затем начнет сужаться, то есть решение будет обладать свойством, аналогичным свойству решения Р.Кершнера. Это означает, что решение не распространится далее некоторого шара конечного радиуса (эффект локализации) и даже обратится в нуль за конечный промежуток времени. При других значениях на параметры уравнения, однако также при q<p (“медленная” диффузия) найдены условия на поведение начальной функции, которые обеспечивают инерцию решения, и также описаны стартовые оценки скорости изменения границы носителя. Для уравнения типа “быстрой” диффузии найдены условия, гарантирующие обратное движение фронта и инерцию решения.

В рамках поставленной проблематики особый интерес представляет следующий вопрос: какими свойствами будет обладать решение смешанной задачи, если на границе оно изменяется в так называемом режиме с обострением, то есть "обращается" в бесконечность в некоторый конечный момент времени T (T-момент обострения ). Как оказалось, несмотря на неограниченное возрастание граничной функции, задача может обладать свойствами локализации и инерции, и даже более того решение может быть ограниченным в любой строго внутренней подобласти исходной области для почти всех значений времени. Нахождение точных условий локализации и описание структуры множества ограниченности решения являются основными вопросами в данной тематике. В диссертации получен ряд результатов в этом направлении. Найден, например, “предельный” рост граничной функции, при котором решение задачи Коши-Неймана для общего квазилинейного параболического уравнения второго порядка еще будет локализовано и его множество сингулярности сосредоточено на границе. При наличии “сильного” поглощения аналогичные результаты имеют место при любом росте граничной функции. Также рассмотрен случай уравнения, которое включает в себя классическое уравнение теплопроводности, для которого найдены ограничения на рост граничной функции, гарантирующие, что множество сингулярности решения задачи Коши-Неймана сосредоточено на границе исходной области.

Таким образом, в диссертации получены следующие результаты. Установлены точные оценки наличия свойств инерции и уменьшения размеров носителя, оценки, которые полностью описывают стартовое движение границы носителя в зависимости от локальных свойств начальной функции в случае уравнений быстрой и медленной диффузии. Получены условия, которые гарантируют наличие локализации и ограниченности решений задач Коши-Неймана для параболических уравнений общего вида, в случае, когда граничная функция неограниченно возрастает с ростом времени. Уменьшены условия на регулярность граничной функции, которые тоже гарантируют эффекты, перечисленные выше. Получены результаты об ограниченности решения задачи Коши-Неймана для некоторого обобщения классического уравнения теплопроводности почти всюду в любой строго внутренней подобласти в случае граничных режимов с обострением.

Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для сравнительного анализа различных свойств решений общих параболических задач.

Ключевые слова: параболические уравнения, диффузия, абсорбция, стартовое движение, режимы с обострением, локализация, ограниченность.

Shchelkov A.G. Evolution of free surfaces that connected with solutions of quasilinear degenerate parabolic equations of arbitrary order.-Manuscript.

Thesis for the degree of Candidate of Science in Physics and Mathematics; speciality 01.01.02-differential equations, Institute of Applied Mathematics and Mechanics of Nat.Ac.Sci. of Ukraine, Donetsk,1999.

The thesis is devoted to the study of properties of generalized parabolic equations with double degeneration. Exact conditions for appearing "inertia", decreasing of sizes of support and estimates that describe the starting rate for moving of support's boundary are obtained. The conditions that guaranteing appearance of localization and boundedness of solutions generalized parabolic equations with double degeneration if boundary function is peaking are obtained. The conditions on regularity of boundary function for such problems are decreased. The results on boundedness of solutions Cauchy-Neumann problem for some generalization of classic heat equation for regime with peaking are obtained as well. These results make it possible to investigate some properties of different parabolic equations.

Key words: parabolic equations, diffusion, absorption, starting move, regimes with peaking, localization, boundedness.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬНIСТЬ ТЕМИ. Робота присвячена вивченню питаннь, зв'язаних з дослідженням поведінки узагальнених розв'язків задачі Коші та граничних задач для квазілінійних параболічних рівняннь с подвійним виродженням, як другого, так і більш високих порядків, що визначається важливістю таких рівнянь при опису різноманітних фізичних явищ. Початок у цьому напрямку було покладено роботами Г.І.Баренблатта, де уперше поставлено питання про вивчення поведінки межі носія узагальненого розв'язку рівняння нелінійной фільтраціі (або теплопровідності). Для такого рівняння при деяких співвідношеннях на параметри фільтраціі було виявлено клас розв'язків, носій яких розповсюджуєтся зі скінченною швидкістю. Якщо рівняння володіє таким розв'язком, то кажуть, що має місто кінцева швидкість розповсюдження збурювань (КШРЗ). Дослідженням КШРЗ присвячені роботи таких авторів, як О.А.Олійник, А.С.Калашніков, Чжоу-Юй-Лінь, Р.Кершнер, С.М.Антонцев, С.И.Шмарев, J.I.Diaz, L.Veron та інші для рівнянь другого порядку, А.Є.Шишков, F.Bernis для рівнянь високого порядку. Як виявилось, швидкість росту температури (в термінах рівняння теплопровідності) у будь-якій точці середовища залежить від просторового профілю в околі цієї точки. Якщо профіль в достатній мірі “увігнутий”, то температура може не змінюватися або слабко змінюватися за деякий час в межах кордону. Якщо рівняння володіє таким розв'язком, то кажуть, що має місто ефект інерції (скінченної або нескінченної). Таким чином, факт наявності інерції залежить від поведінки початкової функції в меншій межі кордону носія. Уперше дослідження ефекту інерції проводилось у роботі А.А.Самарського, І.М.Соболя, потім у роботах А.С.Калашнікова, Р.Кершнера, L.A.Peletier. Для рівняння типу “повільної” дифузії при наявності поглинання ефект інерції вивчався в роботах таких авторів, як А.С.Калашніков, Р.Кершнер, Ю.Г.Риков, С.М.Антонцев, A.Friedman, M.A.Herrero, J.I.Diaz, L.Veron та інші. В цих роботах, а також у роботах інших авторів отримані оцінки часу затримки.

При досить сильному поглинанні може статися так, що навіть за нескінченний проміжок часу тепло проникне лише на кінцеву відстань (ефект локалізації). Більш того, воно може привести до зворотнього руху фронту (ЗРФ), та навіть до повного зникнення розв'язку (або стабілізації у термінології Калашнікова). Локалізація в задачі Коші була встановлена в роботах Л.К.Мартінсона, К.Б.Павлова, потім А.С.Калашнікова, B.F.Knerr, та інших, де також отримані критерії її існування. ЗРФ вивчався, наприклад, Р.Кершнером для рівнянь другого порядку, А.Є.Шишковим для рівнянь високого порядку. Ефект стабілізації вивчався у роботах А.С.Калашнікова, M.A.Herrero, A.Friedman, J.L.Vazquez та інших. Крім того, було виявлено, що в цій ситуації можлива більш ускладнена еволюція носія, а саме, при деяких обмеженнях на поведінку початкової функції та на параметри рівняння носій розв'язку спочатку буде розширюватися, а потім звужуватися аж до повного зникнення (у випадку, якщо носій початковоі функціі був компактним). Такій розв'язок в одномірному випадку отримано Р.Кершнером, його багатомірна аналогія знайдена Л.К.Мартінсоном. Зауважимо, що дослідження проводилось лише для рівнянь другого порядку, якщо інше не оговорено особисто.

Для рівняння типу “швидкої” дифузії з поглинанням високого порядку факти наявності інерції та ЗРФ були виявлени А.Є.Шишковим при “інтенсивному” поглинанні та достатньо увігнутому профілі деякої інтегральної норми початковоі функціі в межах кордону. Актуальним є опис стартової поведінки узагальненого розв'язку квазілінійного параболічного рівняння довільного порядку в залежності від локальних властивостей початковоі функції та параметрів рівняння. Ряд результатів у цьому напрямку отримано у першому розділі.

Останнім часом активному вивченню підлягають мішані задачі для різних класів параболічних рівнянь другого порядку у припущенні, що розв'язок “змінюється” на межі у так званому граничному режимі з загостренням, тобто гранична функція нескінченно зростає у деякому розумінні, якщо час t прямує до часу загострення T. Співвідношення між темпами підводу енергії та властивостями середовища визначають поведінку розв'язку. Як виявилося, швидкість поступу енергії з границі може бути так погоджена з внутрішними властивостями середовища, що тепло буде розповсюдживатись рівномірно по всьому профілю. При більш повільному підведенні енергії тепло зосереджуєтся поблизу кордону, та може бути локалізованим у деякої кулі кінцевого радіусу.

Знаходження умов локалізації та опис структури множини нескінченності розв'язку є основними питаннями в межах цієї тематики. Первісно таке вивчення проводилось на прикладах задачі Коші-Діріхле для одномірного модельного рівняння нелінійної теплопровідності (А.А.Самарський, В.А.Галактіонов, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов), для якого отримано критерій локалізації при “жорстких” умовах на граничну функцію. Ослаблення цих умов було здійснено в роботі B.H.Gilding, M.A.Herrero. Узагальнення отриманих результатів для задачі Коші-Неймана було проведено в роботі C.Cortazar, M.Elgueta, в якій також отримані критерії локалізації та обмеженності розв'язку у будь-якій строго внутрішній підобласті. В роботі B.H.Gilding, J.Goncerzewicz отриманий більш сильний критерій обмеженості розв'язку задачі Коші-Неймана, та також зроблени узагальнення на багатовимірний випадок. Дослідженням граничних режимів з загостренням в задачі Коші-Діріхлє для рівняння нелінійной теплопровідності з поглинанням та деякого його узагальнення проводилось у роботах У.Г.Абдулаєва.

В зв'язку з цим актуальним є подальше вивчення більш загальних параболічних рівнянь з менш регулярними умовами на граничну функцію та опис поведінки розв'язку задачі Коші-Неймана. В другому та третьому розділах у цьому напрямку отримано ряд результатів. В четвертому розділі таке дослідження проводилось для деякого узагальнення класичного рівняння теплопровідності при відсутності поглинання, також при ослабленні умов на гладкість граничної функції.

НАУКОВА НОВІЗНА. Дисертація присвячена дослідженню властивостей загальних параболічних рівнянь, характерною особливістю яких є подвійне виродження. Основні результати роботи полягають у наступному:

1) одержано точнi умови наявностi властивостей iнерцiя та зменшення розмiрiв носiя; 2) отримано оцiнки, якi повнiстю описують стартовий рух носiя розв'язку в залежностi вiд локальних властивостей початкової функцiї; 3) отримано умови, якi гарантують наявнiсть локалiзацiї та обмеженостi розв'язків задачі Коши-Неймана для параболiчних рiвнянь загального вигляду, у випадку, коли гранична функцiя необмежено зростає із зростанням часу до деякого фіксованого Т; 4) зменшено умови на регулярнiсть граничної функцiї, якi також гарантують ефекти , перерахованi у пункту 3); 5) узагальнено результати про обмеженість розв'язку задачi Кошi-Неймана для рівняння, яке включає до себе класичне рiвняння теплопровiдностi, майже скрізь в будь-якої строго внутрiшньої підобластi у випадку граничного режиму з загостренням.

Всі результати одержано автором особисто. Вони є новими і строго обгрунтованими. Основні результати роботи впливають на подальший розвиток досліджень властивостей розв'язків різних параболічних задач.

ТЕОРЕТИЧНЕ ТА ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕННЯ. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для порівняльного аналізу різних властивостей розв'язків загальних параболічних задач, що вироджуються.

ЗВ'ЯЗОК З ПЛАНАМИ НАУКОВО-ДОСЛІДНИХ РОБІТ ІНСТИТУТУ. Дослідження по дисертації проводились у 1993-1998 роках і були передбачені планами наукових досліджень відділів нелінійного аналізу та рівнянь у частинних похідних Інституту прикладної математики та механики НАН України.

ПУБЛІКАЦІЇ. За темою дисертації опубліковано 5 друкованих праць, в тому числі 4 в статтях наукових журналів та 1 у матеріалах міжнародної конференції.

ОСОБИСТИЙ ВНЕСОК ЗДОБУВАЧА. В роботах, що надруковані у співавторстві здобувачу належать такі результати. В роботі [2] - доказ теорем 1,3,4,5 за виключенням лемм 3.1, 3.2. В роботі [3] - доказ пунктів 3) в теремах 1-4. В роботі [5] - доказ теореми 2.

АПРОБАЦІЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ДИСЕРТАЦІЇ. Основні результати дисертації доповідалися на:

- Міжнародній конф. “ Nonlinear Partial Differential equations”, Kиїв, серпень 1997,

- вузовський конференції ДонДУ ” Математика, физика, экология.” Донецьк, травень 1997,

- семінарах відділів нелінійного аналізу та рівнянь у частинних похідних ІПММ НАН України (Донецьк, кер. академік. НАН України І.В.Скрипник).

СТРУКТУРА ТА ОБСЯГ ДИСЕРТАЦІЇ. Робота викладена на 137 сторінцях та складається зі вступу, чотирьох розділів та списку літератури із 59 найменуваннь.

2. ОСНОВНОЙ ЗМIСТ

У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми дисертацiйної роботи, мета та задачi дослiдження, огляд робiт, пов'язаних з цiєю тематикою, окреслюються основнi етапи розвитку наукової думки у даннiй галузi.

В першому роздiлi дослiджується стартовий рух межi носiя розв'язку наступноi задачi Кошi:

q>0, (1)

u(0,x) =(x) , supp (x) = (2)

де , каратеодорiйовi функцiї задовiльняють умови коерцитивностi i зростання

(3)

(4)

(5)

N(m) позначае кiлькiсть рiзних n-мiрних мультiiндексiв довжини не бiльш нiж m. В параграфi 1.1 подаеться постанова задачi. В параграфi 1.2 сформульовано результати, якi описують стартовий рух межi носiя узагальненого розвязку задачi (1), (2) в залежностi вiд спiввiдношень на параметри рiвняння та вiд поведiнки функцii:

f(s)=

Наприклад, сформульована наступна

Теорема 1. Нехай виконено умови (3)-(5) i 0<<q<p.

Тодi для будь-якого розв'язку u(x,t) задачi (1), (2) iснують числа k_0,k_1, 0<k_0<k_1< и T_1:0<T_1<T такi, що

1) коли f(s) < тодi supp u(t, . ) =0 t>0, де S =c_1[ f(C_1t)], 0<C_1,c_1;

2) коли f(s) < 0<s<s_0, тодi supp u(t, . ) =0 t>0, де S =0

3) коли f(s) =тодi, де s=s( t)

Як наслiдок отримано такi результати:

А) Якщо u_0(x), тодi с деякой l_0<.

B) Якщо

Також у випадку компактностi носiя початковоi функцii показано, що носiй самого розв'язку почне спочатку розширюватися, а потiм звужуватися, доки не перетвореться в тотожний нуль. Такою властивостю володiе, наприклад, розв'язок Кершнера. Крiм того, у цьому параграфi сформульовано аналогiчнi теореми у випадках

0<q<p,

0<q<=p,

0<q<p<.

В параграфi 1.3 доводяться деякi техничнi леми, якi використовуються на протязi роздiлу.

В параграфi 1.4 проводиться доказ перерахованих теорем на основi аналiзу деяких лем, якi э аналогамi лем, що виражають принцип Сен-Венана в теорii пружностi.

В параграфi 1.5 дослiджуються ефекти iнерцii та зворотнього руху фронту розв'язкiв так званих рiвняннь швидкоi дифузii з абсорбцiею. Доведена така

Теорема 2.

Нехай в умовах Теореми 1 виконано 0<<p<=q.

Тодi iснують такi k_2,k_3:0<k_2,k_3<;T_1<T, що

1) коли f(s) <, то iснують константи 0<C_1,c_0 i монотонна, неперервна функцiя s(t), такi, що supp u(t, . ) =0 t>0, де S =c_1[ f(C_1t)], 0<C_1,c_1;

2) коли f(s) < 0<s<s_0, тодi supp u(t, . ) =0 t>0, де S =0

Таким чином повнiстю описаний стартовий рух межi носiя узагальненого розв'язку задачi (1), (2).

В другому роздiлi розглядаються так званi граничнi режими з загостренням.

При дослiдженнi таких режимiв основними питаннями е знаходження точних умов локалiзацii розв'язку та опис структури його множини необмеженостi.

В параграфi 2.1 окреслюються основнi етапи розвитку науковоi думки у цi i галузi.

В параграфi 2.2 розглядуеться початково-крайова задача в областi Q=(0,T) де нранична функцiя f е слiдом на деякоi f(t,x) такоi, що Поведiнку граничного режиму будемо характеризувати функцiею

Нехай

Теорема 3. Нехай виконано усi перерахованi умови на заданi функцii задачi.

Нехай 0<q<p тодi iснуе R_0=R_0( n, p, q, d,||u_0||): таке, що, коли в умовах задачi R задовiльняе R>R_0, та то

Теорема 4. Нехай виконано умови Теореми 3.

Тодi для будь-якоi строго внутрiшньоi пiдобластi.

В параграфi 2.3 доведено цi теореми.

Таким чином, знайдено умови, якi гарантують локалiзацiю та обмеженість розв'язку. Точнiсть цих умов пiдтверджуется результатами А.А.Самарського, В.А.Галактiонова, B.H.Gilding, M.A.Herrero.

В третьому роздiлi розглядаються граничнi режими з загостренням у випадку наявностi абсорбцii.

В параграфi 3.1 розглядаеться навчально-крайова задача в области

Функцiя, вiдповiдна за поглинання, задовільне У.Г.Абдулаевим для менш загального рiвняння було доведено, що умова достатня для локалiзацii та обмеженостi розв'язку при будь-якому зростанні граничноi функцii, але при достатньо "жорстких" умовах на ii регулярнiсть.

В параграфi 3.2 сформульований аналогiчний результат для бiльш загального рiвняння з менш регулярними умовами на граничну функцiю.

Теорема 5 Нехай виконано усi перерахованi умови на заданi функцii задачi.

Нехайтодi iснуе R_0=R_0( n, p, q, d,|| u_0||, 1<R_0 таке, що, коли в умовах задачi R задовiльняе R>R_0, то при будь-якому зростаннi граничноi функцii (тобто при будь-якому зростаннi функцii F(t))

Теорема 6. Нехай виконано умови теореми 5. Тодi для будь-якоi строго внутрiшноi подобластi G.

В параграфi 3.3 доведено цi результати.

Таким чином у третьому роздiлi доведено, що при будь-якому зростаннi граничноi функцii (тобто при будь-якому зростаннi функцii F(t)) розв'язок буде локалiзований у кулi скiнченного радiуса та обмежений у цьому кулi.

Важливою частиною дослiджень, що проводилися у другому та третьому роздiлах, е намагання отримати аналогiчнi результати у критичному випадку

$p=q$ в задачах з загостренням. В четвертому роздiлi одержано результати про обмеженiсть узагальненого розв'язку у цьому випадку.

Теорема 7.Нехай 0<q=p тодi iснуе R_0=R_0( n, p, d,|| u_0||, 1<R_0 таке, що, коли в умовах задачi R задовiльняе R>R_0, то, якщо де то

Таким чином, у четвертому роздiлi отримано критичний режим з загостренням, при якому розвязок рiвняння, яке включае до себе класичне рiвняння теплопровiдностi, буде обмеженим в будь-якоi строго внутрiшньоi пiдобластi початковоi областi.

ВИСНОВКИ

Одержано точнi умови наявностi властивостей iнерцiї та зменшення розмiрiв носiя.

Отримано оцiнки, якi повнiстю описують стартовий рух носiя розв'язку в залежностi вiд локальних властивостей початкової функцiї.

Отримано умови, якi гарантують наявнiсть локалiзацiї та обмеженість розв'язків задач Коши-Неймана для параболiчних рiвнянь загального вигляду, у випадку, коли гранична функцiя необмежено зростає із зростанням часу до деякого фіксованого Т.

Зменшено умови на регулярнiсть граничної функцiї, якi також гарантують ефекти , перерахованi у пункті 3).

Узагальнено результати про обмеженість розв'язку задачi Кошi-Неймана для рівняння, яке включає до себе класичне рiвняння теплопровiдностi, майже скрізь в будь-якій строго внутрiшньої підобластi у випадку граничного режиму з загостренням.

Всi результати одержано автором особисто. Вони є новими i докладно обгрунтованими. Основнi результати роботи впливають на подальший розвиток дослiджень властивостей розв'язків рiзних параболiчних задач.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Shchelkov A. G. Regime with peaking for quasilinear parabolic equations of higher order with absorption. \ Book of Abstracts of International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations", Kiev, August 1997.

2. Шишков А. Е., Щелков А.Г. Динамика носителей энергетических решений смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка. \ Известия РАН, сер. Мат., N3. 1998 с.175-201.

3. Шишков А.Е., Щелков А.Г. Начальная эволюция носителей решений задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка. \ Труды ИПММ НАН Украины "Моделирование непрерывных и дискретных систем" том2, 1998, с.148-158.

4. Щелков А.Г. Неограниченные граничные режимы в задачах для квазилинейных параболических уравнений с абсорбцией. \ Труды ИПММ НАН Украины "Моделирование непрерывных и дискретных систем" том2, 1998, с.158-167.

5. Шишков A.E., Щелков A.Г. Граничные режимы с обострением для общих квазилинейных параболических уравнений в многомерных областях. \ Мат. сб. 1999, №3, стр. 129-160.

Размещено на Allbest.ru