Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗМІСТ

• ВСТУП
• РОЗДІЛ 1
• ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА
• 1.1. Оригінал та зображення
• 1.2. Властивості перетворення Лапласа
• 1.3. Обчислення перетворення Лапласа основних функцій
• 1.4. Обернене перетворення Лапласа
• 1.5. Приклади розв'язання базових задач
• РОЗДІЛ 2
• ПРО НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВОЇ ТРИВИМІРНОЇ ЗАДАЧІ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ З ВИКОРИСТАННЯМ МЕТОДУ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
• ВИСНОВКИ
• СПИСОК ДЖЕРЕЛ ТА ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Перетворення Лапласа використовується в операційному зчисленні, яке застосовується для рішення лінійних диференціальних рівнянь звичайних і з частками похідними, диференційно-різницевих рівнянь н лінійних інтегральних рівнянь типу згортки. До цих рівнянь приводяться задачі по перехідних процесах лінійних фізичних систем електротехніки, радіотехніки, імпульсної техніки, теорії автоматичного регулювання й інших галузей науки н техніки.

Перетворення

де k (t,p) - ядро перетворення, називається інтегральним; його вид і характер задач, до яких воно застосовано, залежать від вибору ядра і меж інтегрування. Якщь k (t, р) = е^-pt, а = - ? і b = ?, те одержимо перетворення Лапласа

яке перетворює визначений клас функцій-оригіналів f(t) дійсного перемінного t у функції-зображення F (р) комплексного перемінного р. [1]

РОЗДІЛ 1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА

1.1 Оригінал та зображення

Оригіналом називається комплексна функція f (t) = u (t) + іv (t) дійсного перемінного t, що задовольняє умовам:

1) f(t) - однозначна безперервна або кусочно-непреривна функція разом зі своїми похідними n-го порядку в інтервалі (-?;?);

2) f(t) =0 при t<0;

3) існують такі числа М > 0 і s > 0, що для всіх t > 0

Число s₀ ? 0, для якого нерівність в умові 3) виконується при будь-якому s = s₀ + е (е > 0) н не виконується при s = s₀ - е (s₀ - точна нижня границя чисел s), називається показником росту функції f (t).

Функції-оригінали при t > ? є або обмеженими, або прагнучими до нескінченності, але не швидше, ніж показова функція е^s0t; вони називаються функціями експонентного типу.

На функцію-оригінал можна накладати більш загальні умови, розглядаючи і функції нескінченних розривів у n точках на будь-якому інтервалі кінцевої довжини і припускаючи, що в цих точках функції абсолютно інтегруємі. [1]

Визначення зображення. Зображенням функції-оригіналу f (t) називається функція F (p) комплексного перемінного р = s + iу обумовлена інтегралом Лапласа

1.2 Властивості перетворення Лапласа

Нехай задана функція , де t -- дійсна її змінна.

Тоді перетворенням Лапласа називається інтеграл:

. (1)

Тобто, коли у відповідь функції f(t) ставиться функція F(p), де: ,

- оригінал, - зображення (при виконанні умови збіжності інтегралу).

Позначення перетворення Лапласа: .

Не всяка функція може бути оригіналом. Достатньою умовою для того, щоб функція вважалась оригіналом може бути:

1) , якщо ,

; якщо .

2) повинна мати гладку форму, тобто, бети диференційованою.

3) має зростати не швидше, ніж показникові функція [10].

Тобто, при існуванні двох чисел S та C повинна виконуватись така нерівність:

.

Найменші значення чисел f позначаються d₀.

Справедлива така теорема: якщо f(t) -- функція-оригінал з індексом розпаду d₀, то інтеграл (1) буде рівним: .

Властивості перетворення Лапласа.

Властивість 1: Лінійність.

, , тому .

Властивість 2: Диференціювання оригіналу.

, ,

.

Властивість 3: Подібність.

, .

Властивість 4: Інтегрування оригіналу.

, .

Властивість 5: Теорема зміщення. .

Властивість 6: Диференціювання зображення.

, .

Узагальнено: .

Властивість 7: Інтегрування зображення.

Властивість 8: Теорема запізнення. Якщо , то , .

Властивість 9: Зображення періодичного оригіналу.

Якщо на ; , де Т- період, к - натуральне число, то

.

1.3 Обчислення перетворення Лапласа основних функцій

перетворення рівняння задача функція

1. f[t]=e. Rep>Reл, л

2. f[t]=Sin[щt], щR

За формулами Ейлера маємо

Sin[щt]=

Тому за допомогою 1 маємо:



3. f[t]=cos[щt], щ L[cos[щt]][p]=

Доведення аналогічне. [12]

4. f[t]=Sh[щt], щR

За означенням гіперболічних функцій Sh[щt]= /2

5.

Доведення аналогічне.

6.

За властивістю 2.2 маємо:

Зокрема

7.

Як і у прикладі 6, знаходимо для функції

Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім. [3]

(3.1)

(3.2)

1.4 Обернене перетворення Лапласа

Теорема 4.1 (основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:

(4.1)

Доведення

Розглянемо функцію . Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,?) і диференційована в т. t>0. Розглядаючи F[p] перетворення Фур'є функції g[t] обернення перетворення Фур'є. [4]

Після множення останньої рівності на отримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено.

Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].

Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>a що задовольняє умовам:

При будь-якому існує інтеграл:

Для

- дуги кола радіуса R з центром в точці (,0)

, при

Тоді, - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 ()

Доведення

Розглянемо прямокутний контур (мал..4.1)

За теоремою Коши інтеграл Г[у1, у2, р] по контуру J1[у1, у2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J1[у1, у2, р] при р>?. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р>?, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору . [8]

Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка

Звідси випливає, що інтеграл (4.1) рівномірно по збігається.

Доведемо, що f[t]=0, при t<0. Для цього розглянемо інтеграл по замкненому контуру в півплощині , що складається з дуги кола радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коши:

В силу леми Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R>?. Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій , дорівнює нулю при t<0. Покажемо нарешті що перетворення Лапласа в точці p=q() співпадає з F[q]. За допомогою формули Коши знаходимо при

При виведенні ми врахували що інтеграл по прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром , так як

при R>?

Лема Жордана. Нехай t>0 і - півколо радіуса R в півплощині . Якщо функція задовольняє умовам:

функція неперервна при , ,

Тоді при R>?

Доведення

Зробимо заміну змінної інтегрування

z=R.

Тоді справедлива оцінка інтеграла

Як відомо, при . Продовжимо оцінку інтеграла

При R>?. Лему доведено

Задача Знайти перетворення Лапласа функції

(5.1)

Введена гамма-функція

Розглянемо спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо

Нехай далі і . Для визначеності будемо вважати , (випадок розглядається аналогічно). Покладемо . Легко перевіряється що ps=t - додатне число. [14]

Далі маємо:

 (5.2)

де - відрізок променя . Побудуємо замкнений контур (мал. 5.1). За теоремою Коши:

Оцінимо інтеграл по дузі і кола радіуса R

при R>?.

Перейдемо до границі при R>?, >0 в рівності (5.3), отримуємо



Звідси і із 5.2 встановлюємо (5.1).

1.5. Приклади розв'язання базових задач

Зауваження. Функцією-оригіналом називається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t, що задовольняє умовам:

1°. f(t) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалі вісі t (локально інтегрована).

Рис. 1.

2°.Для усіх від'ємних t

3°. f(t) зростає не швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі і , що для усіх t

Задача1. Показати що функція є функцією-оригіналом.

Розв'язання

Дійсно, функція f(t)локально інтегрована

існує для будь-яких скінчених і . Умова 2° виконана в силу завдання функції. [9]

І врешті решт, для будь-яких дійсних

,

Тобто в якості М в умові 3° можна вибрати довільне число >1

Задача2. Користуючись означенням, знайти означення функції

Розв'язання

Для функції маємо . Тому зображення буде в усякому разі визначене і аналітичне на півплощині . Маємо:



Тобто, . Ця функція аналітична при , і крім того вона аналітична всюди, за виключенням точки . Це не суперечить означенню, так як останнє гарантує аналітичність при , але не стверджує, що якщо , тоді функція буде всюди аналітична.

Задача3. Знайти зображення функції

Розв'язання

Маємо . За теоремою про інтегрування оригінала

Задача4.

Розв'язання

Знаходимо оригінал для функції

Для знаходження оригіналу для функції скористаємось, наприклад. Теоремою про диференціювання зображення.

Отже,

Тобто,

РОЗДІЛ 2. ПРО НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВОЇ ТРИВИМІРНОЇ ЗАДАЧІ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ З ВИКОРИСТАННЯМ МЕТОДУ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Числове розв'язування початково-крайових задач математичної фізики є важливою проблемою обчислювальної математики. Розглянемо наближене розв'язування початково-крайової задачі теплопровідності у двозв'язній області. Така задача часто виникає в контексті розв'язування обернених задач реконструкції гладких тривимірних включень. Зокрема, у разі використання ітераційного методу Ньютона на кожній ітерації доводиться розв'язувати прямі задачі теплопровідності [7].

Для напівдискретизації задачі за часовою змінною використовують різні методи - метод Роте [6], який дає змогу отримати перший чи другий порядок апроксимації за часовою змінною; метод Лагерра, похибка апроксимації якого невідома тощо. Ми застосуємо метод, що ґрунтується на використанні перетворення Лапласа та апроксимації оберненого перетворення Лапласа. Такий підхід є ефективним, оскільки у випадку аналітичності вхідних даних він має експоненційний порядок апроксимації. У підсумку вихідна нестаціонарна задача зводиться до сукупності стаціонарних задач, які можна розв'язувати паралельно. Для наближеного розв'язування стаціонарних задач доцільно використати метод граничних інтегральних рівнянь, що дає змогу побудувати ефективний метод розв'язування вихідної задачі з експоненційним порядком апроксимації як для часової, так і для просторових змінних. Головне наше завдання - перевірка застосовності комбінації методів перетворення Лапласа та граничних інтегральних рівнянь, дослідження особливостей практичної реалізації методу та проблем, які виникають у процесі його використання. [1]

ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧІ

Вважаємо, що задано аналітичні функції 1 1 q: ?B >Г, 2 2 q: ?B >Г, які описують вигляд поверхонь 1 Г і 2 Г відповідно. У разі потреби будемо розглядати функції () i i q: s,t >Г як функції двох скалярних аргументів. [3]

На рис. 2 показано приклад внутрішньої поверхні Г₁ і зовнішньої - Г₂, описуваних наступними функціями:

Зроблені припущення на граничні функції та область дають підстави стверджувати, що класичний розв'язок задачі (1)-(4) існує і єдиний [4].

Рис. 2. Приклад внутрішньої і зовнішньої поверхні.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА ТА НАПІВДИСКРЕТИЗАЦІЯ ЗАДАЧІ ЗА ЧАСОМ

Нехай f (t) - функція дійсної змінної така, що

* f (t) = 0,t < 0 ;

* при t > 0 функція f (t) має на будь-якому проміжку не більше, ніж скінченну кількість розривів першого роду;

* при t >? функція f (t) має обмежений степінь зростання

Інтеграл (6) є збіжний при 0 Re(p) > a, де 0 a - степінь зростання функції f (t), причому F(p) - аналітична функція.

Будемо використовувати таку властивість перетворення Лапласа [2]:

Оскільки функція u(x,t) обмежена за часовою змінною, тобто її степінь зростання дорівнює 0, то до обох частин рівняння (1) можна застосувати перетворення Лапласа за часовою змінною. З урахуванням властивості (7) і нульової початкової умови в просторі зображень отримаємо таке рівняння:

Це один з підходів до наближеного розв'язування початково-крайової задачі теплопровідності. Зроблено припущення, що область є двозв'язною, а границі області дифеоморфні одиничній сфері. Для напівдискретизації за часовою змінною використано перетворення Лапласа, для наближеного розв'язування стаціонарних задач - метод граничних інтегральних рівнянь. Числові результати засвідчили очікуваний порядок точності, а також високу ефективність методу у випадку, коли в явному вигляді можна отримати зображення граничних умов вихідної задачі. Цікавою для подальшого дослідження є задача побудови апроксимацій прямого та оберненого перетворення Лапласа, які дадуть змогу виконувати ефективну напівдискретизацію задач за часовою змінною для ширших класів граничних умов.

ВИСНОВКИ

В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов повертаються до числа. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.

Застосування методів, що використовують перетворення Лапласа знайшло широке застосування в розв'язанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки, радіотехніки, а також і ряду інших областей науки та техніки, тому що воно дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки. Зокрема, в силу властивості лінійності перетворення Лапласа і його означення розв'язання звичайного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами задовільне алгебричному рівнянню першого ступеня, а отже може бути легко знайдено.

СПИСОК ДЖЕРЕЛ ТА ЛІТЕРАТУРИ

1. Mapыненко В. С. Операционное счисление: Учеб, пособие.--4-е иэд.,перераб. и доп.--К.: Высш. шк.. 1990.--359с.

2. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Гос. Изд-во физ-мат. лит-ры. 1961. --524с.

3. Лаврик С. Про наближене розв'язування суттєво-просторової задачі Діріхле для рівняння Гельмгольца у випадку областей з гладкими поверхнями. // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. 2006. Вип. 11. С. 60-68.

4. Ладыженская О., Солонников В., Уральцева Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

5. Atkinson K.E. Quadrature of singular integrands over surfaces // El. Tran. Numer. Anal. 2004. Vol. 17. P. 133-150.

6. Chapko R., Kress R. Rothe's method for the heat equation and boundary integral equations // J. of Integral Equations and Applications. 1997. Vol. 9. P. 47-69.

7. Chapko R., Kress R., Yoon J.R. On the numerical solution of an inverse boundary value problem for the heat equation // Inv. Problems. 1998. Vol. 14. P. 853-867.

8. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров - М.: Наука, 1988.-512 с.

9. Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М.: Наука, 1970. - 304с.

10. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функцій комплексного переменного / Ю.В. Сидоров М.В. Федорюк М.И. Шабунин; под ред. Ю.В. Сидорова. - М.: Наука, 1982. -488с

11. Эфрос А.М., Данилевский А.М. Операционное исчисление и контурные интегралы.- Харьков: ДНТВУ, 1937.-383 с.

12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-- М.: Наука, 1987.-- 686 с.

13. Штокало И.З. Операционное исчисление. - К.: Наук. Думка, 1972.-303 с.

14. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению.- М.: Высш. Школа, 1965.- 465 с.

15. Ван дер Поль Б., Бреммер Х. Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа.-М.: Изд-во иностр. Лит., 1952.-507 с.

16. Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М.: Изд-во иностр. Лит.,1948.-291 с.

17. Микусинский Я. Операторное исчисление.-М.: Изд-во иностр. Лит., 1956.-366с.

18. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем.- М.: Физматгиз. 1963.- 968 с.

19. Винер И. Интеграл Фурье и некоторые его приложения.- М.: Физматгиз, 1968.- 256 с.

Размещено на Allbest.ru

...