FD-метод для задач Штурма-Ліувілля. Експоненційна швидкість збіжності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

FD-метод для задач Штурма-Ліувілля. Експоненційна швидкість збіжності

Спеціальність: Обчислювальна математика

Уханьов Олег Леонідович

Київ, 1999 рік



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато математиків займалися і продовжують займатися проблемою побудови дискретних апроксимацій високого порядку точності для задач Штурма-Ліувілля. Тут слід згадати такі прізвища, як Бабенко К.І., Бабушка І., Осборн Дж., Andrew A.L., Pryce J.D., Приказчиков В.Г., Гулд С., Вайнштейн А., Гаврилюк І.П., Макаров В.Л., Алгазін С.Д., Kreiss H.O., Стренг І., Фікс Дж., Quarteroni A., Марчук Г.І., Шайдуров В.В., Коллатц Л., Самарський О.А., Тихонов А.М. та інші.

Основні підходи, за допомогою яких одержуються дискретні апроксимації задач на власні значення, є: метод скінченних різниць, метод скінченних елементів, спектральні та псевдо-спектральні методи. Але всі ці методи мають суттєвий недолік: швидкість їх збіжності залежить від порядкового номера відповідного власного значення і чим старше його номер, тим гірша одержується точність. Один із шляхів подолання цього недоліку є асимптотична корекція обчислених власних значень (чи за допомогою методу скінченних різниць, чи за допомогою методу скінченних елементів).

Цей підхід було запропоновано і розвинуто у роботах Paine J.W., de Hoog F.R., Shampine L.F., Kraut G, Andrew A.L. та інших. У цих роботах були одержані рівномірні оцінки точності за порядковим номером. Тим не менш, методи асимптотичної корекції мають наступні недоліки. Перше. Величина похибки збільшується із зростанням порядкового номеру. Друге. Кількість власних значень, яка обчислюється, одразу фіксується вибором параметра дискретизації h. При необхідності обчислити більш старші власні значення, ніж ті, що дала вибрана дискретна схема, треба заново будувати нову схему дискретизації. Третє. Нічого не говориться про наближення власних функцій. Четверте. В апріорних оцінках присутня невизначена стала, що не дає можливості a priori за заданою точністю, з якою треба обчислити k-те власне значення, вказати таке h, що цю точність забезпечує.

В певному сенсі до методів асимптотичної корекції примикають методи без насичення точності. В роботах Бабенка К.І., Алгазіна С.Д. було запропоновано метод, що ґрунтується на заміні власної функції інтерполяційним поліномом з Чебишевськими вузлами, швидкість збіжності якого для аналітичних власних функцій. Разом з тим, для цього методу мають місце всі недоліки, крім третього, що перераховані для методів асимптотичної корекції.

Один з альтернативних підходів полягає в апроксимації коефіцієнтів диференціального рівняння (Pruess метод). Коефіцієнти, як правило, наближаються кусково-сталими функціями, бо на кожному інтервалі, де нові коефіцієнти є сталими, можна записати у явному вигляді загальний розв'язок рівняння, а довільні сталі знаходити з умов зшивки у точках розриву. Цей підхід розвивався у роботах Pruess S.A., Paine J.W., Andrew A.L., Pryce J.D., Dдhnn I., Gordon R.G., Ixary L.G. і був використаний у відомому пакеті програм SLEDGE.

До недоліків Pruess метода можна віднести наступні. Перше. Для досягнення заданої точності треба вибирати досить мілке розбиття інтервалу інтегрування на інтервали, де коефіцієнти є сталими. Друге. Точність обчислення всіх власних значень є однаковою, а не такою як у асимптотичних методів: чим старше власне значення, тим вища точність.

Значної частини недоліків, притаманних вищенаведеним методам, позбавлений FD-метод, запропонований В.Л. Макаровим. Але оцінки точності, одержані автором методу, мають єдину, але істотну ваду: наявність в них невизначених сталих.

З викладеного випливає актуальність досліджень, пов'язаних з розробкою ефективних чисельно-аналітичних методів для розв'язування задач Штурма-Ліувілля, які б давали змогу знаходити власні функції та власні значення з будь-яким порядковим номером з гарантованою точністю і зберігали б властивості класичних асимптотичних методів. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Місцем виконання роботи є кафедра чисельних методів математичної фізики факультету кібернетики Київського університету, де протягом багатьох років школою В.Л. Макарова проводяться теоретичні та експериментальні дослідження з теорії функціонально-дискретних методів для розв'язування задач математичної фізики.

Мета роботи. Розвинути теорію FD-методу в напрямку одержання ефективних апріорних або апріорно-апостеріорних оцінок точності із збереженням їх поведінки відносно кроку сітки та порядкового номера власного значення.

Розповсюдити FD-метод на випадок крайових умов третього роду, періодичних та антиперіодичних умов. Знайти достатні умови збіжності FD-методу, коли ранг методу m>?, звідки одержати узагальнення класичних асимптотичних розвинень для розв'язків задачі Штурма-Ліувілля.

Методика досліджень. В роботі використовуються методи функціонального аналізу, звичайних диференціальних рівнянь, теорії різницевих схем, дискретної математики, зокрема метод твірних функцій.

Наукова новизна. Всі результати, одержані в дисертації, є новими.

1. Знайдені конструктивні достатні умови збіжності при m>? FD-методу, що забезпечують його збіжність не повільніше ніж збіжність геометричної прогресії як для умов Діріхле, так і умов третього роду;

2. Побудовані ефективні апріорні та апріорно-апостеріорні оцінки точності FD-методу як для всіх власних значень, так і всіх власних функцій, з яких випливають строгі двосторонні оцінки, що стають тим вужче, чим старше номер власного значення;

3. Доведена теорема про достатні умови збіжності FD-методу при m>? для випадку умов періодичності. Знайдена нова методика її доведення дозволила подолати проблему малих знаменників, що породжується кратністю власних значень незбуреної задачі;

4. Одержано узагальнення класичних асимптотичних розвинень для розв'язків задачі Штурма-Ліувілля.

Практична та теоретична цінність. Результати дисертації мають як теоретичний, так і практичний характер.

Вони можуть бути використані для подальших досліджень, пов'язаних з розповсюдженням FD-методу на векторно-матричні задачі Штурма-Ліувілля, на задачі на власні значення для рівнянь у частинних похідних, на задачі з нелокальними умовами (Іонкіна-Самарського, Біцадзе-Самарського).

Розроблена методика доведення збіжності FD-методу для періодичних умов носить конструктивний характер і дозволяє будувати алгоритми знаходження розв'язків задач типу Штурма-Ліувілля з кратними власними значеннями.

Особистий внесок здобувача. У сумісних роботах (1), (3) науковому керівнику належить постановка задач.

Теорема 3 з (3) доведена разом з Б.Й. Бандирським та В.Л. Макаровим.

Всі інші результати дисертації, які виносяться на захист, належать автору.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались та обговорювались на семінарах кафедри чисельних методів математичної фізики Київського університету ім. Тараса Шевченка, відділу обчислювальної математики Інституту математики НАН України, кафедри прикладної математики Львівського державного університету “Львівська політехніка” та на міжнародній конференції INAMTAP'96 (інформатика, обчислювальна та прикладна математика: теорія, застосування, перспективи), м. Київ, Україна, 1996.

Публікації.

За темою дисертації опубліковано три статті, із них дві - у наукових журналах, одна - у збірнику наукових праць.

Структура та об'єм дисертації. Робота складається з вступу, трьох розділів та списку використаних джерел із 68 назв і викладена на 120 сторінках.



2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертації, формулюються мета і задачі дослідження, викладено основні результати із зазначенням їхньої теоретичної та практичної цінності.

Перший розділ містить огляд літератури та вихідні положення. Другий розділ носить назву “FD-метод для задачі Штурма-Ліувілля”. Починається він з розгляду FD-методу для задачі:

Він полягає у наступному. Задача (1) занурюється у більш загальну:

Де:

Де:

t - параметр з [0.1], функція q(x) визначається наступним чином:

І є наближенням до q(x).

Ясно, що коли розв'язок задачі (2) співпадає з розв'язком задачі (1), тобто:



Позначення, використані у (3), підкреслюють, що власні значення (впорядковані у порядку зростання) і власні функції задач (1) і (2) є нелінійними фунціоналами і нелінійними операторами (відповідно) від коефіцієнта q(x) диференційного оператора. Розвинемо:

Як функції від, в ряд Тейлора в околі точки t=0:

Члени рядів (4), (5) одержуються рекурентне згідно наступної процедури. Введемо позначення:

Тоді будемо мати:



Початкові умови для рекурентного процесу (6), (7) визначаються, як розв'язок задачі:

Задачу (8) будемо називати базовою задачею.

Нехай Q[0.1] - клас функцій, які мають скінченне число точок розриву і які на сегментах неперервності:

Мають неперервні похідні до r-го порядку, де r- невід'ємне ціле. Введемо нерівномірну сітку:

З використанням умови нормування:

У 1991 р. В.Л. Макаровим була доведена наступна теорема.

Теорема 1. Нехай:



Тоді мають місце наступні оцінки точності FD-методу:

При m=0 з (4), (7) випливає, що:

Що з умовою нормування приводить до найпростішої явної оцінки:

Яка має місце для:

Виявилося, що ця умова породжує значні труднощі в одержанні явних значень сталих Cm Dm і умов збіжності FD-методу при m>?. Тому була використана інша умова нормування:

Введемо позначення:



Має місце.

Теорема 2. Нехай вибрані умови нормування (9) і виконана умова:

Тоді розв'язок задачі (1) представляється у вигляді рядів (4), (5), які збігаються із швидкістю не меншою ніж геометрична прогресія із знаменником rn і мають місце наступні оцінки:

Відмітимо, що оцінки (11), (12) є апріорно-апостеріорними, бо вони стають явними тільки після розв'язання задачі (8). Але після того, як розв'язок задачі (8) знайдено, з цих оцінок можна одержати двосторонні явні оцінки для точних власних значень та власних функцій.

Наслідок 1. Нехай q(x)?0. В цьому випадку, якщо:

Тоді розв'язок задачі (1) представляється у вигляді рядів (4), (5) з q(x)?0, які збігаються не повільніше ніж геометрична прогресія із знаменником rn0, і мають місце наступні явні оцінки точності FD-методу:



Зауважимо, що при виконанні умови (13) загальні члени рядів (4), (5) оцінюються нерівностями:

В цьому випадку ряди (4), (5) будемо називати некласичними асимптотичними розвиненнями розв'язків задачі (1).

Якщо умова (13) не виконується, то завжди за рахунок виборна q(x) можна добитися виконання умови (10) і для загальних членів рядів (4), (5) будуть мати місце оцінки:

В цьому випадку ряди (4), (5) будемо називати узагальненими некласичними асимптотичними розвиненнями розв'язків задачі (1).

Алгоритмічна реалізація методу здійснюється за допомогою теорії точних трьох точкових різницевих схем О.А. Самарського, А.М. Тихонова, яка розповсюджена на задачі Штурма-Ліувілля В.Г. Приказчиковим, та засобів комп'ютерної алгебри (Mathematica 3.0).

Наступний підрозділ даного розділу присвячений розповсюдженню FD-методу на випадок умов третього роду. Тут також має місце аналог теореми 2 та наслідку 1. Проте у випадку q(x)?0, відповідні оцінки точності FD-методу стають апріорно-апостеріорними. Дається алгоритмічна реалізація методу. Завершується розділ викладом FD-методу для проблеми власних значень в абстрактній формі.

Третій розділ носить назву “FD-метод для задачі Штурма-Ліувілля з періодичними умовами”. Спочатку тут розглядається випадок q(x)?0. Загальні члени рядів (4), (5) будуть визначатися як розв'язки наступної послідовності задач при q(x)?0:

Які, як неважко бачити, при q-(x)=0 мають вигляд:

Зауважимо, що кожне власне значення задачі (15), починаючи з другого, є двократним і тому умови розв'язності крайової задачі (14) мають вигляд:



При виконанні умов (16) для розв'язності задачі (14) розв'язок останньої можна взяти у вигляді:

Одну з умов, з яких визначаються an(j), bn(j), візьмемо наступну:

А другу одержуємо з (16). Остання приводить до виродженої системи двох лінійних алгебраїчних рівнянь, які разом з (17) визначають an(j), bn(j).

Умови розв'язності цієї алгебраїчної системи приводять до співвідношення:

Однорідної лінійної системи визначаються an та bn±, а отже un±(x).

Далі всі члени рядів (4), (5) виражаються за вищенаведеним рекурентним процесом. Має місце.

Теорема 3. Нехай виконується умова:

І система рівнянь для визначення an bn разом з (17) має розв'язок.

Тоді FD-метод для періодичної задачі Штурма-Ліувілля є збіжним і мають місце наступні явні оцінки його точності:



Випадок n=0.

Що також розглянуто і доведена наступна теорема.

Теорема 4. Нехай виконується умова:

Тоді FD-метод для періодичної задачі Штурма-Ліувілля для n=0 є збіжним і мають місце наступні явні оцінки точності:

При доведенні теореми 3 суттєво було використано наступне твердження:

Тоді члени цих послідовностей визначаються формулами:



І для них мають місце оцінки:

Показано, що при виконанні умови (18) ряди (4), (5) стають некласичними асимптотичними розвиненнями розв'язків періодичної задачі Штурма-Ліувілля.

Якщо умова (18) не виконується, то наближає функцію q(x). Припускаємо, що власні значення періодичної задачі Штурма-Ліувілля всі різні:

З умов розв'язності задачі (14) випливає, що:

Тут розвинуто новий підхід в одержанні оцінок для членів рядів (4), (5), що базується на перетворенні рекурентної послідовності (14), в якому основну роль грає оператор базової задачі (15), на використанні леми Гронуолла та наступній умові нормування:



Введемо позначення:

Має місце.

Теорема 5. Нехай виконується умова:

Тоді розв'язок періодичної задачі Штурма-Ліувілля представляється у вигляді рядів (4), (5), які збігаються із швидкістю не повільніше ніж геометрична прогресія із знаменником вn, і мають місце у FD-методу:

Тобто FD-метод є збіжним. Випадок n=0 також розглянуто і доведено, що має місце наступна теорема.

Теорема 6. Нехай:

Тоді розв'язок періодичної задачі Штурма-Ліувілля для n=0 представляється у вигляді рядів:



Які збігаються із швидкістю не повільніше ніж геометрична прогресія із знаменником в0, і мають місце наступні явні оцінки:

Тобто FD-метод є збіжним.

Вищенаведена теорема 5 дає достатні умови збіжності узагальнених некласичних асимптотичних рядів (4), (5). Алгоритмічну реалізацію методу здійснено на основі теорії точних трьох точкових різницевих схем О.А. Самарського, А.М. Тихонова, яка розповсюджена на задачі Штурма-Ліувілля В.Г. Приказчиковим, та засобів комп'ютерної алгебри (Mathematica 3.0).

Завершується розділ розглядом випадку антиперіодичних крайових умов. Всі наведені алгоритмічні реалізації ілюструються чисельними експериментами.



ВИСНОВКИ

1. Для задачі Штурма-Ліувілля з умовами Діріхле, а також умовами третього роду, знайдені конструктивні достатні умови збіжності при m>? (m - ранг методу) FD-методу, що забезпечують збіжність не повільніше ніж збіжність геометричної прогресії із знаменником, який прямо пропорційно залежить від параметру дискретизації та обернено пропорційно від порядкового номера відповідного власного значення;

2. Побудовані явні апріорні та апріорно-апостеріорні оцінки точності FD-методу при фіксованому параметрі дискретизації для всіх власних значень і всіх власних функцій, з яких випливають строгі двосторонні оцінки, що стають тим вужче, чим старше номер відповідного власного значення;

3. Для задачі Штурма-Ліувілля з періодичними та антиперіодичними умовами доведені теореми про достатні умови збіжності FD-методу при m>?. Знайдена нова методика доведення дозволила подолати проблему малих знаменників, що породжується кратністю власних значень задачі з q(x); геометричний прогресія асимптотичний

4. Одержано узагальнення класичних асимптотичних розвинень для власних значень і власних функцій задачі Штурма-Ліувілля з негладкою функцією q(x).



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Makarov V.L., Ukhanev O.L. FD-method for Sturm-Liouville Problems. Exponential Rate of Convergence // Applied Mathematics and Informatics. - Tbilisi University Press. - 1997. - v.2. - P. 1-19.

2. Уханьов О.Л. FD-метод для задач Штурма-Ліувілля з умовами третього роду // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 1998. - Вип.1. - С. 215-224.

3. Бандырский Б.И., Макаров В.Л., Уханев О.Л. Достаточные условия сходимости неклассических асимптотических разложений для задачи Штурма-Лиувилля с периодическими условиями // Минск: Дифференциальные уравнения. - 1999. - т. 35. - №3. - С. 267-278.

Размещено на Allbest.ru

...