Дослідження гіперболічних диференціальних рівнянь із многозначною правою частиною

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ ІМ. В. М. ГЛУШКОВА

УДК 517. 95

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Дослідження гіперболічних диференціальних рівнянь із многозначною правою частиною

01. 01. 09 - варіаційне числення та теорія оптимального керування

ВІТЮК Олександр Никанорович

Київ - 1999

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

гіперболічне диференціальне включення

Актуальність теми. Диференціальні рівняння із многозначною правою частиною (диференціальні включення) в скінченновимірних просторах вперше і незалежно один від одного ввели А. Маршо і С. Заремба в тридцяті роки нашого століття. Але ці роботи на протязі майже двадцяти років не знаходили ніякого застосування.

Інтерес до диференціальних включень з'явився знову завдяки перш за все зв'язку між диференціальними включеннями і диференціальними рівняннями, що описують поведінку керованих процесів. На це вперше звернув увагу О. Ф. Філіппов, що дало можливість звести задачу пошуку оптимального керування до задачі пошуку оптимального керування відповідного диференціального включення.

Слід відзначити, що диференціальні включення виникають також при вивчанні неявних диференціальних рівнянь, диференціальних рівнянь із розривною правою частиною та інших проблем науки і техніки. Все це стало стимулом до всебічного розвитку теорії диференціальних включень, вагомий вклад у розвиток якої внесли О. Ф. Філіппов, Є. А. Барбашін і Ю. А. Алімов, Т. Важевський, В. І. Благодатських, О. І. Булгаков, Ш. Кастен, Н. Кікучі, А. І. Панасюк, В. О. Плотников, О. О. Толстоногов та багато інших.

Задачу Дарбу для гіперболічних диференціальних рівнянь другого порядку вивчали А. Alexiewicz, W. Orlicz, G. Arnese, R. Conti, K. Deimling, J. Kisynski, R. H. Moore, A. Pelczar, W. Walter, М. П. Гріголія, а для гіперболічних диференціально-функціональних рівнянь - І. М. Гуль, Д. Г. Кореневський і С. Ф. Фещенко, А. М. Самойленко і Б. П. Ткач, М. Kisielewicz, D. Mangeron та багато інших.

Метод усереднення для звичайних диференціальних рівнянь був строго обгрунтований М. М. Криловим та М. М. Боголюбовим. Згодом зусиллями багатьох математиків цей метод було поширено на інші типи рівнянь.

Застосування методу усереднення в задачах оптимального керування вимагало створення відповідного математичного апарату, а саме обгрунтування методу усереднення для диференціальних включень. Перші результати з методу усереднення для диференціальних включень з повільними змінними були отримані наприкінці 70-х років В. О. Плотниковим. Потім в роботах М. М. Хапаєва та О. П. Філатова метод усереднення вивчався стосовно до диференціальних включень із повільними та швидкими змінними, а О. І. Булгаковим - стосовно диференціально-функціональних включень.

Численні задачі оптимізації, що пов'язані з гіперболічними диференціальними рівняннями, набули актуальності і склали предмет досліджень багатьох математиків. На цей час є декілька робіт, в яких для дослідження цих задач застосовуються диференціальні включення. Слід відзначити, що диференціальні включення з частинними похідними вивчені ще недостатньо.

Ті чи інші питання, які стосуються задачі Дарбу для гіперболічних диференціальних включень, вивчали А. М. Багіров, С. С. Клименко, Е. Н. Махмудов, А. В. Плотников, О. О. Толстоногов, М. А. Ягупов, M. Davidowski, M. Kisielewicz, I. Kubiaczyk, S. Morano, J. Myjak, T. Pruczko, B. Rzepecki, W. Sosulski, V. Staicu, G. Teodoru і інші.

Мета роботи полягає в дослідженні умов існування та властивостей розв'язків задачі Дарбу для гіперболічних диференціальних включень, а також для аналогу задачі Дарбу для диференціальних включень, що містять мішану лівосторонню похідну Рімана-Ліувілля дробового порядку, в обгрунтуванні для цих задач методу усереднення. Узагальнити теорію R-розв'язків, яка побудована для звичайних диференціальних рівнянь із многозначною правою частиною, на гіперболічні диференціальні включення.

Методи дослідження. У процесі дослідження вищеназваних задач використовуються поняття і методи диференціальних рівнянь із частинними похідними, теорії многозначних відображень, функціонального аналізу, теорії функцій дійсної змінної, теорії дробового інтегродиференціювання.

Наукова новизна. Отримано умови існування розв'язків задачі Дарбу для гіперболічних диференціальних включень та вивчено деякі їх властивості. Доведено теореми обгрунтування методу усереднення для гіперболічних диференціальних та інтегро-диференціальних включень, а також інтегральних включень Вольтерра-Гаммерштейна.

Запроваджено означення R-розв'язку, яке породжується диференціальним включенням, та вивчені умови його існування, єдиності, неперервної залежності від параметрів та встановлено його зв'язок із множиною досяжності у випадку, коли є неперервним многозначним відображенням, значеннями якого є випуклі і компактні множини.

Запроваджено до розгляду аналог задачі Дарбу для включень, які містять мішану лівосторонню похідну Рімана-Ліувілля дробового порядку, для якої дано означення розв'язків та класичних розв'язків цієї задачі, отримано умови існування цих розв'язків. Запропоновано та обгрунтовано одну схему усереднення для цієї задачі.

Теоретична та практична цінність. Результати роботи мають теоретичний характер і можуть бути застосовані для якісного дослідження теоретичних і прикладних задач, що виникають в багатьох розділах науки, розширюють можливість застосування методу усереднення.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у роботах [1-20]. У роботах [1, 18], які написані в співавторстві, автору дисертації належить доведення леми та загальна схема доведення теореми про усереднення, а в [21] автором дисертації написана частина IV.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів і списку літератури, який містить 192 назви. Обсяг роботи 275 сторінок машинописного тексту.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, викладаються основні результати та наведено список основних позначень.

Перший розділ дисертаційної роботи присвячений вивченню умов існування розв'язків задачі Дарбу для гіперболічних диференціальних включень та деяких їх властивостей.

У першому параграфі викладено необхідні допоміжні відомості, що використовуються в роботі.

Зауважимо, що тут і нижче інтеграл від многозначного відображення розуміємо в сенсі Аумана.

Із цієї теореми випливає, що множина розв'язків задачі (5а), (5б) являється замкненою, зв'язною і стягуваною.

У третьому параграфі першого розділу мова іде про існування розв'язків інтегро-диференціального включення

Розглядалось також питання усереднення різницевого включення (18).

У §5 наведено обгрунтування методу усереднення для диференціального включення

Шостий параграф присвячено методу усереднення для інтегро-диференціальних включень

Третій розділ дисертації присвячено усередненню інтегральних включень Вольтерра.

У §8 викладена одна схема усереднення для інтегральних включень Вольтерра-Гаммерштейна

У наступному параграфі метод усереднення розглядається для інтегрального включення

Однією із важливих задач теорії керування динамічними системами є задача вивчення динаміки їх множин досяжності і особливо коли мова іде про керування пучками траєкторій.

Для опису множин досяжності керованої системи може бути використоване поняття -розв'язку, яке було запропоновано А. І. Панасюком, В. І. Панасюком /Панасюк А. И., Панасюк В. И. Об одном уравнении, порожденном дифференциальным включением // Матем. заметки. -1980. -27, №3. -С. 429-437. /.

Коли многозначне відображення задовольняє умови Каратеодорі аналогічні питання вивчались О. О. Толстоноговим /Толстоногов А. А.. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения // Матем. заметки. -1982. -32, №6. -С. 841-852/. Деякі питання, що пов'язані з -розв'язками, вивчали також А. А. Леваков, В. О. Плотников, С. П. Роговченко.

У четвертому розділі дисертації запропоновано поняття -розв'язку, яке породжується диференціальним включенням (1), вивчені умови його існування, єдиності та неперервної залежності від параметрів.

У четвертому розділі припускаємо, що многозначне відображення задовольняє такі умови: (А) неперервне по x, y, u;

(Б Коші, заложила робота E. Pitcher, W. E. Sewell (1938). Згодом з'явились роботи J. H. Barrett (1954), M. A. Al-Bassam (1965), A. Z. Al-Abedeen (1976), A. Z. -A. M. Tazali (1982), И. К. Вебер (1985) та інших.

У п'ятому розділі дисертації розглядається аналог задачі Дарбу для диференціального включення, що містить мішану лівосторонню похідну Рімана-Ліувілля.

Розглянемо диференціальне включення (34) і крайові умови (35)

Розглянемо далі диференціальне включення (34) і крайові умови

Розв'язком задачі (34), (36) називаємо функцію, яка задовольняє умови означення 13. 1 в області.

Доведено, що коли многозначне відображення задовольняє умови (Б1) - (Б3), то множина розв'язків задачі (34), (36) непорожня і є підмножиною множини.

Теорема 13. 3. Нехай многозначне відображення задовольняє умову (Б3), півнеперервне зверху по для майже всіх і для кожного існує вимірний селектор многозначного відображення. Тоді множина розв'язків задачі (34), (36) непорожня і є компактною підмножиною простору.

Тоді множина розв'язків задачі (34), (36) непуста.

Розглянуто також питання існування розв'язків задачі (34), (35) у випадку коли є відображенням в простір.

Теорема 13. 2б. Нехай многозначне відображення задовольняє умови:

Теорема 13. 2в. Нехай многозначне відображення півнеперервне знизу. Тоді множина розв'язків задачі (34), (36) непуста.

У §15 дисертації дається обгрунтування однієї схеми часткового усереднення для задачі.

ВИСНОВКИ

Вивчено умови існування розв'язків задачі Дарбу для гіперболічних диференціальних, інтегро-диференціальних включень, а також деякі властивості цих розв'язків. Ці ж питання вивчались і стосовно крайової задачі для диференціального включення Манжерона.

Обгрунтувано метод усереднення для гіперболічних диференціальних та інтегро-диференціальних включень, а також інтегральних включень Вольтерра-Гаммерштейна. Розглянуто питання про апроксимацію гіперболічних диференціальних включень різницевими включеннями та про усереднення останніх.

Запропоновано означення R-розв'язку, яке породжується гіперболічним диференціальним включенням, вивчено умови його існування, єдиності, неперервної залежності від параметрів та встановлено його зв'язок із множиною досяжності цього включення.

Розглянуто аналог задачі Дарбу для диференціального включення, яке містить мішану лівосторонню похідну Рімана-Ліувілля дробового порядку. Досліджено умови існування розв'язків цієї задачі та їх властивості. Запропоновану одну схему часткового усереднення для цієї задачі.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ РОБОТАХ

Витюк А. Н., Клименко С. С. Теорема Н. Н. Боголюбова для гиперболических дифференциальных включений //Укр. матем. журн. -1987. -39, №5. -С. 641-645.

Витюк А. Н. О существовании решений одного класса многозначных дифференциальных уравнений с частными производными // Укр. матем. журн. -1990. -42, №11. -С. 1454-1460.

Витюк А. Н. Свойства решений гиперболических дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Матем. физика и нелин. механика -1991. -Вып. 15 (49). -С. 59-62.

Витюк А. Н. Уравнение интегральной воронки дифференциального включения с частными производными //Докл. АН Украины. Сер. матем., естествозн. Техн. науки. -1992. -№9. -С. 19-20.

Витюк А. Н. Об -решении, порожденном дифференциальным включением гиперболического типа // Дифференц. уравн. -1994. -30, №10. -С. 1710-1718.

Витюк А. Н. О решениях гиперболических дифференциальных включений с невыпуклой правой частью // Укр. матем. журн. -1995. -47, №4. -С. 531-534.

Витюк А. Н. Усреднение в интегральных включениях Вольтерра // Известия вузов. Математика. -1995. -№2. -С. 1-5.

Витюк А. Н. Непрерывная зависимость от параметров -решения, порожденного дифференциальным включением гиперболического типа // Укр. матем. журн. -1995. -47, №10. -С. 1422-1427.

Витюк А. Н. Усреднение в интегральных многозначных уравнениях Вольтерра // Укр. матем. журн. -1995. -47, №2. -С. 1622-1626.

Витюк А. Н. Частичное усреднение для дифференциальных включений с частными производными дробных порядков // Дифференц. уравн. -1996. -32, №8. -С. 1131-1133.

Витюк А. Н. Существование решений дифференциальных включений с частными производными дробных порядков // Известия вузов. Математика. -1997. -№4. -С. 13-19.

Витюк А. Н. О множестве решений краевой задачи для гиперболического дифференциального включения // Дифференциальные уравнения. -1999. -Т. 35, №6. -С. 780-783.

Витюк А. Н. Дифференциальные включения с частными производными дробных порядков // Сб. научн. трудов. «Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения». -Киев: институт математики НАН Украины, 1995. -С. 59-61.

Витюк А. Н. О решениях дифференциального включения дробного порядка // Сб. научн. трудов. «Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения». -Киев: институт математики НАН Украины, 1996. -С. 67-69.

Витюк А. Н. Аппроксимация гиперболических дифференциальных включений разностными включениями // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. -Київ: інститут математики НАН України, 1998. -Вип. 2. -С. 61-65.

Витюк А. Н. О существовании решений одного класса многозначных дифференциальных уравнений в частных производных // Краевые задачи: межвузовский сборник научных трудов. -Пермь, 1984. -С. 131-133.

Витюк А. Н. К вопросу об усреднении дифференциальных включений с частными производными // Краевые задачи: межвузовский сборник научных трудов. -Пермь, 1990. -С. 94-98.

Витюк А. Н., Клименко С. С. Усреднение дифференциальных включений в частных производных с измеримой правой частью // Функционально-дифференциальные уравнения: межвузовский сб. научн. тр. -Пермь, 1987. -С. 99-104.

Витюк А. Н. Усреднение гиперболических дифференциально-функциональных включений // Математика и психология в педагогической системе «технический университет»: сб. ст. 1-й междунар. научн. -практ. конф. -Одесса, 1996. -Ч. 1. -С. 18-19.

Витюк А. Н. Существование решений дифференциального включения дробного порядка с невыпуклой правой частью. Сб. научн. тр. «Прикладная матем. и математич. моделирование». -Феодосия, 1997. -С. 47-50.

Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы. -Одесса, 1999. Астропринт. -356 с.

Вітюк О. Н. Дослідження гіперболічних диференціальних рівнянь із многозначною правою частиною. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 01. 09 - варіаційне числення та теорія оптимального керування. Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, Київ, 1998.

У дисертації досліджуються умови існування та властивості розв'язків задачі Дарбу для гіперболічних включень, а також для аналога цієї задачі для включень, що містять мішану лівосторонню похідну Рімана-Ліувілля дробового порядку.

Обгрунтовано метод усереднення для цих задач, а також для інтегральних включень Вольтерра-Гаммерштейна.

Розглянуто питання існування, єдиності і неперервної залежності від параметрів R-розв'язків, що породжуються гіперболічним диференціальним включенням.

Ключові слова: гіперболічне включення, многозначне відображення, метод усереднення, R-розв'язок.

Витюк А. Н. Исследование гиперболических дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01. 01. 09 - вариационное исчисление и теория оптимального управления. - Институт кибернетики им. В. М. Глушкова НАН Украины, Киев, 1999.

Vityuk A. N. The investigation of hyperbolic differential equations with a set-valued right-hand side. - Manuscript.

Thesis for a doctor of Physical and Mathematical Sciences degree by speciality 01. 01. 09 - calculus of variations and theory of optimal control. The Institute of Cybernetics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1999.

Existence conditions and properties solutions for Darboux problem of hyperbolic differential inclusions and its analogue of inclusions with mixed left-side derivative of Riemann-Liouville's fractional order have been investigated in the given thesis.

An averaging method for these problems and for integral inclusion of Volterra-Hammerstein is justified.

The questions of existence uniqueness and continuous dependence of -solution's parameters generated by hyperbolic differential inclusion are being considered.

Key words: hyperbolic inclusion, multivalued map, -solution, averaging method.

Размещено на Allbest.ru