Асимптотичні властивості аналітичних та субгармонійних функцій повільного зростання

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський державний університет імені Івана Франка

Заболоцький Микола Васильович

УДК 517.535

Асимптотичні властивості аналітичних та

субгармонійних функцій повільного зростання

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Львів - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Тамразов Промарз Мелікович, Інститут математики НАН України,

завідувач відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу;

доктор фізико-математичних наук, професор

Сєдлєцкий Анатолій Мечиславович, Московський державний університет ім. М.В.Ломоносова, професор кафедри математичного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, доцент, Винницький Богдан Васильович, Дрогобицький державний педагогічний університет,

професор кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Харківський державний університет, кафедра теорії функцій і функціонального аналізу.

Захист відбудеться 20 травня 1999 року о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою: 290602, м. Львів, вул. Університетська, 1, Львівський державний університет імені Івана Франка, механіко-математичний факультет, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського державного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано "17" квітня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради __________Я.В. Микитюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Класичні теореми Ю. Сохоцького - Ф. Kазораті (1868р.), К.Вейєрштраса (1876р.) і Е.Пікара (1879р.) започаткували теорію розподілу значень мероморфних функцій. В 90-х роках ХIХ століття і на початку ХХ століття вказані теореми отримали свій подальший розвиток в дослідженнях розподілу нулів цілих функцій, проведених в основному французською школою (Ж. Адамар, Е. Борель, Е. Ліндельоф, Ж. Валірон та інш.). Аналітичний апарат для мероморфних функцій був побудований в 20-их роках нашого століття фінським математиком Р. Неванлінною, після праць якого теорія розподілу значень набула певного завершеного вигляду. З цього часу ця теорія займає одне з центральних місць в загальній теорії функції комплексної змінної.

Не зважаючи на певну завершеність теорії розподілу значень, вивчення навіть класичних її задач ще не доведено до кінця. Залишається відкритим ряд питань першочергової важливості, а до них долучаються нові, що виникають в процесі досліджень.

Особливу увагу в останні роки приділяють вивченню спеціальних класів цілих та мероморфних функцій, які визначаються чи то обмеженнями на зростання цих функцій, чи регулярністю поводження неванліннівської характеристики, чи розташуванням а-точок таких функцій.

В теорії цілих та мероморфних функцій часто зустрічаються ситуації, коли неванліннівська характеристика є повільно зростаючою. Асимптотичні властивості таких функцій подібні до поводження многочленів, і ці функції є екстремальними в багатьох задачах теорії розподілу значень. Тому природним є питання, коли основні характеристики цілої функції (логарифм максимуму модуля, неванліннівська характеристика, логарифм максимального члена та неванліннівська лічильна функція нулів) є повільно зростаючими. Це ж стосується і функцій аналітичних в крузі.

Однією з основних задач теорії цілих функцій є вивчення зв'язків між регулярністю зростання функції та регулярністю поводження її лічильної функції нулів. В 1914 році Ж. Валірон встановив такий зв'язок для цілих функцій додатного порядку з нулями на промені. В 1936-1939 рр. Б. Левіним та А. Пфлюгером була створена теорія цілих функцій цілком регулярного зростання (ц.р.зр.) скінченного ненульового порядку. Актуальною є побудува аналогічної теорії для цілих функцій нульового порядку.

Вивчення властивостей мероморфних функцій в термінах зростання сферичної похідної почалось в 20-их роках нашого століття в працях П. Жюліа, А. Островського, Ф. Марті, К. Іосіди і отримало подальший розвиток в працях О.Лехто і К. Віртанена (1951-1959рр.) та В.І. Гаврилова (1965-1968рр.), який запропонував класифікацію мероморфних функцій за зростанням сферичної похідної. Питання про зв'язок сферичної похідної з неванліннівськими величинами вивчалось багатьма математиками (Г.А. Барсегян, А.А. Гольдберг, Дж. Андерсон, Й. Вінклер, Т. Дзінно, Дж. Клуні, С. Топпіла та інші). Тому встановлення зв'язків між сферичною похідною, неванліннівською характеристикою, винятковими дефектними значеннями, пікарівськими множинами відносяться до області, що активно розвивається і має важливі застосування.

Понад півстоліття увагу математиків привертає задача порівняння зростання логарифма максимуму модуля, неванліннівської характеристики та величин N(r,0,?)=N(r,0)+N(r,?) і N0(r)=max{N(r,0), N(r,?)} мероморфних та цілих функцій (Ж. Валірон, Р. Пейлі, М.В. Говоров, В.П. Петренко та ін.). Дотримуючись сучасної тенденції розглядати ці питання з найзагальнішої точки зору - теорії субгармонійних та ?-субгармонійних функцій, ми розв'язуємо задачу про знаходження точних оцінок зверху та знизу для величин типу та нижнього типу для цих ширших класів функцій нульового роду, переходячи, де таке узагальнення природне, і у m-вимірний простір.

Субгармонійна функція може в деяких точках приймати значення -?. Множина таких точок має нульову ємність. Однією з важливих задач є знаходження для субгармонійних функцій v(z) точніших оцінок знизу, ніж нерівність v(z)>-?, зовні виняткових множин. Такі оцінки зустрічаються в працях Л. Альфорса і М. Хейнса (1949 р.), У. Хеймана (1956 р.), М.В. Говорова (1968 р.) та багатьох інших. Але вони не є точними для субгармонійних функцій нульового порядку. Тому актуальним є отримання нових асимптотичних формул для ?-субгармонійних в Rm, m? 2, функцій нульового порядку для того, щоб дістати точні оцінки знизу цих функцій.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Значна частина результатів, викладених у роботі, отримана в процесі виконання теми ДКНТ Мт-139Д "Асимптотичні властивості аналітичних та субгармонійних функцій при наближенні змінної до краю області", держбюджетних тем Мт-202Б "Цілі функції, ряди Діріхле та їх застосування" та Мт-380Б "Аналітичні функції та ряди Діріхле".

Мета і задачі дослідження.

1) Вказати необхідні та достатні умови на тейлорівські коефіцієнти цілої функції для того, щоб логарифм максимуму модуля, логарифм максимального члена та неванліннівська характеристика були повільно зростаючими функціями. Таку ж задачу розв'язати і для аналітичних в одиничному крузі функцій.

2) Довести тауберові теореми для цілих функцій нульового порядку та для добутків Бляшке, лічильна функція нулів яких є повільно зростаючою.

3) Ввести нове поняття регулярності зростання та "індикатора" для цілих функцій нульового порядку та знайти критерії цієї регулярності в термінах розподілу нулів, описати класи цілих функцій із заданим індикатором.

4) Знайти загальні умови на множину E? C для того, щоб вона була пікарівською для класів мероморфних функцій.

5) Вказати класи мероморфних функцій, які визначаються обмеженнями на зростання сферичної похідної та неванліннівської характеристики і які не мають неванліннівських виняткових значень.

6) Знайти необхідну та достатню умови повільного зростання неванліннівської характеристики мероморфної функції при обмеженнях на лічильні функції a-точок.

7) Знайти нові асимптотичні формули для субгармонійних функцій нульового порядку та застосувати їх до знаходження оцінок знизу.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими. У дисертації вперше отримано відповідь на ряд актуальних питань щодо розподілу значень та поводження мероморфних та аналітичних функцій нешвидкого зростання. Зокрема,

– отримано необхідні та достатні умови на коефіцієнти степеневого розвинення цілих та аналітичних в крузі функцій для того, щоб логарифм максимального члена був повільно зростаючою функцією або був еквівалентний деякій заданій повільно зростаючій функції;

– узагальнено теорему Ліндельофа про регулярне зростання цілої функції скінченного додатного порядку на випадок довільного зростання;

– доведено теореми типу Валірона та Валірона-Тітчмарша для цілих функцій нульового порядку та добутків Бляшке, лічильна функція нулів яких є повільно зростаючою. Для цього запропоновано новий підхід до дослідження асимптотичних властивостей функцій нульового роду, який базується на багаточленних асимптотиках інтегралів;

– введено нове поняття регулярного зростання та "індикатора" для цілих функцій нульового порядку і у випадку, коли нулі знаходяться на скінченній системі променів, в термінах розподілу нулів встановлено критерій такої регулярності та описано цілі функції із заданим "індикатором";

– знайдено необхідні та достатні умови на поводження a-точок мероморфних функцій для того, щоб їх неванліннівська характеристика була повільно зростаючою функцією;

– встановлено нові залежності між зростанням сферичної похідної мероморфних трансцендентних функцій та "щільністю" пікарівських множин для таких функцій, а також між зростанням неванлінівської характеристики, сферичної похідної та винятковими неванліннівськими значеннями. Цим узагальнено теореми С. Топпіли, Дж. Андерсона, У. Хеймана, Дж. Клуні;

– отримані нові асимптотичні формули для субгармонійних в Rm, m? 2, функцій нульового роду;

– знайдено точні оцінки величин типу та нижнього типу ?-субгармонійних в Rm, m? 2 функцій порядку меншого від одиниці.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані для розвитку теорії цілих та мероморфних функцій в різних напрямках, а також в теорії потенціалу.

Слід зауважити, що деякі результати дисертації узагальнювались та використовувались іншими авторами. Так, С.Ю. Фаворов [6] вказав ширший допустимий клас субгармонійних в Rm (m? 3 ) функцій, ніж вказаний в дисертації клас полісубгармонійних функцій нульового порядку. Я.Я. Притула використав методику статті [19] для іншого узагальнення теореми Е. Ліндельофа.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертацію, одержані здобувачем особисто. У спільній статті [3] з одним із наукових консультантів - А.А. Гольдбергом -співавторові належить постановка задачі і деякі застосування отриманих результатів.

Основні результати третього розділу дисертації опубліковані в спільних з науковим консультантом М.М. Шереметою статтях [18-20]. У цих працях співавторові належить лема 1 з [19] та зауваження, що вивчення повільного зростання логарифма максимального члену ряду Тейлора може виявитись визначальним при описанні повільного зростання решти згаданих вище характеристик аналітичних функцій. Із статтей [2, 6, 24] в дисертацію увійшли тільки результати автора. Нарешті, результати статті [1] є частковим випадком теореми 3.1 з дисертації.

Апробація результатів дисертації. Всі результати дисертації з доведенням доповідались на міському семінарі з теорії аналітичних функцій у Львові (керівники А.А. Гольдберг, А.А. Кондратюк, О.Б. Скасків). Основні результати дисертації доповідались на VI та VII конференціях з комплексного аналізу та диференціальних рівнянь (м. Чорноголовка, 1987 р. та 1989 р.), на республіканській школі-семінарі з теорії цілих та субгармонійних функцій (м. Харків, 1990 р.), на міжнародних конференціях, присвячених 100-річчю з дня народження С.Банаха (м. Львів, 1992 р.), пам'яті Ганса Гана (м. Чернівці, 1994 р.), "Функціональні простори диференціальних операторів і нелінійний аналіз" (м. Прага, 1995 р.) та "Сучасні проблеми математики" (м. Чернівці, 1998 р.), на 5-ій фінсько-польсько-українській спільній школі з комплексного аналізу (м. Люблін, 1996 р.), на семінарах з теорії функцій комплексної змінної в Ростові-на-Дону (керівник Ю.Ф. Коробейнік), Харкові (керівники Б.Я. Левін, Й.В. Островський, А.П. Гришин), Києві (керівник П.М. Тамразов), на Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник М.М. Шеремета).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 26 роботах (17 без співавторів), з яких 23 журнальні статті (15 без співавторів) у виданнях із переліків, затверджених ВАК України, та 3 у матеріалах міжнародних наукових математичних конференцій.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із переліку умовних позначень, вступу, шести розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 285 сторінок. Список використаних джерел займає 13 сторінок і включає 116 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своїм науковим консультантам проф. А.А. Гольдбергу та проф. М.М. Шереметі.

неванліннівська мероморфна функція асимптотичні

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, подається мета і задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення і апробація отриманих результатів, кількість публікацій.

У першому розділі наводяться основні означення теорії Р. Неванлінни, дається огляд літератури за темою дисертаційної роботи з вказанням нерозв'язаних проблем.

У другому розділі наведено формулювання основних результатів роботи, які дають відповідь на проблеми поставлені у першому розділі.

Нехай

(1)

- аналітична в крузі {z : |z|<R}, 0<R? +?, nфункція з нулями в точках zk . Для спрощення, а це не зменшує загальності, будемо вважати, що a0 = 1, тобто, zk ? 0 для всіх k?N. Основними характеристиками функції (1) є максимум модуля M(r,f)=max{|f(z)| : |z|=r}, максимальний член ?(r,f)=max{|an|rn:n?0}, неванліннівська характеристична функція і неванліннівська лічильна функція нулів

У випадку 0<R<+?, будемо вважати, що R=1, оскільки замість f(z) можна розглядати функцію f1(z)=f(zR).

У випадку R=+? функція f є цілою. Надалі під цілою функцією будемо розуміти цілу трансцендентну функцію.

Неванліннівським (відповідно валіронівським) дефектом цілої функції f в точці a? C, називається величина

де За першою основною теоремою Неванлінни для довільного a? C виконується m(r,a,f)+N(r,a,f)=T(r,f)+O(1), r? ?, де N(r,a,f)=N(r,0,f-a). Отже, 0??(a)??(a)?1. Якщо ?(a)>0 (?(a)>0), то a називають винятковим значенням в розумінні Неванлінни або неванліннівським винятковим значенням (в розумінні Валірона або валіронівським винятковим значенням).

Під повільно зростаючою в точці +? (або просто повільно зростаючою) функцією будемо розуміти неперервну невід'ємну зростаючу до +??на [0,+?) функцію l таку, що l(2x)?l(x), x? +?. Функція l(x) називається повільно зростаючою в точці 1 зліва (в лівому околі точки 1), якщо функція h(x)=l(1-1/x) є повільно зростаючою в точці +?, тобто l((1+x)/2) ? l(x), x? 1-, і l - неперервна невід'ємна зростаюча до +? на [0,1) функція.

В третьому розділі дисертації розглядаються дві задачі, які полягають в знаходженні необхідних та достатніх умов на коефіцієнти an та нулі zk аналітичної функції f, заданої степеневим рядом (1) для того, щоб основні її характеристики lnM(r,f), ln?(r,f), T(r,f) та N(r,1/f) були, по-перше, повільно зростаючими функціями в точці +? або в точці 1 зліва, а по-друге, еквівалентні деякій заданій повільно зростаючій функції.

В підрозділі 3.2 показано, що T(r,f), lnM(r,f) і ln?(r,f) у випадку цілої функції є повільно зростаючими одночасно, причому необхідно є еквівалентними. (Якщо f має нульовий порядок, то такою буде і функція N(r,1/f)). Отже, проблема повільного зростання основних характеристик у випадку цілої функції зводиться до вивчення повільної зміни логарифму максимального члена її степеневого розвинення, а розв'язком останньої є

Теорема 3.3 Нехай f -ціла функція, задана рядом (1), Для того щоб ln?(r,f) була повільно зростаючою функцією, необхідно і досить, щоб існувала зростаюча послідовність (nk) натуральних чисел така, що

і

Наслідок 3.5. Якщо коефіцієнти цілої функції (1) такі, що |an|2/|an-1an+1|?1, то необхідною та достатньою умовою повільного зростання ln ?(r,f) є виконання співвідношення

Теорема 3.4. Для того щоб функція N(r,1/f) була повільно зростаючою, необхідно і досить, щоб виконувалась умова

де (zn) - занумерована в порядку неспадання модулів послідовність нулів функції f.

Нехай ? - невід'ємна неперервна зростаюча до +? на [0,+?) функція така, що x?(x) - опукла функція, а B? - клас цілих трансцендентних функцій (1) таких, що

ln |an|??-n?(n), n? n0.

Природно виникає запитання, при яких умовах на функцію ? для кожної f? B? функція ln M(r,f) є повільно зростаючою.

Використовуючи теорему 3.3, ми отримуємо таке твердження.

Теорема 3.5. Для того щоб ln M(r,f) була повільно зростаюча для кожної функції f? B? необхідно і досить, щоб

Нехай тепер f - аналітична в одиничному крузі. Зауважимо, що якщо ?(r)=O(1), r?1- , то, завдяки неспаданню, ?(r) є повільно зростаючою в точці 1 зліва функцією. Умова ?(r)=O(1), r? 1- , виконується тоді і тільки тоді, коли |an|=O(1), n?+?. Тому надалі будемо вважати, що

(2)

В підрозділі 3.3 отримано повний аналог теореми 3.3 для аналітичних в крузі функцій (теорема 3.9), з якої, зокрема, випливають наступні наслідки.

Наслідок 3.6. Якщо коефіцієнти аналітичної в { z : |z|<1 } функції (1) задовольняють умову (2) і |an/an+1|? 1 (n?+?), то необхідною і достатньою умовою повільного зростання в точці 1 зліва функції ln?(r) є виконання співвідношення

Наслідок 3.7. Нехай (zn) - послідовність нулів аналітичної в одиничному крузі функції. Тоді умова

є необхідною та достатньою для того, щоб функція N(r, 1/f) була повільно зростаючою в лівому околі точки 1.

Приклад функції для якої показує, що у випадку аналітичних в одиничному крузі функцій, величини lnM(r,f), T(r,f) не обов'язково є одночасно повільно зростаючими функціями в лівому околі точки 1. При виконанні умови

(3)

функції ln?(r) і lnM(r) є повільно зростаючими одночасно. Якщо (3) не виконується, то існує аналітична в крузі {z : |z|<1} функція, для якої ln?(r) не є повільно зростаючою функцією в лівому околі точки 1, а lnM(r) є повільно зростаючою там функцією. Чи існують аналітичні в крузі {z : |z|<1} функції, для яких ln?(r) є повільно зростаючою, а lnM(r) не є повільно зростаючою функцією в лівому околі точки 1, вияснити не вдалось.

Розв'язок другої задачі ми отримаємо з аналогiчного результату для природного узагальнення степеневого ряду - ряду Дiрiхле з додатними, зростаючими до +? показниками.

Отже, нехай

?=(?n), 0=?0<?1< ??? <?n< ??? , ?n?+? при n?+?,

а

(4)

ряд Дiрiхле з абсцисою абсолютною збiжності A, A?(-?, +?] . Покладемо M(?,F)=sup{|F(?+it)| : t?R}, i ?(?,F)=max{|an|exp(??n) : n? 0} - максимальний член ряду (4).

Нехай ? - додатна на (-?, A) функція така, що її похідна ?' є додатною неперервною і зростаючою до +? на (-?, A) функцією. Клас таких функцій ? позначимо через ?(A). Для ?? ?(A) нехай ? - функцiя, обернена до ?' , а ?(?)=?-?(?)/?'(?) - функцiя, асоцiйована з ? за Ньютоном. Покладемо

де 0<a<b<+? , q>0 .

Оскільки для досить широких класів рядів Діріхле ln M(?,F)? ln ?(?,F) при ? ? A , то проблема встановлення умов, які забезпечують еквiвалентність ln M(?,F)? ?(?) при ??A зводиться до подібної проблеми стосовно еквiвалентностi ln ?(?,F)? ?(?) при ? ? A .

Теорема 3.12. Нехай ? ? ? (A) . Для того щоб ln ?(?,F)? ?(?) при ? ? A , необхiдно i досить, щоб для кожного ? >0 :

1) iснувало n0 = n0 (?) ? N таке, що для всiх n? n0

2) iснувала зростаюча послiдовнiсть (nk) натуральних чисел така, що

i

(5) 1, де v(t) - повільно зростаюча в точці 1 зліва функція. Наприклад, теорема типу Валірона має вигляд.

Теорема 4.5. Нехай v(r) повільно зростаюча в точці 1 функція така, що вище результати мають критеріальний характер.

II. Для цілих функцій нульового порядку і для добутків Бляшке, лічильна функція нулів яких є повільно зростаючою, доведені теореми типу Валірона та типу Валірона-Тітчмарша.

III. Введено нове поняття регулярного зростання та "індикатора" для цілих4 investigating asymptotical properties of entire functio.

Размещено на Allbest.ru

...