Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАIНИ

IНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.21

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ВIНЕРIВ ПРОЦЕС НА ПЛОЩИНI З НАПIВПРОЗОРИМИ МЕМБРАНАМИ НА ДВОХ ПРЯМИХ, ЯКI ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

АРЯСОВА Ольга Вікторівна

Київ-2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

член-кор. НАН України

Портенко Микола Іванович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу теорії випадкових процесів.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

Копитко Богдан Іванович,

Львівський інститут менеджменту,

завідувач кафедри;

кандидат фізико-математичних наук

Денисьєвський Микола Олексійович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, доцент.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, відділ теорії ймовірностей і математичної статистики.

Захист відбудеться 19 вересня 2000 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м.Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розіслано 24 липня 2000 року.

Вчений секретар

Cпеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

дифузія мембрана матриця математичний

Актуальність теми. Добре відомо, що звичайною моделлю фізичного явища дифузії в математиці є дифузійні процеси. Це - підклас неперервних процесів Маркова, для яких існують локальні характеристики руху: вектор переносу і матриця дифузії. Ці останні, з точки зору фізики, відображають вплив макро- та мікроскопічних факторів на частинку, що знаходиться в рідині або газі. Якщо ж в середовищі є мембрана, що розташована на деякій поверхні, то звичайний дифузійний процес слід збурити векторним полем макроскопічних швидкостей, що має структуру зосередженої на цій поверхні -функції. Таке збурення приводить до нового процесу, поведінка якого поза мембраною така сама, як і поведінка незбуреного процесу. Коли ж такий процес потрапляє на поверхню, де розташована мембрана, він дістає певний імпульс, який повинен бути нескінченно великим за модулем, але таким, щоб траєкторії руху частинки залишались неперервними. Одержаний процес вже не буде дифузійним у звичайному сенсі, але він буде узагальненим дифузійним в термінології роботи [1] [1] Портенко Н.И. Обобщенные диффузионные процессы. - Київ: Наукова думка, 1982. - 208 с.. Слід зазначити, що в цій роботі, а також в роботі [2] [2] Портенко М.I. Дифузія в середовищах з напівпрозорими мембранами. - Київ: Iнститут математики НАН України, 1994. - 134 с., побудовано процеси у середовищах з мембранами на гладеньких поверхнях.

В дисертаційній роботі побудовано модель дифузії на площині з мембранами, що розташовані на двох прямих, які перетинаються. Процесом, який збурюється, буде вінерів процес, тобто дифузійний процес з одиничною матрицею дифузії та нульовим вектором переносу. Наявність кутової точки (точки перетину прямих) не дозволяє застосовувати звичайні методи теорії узагальнених дифузійних процесів.

Треба зазначити, що в роботі [3] [3] Varadhan S.R.S., Wіllіams R.J. Brownіan Motіon іn a Wedge wіth Oblіque Reflectіon // Сommunіcatіon on Pure and Applіed Mathematіcs. - 1985. - Vol.38, N4. - Р. 405-443. побудовано вінерів процес на площині з миттєвим відбиттям на сторонах даного кута, а в роботах [4,5] [4] Taylor L.M., Wіllіams R.J. Exіstence and unіqueness of semіmartіngale reflectіng Brownіan motіons іn an orthant // Probabіlіty Theory and Related Fіelds.- 1993. - Vol. 96.- P. 283-317.

[5] Harrіson J.M., Rіeman M.I. Reflected Brownіan Motіon on an Orthant // The Annals of Probabіlіty. - 1981. - Vol. 9, N2. - P. 302-308. навіть його узагальнення на октант багатовимірного простору. Такі процеси виступають як граничні в теорії масового обслуговування (див. [6,7] [6] Harrіson J.M., Nguyen V. The QNET method for two-moment analysіs of open queueіng networks // Queueіng System.- 1990. - Vol. 6. - P. 1-32.

[7] Rіeman M.I. Open queueіng networks іn heavy traffіc // Mathematіcs of Operatіons Research. - 1984. - Vol. 9. - P. 441-458).

Ми розглядаємо випадок, коли мембрани напівпрозорі і, таким чином, одержуємо більш загальні результати.

В теорії параболічних рівнянь в областях з кутовою точкою, зокрема, в куті на площині, традиційним є підхід, згідно з яким кут за допомогою певного перетворення перетворюється в смугу, для якої дана початково-крайова задача (задача Діріхлє або Неймана) може бути розв'язана, після чого все зводиться до оберененого перетворення (див. [8] [8] Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. - М.: Наука, 1991. - 336 с.).

Можна виділити два основні методи побудови дифузійних процесів з заданими локальними характеристиками: аналітичний, що пов'язаний з диференціальними рівняннями в частинних похідних другого порядку еліптичного і параболічного типів, і ймовірнісний, що ґрунтується на побудові траєкторій дифузійних процесів як розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь. Кожний з цих методів має свої переваги. Тому в даній роботі шуканий процес побудовано обома методами.

Аналітичний метод побудови полягає у збуренні узагальненого дифузійного процесу з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу з -функцією, зосередженою на одній прямій, векторним полем, що має характер -функції, зосередженої на іншій прямій. При цьому ми одержуємо інтегральне рівняння, яке розв'язуємо методом послідовних наближень. Треба зазначити, що метод послідовних наближень для нашої задачі має дещо нетрадиційний вигляд.

За допомогою ймовірнісного методу ми конструюємо шуканий процес у вигляді косого добутку двох випадкових процесів: один з них - це модуль стандартного двовимірного вінерового процесу, а другий - або вінерів процес на проміжку з миттєвим відбиттям на його кінцях, або ж вінерів процес на прямій з напівпрозорими мембранами в точках певної зліченної множини.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова різними методами узагальненого дифузійного процесу на площині з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу, що у загальному випадку є функцією вигляду

(₁q₂(x)+₁a(x))(x)+(₂q₁(x)+₂b(x))(x), (1)

де xR²;

S₁ та S₂ - вище згадані прямі в R² (вони перетинаються),

для і=1,2 _і - одиничний вектор нормалі до прямої S_і,

_і - одиничний вектор, перпендикулярний до вектора _і,

q₂(x), a(x) та q₁(x), b(x) - неперервні функції з дійсними значеннями, що задані на S₁ та S₂ відповідно і такі, що |q_і(x)|1 при всіх x S_{3-і -}, і=1,2;

нарешті, - узагальнена функція на S_і, яка діє на пробну функцію на R² за правилом

<, >=, і=1,2,

з "криволінійним" інтегралом по прямій S_і в правій частині цієї рівності.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше побудовано математичні моделі явища дифузії в двовимірних середовищах з мембранами, які розташовані на негладеньких кривих. Такими моделями є узагальнені дифузійні процеси з -функціями в коефіцієнтах переносу, зосередженими на згаданих кривих.

Аналітичним методом було побудовано такі процеси у ситуаціях, коли ці криві є прямими.

Розглянуто випадки:

ортогональних прямих, змінних коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалях;

неортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалях;

ортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії однієї з мембран не по нормалі.

Крім того, процеси такого типу побудовано за допомогою методу косих добутків у випадках:

непрозорих мембран, що розташовані на сторонах деякого кута;

напівпрозорих мембран із сталими коефіцієнтами прозорості, що розташовані на двох прямих, які перетинаються під довільним кутом.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати та методи побудови можуть бути застосовані для подальшого дослідження дифузійних процесів в областях з мембранами на негладеньких поверхнях. Результати дисертації можуть бути використані також при дослідженні деяких проблем фізики та біології.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримані автором самостійно. Формулювання теорем 3.1 та 3.2, що опубліковані в роботі [3], та підхід до їх доведення належать науковому керівникові.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на III Українсько-Скандинавській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 1999), на VIII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2000), наукових семінарах з теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (керівник: чл.-кор. НАН України М.I. Портенко), з теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики та механіки НАН України (керівник: професор Ю.М. Ліньков), кафедри теоретичної та прикладної статистики Львівського державного університету імені Iвана Франка (керівник: д. ф.-м. наук Єлейко Я. I.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в двох самостійних статтях, та одній, написаній у співавторстві, у тезах III Українсько-Скандинавської конференції з теорії ймовірностей та матаматичної статистики.

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що нараховує 24 найменування. Повний обсяг роботи - 115 сторінок друкованого тексту.

Автор щиро вдячний науковому керівникові за постійну увагу та допомогу під час виконання роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і задачі дослідження, викладено основні результати дисертації.

Розділ 1 має назву “Процеси Маркова. Узагальнені дифузійні процеси на площині. Косий броунівський рух.” Він містить деякі відомості, які використані в роботі.

Розділ 2 “Аналітичні методи” складається з шести підрозділів. Метод побудови шуканого процесу полягає у збуренні узагальненого дифузійного процесу з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу з -функцією, зосередженою на одній прямій векторним полем, що має характер -функції, зосередженої на іншій прямій.

У підрозділі 2.1 розглядається випадок, коли прямі перетинаються під прямим кутом, а мембрана діє по нормалі. В ньому сформульовано і доведено таку теорему.

Теорема 1. Нехай S_і={ xR²: x_3-і=0}, і=1,2, q_і(x) задана на S_3-і неперервна функція з дійсними значеннями така, що |q_і(x)| 1 при всіх x S_3-і, і=1,2, і функція q₂(x) задовольняє умову Ліпшиця |q₂(x)-q₂(y)| L|x-y| при всіх xS₁, yS₁ з деякою сталою L . Тоді існує неперервний процес Маркова, який є узагальненим дифузійним з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу

₁q₂(x)(x)+₂q₁(x)(x).

Напівгрупу операторів, що відповідає шуканому процесу, ми визначаємо як розв'язок рівняння

u(t,x,)=g(t,x,y)(y)dy+g(t-,x,y)V(,y,)q₁(y)d_y (2)

в області t>0, xR²,

де - довільна обмежена вимірна функція на R² з дійсними значеннями, g(t,x,y) - густина процесу, збуреного на прямій S₁ векторним полем ₁q₂(x)(x), V(t,x,) при t>0, x S₂⁰ (через S₂⁰ позначено множину S₂\{0}) - розв'язок рівняння Вольтерра

V(t,x,)=(y)dy+Q(t-,x,y)V(,y,)q₁(y)d_y, (3)

ядро якого допускає оцінку

|Q(,x,y)| ,

де L - стала з умови Ліпшиця,

x₂,, y₂ - другі координати точок x, y в обраній системі координат. Рівняння (3) ми розв'язуємо методом послідовних наближень.

Знайдений розв'язок задовольняє нерівність

| V(t,x,)| L_T||||t^-1/2

з деякою сталою L_T , що залежить лише від T.

(Тут і надалі ||||=sup _xR ²|(x)|.)

Його ми підставляємо в рівняння (2) і доводимо, що за умови |q_і|1, і=1,2, розв'язок рівняння (2) визначає невід'ємну напівгрупу операторів, яка породжує однорідний процес Маркова. Після деяких підрахунків ми переконуємось, що цей процес має задані дифузійні характеристики.

В підрозділі 2.2 сформульовано і доведено таку теорему.

Теорема 2. Нехай (x(t), _t, P_x) - неперервний процес Маркова, що відповідає побудованій напівгрупі операторів. Тоді траєкторії цього процесу є розв'язками системи стохастичних диференціальних рівнянь

dx₁(t)= q₁(x₂(t)) (x₁(t))dt+dw₁(t),

dx₂(t)= q₂(x₁(t)) (x₂(t))dt+dw₂(t),

де x₁(t) та x₂(t) - координати процесу x(t).

В підрозділі 2.3 ми повертаємось до задачі побудови процесу з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу вигляду (1), розглядаючи на цей раз випадок, коли прямі S₁ та S₂ перетинаються не під прямим кутом, коефіцієнти прозорості q₁(x) та q₂(x) сталі, а a(x) та b(x) дорівнюють нулю. Як і в підрозділі 2.1, ми стартуємо з узагальненого дифузійного процесу з одиничною матрицею дифузії і вектором переносу ₁q₂(x) і шукаємо напівгрупу операторів у вигляді

u(t,x,)=G(t,x,y)(y)dy+q₁G(t-,x,y)V(,y,)d_y, (4)

де на цей раз функція V(t,x,) при t>0, x S₂⁰ визначається з інтегрального рівняння

V(t,x,)=(y)dy+q₁F(t-,x,y)V(,y,)d_y, (5)

ядро якого має вигляд

F(t,x,y)=1exp exp,

де - величина гострого кута між прямими S₁ та S₂,

1 - індикатор множини {x₁y₁>0}.

Позначимо через ₀ величину гострого кута такого, що

tg ₀ =.

Існування розв'язку рівняння (5) стверджується наступною лемою.

Лема 1. Нехай >₀. Тоді для довільної обмеженої вимірної функції з дійсними значеннями рівняння (5) має єдиний розв'язок в області t>0, x S₂⁰, який може бути записаний у вигляді ряду

V(t,x,) =V_k(t,x,),

члени якого задовольняють нерівності

|V₀(t,x, )| C||||t ^-1/2,

при k=1,2,…

|V_k(t,x,)| ,

якщо (₀, /4) та

|V_k(t,x,)| ,

якщо [ /4, /2),

де C - деяка додатна стала,

f₁() =,

f_k+1() = , k = 1,2,… .

Знайдений розв'язок рівняння (5) підставляємо в рівняння (4) і визначаємо тим самим напівгрупу операторів, яка породжує деякий неперервний процес Маркова. Далі доводиться, що цей процес є узагальненим дифузійним. Основний результат цього підрозділу відображено у вигляді теореми.

Теорема 3. Нехай S₁={xR²: x₂=0}, S₂={xR²: x₁sіn - x₂cos=0}, (0, /2), q₁R¹, q₂ R¹, |q_і| 1, і=1,2 і виконується умова tg >|q₁q₂|/2. Тоді існує неперервний процес Маркова, який є узагальненим дифузійним з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу

₁q₂(x)+₂q₁(x).

В підрозділі 2.4 сформульовано таку теорему

Теорема 4. Нехай S_і={xR²: x_3-і=0}, q₁R¹, q₂ R¹, R¹ і виконується умова |q_I| 1, і=1,2. Тоді існує неперервний процес Маркова в R² з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу

(₁q₂+₂) (x)+₂q₁ (x).

Її доведення проводиться методами, аналогічними методам підрозділу 2.3.

В підрозділі 2.5 показано, що розв'язки рівнянь (2), (4) та аналогічного рівняння з підрозділу 2.4 є розв'язками початково-крайової задачі вигляду

u

в області t>0, xR² \{S₁S₂};

2) для довільної неперервної та обмеженої функції

u(t,x,)= (x);

3) розв'язок є неперервним при t>0, xR²;

4) а) при t>0, xS₁⁰

;

б) при t>0, xS₂⁰



з відповідними значеннями коефіцієнтів q₁(x), q₂(x), (x).

В підрозділі 2.6 сформульовано основні результати розділу 2.

В розділі 3 “Метод косих добутків” запропоновано ймовірнісний метод побудови, який полягає в конструюванні шуканого процесу у вигляді косого добутку двох випадкових процесів: модуля та фази. Він складається з шести підрозділів.

Основні результати цього розділу подані в підрозділах 3.4 та 3.5, підрозділи 3.1, 3.2 та 3.3 мають допоміжний характер.

В підрозділі 3.1 показано, що вінерів процес на площині в полярних координатах може бути заданий у вигляді (r(t), (t)), де r(t) та (t) - розв'язки рівнянь

dr(t)=dt+dw(t), (6)

де (w(t)) _t0 - деякий одновимірний вінерів процес, та

d (t)=,

де ()_t0 - деякий одновимірний вінерів процес, що не залежить від процесу (w(t)) _t0.

В підрозділі 3.2 побудовано розв'язок стохастичного диференціального рівняння

d (7)

з початковою умовою .

В цьому рівнянні - додатне число, ()_t0 - одновимірний вінерів процес, () та () - узагальнені функції, що визначаються співвідношеннями < , >= (0) та <, >= (), справедливими для довільної пробної функції .

Процес, траєкторії якого є розв'язками рівняння (7), ми позначатимемо через (). Густина ймовірності переходу цього процесу має вигляд

g(t,,) =,

де Z - множина всіх цілих чисел. При t>0, [0,], [0,] вона є густиною ймовірності переходу вінерового процесу на проміжку [0,] з миттєвим відбиттям в точках =0 та =.

В підрозділі 3.3 побудовано вінерів процес на площині з напівпрозорими мембранами в точках зліченної множини {k, +k, kZ}.

В підрозділі 3.4 розглядається процес (t)=_t), _t =, де t) визначається з рівняння (6). Процес (t) є розв'язком такого стохастичного диференціального рівняння

(8)

де (t) - деякий одновимірний вінерів процес, що не залежить від процесу w(t) з рівняння (6).

Зафіксуємо тепер на площині точку O, яка буде початком координат, та деякий промінь S₁ з початком в цій точці. Полярні координати (,) довільної точки A на площині будуть означати віддаль від точки A до точки O та кут , що його утворює промінь OA з променем S₁. Будемо вважати кут додатним, якщо він відлічується від променя S₁ проти годинникової стрілки.

Припустимо, що 0<<2, і позначимо через S₂ промінь, який виходить з точки O і утворює з променем S₁ кут, рівний .Через S будемо позначати відкриту область на площині, обмежену променями S₁ та S₂.

Основний результат підрозділу 3.4 сформульовано у вигляді теореми.

Теорема 5. Нехай r₀(0,) та ₀[0, ] - випадкові величини, що не залежать від вінерових процесів (w(t))_t0 з рівняння (6) та ()_t0 з рівняння (8). Тоді процес (r(t), (t)) на площині, який визначається рівняннями (6) та (8) з початковими умовами r(0)=r₀ та (0)= ₀, буде вінеровим процесом в області з миттєвим відбиттям по нормалі на границях S₁ та S₂ області S.

Нехай тепер ₁ та ₂ - прямі лінії на площині, що проходять через промені S₁ та S₂ відповідно. В підрозділі 3.5 побудовано вінерів процес на площині з напівпрозорими мембранами на прямих ₁ та ₂.

Теорема 6. Якими б не були (0, ), q₁ (-1,1) та q₂ (-1,1), існує неперервний процес Маркова y(t) на площині, що є розв'язком рівняння

dy(t)=

Твердження цієї теореми становить основний результат підрозділу 3.5.

В підрозділі 3.6 сформульовано висновки до розділу 3.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі побудовано вінерів процес на площині з напівпрозорими мембранами на двох прямих, які перетинаються. Запропоновано два методи побудови: аналітичний та ймовірнісний (метод косих добутків).

Аналітичним методом було побудовано процес у випадках:

ортогональних прямих, змінних коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалі;

неортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалі;

ортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембран не по нормалі на одній з прямих.

За допомогою методу косих добутків побудовано процес у випадках:

відбиття, що відбувається на сторонах деякого кута;

прямих, які перетинаються під довільним кутом, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембран по нормалі.

Таким чином, у випадку неортогональних прямих, сталих коефіцієнтів прозорості та дії мембрани по нормалі задача була розв'язана обома методами. При цьому з'ясувалося, що метод косих добутків має переваги перед аналітичним, тому що не вимагає накладання додаткових умов на кут між прямими. Треба вказати також на простоту, з якою шуканий процес побудовано методом косих добутків. Це пояснюється тим, що побудований процес майже напевне не досягає точки перетину прямих.

З іншого боку, за допомогою аналітичних методів вдалося розв'язати більш загальні задачі, ніж ймовірнісними методами - це випадок, коли мембрана діє не по нормалі на одній з прямих, а також випадок змінних коефіцієнтів прозорості.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах

Панамарчук О.В. Дифузійний процес на площині з мембранами на двох прямих, що перетинаються // Укр. мат. журн. - 1999. - №9 - С. 1210-1216.

Арясова О.В. Дифузія на площині з напівпрозорими мембранами на двох прямих // Нелінійні коливання. - 1999. - T. 2, №4. - С. 439 - 447.

Арясова О.В., Портенко М.I. Вінерів процес на площині з мембранами на двох прямих як косий добуток двох випадкових процесів: модуля та фази // Нелінійні коливання. - 2000. - T. 3, №1. - С. 7 - 12.

Panamarchuk O.V. Dіffusіon process іn the wedge wіth membranes on іts sіdes // The Thіrd Ukraіnіan-Scandіnavіan Conference іn Probabіlіty Theory and Math. Statіstіcs. - Kyіv. - 1999. - P. 113.

Арясова О.В. Вінерів процес на площині з мембранами на двох прямих // Матеріали VIII Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 2000. - C.405.

Арясова О.В. Вінерів процес на площині з напівпрозорими мембранами на двох прямих, які перетинаються. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2000.

В дисертації аналітичним та ймовірнісним методами побудовано узагальнений дифузійний процес на площині з одиничною матрицею дифузії та вектором переносу з -функціями, зосередженими на двох прямих, які перетинаються. При побудові аналітичним методом одержується інтегральне рівняння типу Вольтерра, для якого метод послідовних наближень набуває нетрадиційного вигляду. Ймовірнісним методом шуканий процес конструюється у вигляді косого добутку двох випадкових процесів: модуля та фази. Доведено, що напівгрупа операторів, яка відповідає побудованому процесу, є розв'язком деякої параболічної крайової задачі (задачі спряження).

Ключові слова: узагальнений дифузійний процес, вінерів процес, напівпрозора мембрана, напівгрупа операторів.

Aryasova O.V. A Wіener process on a plane wіth semіpermeable membranes that are sіtuated on two іntersectіng straіght lіnes. - Manuscrіpt.

Thesіs for a candіdate's degree by specіalіty 01.01.05 - probabіlіty theory and mathematіcal statіstіcs. - Instіtute of Mathematіcs of Natіonal Academy of Scіences of Ukraіne, Kyіv, 2000.

A generalіzed dіffusіon process on a plane іs constructed both analytіc and probabіlіstіc methods such that іts dіffusіon matrіx іs an іdentіty matrіx and іts drіft vector іs a lіnear combіnatіon of two -functіons concentrated on two іntersectіng staіght lіnes. When constructіng the process desіred by analytіc method the Volterra type equatіon arіses. The method of seccessіve approxіmatіons іs unusual for thіs equatіon. When applyіng the probabіlіstіc method we construct the process as a skew product of two random processes: modulus and phase. It іs proved that the semіgroup of operators correspondіng to the process constructed іs a solutіon of a parabolіc boundary problem (conjugatіon problem).

Key words: generalіzed dіffusіon process, Wіener process, semіpermeable membrane, semіgroup of operators.

Арясова О.В. Винеровский процесс на плоскости с полупрозрачными мембранами на двух пересекающихся прямых. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2000.

В диссертации аналитическим и вероятностным методами построен обобщенный диффузионный процесс на плоскости с единичной матрицей диффузии и вектором переноса с -функциями, сосредоточенными на двух пересекающихся прямых. Для аналитического метода построения стартовым является обобщенный диффузионный процесс с единичной матрицей диффузии и вектором переноса с -функцией, сосредоточенной на одной из прямых. Мы возмущаем его векторным полем, которое имеет характер -функции, сосредоточенной на другой из прямых. При этом мы получаем интегральное уравнение типа Вольтерра, для которого метод последовательных приближений приобретает нетрадиционный вид. С помощью вероятностного метода мы конструируем искомый процесс в виде косого произведения двух случайных процессов: один из которых - модуль стандартного двумерного винеровского процесса, а второй - винеровский процесс на интервале с отражением на его концах, или винеровский процесс на прямой с полупрозрачными мембранами в точках некоторого счетного множества. Траектории этих одномерных процессов мы строим как решения стохастических дифференциальных уравнений. С помощью аналитического метода процесс построен в таких случаях: ортогональных прямых, переменных коэффициентов прозрачности и действия мембран по нормалям; неортогональних прямых, постоянных коэффициентов прозрачности и действия мембран по нормалям; ортогональных прямых, постоянных коэффициентов прозрачности и действия мембраны на одной из прямых не по нормали. Методом косых произведений процесс построен в случаях: прямых, пересекающихся под произвольным углом, постоянных коэффициентов прозрачности и действия мембран по нормалям, а также в случае, когда непрозрачные мембраны расположены на сторонах некоторого угла. Доказано, что полугруппа операторов, соответствующая построенному процессу, является решением некоторой параболической краевой задачи (задачи сопряжения).

Ключевые слова: обобщенный диффузионный процесс, винеровский процесс, полупрозрачная мембрана, полугруппа операторов.

Размещено на Allbest.ru

...