Теория вероятности и статистика
Особенности определения математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины. Рассмотрение локальной теоремы Лапласа. Методика определение вероятности события. Основы построения гистограммы и полигона частот.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.01.2014 |
| Размер файла | 95,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Из десяти билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов: а) один выигрышный; б) хотя бы один выигрышный.
Решение:
Из десяти билетов выигрышными являются 2, невыигрышными, значит, 8
Рассмотрим событие:
а) А - «один билет из 5 взятых наудачу выигрышный»
;
б) B - «хотя бы один выигрышный» т.е. один или два. Найдем P(B) - «все 5 билетов невыигрышные»
.
2. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать только с третьего включения зажигания. Решение:
Обозначим вероятности событий: Р - «двигатель заработал»;
Н - «двигатель не заработал».
Построим ряд распределения: Хi - количество попыток;
Р(Хi) - вероятность события.
|
Хi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
……. |
k |
|
|
Р(Хi) |
P |
HP |
H2P |
H3P |
H4P |
……. |
Hk-1P |
В итоге вероятность события «Двигатель начал работать только с третьего включения» будет
математический дисперсия лапласа
3. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что после 1000 часов работы исправными будут: а) 3 лампочки из четырех; б) более 100 лампочек из 200; в) ровно 50 лампочек из 200.
Решение:
P=0.2 - вероятность того, что лампочка будет цела после 1000 часов работы;
q=1-p=1-0.2=0.8 - вероятность противоположного события т.е. лампочка перегорит.
а) Событие А - исправны 3 лампочки из 4».
Воспользуемся формулой Бернулли:
б) Событие B - «исправны будут более 100 лампочек из 200».
,
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
в) Событие С - «ровно 50 лампочек из 200 будут целые»
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
4. Из колоды 36 карт берут наудачу 2 карты. Чему равна вероятность того, что это две дамы?
Решение:
В колоде 36 карт, из них 4 дамы.
Вероятность будет:
где: - количество благоприятных исходов, т.е. способов взять 2 дамы из 4;
- количество всех исходов, т.е. способов взять 2 карты из 36.
5. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
|
x |
0 |
2 |
4 |
|
|
P(хi) |
0,1 |
0,2 |
0,7 |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
Решение:
Математическое ожидание:
;
Дисперсия:
;
Среднее квадратическое отклонение:
.
6.Задание по статистике
Для предложенных в каждом варианте данных выполнить статистическое исследование в следующем порядке:
1. Провести первичную обработку статистических данных. Результаты представить в виде таблиц. Построить вариационные ряды для каждого признака.
2. Построить гистограмму и полигон частот (или относительных частот) по каждому признаку.
3. Используя метод “условного нуля”, определить числовые характеристики выборок по каждому признаку: выборочное среднее; выборочную дисперсию; исправленную выборочную дисперсию; исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. Дать объяснение полученным результатам.
4. При уровне значимости проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности по признаку Х или признаку У (для каждого варианта в условии даны конкретные указания по и выбираемому признаку /см. ниже таблицы/).
5. Для признаков X и Y построить корреляционное поле и дать предварительный анализ зависимости между признаками.
6. Определить параметры уравнения линейной регрессии.
7. Определить коэффициент корреляции и проверить его значимость. Найти коэффициент детерминации. Сделать вывод о наличии связи между признаками, используя шкалу Чеддока.
8. Построить полученную линию регрессии.
9. Определить абсолютную и относительную среднеквадратическую погрешность уравнения линейной регрессии.
10. Используя полученное уравнение регрессии, дать точечный прогноз по признаку У при заданном значении признака X /см. ниже таблицы/.
В нижеследующей таблице собраны сведения. по ряду шахт. Обозначения: Х -мощность между пластами(до нижележащего), м ; У - себестоимость по участку, грн/т .
|
Х |
128 |
124 |
132 |
148 |
128 |
234 |
217 |
151 |
150 |
155 |
|
|
У |
3,68 |
3,68 |
4,4 |
3,67 |
3,83 |
3,9 |
5,16 |
4,61 |
7,46 |
8,73 |
|
|
Х |
150 |
254 |
250 |
178 |
88 |
34 |
260 |
271 |
180 |
190 |
|
|
У |
9,65 |
3,87 |
3,97 |
5,2 |
5,3 |
6,4 |
6,58 |
7,3 |
5,1 |
5,6 |
|
|
Х |
185 |
134 |
150 |
72 |
75 |
70 |
72 |
74 |
77 |
69 |
|
|
У |
3,11 |
8,25 |
9,05 |
9,15 |
17,7 |
10,3 |
12,5 |
12,3 |
11,5 |
18 |
|
|
Х |
68 |
65 |
71 |
75 |
77 |
245 |
254 |
96 |
123 |
142 |
|
|
У |
6,53 |
18 |
5,47 |
7,37 |
7,63 |
5,55 |
5,55 |
7,92 |
4,82 |
4,2 |
|
|
Х |
120 |
121 |
38 |
39 |
65 |
40 |
41 |
110 |
9 |
8 |
|
|
У |
4,23 |
3,66 |
5,85 |
3,45 |
6,08 |
3,74 |
2,49 |
6,93 |
13,3 |
14,2 |
|
|
Х |
87 |
7 |
|||||||||
|
У |
6,56 |
9,51 |
В пункте 4) взять = 0,01 и проверить на нормальность закона распределения признака Х.
В пункте 10) сделать прогноз при Х = 160 м..
1. Проведем первичную обработку, т.е. ранжируем ряды и разобьем на интервалы.
Для признака Х получим:
Для построения интервального статистического ряда высчитаем шаг интервала по формуле
Количество интервалов примем равным 5.
Найдем число попаданий элементов выборки в каждый из интервалов. Оценим вероятность попадания в каждый из интервалов и все полученные данные внесем в таблицу. Также в таблице укажем середины интервалов.
|
№ интервала |
начало интервала |
конец интервала |
частота попадания в интервал |
частности |
эмпирическая функция распределения |
середина интервала |
|
|
1 |
7 |
59,8 |
8 |
0,15 |
0,15 |
33,40 |
|
|
2 |
59,8 |
112,6 |
17 |
0,33 |
0,48 |
86,20 |
|
|
3 |
112,6 |
165,4 |
15 |
0,29 |
0,77 |
139,00 |
|
|
4 |
165,4 |
218,2 |
5 |
0,10 |
0,87 |
191,80 |
|
|
5 |
218,2 |
271 |
7 |
0,13 |
1,00 |
244,60 |
|
|
52 |
1,00 |
Построим гистограмму и полигон
Для признака Y получим:
Для построения интервального статистического ряда высчитаем шаг интервала по формуле
Количество интервалов примем равным 5.
Найдем число попаданий элементов выборки в каждый из интервалов. Оценим вероятность попадания в каждый из интервалов и все полученные данные внесем в таблицу.
Также в таблице укажем середины интервалов.
|
№ интервала |
начало интервала |
конец интервала |
частота попадания в интервал |
частности |
эмпирическая функция распределения |
середина интервала |
|
|
1 |
2,49 |
5,592 |
26 |
0,50 |
0,50 |
4,04 |
|
|
2 |
5,592 |
8,694 |
12 |
0,23 |
0,73 |
7,14 |
|
|
3 |
8,694 |
11,796 |
7 |
0,13 |
0,87 |
10,25 |
|
|
4 |
11,796 |
14,898 |
4 |
0,08 |
0,94 |
13,35 |
|
|
5 |
14,898 |
18 |
3 |
0,06 |
1,00 |
16,45 |
|
|
52 |
1,00 |
Построим гистограмму и полигон
2. Числовые характеристики:
Сделаем расчеты для Х:
Вычислим числовые характеристики выборки. Для этого построим расчетную таблицу.
Все расчеты будем производить в редакторе электронных таблиц MS Excel.
Среднее арифметическое будем искать по формуле
Моменты будем считать по формуле
|
№ интервала |
|||||
|
1 |
-467,66 |
27338,41 |
-1598140,61 |
93423612,19 |
|
|
2 |
-96,18 |
544,16 |
-3078,70 |
17418,32 |
|
|
3 |
707,13 |
33335,96 |
1571533,97 |
74085738,02 |
|
|
4 |
499,71 |
49942,32 |
4991351,15 |
498847151,98 |
|
|
5 |
1069,20 |
163311,49 |
24944573,54 |
3810091726,39 |
|
|
1712,20 |
274472,49 |
29906239,34 |
4476465646,90 |
Дисперсия:
.
Среднее квадратическое отклонение:
.
Асимметрия:
Эксцесс:
.
Для предварительного выбора закона распределения вычислим средние квадратические ошибки определения асимметрии и эксцесса:
.
По виду гистограммы и полигона делаем вывод что случайная величина распределена по нормальному закону.
Проведем проверку гипотезы о нормальном распределении применив критерий .
Для этого составляем расчетную таблицу
|
№ |
||||||
|
1 |
8 |
-0,80 |
0,29 |
10,91 |
0,77 |
|
|
2 |
17 |
-0,08 |
0,40 |
15,03 |
0,26 |
|
|
3 |
15 |
0,65 |
0,32 |
12,21 |
0,64 |
|
|
4 |
5 |
1,38 |
0,15 |
5,85 |
0,12 |
|
|
5 |
7 |
2,10 |
0,04 |
1,65 |
17,28 |
|
|
19,07 |
По таблице критических точек распределения .
Находим .
В силу того, что наблюдаемое значение меньше табличного критического, гипотезу о нормальном распределении не отвергаем.
Сделаем расчеты для Y:
Вычислим числовые характеристики выборки. Для этого построим расчетную таблицу.
Все расчеты будем производить в редакторе электронных таблиц MS Excel.
Среднее арифметическое будем искать по формуле
Моменты будем считать по формуле
|
№ интервала |
|||||
|
1 |
-52,88 |
107,54 |
-218,70 |
444,77 |
|
|
2 |
12,82 |
13,69 |
14,63 |
15,63 |
|
|
3 |
29,19 |
121,74 |
507,69 |
2117,20 |
|
|
4 |
29,09 |
211,54 |
1538,41 |
11187,79 |
|
|
5 |
31,12 |
322,88 |
3349,63 |
34749,98 |
|
|
49,35 |
777,39 |
5191,66 |
48515,37 |
Дисперсия:
.
Среднее квадратическое отклонение:
.
Асимметрия:
Эксцесс:
.
5. Построим корреляционное поле
По виду корреляционного поля сделать однозначный вывод о зависимости затруднительно.
6. Вычислим коэффициент корреляции и запишем уравнение регрессии:
Выборочный коэффициент корреляции:
Запишем уравнение регрессии:
Вычислим коэффициент детерминации:
Построим линию регрессии:
Показателям тесноты связи дадим качественную оценку (шкала Чеддока):
|
Количественная мера тесноты связи |
Качественная характеристика силы связи |
|
|
0,1 - 0,3 |
Слабая |
|
|
0,3 - 0,5 |
Умеренная |
|
|
0,5 - 0,7 |
Заметная |
|
|
0,7 - 0,9 |
Высокая |
|
|
0,9 - 0,99 |
Весьма высокая |
В нашем случае связь слабая.
Абсолютная среднеквадратическая погрешность:
Относительная среднеквадратическая погрешность:
Прогноз по признаку Y(X): Y(160)=6,341827
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
контрольная работа [212,0 K], добавлен 01.05.2010Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Применение классического определения вероятности для нахождения среди определенного количества деталей заданных комбинаций. Определение вероятности обращения пассажира в первую кассу. Использование локальной теоремы Муавра-Лапласа для оценки отклонения.
контрольная работа [136,0 K], добавлен 23.11.2014Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Длина интервала группирования. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины. Коэффициент корреляции. Границы доверительного интервала для ожидания.
курсовая работа [622,9 K], добавлен 18.02.2009Расчет наступления определенного события с использованием положений теории вероятности. Определение функции распределения дискретной случайной величины, среднеквадратичного отклонения. Нахождение эмпирической функции и построение полигона по выборке.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 14.11.2010Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Определение математической вероятности правильного набора, если на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры. Использование классического определения вероятности. Расчет математического ожидания и дисперсии для очков, выпавших на игральных костях.
контрольная работа [90,2 K], добавлен 04.01.2011Определение дифференциальной функции распределения f(x)=F'(x) и математического ожидания случайной величины Х. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа. Составление уравнения прямой линии регрессии. Определение оптимального плана перевозок.
контрольная работа [149,6 K], добавлен 12.11.2012
