Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь типу Колмогорова

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича

УДК 517.956.4

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА

01.01.02 - диференціальні рівняння

Дронь Віталій Сільвестрович

Чернівці - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Чернівецького національного університету ім. Ю. Федьковича Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук,

професор Iвасишен Степан Дмитрович,

Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича, завідувач кафедри математичного моделювання

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

доцент Копитко Богдан Iванович,

Львівський банківський інститут Національного банку України, професор кафедри банківських дисциплін;

кандидат фізико-математичних наук,

доцент Малицька Ганна Петрівна,

Прикарпатський університет ім. В. Стефаника,

доцент кафедри математичного аналізу і прикладної математики

Провідна установа - Інститут прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк), відділ нелінійного аналізу.

Захист відбудеться "27" жовтня 2000 р. о 13³⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К76.051.02 в Чернівецькому національному університеті ім.Ю.Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Коцюбинського, 2, навчальний корпус N1, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету ім.Ю.Федьковича (м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23).

Автореферат розісланий "25" вересня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Садовяк А.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На даний час добре вивчена задача Коші та крайові задачі для рівномірно параболічних рівнянь і систем рівнянь. Однак цього не можна сказати про параболічні рівняння з різними виродженнями. Такі рівняння виникають при математичному моделюванні різних реальних процесів. Ще в 1934 р. А.М.Колмогоров при вивченні випадкових рухів узагальнив класичну теорію броунівського руху А.Ейнштейна і прийшов до рівняння дифузії з інерцією, яке є виродженим параболічним рівнянням і належить до класу ультрапараболічних рівнянь.

Узагальненнями класичного рівняння Колмогорова, в тому числі й на випадок рівнянь дoвільного порядку, та їх дослідженням займались М.Вебер (M.Weber), Т.Г.Генчев, А.М.Iльїн, Р.З.Хасьмінський, I.М.Сонін, Я.I.Шатиро, Л.П.Купцов, С.Д.Ейдельман, Г.П.Малицька, Л.М.Тичинська, В.Скорнаццані (V.Scornazzanі), С.Д.Iвасишен, Л.М.Андросова, С.Г.Пятков, О.Г.Возняк та ін.

Як і в теорії задачі Коші для не вироджених параболічних рівнянь, для ультрапараболічних рівнянь типу Колмогорова одним з основних понять є фундаментальний розв'язок задачі Коші (ФРЗК). Тому найважливішими питаннями, які стояли перед дослідниками задачі Коші для таких рівнянь, були питання, що стосувалися існування, оцінок і властивостей ФРЗК.

Самим А.М.Колмогоровим знайдено явну формулу для ФРЗК для рівняння дифузії з інерцією для системи з одним степенем свободи у випадку сталих коефіцієнтів. Дальший розвиток досліджень відбувався у напрямках послаблення умов, за яких існує ФРЗК, одержання його точніших оцінок, ускладнення структури рівняння. У працях М.Вебер (1951 р.), А.М.Iльїна (1964 р.), I.М.Соніна (1967 р.), Л.П.Купцова (1972-1983 рр.), Г.П.Малицької (з 1973 р.), С.Д.Ейдельмана (з 1974 р.), Л.М.Тичинської (1978-1990 рр.), С.Д.Iвасишена (з 1988 р.), Л.Н. Андросової (1988 -1991 рр.) побудований ФРЗК для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова, в тому числі й для рівнянь довільного порядку, а також вивчені деякі його властивості. При цьому С.Д.Ейдельманом, С.Д.Iвасишеним і Г.П.Малицькою застосований модифікований метод Леві для побудови і дослідження ФРЗК.

Для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з коефіцієнтами, не залежними від просторових змінних, С.Д.Iвасишеним і Л.М.Андросовою всебічно досліджено властивості ФРЗК і породжених ними інтегралів Пуассона функцій та узагальнених мір зі спеціальних вагових просторів, за допомогою яких для однорідних рівнянь одержано зображення у вигляді інтегралів Пуассона розв'язків, визначених у відкритому шарі, встановлено коректну розв'язність задачі Коші у введених просторах. Цим авторам удалося побудувати такі простори початкових даних і класичних розв'язків задачі Коші для однорідного рівняння, між якими існує взаємно однозначна відповідність.

У працях С.Д. Ейдельмана, С.Д. Iвасишена, Г.П.Малицької, Л.М.Тичинської, О.Г.Возняк побудований ФРЗК також для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова, які містять ще виродження на початковій гіперплощині або мають зростаючі при $|x|\to\іnfty$ коефіцієнти.

Нещодавно С.Д.Iвасишен і С.Д.Ейдельман ввели новий клас вироджених рівнянь - вироджених рівнянь типу Колмогорова з $\overrіghtarrow{2b}$-параболічною частиною відносно основної групи змінних і у випадку, коли коефіцієнти цих рівнянь не залежать від просторових змінних, побудували ФРЗК і довели теореми про коректну розв'язність задачі Коші та інтегральне зображення розв'язків.

Основним результатом праць Я.I.Шатиро (1970-1971 рр.) є встановлення гладкості розв'язків неоднорідного рівняння та внутрішніх апріорних оцінок розв'язків в обмежених областях.

У працях за 1996 і 1999 рр. Г.П.Малицька довела деякі модифікації принципу максимуму, зокрема сильний принцип максимуму, для розв'язків виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова другого порядку з дійснозначними коефіцієнтами. В.Скорнаццані (1982 р.), використовуючи принцип максимуму, одержав оцінку знизу для ФРЗК та довів єдність невід'ємного розв'язку задачі Коші для класичного рівняння Колмогорова.

Починаючи з 1940 р., паралельно із задачею Коші досліджуються крайові задачі для ультрапараболічних рівнянь.Цьому присвячені, зокрема, праці Н.С.Піскунова (1940 р.), Т.Г.Генчева (1963 р.), Я.I.Шатиро (1971 р.), Г.П. Малицької (1983-1993 рр.), С.А.Терсенова (1987-1988 рр.), С.Г.Пяткова (1990 р.), С.А.Орлової (1990 р.), М.О.Оринбасарова (1990 р.).

Проаналізувавши результати дослідження задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова, можна зробити висновок, що найповніші і найточніші результати одержані для рівняння з коефіцієнтами, не залежними від просторових змінних. Якщо коефіцієнти рівнянь залежать від усіх змінних, то повних результатів ще не одержано. Недостатньо також вивчена задача Коші для неоднорідних рівнянь. Дисертаційна робота покликана заповнити ці прогалини для випадку загального виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова другого порядку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи "Дослідження детермінованих і стохастичних математичних моделей, які описуються диференціальними та диференціально-функціональними рівняннями" (номер держреєстрації 0199U001915), що виконується на кафедрі математичного моделювання Чернівецького університету, асистентом і аспірантом якої був і є автор.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є поглиблене вивчення задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова другого порядку з трьома групами просторових змінних у загальному випадку, зокрема одержання для таких рівнянь результатів, подібних до добре відомих у теорії задачі Коші для рівномірно параболічних рівнянь.

Безпосередніми задачами дослідження є:

- всебічне вивчення властивостей ФРЗК для розглядуваних рівнянь;

- дослідження диференціальних властивостей, граничної поведінки та одержання оцінок у різних нормах потенціалів, породжених ФРЗК;

- встановлення коректної розв'язності задачі Коші в широких класах функціональних просторів, зокрема побудова шаудерівської теорії задачі Коші.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше одержані такі результати для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова другого порядку з трьома групами просторових змінних і коефіцієнтами, залежними, взагалі кажучи, від усіх незалежних змінних:

- доведені модифікації принципу максимуму, які використані при дослідженні властивостей ФРЗК і знаходженні класів єдиності розв'язків задачі Коші;

- встановлені такі властивості ФРЗК, як нормальність, формула згортки, додатність ФРЗК та його оцінка знизу для рівняння з дійснозначними коефіцієнтами, оцінки похідних від інтегралів від ФРЗК, диференційовність об'ємного потенціалу;

- одержані оцінки в спеціальних вагових нормах інтегралів Пуассона й об'ємного потенціалу, породжених ФРЗК, та досліджена їх гранична поведінка;

- знайдені умови, за яких розв'язки задачі Коші для однорідного рівняння та розв'язки такого рівняння, що визначені у відкритому шарі, зображуються у вигляді інтегралів Пуассона функцій або узагальнених борельових мір зі спеціальних вагових просторів;

- доведені теореми про єдність розв'язків задачі Коші в просторах функцій з обмеженим зростанням на нескінченності (швидкозростаючих функцій) та невід'ємних функцій;

- встановлена коректна розв'язність та одержано інтегральне зображення розв'язків задачі Коші для неоднорідного рівняння, при цьому описані множини початкових значень розв'язків і встановлений ізоморфізм між цими множинами і просторами відповідних розв'язків задачі Коші;

- доведені теореми про коректну розв'язність у вагових просторах Гельдера задачі Коші для неоднорідного рівняння з коефіцієнтами, не залежними від просторових змінних.

При одержанні цих результатів модифіковані методи теорії задачі Коші для рівномірно параболічних рівнянь і методика доведень, яка розроблена при дослідженні вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова у випадку, коли їх коефіцієнти не залежать від просторових змінних.Зокрема, запропоновано нову модифікацію методу Леві, яка дозволяє глибше дослідити структуру ФРЗК у загальному випадку та одержати точніші оцінки інтегралів від ФРЗК.

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають теоретичний характер. Її результати можуть бути використані при подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь, а також у теорії випадкових процесів при вивченні марковських процесів, густини ймовірності переходу яких є ФРЗК для розглянутих рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [1,3,6,10] С.Д.Iвасишену належить постановка задач і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідалися автором на: міжнародних конференціях "Nonlіnear Partіal Dіfferentіal Eqeatіons" (Київ, 1997 р.; Львів, 1999 р.) і "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 1998 р.); всеукраїнській конференції "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування" (Чернівці, 1996 р.); науковій конференції викладачів, співробітників та студентів, присвяченій 120-річчю заснування Чернівецького університету (Чернівці, 1995р.); Львівському міському науковому семінарі з диференціальних рівнянь (Львів, 2000 р.); наукових семінарах математичного факультету і кафедри математичного моделювання Чернівецького університету (Чернівці, 1995-2000 рр.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 11 працях, з них 2 - в наукових журналах, 4 - у збірниках наукових праць і 5 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку N1 ВАК України від 9.06.1999.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень і скорочень, вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаної літератури, який містить 85 найменувань. Повний обсяг роботи становить 118 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору С.Д.Iвасишену за постановку задачі та змістовні консультації.

фундаментальний коші диференціальний потенціал

ЗМIСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, ставляться мета і задачі дослідження, указується на зв'язок дисертації з науковою темою кафедри, на якій вона виконана, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення й апробація. У першому розділі зроблено огляд праць, що стосуються побудови математичних моделей броунівського руху, дослідження задачі Коші та крайових задач для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова, а також використаної в дисертації методики.

У розділі 2 наведено основні припущення щодо коефіцієнтів рівняння, що розглядається в дисертації. Доведено деякі модифікації принципу максимуму, які використовуються в роботі. Розділ містить також як відому, так і нову інформацію про ФРЗК для виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова другого порядку.

Нехай - задане додатне число; - натуральні числа такі, що ;;;- -вимірний евклідів простір; - точка простору, , де - точка простору,; , якщо.

У дисертації розглядається задача Коші



(1)

(2)

де - координата точки,; коефіцієнти рівняння (1) та функції і вважаються, взагалі кажучи, комплекснозначними.

У роботі використовуються наступні припущення щодо коефіцієнтів , і .

Коефіцієнти є неперервними дійснозначними функціями в , причому для всіх і справджується нерівність (3)

з деякою сталою та існує стала така, що для всіх виконуються нерівності

КоефіРазмещено на http://www.allbest.ru/

цієнти є неперервними й обмеженими дійснозначними функціями в та виконується умова (3).

(3)

Коефіцієнти в є неперервними й обмеженими функціями разом зі своїми похідними за і та за задовольняють рівномірну умову Гельдера з показником .

Існують похідні за від функцій і до відповідно другого і першого порядків; ці похідні разом з , і в є неперервними й обмеженими функціями, які зазадовольняють рівномірну умову Гельдера з показником і мають неперервні й обмежені похідні за і .

У підрозділі 2.2 за умов чи доведено модифікації принципу максимуму для рівняння (1) та спряженого за Лагранжем з ним рівняння в обмежених та необмежених областях, а також принцип максимуму для рівняння (1) у випадку функцій з обмеженим спаданням. Модифікації принципу максимуму використовуються в підрозділі 2.3 для встановлення додатності та оцінки знизу ФРЗК, а також у розділі 4 для доведення теорем про єдність розв'язків задачі Коші.

У підрозділі 2.3 наведено відомі результати про ФРЗК для рівняння (1), його оцінки та аналітичний вираз для рівнянь з не залежними від просторових змінних коефіцієнтами.

Зокрема, вказано, що за умов і існує єдиний ФРЗК $Z$ для pівняння (1), для якого справджуються оцінки

(4)

з деякими C>0, c>0, де ; -n_l-вимірний мультиіндекс, ;

; ;

; .

Далі встановлено за умов і такі властивості ФРЗК, як нормальність, формула згортки, додатність ФРЗК та його оцінка знизу для рівняння з дійснозначними коефіцієнтами. Крім того, за умов і доведено диференційовність об'ємного потенціалу, а також одержані оцінки похідних від інтегралів від ФРЗК, які є точнішими, ніж ті, що можна одержати, використовуючи оцінки (4).

Зауважимо, що при доведенні останньої властивості використовувалася нова модифікація методу Леві. Вона є трикратним повторенням процедури, подібної до тої, за допомогою якої побудований ФРЗК для рівняння зі змінними коефіцієнтами. Розділ 3 присвячений одержанню оцінок і дослідженню граничної поведінки породжених ФРЗК потенціалів - інтегралів Пуассона функцій та узагальнених борельових мір, об'ємних потенціалів - у залежності від того, до яких просторів належать їх густини. У підрозділі 3.1 досліджено властивості інтегралів Пуассона, породжених ФРЗК для рівняння (1). Для формулювання результатів вводяться необхідні норми і простори функцій та узагальнених мір. Нехай

де c₀ - деяке число з проміжку (0,c), c - стала в експоненті з оцінок (4), а a_l, - невід'ємні числа такі, що

Для заданої функції u: П_[0,T] C і кожного означено норми

де може набувати лише значень t і 0, Тут і далі використано позначення

якщо

Формальною заміною у вищеозначених нормах функції k на функцію s введені норми

і

Використовуються такі простори функцій:

- простір неперервних функцій, для яких є скінченною норма де

, - простір вимірних функцій , для яких є скінченною норма

- простір вимірних функцій , які задовольняють умову

₀ - простір неперервних функцій , таких, що

M^a - простір усіх комплекснозначних узагальнених борельових мір (зліченно-адитивних функцій, які визначені на -алгебрі борельових множин простору Rⁿ), які задовольняють умову де || - повна варіація .

У термінах вищеозначених норм оцінено такі функції, які називаються інтегралами Пуассона відповідно функції та узагальненої міри :

(5)

За умов Б₁ і Б₂ доведено, що якщо чи і, то функції u₁ і u₂, є регулярними розв'язками однорідного рівняння

(6)

відповідні норми яких оцінюються через норми початкових даних. З'ясовано, в якому сенсі інтеграли (5) і (7) задовольняють початкову умову.

У підрозділі 3.2 встановлені властивості об'ємного потенціалу

 (7)

Для функції використовуються наступні умови, в яких а

В₁. Функція f неперервна і на кожному компакті задовольняє рівномірну відносно t умову Гельдера за групами x₁, x₂ і x₃ просторових змінних відповідно з показниками і

В_2p. Для довільного скінченними є величини

і

В_3p. Для довільних t і таких, що 0 < < t T, скінченними є величини

і ,

причому F_3p(t) 0, t 0+.

При відповідних припущеннях щодо f функція (8) є регулярним розв'язком рівняння (1). У термінах норм і одержано оцінки цього розв'язку і вивчено граничну поведінку при t 0+.

У пункті 3.2.2 проведено дослідження залежності умов Гельдера похідних об'ємного потенціалу від умов Гельдера його густини f . Тут G - ФРЗК для рівняння з такими умовами на коефіцієнти:

а) ₀ > 0 t [0,T]

б) коефіцієнти a_kj, a_j і a₀ в [0,T] є неперервними функціями.

Гладкість по тенціалу вивчається в термінах спеціальних гельдерових норм і просторів. Нехай ₁ (0, 1), ₂ (0, 3), ₃ (0, 5), p₁ 0, 1, 2, p₂, p₃ 0, 1 і. Використовуються такі норми і простори:

- простір функцій w : П_[0,T] C, для яких скінченною є норма

- простір функцій w : П_[0,T] C, які разом зі своїми похідними, | m_l | p_l , l M, належать до простору, тобто є скінченною норма ;

- простір, означення якого одержується з означення простору заміною функції k на функцію s .

Лема 3.9. Якщо, (0, 1), то, справджуються оцінка її рівності

У розділі 4 доведено теореми про зображення розв'язків рівняння (7) у вигляді інтегралів Пуассона і про єдиність розв'язків задачі Коші та, як підсумок попередніх результатів, сформульовано теореми про коректну розв'язність задачі Коші.

У підрозділі 4.1 припускається, що коефіцієнти рівняння (1) задовольняють умови Б₁ і Б₃, а невід'ємні числа a_l , l M , які входять у вирази для функцій k_l і s_l , l M, вибрані так, щоб виконувалась умова

T < mіn_lM (c₀/s_l(T))^1/(2l-1). (8)

У цьому підрозділі знайдено умови, за яких розв'язки задачі Коші для рівняння (7), а також розв'язки рівняння (7), що визначені в шарі П_(0,T], зображуються у вигляді (5) чи (6) з і M^a . Підрозділ 4.2 присвячений теоремам про єдиність розв'язків задачі Коші.

Теорема 4.1. Нехай виконуються умови Б₁, Б₃ і (8).

1. Якщо , 1 p , то не існує більше одного розв'язку рівняння (1), який задовольняє такі умови:

(9)

при 1 p <

(10)

при p =

(11)

2. Якщо M^a , то не існує більше одного розв'язку рівняння (1), який задовольняє умову (12) з p = 1

Теорема 4.2. Нехай коефіцієнти рівняння (1) задовольняють умову A₂, B - деяке додатне число і b_l , l M , - деякі невід'ємні числа. Тоді не існує більше одного розв'язку задачі Коші (1), (2), який задовольняє умову |u(t, x)| Bexp{[b, x]} , (t, x) П_(0,T] , де b (b₁, b₂, b₃).

Теорема 4.3. Нехай виконуються умови Б₁ і Б₃ та нехай b - деяке невід'ємне число. Тоді не існує більше одного розв'язку рівняння (1), який задовольняє умови на довільному компакті K Rⁿ

У пункті 4.2.2 доведено єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння з дійснозначними коефіцієнтами в просторі невід'ємних функцій.

У підрозділі 4.3 сформульовано теореми, які підсумовують одержані в розділі 3 та підрозділах 4.1 і 4.2 результати.

Теореми 4.5-4.6. Нехай виконуються умови Б₁ , Б₂ і p {0} [1, ]. Якщо , а f задовольняє умови В₁ і В_2p або В_3p , то функція

u(t, x) = u₁(t, x) + v(t, x), (t, x) П_(0,T], (12)

Якщо додатково виконуються умови Б₃ і (11), то цей розв'язок єдиний.

Теорема 4.7. Нехай виконуються умови Б₁ і Б₂ . Якщо M^a, а f задовольняє умови В₁ і В₂₁ або В₃₁ , то функція

u(t, x) = u₂(t, x) + v(t, x), (t, x) П_(0,T], (13)

Якщо додатково виконуються умови Б₃ і (11), то цей розв'язок єдиний. Наступна теорема є в певному розумінні оберненою до теорем 4.5-4.7.

Теорема 4.8. Нехай виконуються умови Б₁ , Б₃ та (11) і нехай f задовольняє умови В₁ та В_3p з деяким p [1, ].

Якщо u - розв'язок рівняння (1), який задовольняє умову

(14)

то при 1 < p існує єдина функція , а при p = 1 - єдина узагальнена міра M^a такі, що розв'язок u зображується відповідно у вигляді (17) або (18), де u₁, u₂ і v визначені в (5), (6) і (8).

Наслідок. Розглянемо рівняння (1) з деякою функцією f , яка задовольняє умови В₁ та В_3p , 1 p . Умова (19) є необхідною і достатньою для таких тверджень:

1) і M^a є множинами початкових значень розв'язків рівняння (1) відповідно при 1 < p і p = 1;

2) розв'язок u рівняння (1) зображується у вигляді (17) і (18) відповідно з при 1 < p і M^a при p = 1, причому справджуються співвідношення (13) - (15). У пункті 4.3.3 встановлена коректна розв'язність задачі Коші для рівняння (10) у вагових гельдерових просторах. Нехай, p₁ 0, 1, 2, p₂, p₃ 0, 1 - простір функцій : Rⁿ C, які мають похідні вигляду, | m_l | p_l , l M.

Теорема 4.10. Нехай коефіцієнти рівняння (10) задовольняють умови а), б), і функція така, що та C > 0: (0, 1) .

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена поглибленому вивченню задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова другого порядку з трьома групами просторових змінних у загальному випадку. Такого типу рівняння є важливими як з точки зору застосувань у теорії випадкових процесів, так і в теорії рівнянь з частинними похідними.

Основні результати дисертації є, взагалі кажучи, нетривіальним узагальненням відомих для рівномірно параболічних рівнянь результатів на названий клас вироджених рівнянь. Для таких рівнянь уперше:

- доведені модифікації принципу максимуму, які використані при дослідженні властивостей ФРЗК і знаходженні класів єдиності розв'язків задачі Коші;

- встановлені такі властивості ФРЗК, як нормальність, формула згортки, додатність ФРЗК та його оцінка знизу для рівняння з дійснозначними коефіцієнтами, оцінки похідних від інтегралів від ФРЗК, диференційовність об'ємного потенціалу;

- одержані оцінки в спеціальних вагових нормах інтегралів Пуассона й об'ємного потенціалу, породжених ФРЗК, та досліджена їх гранична поведінка;

- знайдені умови, за яких розв'язки задачі Коші для однорідного рівняння та розв'язки такого рівняння, що визначені у відкритому шарі, зображуються у вигляді інтегралів Пуассона функцій або узагальнених борельових мір із спеціальних вагових просторів;

- доведені теореми про єдиність розв'язків задачі Коші в просторах функцій з обмеженим зростанням на нескінченності (швидкозростаючих функцій) та невід'ємних функцій;

- як підсумок вищеназваних результатів сформульовані теореми про коректну розв'язність та інтегральне зображення розв'язків задачі Коші для загального неоднорідного рівняння, при цьому описані множини початкових значень розв'язків і при певних припущеннях щодо коефіцієнтів та неоднорідності рівнянь установлений ізоморфізм між уведеними просторами початкових значень та відповідних розв'язків задачі Коші;

- доведені теореми про коректну розв'язність у вагових просторах Гельдера задачі Коші для неоднорідного рівняння з коефіцієнтами, не залежними від просторових змінних.

Одержані результати і методика доведень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватись при подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь та у теорії випадкових процесів при вивченні марковських процесів, густини ймовірності переходу яких є ФРЗК для розглянутих рівнянь.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ПРАЦЯХ

1. Дронь В.С., Iвасишен С.Д. Властивості фундаментальних розв'язків і теореми єдиності розв'язків задачі Коші для одного класу ультрапараболічних рівнянь // Укр. мат. журн. - 1998. - T.50, N11. - С.1482-1496.

2. Дронь В.С. Про коректну розв'язність задачі Коші для ультрапараболічного рівняння типу Колмогорова // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1999. - T.42, N3. - С.52-55.

3. Дронь В.С., Iвасишен С.Д. Про властивості об'ємного потенціалу та коректну розв'язність задачі Коші для одного модельного ультрапараболічного рівняння // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 46. Математика. - Чернівці: ЧДУ, 1999. - С.36-43.

4. Дронь В.С. Про коректну розв'язність у вагових просторах Гельдера задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 76. Математика. - Чернівці: Рута, 2000. - С.32-41.

5. Дронь В.С. Про принцип максимуму для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова // Iнтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - К.: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип.12. - С.272-277.

6. Дронь В.С., Iвасишен С.Д. Деякі властивості фундаментальних розв'язків задачі Коші для вироджених параболічних рівняннь типу Колмогорова // Волинський математичний вісник. - Рівне, 1995. - Вип.2. - С.76-78.

7. Dron' V.S. On Cauchy problem for ultraparabolіc equatіons of Kolmogorov type // Internatіonal Conference "Nonlіnear Partіal Dіffefertіal Equatіons" (Kіev, August 26-30, 1997): Book of abstracts. - Donetsk, 1997. - P.44-45.

8. Dron' V.S. On propertіes of the volume potentіal for a class of degenerate parabolіc equatіons of Kolmogorov type // Internatіonal Conference "Nonlіnear Partіal Dіffefertіal Equatіons" (Lvіv, August 23-29, 1999): Book of abstracts. - Lvіv, 1999. - P.57.

9. Дронь В.С. Властивість об'ємного потенціалу та коректність задачі Коші для одного ультрапараболічного рівняння // Матеріали міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми математики". Ч.1. - Чернівці-Київ, 1998. - С.195-198.

10. Дронь В.С., Iвасишен С.Д. Про задачу Коші для виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова // Всеукраїнська конф. "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування" (15-18 травня 1996 р., Чернівці): Тези доп. - К., 1996. - С.59.

11. Дронь В.С. Про єдиність невід'ємного розв'язку задачі Коші для виродженого параболічного рівняння типу Колмогорова // Матеріали наук. конф. викладачів, співробітників та студентів, присвяченої 120-річчю заснування Чернівецького ун-ту (4-6 травня 1995р.). Т.2. - Чернівці: Рута, 1995. - С.87.

АНОТАЦІЯ

Дронь В.С. Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь типу Колмогорова. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет ім.Ю.Федьковича, Чернівці, 2000.

Дисертація присвячена поглибленому вивченню задачі Коші для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова другого порядку з трьома групами просторових змінних і змінними коефіцієнтами. Такі рівняння є важливими як з точки зору застосувань у теорії випадкових процесів, так і в теорії рівнянь з частинними похідними.

У дисертаційній роботі досліджено деякі властивості фундаментального розв'язку задачі Коші для згаданого рівняння та потенціалів, породжених ним. Доведено модифікації принципу максимуму для рівняння з дійснозначними коефіцієнтами. Доведено теореми про єдиність розв'язків задачі Коші у різних класах функцій. Встановлено коректну розв'язність та інтегральне зображення розв'язків задачі Коші для загального нeоднорідного рівняння, а також ізоморфізм між ваговими L_p-просторами початкових даних та класичних розв'язків задачі Коші. У випадку коефіцієнтів, не залежних від просторових змінних, доведено теореми про коректну розв'язність задачі Коші у вагових просторах Гельдера.

Ключові слова: ультрапараболічне рівняння, вироджене параболічне рівняння типу Колмогорова, задача Коші, фундаментальний розв'язок задачі Коші, принцип максимуму, коректна розв'язність, інтегральне зображення розв'язків.

ABSTRACT

Dron' V.S. The Cauchy problem for ultraparabolіc equatіons of Kolmogorov type. - Manuscrіpt.

The thesіs for obtaіnіng Candіdate of Scіence (Physіcs and Mathematіcs) degree (Ph.D.), specіalіty 01.01.02 - Dіfferentіal Equatіons. - Chernіvtsі Natіonal Yu.Fedkovіch Unіversіty, Chernіvtsі, 2000.

The thesіs іs devoted to the profound study of the Cauchy problem for the degenerate parabolіc second-order equatіons of Kolmogorov type wіth three groups of space varіables and varіable coeffіcіents. Such equatіons are іmportant as from a poіnt of vіew of the usіng them іn the random process theory, and іn the partіal equatіons theory.

In the thesіs some propertіes of a fundamental solutіon of the Cauchy problem for gіven equatіon and potentіals generated by іt are proved. Modіfіcatіons of a maxіmum prіncіple for the equatіon wіth the real coeffіcіents are proved. Theorems of unіqueness of solutіons of the Cauchy problem іn dіfferent classes of functіons are proved. A correct resolvabіlіty and іntegral representatіons of solutіons of the Cauchy problem for the generate nonhomogeneous equatіon, and also an іsomorphіsm between weіght L_p-spaces of the іnіtіal datas and classіcal solutіons of the Cauchy problem are establіshed. In a case of coeffіcіents іndepended on space varіables, theorems on a correct resolvabіlіty of the Cauchy problem іn weіght Hlder spaces are proved.

Key words: ultraparabolіc equatіon, degenerate parabolіc equatіon Kolmogorov type, Cauchy problem, fundamental solutіon of the Cauchy problem, maxіmum prіncіple, correct resolvabіlіty, іntegrated representatіon of a solutіon.

АННОТАЦИЯ

Дронь В.С. Задача Коши для ультрапараболических уравнений типа Колмогорова. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёнoй степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет им.Ю.Федьковича, Черновцы, 2000.

Диссертация посвящена углублённому изучению задачи Коши для вырожденных параболических уравнений типа Колмогорова второго порядка с тремя группами пространственных переменных и переменными коэффициентами. Такие уравнения важны как с точки зрения использования их в теории случайных процессов, так и в теории уравнений с частными производными.

Основные результаты диссертации - это, вообще говоря, нетривиальное обобщение известных для равномерно параболических уравнений результатов на указанный класс вырожденных уравнений. Для таких уравнений впервые:

- доказаны модификации принципа максимума для уравнения с действительными коэффициентами, которые использованы при изучении свойств фундаментального решения и нахождении классов единственности решений задачи Коши;

- установлены такие свойства фундаментального решения задачи Коши, как нормальность, формула свёртки, положительность фундаментального решения и его оценка снизу для уравнения с действительными коэффициентами, оценки производных от интегралов от фундаментального решения, дифференциируемость объёмного потенциала;

- получены оценки в специальных весовых нормах интегралов Пуассона и объёмного потенциала, порождённых фундаментальным решением задачи Коши, и исследовано их граничное поведение;

- найдены условия, при которых решения задачи Коши для однородного уравнения и решения такого уравнения, определённые в открытом слое, представляются в виде интегралов Пуассона от функций или обобщённых борелевых мер из специальных весовых пространств;

- доказаны теоремы о единственности решений задачи Коши в пространствах функций с ограниченным ростом на бесконечности (быстрорастущих функций) и неотрицательных функций;

- как следсвие указанных выше результатов сформулированы теоремы о корректной разрешимости и интегральном представлении решений задачи Коши для общего неоднородного уравнения, при этом описаны множества начальных значений решений и при некоторых предположениях на коэффициенты и неоднородности уравнений установлен изоморфизм между введеннымы пространствами начальных значений и соответствующих решений задачи Коши;

- доказаны теоремы о корректной разрешимости в весовых пространствах Гёльдера задачи Коши для неоднородного уравнения с коэффициентами, не зависящими от пространственных переменных.

Полученные результаты и методика доказательств имеют теоретическое значение. Они могут быть использованы при дальнейших исследованиях задачи Коши и краевих задач для линейных и квазилинейных вирожденных параболических уравнений, а также в теории случайных процессов при изучении марковских процессов, плотности вероятности перехода которых есть фундаментальными решениями задачи Коши для рассмотренных уравнений.

Ключевые слова: ультрапараболическое уравнение, вырожденное параболическое уравнение типа Колмогорова, задача Коши, фундаментальное решение задачи Коши, принцип максимума, корректная разрешимость, интегральное представление решений.

Размещено на Allbest.ru

...