Математическая логика
Основные понятия математической логики. Взаимосвязь логических операций и способы вычисления логических выражений. Таблица истинности логической формулы, которая выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.01.2014 |
| Размер файла | 82,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Основные понятия математической логики
Алгебра логики - это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание - это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1, а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0.
Для рассмотрения произвольного логического высказывания используются так называемые таблицы истинности. В этих таблицах, называемых также логическими матрицами, содержится ответ на вопрос о том, когда сложное высказывание истинно, в зависимости от того, истинны или ложны образующие его предложения.
Логическая матрица для простого выражения А будет иметь вид:
|
А |
|
10 |
Отрицанием (инверсией) называется логическая операция, выражаемая в естественном языке словами “не”, “нет” или “не верно, что”.
Отрицание высказывания A обозначают ¬A, , Not A
Таблица истинности
|
А |
А |
|
10 |
01 |
Дизъюнкция логическая операция, применяемая к двум высказываниям, которая истинна, если истинно хотя бы одно из исходных высказываний.
В качестве других названий дизъюнкции используют названия: “Логическое ИЛИ”, “Логическое сложение”
Дизъюнкции в естественном языке соответствует связка “или” в не исключающем смысле (не исключающее “или”). То есть выражение «Колумб был в Индии или Египте» будет истинным, когда Колумб был хотя бы в одной из названных стран.
Дизъюнкцию высказываний A и B можно обозначать: A B, A Or B
Таблица истинности
|
А |
В |
АВ |
|
1100 |
1010 |
1110 |
Конъюнкция логическая операция, применяемая к двум высказываниям, которая истинна, если истинны оба исходные высказывания.
В качестве других названий конъюнкции использую названия: “Логическое И”, “Логическое умножение”
Конъюнкции в естественном языке соответствует связка “и”.
Конъюнкцию высказываний A и B можно обозначать:
A B, A & B, A And B
Таблица истинности:
|
А |
В |
А&В |
|
1100 |
1010 |
1000 |
Для дизъюнкции таблица истинности будет иметь следующий вид:
Импликация логическая операция, применяемая к двум высказываниям, которой в естественном языке соответствует связка “Если…, то… “.
Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Импликацию высказываний A и B обычно обозначают: A > B
Таблица истинности:
|
А |
В |
A > B |
|
1100 |
1010 |
1011 |
Эквивалентность логическая операция, применяемая к двум высказываниям, которая истинна, если исходные высказывания имеют одинаковое значение истинности.
Эквивалентность высказываний A и B обозначают:
A - B, A ? B или A ~ B
Эквивалентности в естественном языке соответствуют связки:
“A эквивалентно B”,
“A равносильно B”,
”Для того, чтобы B необходимо и достаточно A”,
“A тогда и только тогда, когда B” .
Таблица истинности:
|
А |
В |
A - B |
|
1100 |
1010 |
1001 |
Несовместимость логическая операция, применяемая к двум высказываниям, которая истинна, если одно из исходных высказываний истинно, а второе ложно.
В качестве другого названия несовместимости используют термин:
“Несовместимое ИЛИ”.
Несовместимость высказываний A и B обозначают:
A B, A Xor B
Таблица истинности:
|
А |
В |
А В |
|
1100 |
1010 |
0110 |
Взаимосвязь логических операций
|
Выражение несовместимости через конъюнкцию и дизъюнкцию |
x y - (x y) ¬(x y) |
|
|
Выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание |
(x > y) - (¬x y) |
|
|
Выражение эквивалентности через конъюнкцию и импликацию |
(x - y) - ((x > y) (y > x)) |
|
|
Взаимосвязь эквивалентности и несовместимости |
(x - y) - ¬(x y) |
|
|
Выражение эквивалентности через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание |
x y = (¬x y) (¬y x) |
Свойства логических операций
|
Логическое умножение |
Логическое сложение |
|
|
A & 0 = 0 |
A 0 = A |
|
|
A & 1 = A |
A 1 = 1 |
|
|
A A = A |
A A = A |
|
|
A (A) = 0 |
A (A) = 1 |
Законы математической логики
|
Закон |
Для ИЛИ |
Для И |
||
|
Переместительный |
xy = yx |
xy = yx |
(3) |
|
|
Сочетательный |
x(yz) = (xy)z |
x(yz) = (xy)z |
(4) |
|
|
Распределительный |
x(yz) = xy xz |
x yz = (xy) (xz) |
(5) |
|
|
Правила Де Моргана |
¬( xy)= ¬x(¬y) |
¬(xy)= ¬x(¬y) |
(6) |
|
|
Идемпотенции |
xx=x |
xx=x |
(7) |
|
|
Поглощения |
xxy=x |
x(xy)=x |
(8) |
|
|
Склеивания |
xy(¬x)y=y |
(xy) (¬xy)=y |
(9) |
|
|
Операция с переменной с ее инверсией |
x(¬x)=1 |
x(¬x)=0 |
(10) |
|
|
Операция с константами |
x1=1; x0=х |
x1=x; x0=0 |
(11) |
|
|
Операция двойного отрицания |
¬(¬x)=x |
(12) |
2. Вычисление логических выражений
Операции математической логики имеют следующие приоритеты:
1. отрицание
2. умножение
3. сложение
4. импликация (следование)
5. эквивалентность (равносильность)
Этот порядок может быть изменен расстановкой круглых скобок.
Вычисление логических выражений сводится либо к их упрощению, используя свойства операций и законы, либо к составлению таблицы истинности.
Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.
Переключательные схемы
|
Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1; |
||
|
Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0; |
||
|
Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда Х разомкнут, следовательно, F(x) = x; |
||
|
Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда Х замкнут, следовательно, |
||
|
Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = xy; |
||
|
Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x v y; |
математический логика истинность
Логические схемы
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основы формальной логики Аристотеля. Понятия инверсии, конъюнкции и дизъюнкции. Основные законы алгебры логики. Основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений. Равносильные преобразования логических формул.
презентация [67,8 K], добавлен 23.12.2012Изучение понятия о логической величине. Отличия общих, частных, единичных высказываний. Таблица истинности. Принципы использования простых и составных логических выражений. Вложенное ветвление. Определение наибольшего среди трех чисел неполного ветвления.
презентация [97,3 K], добавлен 09.10.2013Логические константа и переменная. Последовательность выполнения логических операций в логических формулах. Логическая информация и основы логики. Общие, частные и единичные высказывания. Старшинство логических операций. Импликация и эквивалентность.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 27.04.2013Определение формулы исчисления высказываний, основные цели математической логики. Построение формул алгебры высказываний. Равносильность формул исчисления высказываний, конъюнктивная и дизъюнктивная нормальная форма. Постановка проблемы разрешимости.
контрольная работа [34,3 K], добавлен 12.08.2010Графическая интерпретация множеств и операций над ними. Математическая логика, булева алгебра. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Равносильные формулы и их доказательство. Полнота системы булевых функций. Логика предикатов, теория графов.
лекция [253,7 K], добавлен 01.12.2009Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций. Элементарные функции алгебры логики. Функции алгебры логики одного аргумента и формы ее реализации. Свойства, особенности и виды логических операций.
реферат [63,3 K], добавлен 06.12.2010История возникновения и развития математической логики как раздела математики, изучающего математические обозначения и формальные системы. Применение математической логики в технике и криптографии. Взаимосвязь программирования и математической логики.
контрольная работа [50,4 K], добавлен 10.10.2014Основные понятия алгебры логики. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Сущность теоремы Шеннона. Булевы функции двух переменных. Последовательное и параллельное соединение двух выключателей. Свойства элементарных функций алгебры логики.
контрольная работа [345,3 K], добавлен 29.11.2010Применение методов математической логики и других разделов высшей математики в задачах теоретической лингвистики при анализе письменной речи на русском и английском языках. Исследование и распознавание речевых единиц. Методы математической логики.
реферат [39,8 K], добавлен 01.11.2012Решения задач дискретной математики: диаграммы Эйлера-Венна; высказывание в виде формулы логики высказываний и формулы логики предикатов; СДНФ и СКНФ булевой функции. При помощи алгоритма Вонга и метода резолюции выяснить является ли клауза теоремой.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 08.06.2010Свойства алгебры Жегалкина. Действия с логическими константами (нулём и единицей). Свойства элементарных булевых функций, задаваемых логическими операциями. Способы построения полиномов с помощью таблиц истинности (метод неопределенных коэффициентов).
курсовая работа [467,2 K], добавлен 28.11.2014Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012Основные определения математической логики, булевы и эквивалентные функции. Общие понятия булевой алгебры. Алгебра Жегалкина: высказывания и предикаты. Определение формальной теории. Элементы теории алгоритмов, рекурсивные функции, машина Тьюринга.
курс лекций [651,0 K], добавлен 08.08.2011Операции над логическими высказываниями: булевы функции и выражение одних таких зависимостей через другие. Пропозициональные формулы и некоторые законы логики высказываний. Перевод выражений естественного языка на символическую речь алгебры логики.
контрольная работа [83,3 K], добавлен 26.04.2011Литералы рассуждения и вопрос об их отрицаниях. Математическая модель отрицания для рассуждения, содержащего связную совокупность суждений. Отрицания в математической логике и дополнения в алгебре множеств. Интерпретации формул математической логики.
контрольная работа [40,8 K], добавлен 03.09.2010Ознакомление с историей понятия интеграла. Распространение интегрального исчисления, открытие формулы Ньютона–Лейбница. Символ суммы; расширение понятия суммы. Описание необходимости выражения всех физических явлений в виде математической формулы.
презентация [1,9 M], добавлен 26.01.2015Основная функционально полная система логических функций. Законы алгебры логики в основной функционально полной системе и их следствия. Переместительный и распределительный законы. Закон инверсии (правило Де Моргана). Системы логических функций.
реферат [40,5 K], добавлен 17.11.2008Понятие алгебры логики, ее сущность и особенности, основные понятия и определения, предмет и методика изучения. Законы алгебры логики и следствия из них, методы построения формул по заданной таблице истинности. Формы представления булевых функций.
учебное пособие [702,6 K], добавлен 29.04.2009Математическая логика (бессмысленная логика), логика "здравого смысла" и современная логика. Математические суждения и умозаключения, их направления. Математическая логика и "Здравый смысл" в XXI веке. Неестественная логика в основаниях математики.
реферат [32,2 K], добавлен 21.12.2008Построение таблицы истинности. Доказательство истинности заключения путём построения дерева доказательства или методом резолюции. Выполнение различных бинарных операций. Построение графа вывода пустой резольвенты. Основные правила исчисления предикатов.
курсовая работа [50,7 K], добавлен 28.05.2015
