Кратные интегралы
Решение задач на доказательство теоремы о среднем для двойного и тройного интеграла. Построение области интегрирования. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, и объема тела, ограниченного определенными поверхностями.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.01.2014 |
| Размер файла | 135,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования Российской Федерации
Институт "ИНФО"
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Кратные интегралы
1. Доказать равенство
,
если S - прямоугольник: .
Доказательство
Поскольку область интегрирования прямоугольник двойной интеграл можно записать в виде
.
Поскольку внутренний интеграл берется при , может быть вынесен из под знака внутреннего интеграла и тогда получим то что требовалось доказать, т.е. .
2. Показать, что формула интегрального исчисления
, выражающая площадь криволинейной трапеции S, ограниченной осью Х, ординатами и кривой , является следствием очевидного равенства
.
Решение
.
3. Установить, что формула
есть произвольная функция непрерывная в треугольнике, ограниченном прямыми .
Решение
На рисунке изображена область интегрирования (1, 2, 3) для случая .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Из рисунка видно, что при изменении порядка интегрирования в обоих случаях у внешних интегралов области интегрирования не меняются (от до b). У внутренних интегралов: для подынтегральной функции область интегрирования от до х, а для подынтегральной функции область интегрирования от y до b, что и следовало доказать.
4. Доказать теорему о среднем для двойного интеграла
Теорема: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то в области S существует, по крайней мере, одна точка , в которой значение функции
.
Доказательство
Если функция непрерывна в замкнутой области S, то этой области существуют величины m и M, являющиеся соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции , то есть или
.
Следовательно, существует некоторое среднее значение функции .
Отсюда следует, что среднее значение функции определится из выражения , откуда .
5. Доказать теорему о среднем для тройного интеграла
Теорема о среднем: Если функция
непрерывна в замкнутой области V, то в области V существует, по крайней мере, одна точка , в которой значение функции
.
Доказательство: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то этой области существуют величины m и M, являющиеся соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции , то есть или .
Следовательно, существует некоторое среднее значение функции .
Отсюда следует, что среднее значение функции определится из выражения , откуда .
6. Построить область интегрирования
.
Решение
Внутренний интеграл берется в пределах от
до .
Первая кривая парабола, с вершиной в начале координат и концы параболы направлены вверх. Вторая кривая окружность радиус которой равен и центр расположен в начале координат. Границы по у определяются внешними пределами . Построим область интегрирования, при условии, что . Область интегрирования (см. рисунок) заштрихована.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
7. Вычислить
Решение .
8. Вычислить
.
Решение
Область интегрирования расположена между двух пересекающихся парабол (см. рис.). Параболы пересекаются в точках .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Выберем порядок интегрирования сначала по х вдоль прямой от , затем по у от 0 до 1.
В результате получаем
интеграл область интегрирования
.
9. Перейдя к полярным координатам, вычислить .
Решение
Область интегрирования расположена между окружностью радиусом равным 1 и окружностью радиусом 3 (кольцо) за исключением части кольца, расположенной между двумя линиями находящимися в первой четверти (см. рисунок), причем .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
В полярных координатах
.
Следовательно
.
10. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .
Решение
Границами фигуры являются две окружности радиусом 1 и 5 две прямые, одна их которых совпадает с осью х, а вторая проходит через начало координат под углом 60° к оси х (см. рис.).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Запишем уравнения окружностей в полярных координатах: .
Следовательно, в полярных координатах получаем: .
11. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .
Решение
Границами тела являются: координатная плоскость ; цилиндрическая поверхность
,
радиусом равным 1, центр которой сдвинут по оси у на 1, а ось проходит параллельно оси z; параболоид вращения
,
вершина которого расположена на оси z (z = 4), ось совпадает с осью z, а поверхность направлена вниз.
Объем тела, на нижней границе которого , определяется по формуле .
Сверху тело ограничено параболоидом
,
а областью интегрирования является окружность
, лежащая на плоскости . Выберем порядок интегрирования сначала по х, а затем по у. Тело симметрично относительно плоскости zОу (см. рис. вид сверху). Запишем уравнение в полярных координатах: .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тогда получаем:
.
Для вычисления интегралов
,
воспользуемся табличными интегралами из «Справочника по высшей математике, М.Я. Выгодский».
.
12. Вычислить площадь поверхности цилиндра? (параболоида) , отсеченного плоскостями .
Решение
Изобразим поверхность на виде спереди, а область интегрирования на виде сверху.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Далее получаем: .
Выполним интегрирование вначале по х, а потом по у.
.
13. Вычислить
.
Решение
Границами тела является плоскость и координатные поверхности .
Объем тела, на нижней границе которого , определяется по формуле .
Сверху тело ограничено плоскостью, для которой
. Областью интегрирования S является треугольник АОВ, лежащий в плоскости (см. рисунок). Уравнение линии АВ: . Выберем порядок интегрирования вначале по у, а потом по х. В результате получаем:
.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.
контрольная работа [111,8 K], добавлен 28.03.2014Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.
контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [194,2 K], добавлен 28.03.2014Понятие определенного, двойного, тройного, криволинейного и поверхностного интегралов. Предел интегральной суммы. Вычисление двойного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым.
курсовая работа [241,3 K], добавлен 13.11.2011Изменение порядка интегрирования функции. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск предела интегрирования. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [249,8 K], добавлен 28.03.2014Изменение порядка интегрирования функции. Поиск предела интегрирования. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора.
контрольная работа [233,2 K], добавлен 28.03.2014Понятие двойного и тройного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Криволинейные и поверхностные интегралы: понятия и способы вычисления. Геометрические и физические приложения.
дипломная работа [237,7 K], добавлен 27.02.2009Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Рассмотрение задач численного интегрирования по простейшим формулам. Понятие тройных интегралов и их применение для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 17.12.2013Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014Особенности вычисления объемов тел, ограниченных поверхностями, с применением геометрического смысла двойного интеграла. Определение площадей плоских фигур, ограниченных линиями, с использованием метода интегрирования в курсе математического анализа.
презентация [67,9 K], добавлен 17.09.2013Исследование заданной функции и построение ее графика. Расчет объема тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и осями координат. Вычисление интеграла при заданной силе. Работа, которую нужно совершить для сжатия пружины.
контрольная работа [425,4 K], добавлен 18.10.2010Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 19.05.2011Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.
презентация [487,1 K], добавлен 11.04.2013Связь с помощью формулы Грина криволинейного интеграла по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченного этим контуром. Преобразование двойного интеграла по контуру, обходимого в положительном направлении. Доказательство теоремы.
презентация [44,7 K], добавлен 17.09.2013
