Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теоретические вопросы и ответы на них

1.1 Дайте определение сходящегося и расходящегося ряда

ряд сходящийся сумма тейлор

Ответ:

Определение 1.1. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм Sn при неограниченном возрастании номера n, т.е. .

Определение 1.2. Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

1.2 Что называется суммой ряда? Почему расходящийся ряд не имеет суммы?

Ответ:

Определение 1.3. Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда.

Если S является суммой сходящегося ряда u1 + u2 + u3 +…, то пишут:

.

Расходящийся ряд суммы не имеет, потому что неопределенность (предел отсутствует).

1.3 В чем состоит различие между необходимым и достаточным признаком сходимости ряда?

Ответ:

Необходимый признак сходимости ряда состоит в том, что его общий член un стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Для того чтобы быть уверенным о фактической сходимости необходимо применить так называемые достаточные признаки сходимости.

Таким образом, при доказательстве того, что тот или иной ряд сходится, кроме необходимого условия его сходимости нужен также достаточный признак сходимости ряда. Таким достаточным признаком может служить доказательство ограниченности последовательности его частичных сумм.

1.4 Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости числового ряда. Привести пример, показывающий, что данный признак не является достаточным

Ответ:

Приведем необходимое условие сходимости ряда.

Теорема 1.1. Если ряд u1 + u2 + u3 +…+ un + … сходится, то его общий член un стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Доказательство: Пусть дан сходящийся ряд u1 + u2 + u3 +…+ un + …, имеющий сумму S. Рассмотрим его частичные суммы и Отсюда Следовательно и так как при и Поэтому Итак

Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых . Примером может служить ряд . Однако легко показать, что ряд расходится. Для этого рассмотрим частичную сумму ряда

Так как то очевидно, что Отсюда непосредственно следует, что , и следовательно ряд расходится.

1.5 Сформулировать достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Ответ:

Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков. Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 1.2. (Первый признак сравнения.) Даны два знакоположительных ряда:

u1 + u2 + u3 +…+ un + …, v1 + v2 + v3 +…+ vn + ….

Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда:

(1.1)

и второй ряд сходится. В таком случае первый ряд также сходится и его сумма не превосходит суммы второго ряда.

Доказательство: Обозначим через Sn и n соответственно частичные суммы первого и второго рядов:



Из неравенств (1.1) следует, что Sn n. Так как ряд сходится, то существует . При этом, поскольку члены ряда положительны, очевидно что следовательно, и Таким образом, частичные суммы ряда (U) ограничены и, следовательно, ряд (U) сходится, причем его сумма не превосходит суммы ряда (V), как это следует из неравенства

Теорема 1.3. (Второй признак сравнения.) Даны два знакоположительных ряда:

u1 + u2 + u3 +…+ un + …, v1 + v2 + v3 +…+ vn + ….

Пусть члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда:

(1.2)

и второй ряд расходится. В таком случае первый ряд также расходится.

Теорема 1.4. (Третий признак сравнения. Без доказательства.) Если существует конечный и отличный от нуля предел то оба исследуемых ряда одновременно сходятся или расходятся.

Применение признаков сравнения часто бывает затруднительно из-за необходимости составлять вспомогательный ряд.

Поэтому часто применяют другие достаточные признаки (признак Даламбера и признак Коши).

Теорема 1.5. (Признак Даламбера. Без доказательства).

Если для знакоположительного ряда u1 + u2 + u3 +…+ un + … существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера члена n, т.е. то при <1 ряд сходится, а при >1 ряд расходится.

Теорема 1.6. (Радикальный признак Коши. Без доказательства).

Если для знакоположительного ряда u1 + u2 + u3 +…+ un + … существует то этот ряд сходится при q<1 и расходится при q>1.

В случае, когда q=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.

1.6 Является ли для произвольного знакочередующегося ряда необходимый признак сходимости также и достаточным?

Ответ:

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Теорема 1.7. (Признак Лейбница. Без доказательства).

Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают: u1 > u2 > u3 >…> un > … и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Условие , является необходимым для сходимости ряда, но не достаточным, так как согласно признака Лейбница, для полной сходимости ряда кроме этого признака, необходимо чтобы убывали абсолютные величины члены ряда.

1.7 Какие ряды называются абсолютно сходящимися и условно сходящимися? Сформулировать основные свойства абсолютно сходящихся рядов. Привести примеры абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов

Ответ:

Определение 1.4. Знакопеременный ряд u1 + u2 + u3 +…+ un + … называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |u1| + |u2| + |u3| +…+ |un| + … составленный из абсолютных величин его членов.

На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Определение 1.5. Знакопеременный ряд u1 + u2 + u3 +…+ un + … называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |u1| + |u2| + |u3| +…+ |un| + …, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Это объясняется тем, что на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм. Особое значение имеем свойство переместительности, которым обладают только абсолютно сходящиеся ряды.

Это свойство, которое приводится без доказательства, формулируется следующим образом.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от любой перестановки его членов.

В неабсолютно сходящемся ряде нельзя переставлять члены, так как в случае их перестановки может измениться сумма ряда и даже получиться расходящийся ряд.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд

Решение: Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: Этот ряд сходится, как абсолютный гармонический ряд с показателем p = 2 >1. Следовательно, на основании доказанного признака сходится и данный знакопеременный ряд. Такой ряд является абсолютно сходящимся.

Пример 1.2. Рассмотрим ряд Этот ряд сходится по признаку Лейбница. Между тем, ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим и, следовательно, расходится. Такой ряд является условно сходящимся.

1.8 Сформулировать признак сходимости Лейбница. Привести поясняющий пример

Ответ:

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Теорема 1.7. (Признак Лейбница. Без доказательства). Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают: u1 > u2 > u3 >…> un > … и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Пример 1.3. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница: Следовательно, ряд сходится.

1.9 Что называется областью сходимости функционального ряда? Какой вид имеет область сходимости степенного ряда?

Ответ:

Определение 1.6. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Определение 1.7. Степенным рядом называется функциональный ряд членами которого являются произведения постоянных a0,a1,…,an,… на разность (x - x0) в соответствующих целых степенях n.

Постоянные a1,…,an,… называются коэффициентами степенного ряда. Если x0 = 0, степенной ряд имеет вид

(1.3)

Определим область сходимости этого ряда. Для этого рассмотрим знакоположительный ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1.3) и применим к нему достаточный признак сходимости Даламбера (Теорема 1.5):

Откуда

Определение 1.8. Число называется радиусом сходимости степенного ряда (1.3) при всех |x| < R ряд абсолютно сходится, при |x| > R - расходится.

Интервал (-R; R) называется интервалом сходимости ряда (1.3).

Областью сходимости степенного ряда (1.3) является интервал (-R; R), к которому, в зависимости от конкретных случаев, могут быть добавлены один или оба конца отрезка [-R; R].

1.10 Сформулировать основные свойства степенных рядов

Внутри области сходимости степенной ряд является правильно сходящимся и обладает свойствами правильно сходящихся рядов:

· Степенной ряд (1.3) абсолютно сходится в любой точке интервала сходимости, следовательно, степенные ряды можно почленно складывать и умножать (как многочлены). При этом интервалом сходимости полученного степенного ряда будет множество всех точек, в которых сходятся складываемые или перемножаемые ряды.

· Сумма степенного ряда (1.3) является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости.

· Степенной ряд (1.3) можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала сходимости.

1.11 Что называется остаточным членом формулы Тейлора? Какая разница между остатком ряда Тейлора и остаточным членом формулы Тейлора?

Ответ:

Если функция f(x) не является многочленом, то ее всегда можно представить в виде

(1.4)

Определение 1.9.

Формула (1.4) называется формулой Тейлора для функции f(x), а Rm(x) называемся m-ным остаточным членом формулы Тейлора и определяет отличие f(x) от многочлена Тейлора

. (1.5)

Остаток ряда rn есть ошибка, которая возникает при приближенных вычислениях с помощью конечного числа членов ряда Тейлора.

2. Теоретические упражнения

2.1 Доказать, что если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Определение 2.1 (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера n, то ряд расходится.

Доказательство: Действительно, если бы ряд сходится, то согласно теоремы 1.1 его общий член обязательно бы стремился к нулю, что противоречит условию.

2.2 Доказать, что если для знакоположительного ряда то общий член ряда не стремится к нулю

Доказательство: Известно, что Следовательно . Поэтому с ростом n общий член ряда постоянно возрастает и, следовательно не стремится к нулю.

2.3 Показать, какие арифметические действия можно производить с рядами: сходящимися, абсолютно сходящимися

В не абсолютно сходящемся ряде нельзя переставлять члены, так как в случае их перестановки может измениться сумма ряда и даже получиться расходящийся ряд.

Рассмотрим в качестве примера не абсолютно сходящийся ряд

 (2.1)

сумму которого обозначим через S. Переставим члены этого ряда, поместив после каждого положительного члена два отрицательных. Получим ряд

(2.2)

Обозначим частичные суммы ряда (2.1) через Sn, а ряда (2.2) - через n. Тогда

Следовательно, и вообще, как можно показать, Так как то Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (2.2) с номерами, кратными трем, имеет своим пределом 0,5S.

Далее находим и Следовательно существует при любом законе стремления n к бесконечности. Это означает, что ряд (2.2) сходится. При этом его сумма составляет половину суммы ряда (2.1), из которого он получен перестановкой членов.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойством переместительности, т.е при перестановке членов ряда сумма ряда не меняется.

2.4 Доказать, что если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то его n-й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля первого из отброшенных членов

Доказательство: Рассмотрим знакочередующийся ряд и отбросим n первых членов ряда. Получим остаток исходного ряда, у которого первый член имеет номер (n+1). Новый ряд (остаток) полностью обладает свойствами исходного ряда. Он также является знакочередующимся и абсолютные величины членов ряда убывают: un+1 > un+2 > un+3 >…> un+n > …. К такому ряду полностью применим признак Лейбница: Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда (un+1).

2.5 С какого номера начинают убывать члены разложения

Решение: Члены разложения возрастают, когда n<100 и убывают, когда n>100.

, т.е. u99 > u98;

, т.е. u100 = u99;

, т.е. u101 < u100.

Следовательно, члены разложения убывают с 101 номера.

2.6 Определить, при каких значениях x сходятся ряды

a.

b.

Для определения области сходимости ряда (a) воспользуемся признаком Даламбера. При , все точки x входят в область сходимости ряда. Если предел последующего члена ряда к предыдущему равен единице, ряд может сходиться или расходиться и вопрос о сходимости в этих точках решается непосредственной подстановкой их значений в ряд.

Решение (a):, следовательно, ряд сходится при любых значениях x.

Решение (b): Для определения области сходимости ряда (b) выполним замену ln x = y. Получим знакопеременный ряд . Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов: . Такой ряд является обобщенным гармоническим рядом. Известно, что он сходится при y > 1, и расходится при y 1. Т.е. ряд сходится при y = ln x > 1. Поскольку при ln x = 1, x = e (2,72), ряд сходится при x > e. Следовательно область сходимости ряда также равна x > e, так как достаточным признаком сходимости знакопеременного ряда является сходимость ряда, составленного из абсолютных величин его членов.

2.7 Определить область сходимости ряда

Решение:

.

Следовательно ряд сходится когда x принимает значение: 0 < x < ? (??2,72). При , x = ?. Подставим это значение в исходный ряд: В этом случае ряд расходится, т.к. .

2.8 Разложить в ряд Маклорена функцию и определить интервал сходимости

Решение: Для этого возьмем известное разложение в ряд Маклорена функции

(3.1)

и заменим в нем x на x2. Тогда получим

. (3.2)

Поскольку радиус сходимости разложения (3.1) равен единице (R = 1), радиус сходимости разложения (3.2) также равен единице (R2 = 12 = 1). Интервал сходимости такого ряда |x| < R = 1.

Проверяем граничные точки: поскольку в разложении (3.2) при x = 1, а также при x = -1, x2 = 1 и x4n-2 = 1, следовательно , поэтому ряд в граничных точках расходится.

2.9 Вывести выражение остаточного члена в форме Лагранжа для формулы Тейлора

Решение: Будем искать остаточный член формулы Тейлора (1.4) в виде, подобном m + 1 члену

, (2.3)

где функция Q(x) неизвестна. Выразим ее через Из (1.4) получаем

т.к. . Обозначим . Очевидно, что . Функция Rm(x) и (x) на отрезке [x0, x] удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Следовательно, на основании этой теоремы и указанных выше свойств функций Rm(x) и (x),

,

где xk+1(x0,xk). Применяя теперь теорему Коши к Rm(x1) и (x1) и последующим их производным, получим

,

где xk+1(x0,xk), k = 1,2,…,m.

Следовательно,

.

Последнее соотношение получено на основании рассмотренных выше свойств функций Rm(x) и (x).

Обозначив xm+1 =, имеем

Следовательно, искомая функция

.

, (2.4)

где (x0,x) и вся неопределенность остаточного члена, т.е. отличие функции f(x) от многочлена Pm(x), заключена в неизвестном значении . Положив для удобства

m+1 = n, формулу (1.4) можно записать в виде

(2.5)

Определение 2.2. Формула (2.5) называется формулой Тейлора для функции f(x) с остаточным членом в форме Лагранжа

,

в которой точка (x0,x) не определена и зависит от x и n.

Пример 7.1. Найти общий член ряда

Решение: Числа, стоящие в знаменателях дробей образуют арифметическую прогрессию, n-й член которой . Следовательно, общий член ряда .

Пример 7.2. Найти сумму ряда или установить его сходимость .

Решение: Сравним данный ряд с рядом . Используем третий признак сравнения

.

Ряд сходится.

В соответствии с этим признаком, если существует указанный предел, то оба сравниваемых ряда ведут себя одинаково. Так как ряд сходится, то сходится и ряд .

Пример 7.3. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Так как то ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости.

Пример 7.4. Исследовать сходимость ряда

Решение: следовательно, необходимое условие сходимости выполняется. Сравним данный ряд с рядом . Используем третий признак сравнения

В соответствии с этим признаком, если существует указанный предел, то оба сравниваемых ряда ведут себя одинаково. Так как ряд сходится, то сходится и ряд

Пример 7.5. Исследовать сходимость ряда

Решение: следовательно, необходимое условие сходимости выполняется. Применим признак Даламбера для определения достаточного условия сходимости:



следовательно, данный ряд сходится.

Пример 7.6. Исследовать сходимость ряда

Решение: Применим признак Даламбера для определения условия сходимости:

следовательно, ряд расходится.

Пример 7.7. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Применим признак Даламбера для определения условия сходимости:

следовательно, ряд сходится.

Пример 7.8. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Данный ряд является знакопеременным, поскольку при n, n также

, при этом sin n изменяется от -1 до +1.

Рассмотрим ряд

Так как , то его члены не превосходят соответствующих членов геометрической прогрессии Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Пример 7.9. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Данный ряд является знакочередующимся. Для данного ряда не выполняется условие признака Лейбница . Действительно . Следовательно, ряд расходится.

Пример 7.10. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости .

Решение: Данный ряд является степенным функциональным знакочередующимся. Для данного ряда не выполняется условие признака Лейбница . Действительно . Следовательно, ряд расходится и для него отсутствует интервал сходимости.

Пример 7.11. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости .

Решение: Применим признак Даламбера для определения достаточного условия сходимости:

.

Следовательно, исследуемый степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 7.12. Разложить cos x в ряд по степеням (x - /2).

Решение:

- cos x = sin (x - /2), cos x = - sin (x - /2).

Воспользуемся разложением . Заменяя в нем x на (x - /2), получаем

.

Пример 7.13. Разложить функцию в ряд по степеням x.

Решение: Преобразуем функцию . . Используем известное разложение биноминального ряда

Пример 7.14. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение: Разложим в ряд. Для этого используем известное разложение биноминального ряда и заменим в нем x на x4. Получим . Интегрируя, имеем .

Первый отброшенный член (по грубому подсчету) много меньше чем 0,0001. Находим: ; . .

Пример 7.15. Вычислить ln 2,2 с точностью до 0,001.

Решение: При вычислении логарифмов любых положительных чисел применяется формула: . В этой формуле положим . Поскольку ошибка , это неравенство выполняется при n 2, так как неравенство выполняется при n 2. .

Размещено на Allbest.ru

...