Решение СЛАУ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание:

Решить систему с помощью:

а) формул Крамера;

б) обратной матрицы;

в) метода замещения;

г) метода Гаусса.

Сделать проверку результатов.

Решение:

Решение СЛАУ с помощью формул Крамера

Запишем систему в матричном виде:

B^T = (21,34,16,7) - транспонированный вектор - столбец результатов (чисел, стоящих за знаками равно в выражениях системы);

Найдем главный определитель:

Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора:

?_1,1 = 3 * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -7 * (( -4) * ( -3) -4 * 5)+( -5) * (( -4) * 2 -( -3) * 5) = 24

Минор для элемента (2,1):

Найдем определитель для этого минора по аналогии с предыдущим:

?_2,1 = ( -2) * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -7 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+( -5) * (1 * 2 -( -3) * ( -4)) = -43

Минор для (3,1):

Аналогично:

?_3,1 = ( -2) * (( -4) * ( -3) -4 * 5) -3 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+( -5) * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = 32

Минор для (4,1):

Находим минор:

?_4,1 = ( -2) * (( -4) * 2 -( -3) * 5) -3 * (1 * 2 -( -3) * ( -4))+7 * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = -61

Главный определитель:

? = ( -1)¹⁺¹6 * 24+( -1)²⁺¹3 * ( -43)+( -1)³⁺¹2 * 32+( -1)⁴⁺¹4 * ( -61) = 6 * 24 -3 * ( -43)+

+2 * 32 -4 * ( -61) = 581

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В:

Найдем определитель полученной матрицы:

Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора:

?_1,1 = 3 * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -7 * (( -4) * ( -3) -4 * 5)+( -5) * (( -4) * 2 -( -3) * 5) = 24

Минор для (2,1):

Определитель для этого минора:

?_2,1 = ( -2) * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -7 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+( -5) * (1 * 2 -( -3) * ( -4)) = -43

Минор для (3,1):

Найдем определитель аналогичным способом:

?_3,1 = ( -2) * (( -4) * ( -3) -4 * 5) -3 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+( -5) * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = 32

Минор для (4,1):

Вычислим определитель минора:

?_4,1 = ( -2) * (( -4) * 2 -( -3) * 5) -3 * (1 * 2 -( -3) * ( -4))+7 * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = -61

Определитель минора:

?₁ = ( -1)^{1 + 1}a₁₁?₁₁ + ( -1)^{2 + 1}a₂₁?₂₁ + ( -1)^{3 + 1}a₃₁?₃₁ + ( -1)^{4 + 1}a₄₁?₄₁ = ( -1)¹⁺¹21 * 24+

+( -1)²⁺¹34 * ( -43)+( -1)³⁺¹16 * 32+( -1)⁴⁺¹7 * ( -61) = 21 * 24 -34 * ( -43)+

+16 * 32 -7 * ( -61) = 2905;

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В:

Найдем определитель полученной матрицы.

Минор для (1,1):

Найдем определитель минора (1,1):

?_1,1 = 34 * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -16 * (( -4) * ( -3) -4 * 5)+7 * (( -4) * 2 -( -3) * 5) = 211

Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора:

?_2,1 = 21 * (( -3) * ( -3) -4 * 2) -16 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+7 * (1 * 2 -( -3) * ( -4)) = -257

Минор для (3,1):

По аналогии находим:

?_3,1 = 21 * (( -4) * ( -3) -4 * 5) -34 * (1 * ( -3) -4 * ( -4))+7 * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = -687

Минор для (4,1):

Получим:

?_4,1 = 21 * (( -4) * 2 -( -3) * 5) -34 * (1 * 2 -( -3) * ( -4))+16 * (1 * 5 -( -4) * ( -4)) = 311

Определитель минора:

?₂ = ( -1)^{1 + 1}a₁₁?₁₁ + ( -1)^{2 + 1}a₂₁?₂₁ + ( -1)^{3 + 1}a₃₁?₃₁ + ( -1)^{4 + 1}a₄₁?₄₁ = ( -1)¹⁺¹6 * 211+

+( -1)²⁺¹3 * ( -257)+( -1)³⁺¹2 * ( -687)+( -1)⁴⁺¹4 * 311 = 6 * 211 -3 * ( -257)+2 * ( -687) -

-4 * 311 = -581;

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В:

Найдем определитель полученной матрицы.

Минор для (1,1):

Найдем определитель:

?_1,1 = 3 * (16 * ( -3) -7 * 2) -7 * (34 * ( -3) -7 * 5)+( -5) * (34 * 2 -16 * 5) = 833

Минор для (2,1):

Найдем определитель для минора (2,1):

?_2,1 = ( -2) * (16 * ( -3) -7 * 2) -7 * (21 * ( -3) -7 * ( -4))+( -5) * (21 * 2 -16 * ( -4)) = -161

Минор для (3,1):

крамер гаусс обратная матрица

Аналогично находим:

?_3,1 = ( -2) * (34 * ( -3) -7 * 5) -3 * (21 * ( -3) -7 * ( -4))+( -5) * (21 * 5 -34 * ( -4)) = -826

Минор для (4,1):

Тогда:

?_4,1 = ( -2) * (34 * 2 -16 * 5) -3 * (21 * 2 -16 * ( -4))+7 * (21 * 5 -34 * ( -4)) = 1393

Определитель минора:

?₃ = ( -1)^{1 + 1}a₁₁?₁₁ + ( -1)^{2 + 1}a₂₁?₂₁ + ( -1)^{3 + 1}a₃₁?₃₁ + ( -1)^{4 + 1}a₄₁?₄₁ = ( -1)¹⁺¹6 * 833+

+( -1)²⁺¹3 * ( -161)+( -1)³⁺¹2 * ( -826)+( -1)⁴⁺¹4 * 1393 = 6 * 833 -3 * ( -161)+2 * ( -826) -

-4 * 1393= - 1743;

Заменим 4-й столбец матрицы А на вектор результата В:

Найдем определитель полученной матрицы.

Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора:

?_1,1 = 3 * (( -3) * 7 -4 * 16) -7 * (( -4) * 7 -4 * 34)+( -5) * (( -4) * 16 -( -3) * 34) = 703

Минор для (2,1):

Найдем определитель для минора:

?_2,1 = ( -2) * (( -3) * 7 -4 * 16) -7 * (1 * 7 -4 * 21)+( -5) * (1 * 16 -( -3) * 21) = 314

Минор для (3,1):

Определитель для минора (3,1):

?_3,1 = ( -2) * (( -4) * 7 -4 * 34) -3 * (1 * 7 -4 * 21)+( -5) * (1 * 34 -( -4) * 21) = -31

Минор для (4,1):

Найдем определитель для этого минора:

?_4,1 = ( -2) * (( -4) * 16 -( -3) * 34) -3 * (1 * 16 -( -3) * 21)+7 * (1 * 34 -( -4) * 21) = 513

Определитель минора:

?₄ = ( -1)^{1 + 1}a₁₁?₁₁ + ( -1)^{2 + 1}a₂₁?₂₁ + ( -1)^{3 + 1}a₃₁?₃₁ + ( -1)^{4 + 1}a₄₁?₄₁ = ( -1)¹⁺¹6 * 703+

+( -1)²⁺¹3 * 314+( -1)³⁺¹2 * ( -31)+( -1)⁴⁺¹4 * 513 = 6 * 703 -3 * 314+2 * ( -31) -4 * 513 = 1162;

Выпишем отдельно найденные переменные Х:

Можем записать:

Проверка:

Найденное решение верно!

Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы

Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X - матрицу - столбец неизвестных; B - матрицу - столбец свободных членов:

Вектор B: B^T=(21,34,16,7) - транспонированная матрица - столбец свободных членов;

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А - невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А ^-1. Умножив обе части уравнения на А ^-1, получим:

А ^-1*А*Х = А ^-1*B, где А ^-1*А=Е (единичная матрица).

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А ^-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Главный определитель:

?= 581 (мы его вычислили в предыдущем методе (методе Крамера))

Итак, определитель 581 ? 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

где A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением ( -1)^i+j на минор (определитель) n - 1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица:

Вычисляем алгебраические дополнения:

?_1,1=3*( -3*( -3) -2*4) -( -4*(7*( -3) -2*( -5)))+5*(7*4 -( -3*( -5)))=24

?_1,2= - -2*( -3*( -3) -2*4) -1*(7*( -3) -2*( -5))+( -4*(7*4 -( -3*( -5))))=43

?_1,3= -2*( -4*( -3) -5*4) -1*(3*( -3) -5*( -5))+( -4*(3*4 -( -4*( -5))))=32

?_1,4= - -2*( -4*2 -5*( -3)) -1*(3*2 -5*7)+( -4*(3*( -3) -( -4*7)))=61

?_2,1= -3*( -3*( -3) -2*4) -( -4*(2*( -3) -2*4))+5*(2*4 -( -3*4))= -47

?_2,2=6*( -3*( -3) -2*4) -1*(2*( -3) -2*4)+( -4*(2*4 -( -3*4)))= -60

?_2,3= -6*( -4*( -3) -5*4) -1*(3*( -3) -5*4)+( -4*(3*4 -( -4*4)))=131

?_2,4=6*( -4*2 -5*( -3)) -1*(3*2 -5*2)+( -4*(3*( -3) -( -4*2)))=50

?_3,1=3*(7*( -3) -2*( -5)) -3*(2*( -3) -2*4)+5*(2*( -5) -7*4)= -181

?_3,2= -6*(7*( -3) -2*( -5)) -( -2*(2*( -3) -2*4))+( -4*(2*( -5) -7*4))= -58

?_3,3=6*(3*( -3) -5*( -5)) -( -2*(3*( -3) -5*4))+( -4*(3*( -5) -3*4))=146

?_3,4= -6*(3*2 -5*7) -( -2*(3*2 -5*2))+( -4*(3*7 -3*2))=242

?_4,1= -3*(7*4 -( -3*( -5))) -3*(2*4 -( -3*4))+( -4*(2*( -5) -7*4))= -131

?_4,2=6*(7*4 -( -3*( -5))) -( -2*(2*4 -( -3*4)))+1*(2*( -5) -7*4)=80

?_4,3= -6*(3*4 -( -4*( -5))) -( -2*(3*4 -( -4*4)))+1*(3*( -5) -3*4)=19

?_4,4=6*(3*( -3) -( -4*7)) -( -2*(3*( -3) -( -4*2)))+1*(3*7 -3*2)=127

Обратная матрица

Вектор результатов X находим по формуле:

X=A ^-1 * B

Или:

x

Вычислим произведение двух заданных матриц:

Получим:

Или можем записать в виде:

X^T=(5, -1, -3,2) - транспонированный вектор - столбец результатов;

Или:

x₁=²⁹⁰⁵ / ₅₈₁=5;

x₂= ^-581 / ₅₈₁= -1;

x₃= ^-1743 / ₅₈₁= -3;

x₄=¹¹⁶² / ₅₈₁=2;

Проверка:

Найденное решение верно!

Решение СЛАУ с помощью метода замещения

Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все- таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.

Пусть дана система Ax = b. Преобразуем ее к виду: x= Q*x + c ,

где Q = E - D*A, c = D*b

Здесь D - некоторая матрица. Нам необходимо подобрать такую матрицу D, чтобы выполнялось условие |Q| < 1.

Чтобы получить |Q| < 1, используем следующий способ:

Имеем СЛАУ:

A* x =b (1)

Предполагая, что a_ii ? 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x₁, второе - относительно x₂,…, n -ое уравнение - относительно x_n. В результате получим:

x₁=в₁ - б₁₂x₂ - б₁₃x₃ - ... - б_1nx_n

x₂=в₂ - б₂₁x₁ - б₂₃x₃ - ... - б_2nx_n

x_n=в_n - б_n1x_n - б_n3x₃ - ... - б_{nn -1}x_{n -1}

где в_i=b_i/a_ii; б_ij=a_ij/a_ii при i ? j; б_ii=0

Система (2) в матричной форме имеет вид:

x=в - бx

Систему будем решать методом последовательных приближений. Пусть x⁰=в, тогда:

x¹=b - a x⁰

x²=b - a x¹

x^k+1=b - a x^k

Рассмотрим один из способов преобразования системы: A*x=b, (1).

позволяющий всегда получать сходящийся процесс. Помножим (1) слева на

A^T: A^T*A*x=A^T*b или C*x=d, (2).

где C=A^T*A; d=A^T*b.

Систему (2) принято называть нормальной.

Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

1) матрица С - симметрическая;

2) все элементы главной диагонали c_ij > 0;

3) матрица С - положительно определена.

Умножаем матрицы A^T*A=С

C = AT*A = 6 -2 1 -4 3 3 -4 5 2 7 -3 2 4 -5 4 -3 · 6 3 2 4 -2 3 7 -5 1 -4 -3 4 -4 5 2 -3 =	= 57 -12 -13 50 -12 59 49 -34 -13 49 66 -45 50 -34 -45 66

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом:

C1,1 = A1,1 · B1,1 + A1,2 · B2,1 + A1,3 · B3,1 + A1,4 · B4,1 = 

= 6 · 6 + ( -2) · ( -2) + 1 · 1 + ( -4) · ( -4) = 36 + 4 + 1 + 16 = 57;

C1,2 = A1,1 · B1,2 + A1,2 · B2,2 + A1,3 · B3,2 + A1,4 · B4,2 = 

= 6 · 3 + ( -2) · 3 + 1 · ( -4) + ( -4) · 5 = 18 + ( -6) + ( -4) + ( -20) = -12;

C1,3 = A1,1 · B1,3 + A1,2 · B2,3 + A1,3 · B3,3 + A1,4 · B4,3 = 

= 6 · 2 + ( -2) · 7 + 1 · ( -3) + ( -4) · 2 = 12 + ( -14) + ( -3) + ( -8) = -13;

C1,4 = A1,1 · B1,4 + A1,2 · B2,4 + A1,3 · B3,4 + A1,4 · B4,4 = 

= 6 · 4 + ( -2) · ( -5) + 1 · 4 + ( -4) · ( -3) = 24 + 10 + 4 + 12 = 50;

C2,1 = A2,1 · B1,1 + A2,2 · B2,1 + A2,3 · B3,1 + A2,4 · B4,1 = 

= 3 · 6 + 3 · ( -2) + ( -4) · 1 + 5 · ( -4) = 18 + ( -6) + ( -4) + ( -20) = -12;

C2,2 = A2,1 · B1,2 + A2,2 · B2,2 + A2,3 · B3,2 + A2,4 · B4,2 = 

= 3 · 3 + 3 · 3 + ( -4) · ( -4) + 5 · 5 = 9 + 9 + 16 + 25 = 59;

C2,3 = A2,1 · B1,3 + A2,2 · B2,3 + A2,3 · B3,3 + A2,4 · B4,3 = 

= 3 · 2 + 3 · 7 + ( -4) · ( -3) + 5 · 2 = 6 + 21 + 12 + 10 = 49;

C2,4 = A2,1 · B1,4 + A2,2 · B2,4 + A2,3 · B3,4 + A2,4 · B4,4 = 

= 3 · 4 + 3 · ( -5) + ( -4) · 4 + 5 · ( -3) = 12 + ( -15) + ( -16) + ( -15) = -34;

C3,1 = A3,1 · B1,1 + A3,2 · B2,1 + A3,3 · B3,1 + A3,4 · B4,1 = 

= 2 · 6 + 7 · ( -2) + ( -3) · 1 + 2 · ( -4) = 12 + ( -14) + ( -3) + ( -8) = -13;

C3,2 = A3,1 · B1,2 + A3,2 · B2,2 + A3,3 · B3,2 + A3,4 · B4,2 = 

= 2 · 3 + 7 · 3 + ( -3) · ( -4) + 2 · 5 = 6 + 21 + 12 + 10 = 49;

C3,3 = A3,1 · B1,3 + A3,2 · B2,3 + A3,3 · B3,3 + A3,4 · B4,3 = 

= 2 · 2 + 7 · 7 + ( -3) · ( -3) + 2 · 2 = 4 + 49 + 9 + 4 = 66;

C3,4 = A3,1 · B1,4 + A3,2 · B2,4 + A3,3 · B3,4 + A3,4 · B4,4 = 

= 2 · 4 + 7 · ( -5) + ( -3) · 4 + 2 · ( -3) = 8 + ( -35) + ( -12) + ( -6) = -45;

C4,1 = A4,1 · B1,1 + A4,2 · B2,1 + A4,3 · B3,1 + A4,4 · B4,1 = 

= 4 · 6 + ( -5) · ( -2) + 4 · 1 + ( -3) · ( -4) = 24 + 10 + 4 + 12 = 50;

C4,2 = A4,1 · B1,2 + A4,2 · B2,2 + A4,3 · B3,2 + A4,4 · B4,2 = 

= 4 · 3 + ( -5) · 3 + 4 · ( -4) + ( -3) · 5 = 12 + ( -15) + ( -16) + ( -15) = -34;

C4,3 = A4,1 · B1,3 + A4,2 · B2,3 + A4,3 · B3,3 + A4,4 · B4,3 = 

= 4 · 2 + ( -5) · 7 + 4 · ( -3) + ( -3) · 2 = 8 + ( -35) + ( -12) + ( -6) = -45;

C4,4 = A4,1 · B1,4 + A4,2 · B2,4 + A4,3 · B3,4 + A4,4 · B4,4 = 

= 4 · 4 + ( -5) · ( -5) + 4 · 4 + ( -3) · ( -3) = 16 + 25 + 16 + 9 = 66;

Умножаем матрицы AT*b = d

d = AT*b =    6     3     2     4     -2     3     7     -5     1     -4     -3     4     -4     5     2     -3   ·   21     34     16     7    =	=   288   137   -135   97

Компоненты матрицы d вычисляются следующим образом:

d1,1 = A1,1 · B1,1 + A1,2 · B2,1 + A1,3 · B3,1 + A1,4 · B4,1 = 

= 6 · 21 + 3 · 34 + 2 · 16 + 4 · 7 = 126 + 102 + 32 + 28 = 288;

d2,1 = A2,1 · B1,1 + A2,2 · B2,1 + A2,3 · B3,1 + A2,4 · B4,1 = 

= ( -2) · 21 + 3 · 34 + 7 · 16 + ( -5) · 7 = ( -42) + 102 + 112 + ( -35) = 137;

d3,1 = A3,1 · B1,1 + A3,2 · B2,1 + A3,3 · B3,1 + A3,4 · B4,1 = 

= 1 · 21 + ( -4) · 34 + ( -3) · 16 + 4 · 7 = 21 + ( -136) + ( -48) + 28 = -135;

d4,1 = A4,1 · B1,1 + A4,2 · B2,1 + A4,3 · B3,1 + A4,4 · B4,1 = 

= (-4) · 21 + 5 · 34 + 2 · 16 + ( -3) · 7 = ( -84) + 170 + 32 + (-21) = 97.

Тогда, используя формулу (2), можно записать:

Если из матричного вида перейти к обычной системе, то получим:

Приведем к виду:

Покажем вычисления на примере нескольких итераций:

N=1

x₁=4.43 - 0 * ( -0.14) - 0 * 0.0615 - 0 * ( -0.26)=4.43

x₂=1.57 - 0 * ( -0.1) - 0 * ( -0.63) - 0 * 0.6=1.57

x₃= -3.21 - 0 * 0.0952 - 0 * ( -1.31) - 0 * ( -1)= -3.21

x₄=1.8 - 0 * ( -0.31) - 0 * 0.96 - 0 * ( -0.78)=1.8

N=2

x₁=4.43 - 1.57 * ( -0.14) - ( -3.21) * 0.0615 - 1.8 * ( -0.26)=5.32

x₂=1.57 - 4.43 * ( -0.1) - ( -3.21) * ( -0.63) - 1.8 * 0.6= -1.07

x₃= -3.21 - 4.43 * 0.0952 - 1.57 * ( -1.31) - 1.8 * ( -1)=0.22

x₄=1.8 - 4.43 * ( -0.31) - 1.57 * 0.96 - ( -3.21) * ( -0.78)= -0.83

N=3

x₁=4.43 - ( -1.07) * ( -0.14) - 0.22 * 0.0615 - ( -0.83) * ( -0.26)=4.05

x₂=1.57 - 5.32 * ( -0.1) - 0.22 * ( -0.63) - ( -0.83) * 0.6=2.76

x₃= -3.21 - 5.32 * 0.0952 - ( -1.07) * ( -1.31) - ( -0.83) * ( -1)= -5.95

x₄=1.8 - 5.32 * ( -0.31) - ( -1.07) * 0.96 - 0.22 * ( -0.78)=4.68

Остальные расчеты сведем в таблицу:

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	4.43	1.57	-3.21	1.8	4.43	1.57	3.21	1.8
2	5.32	-1.07	0.22	-0.83	0.89	-0.5	-2.99	-0.97
3	4.05	2.76	-5.95	4.68	-1.26	1.69	5.73	3.85
4	6.4	-4.56	4.69	-4.21	2.35	1.8	-1.26	-0.46
5	2.41	7.72	-14.01	11.85	-3.99	3.16	9.32	7.64
6	9.46	-14.12	18.51	-15.77	7.05	6.4	4.5	3.92
7	-2.79	23.69	-38.38	32.77	-6.67	9.57	19.86	16.99
8	18.64	-42.56	60.84	-51.74	15.85	18.87	22.46	18.97
9	-18.74	72.89	-112.46	95.97	0.0955	30.33	51.62	44.23
10	46.54	-128.82	189.99	-161.76	27.81	55.93	77.52	65.79
11	-67.4	223.18	-338.1	288.27	20.86	94.36	148.12	126.5
12	131.53	-391.44	583.73	-497.31	64.13	168.26	245.63	209.04
13	-215.76	681.45	-1025.65	874.16	84.22	290.01	441.91	376.85
14	390.53	-1191.63	1783.87	-1520.06	174.77	510.18	758.22	645.9
15	-667.9	2078.25	-3120.94	2659.69	277.37	886.62	1337.07	1139.62
16	1179.86	-3630.22	5441.6	-4637.14	511.96	1551.97	2320.66	1977.45
17	-2045.87	6335.34	-9506.58	8101.35	866.02	2705.12	4064.98	3464.22
18	3585.47	-11062.16	16589.27	-14136.98	1539.6	4726.82	7082.69	6035.63

Решение СЛАУ с помощью метода Гаусса

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 2 -ую строку на ( -2). Добавим 2 -ую строку к 1 -ой:

Умножим 2-ю строку на (2). Умножим 3-ю строку на (-3). Добавим 3 -ую строку к 2 -ой:

Умножим 3-ю строку на (2). Умножим 4-ю строку на ( -1). Добавим 4-ю строку к 3-й:

Умножим 1-ю строку на (15). Умножим 2-ю строку на ( -8). Добавим 2-ю строку к 1-й:

Умножим 2-ю строку на (19). Умножим 3-ю строку на (15). Добавим 3 -ую строку к 2 -ой:

Умножим 1-ю строку на (131). Умножим 2-ю строку на (127). Добавим 2 -ую строку к 1 -ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

Из данной системы, идентичной исходной СЛАУ, выразим отдельно каждую неизвестную, получим:

x₄ = -17430/(-8715);

x₃ = [755 - (181x₄)]/( -131);

x₂ = [25 - (- 10x₃ + 7x₄)]/19;

x₁ = [7 - (- 5x₂ + 4x₃ - 3x₄)]/4;

Из 1 -ой строки выражаем x₄

Из 2 -ой строки выражаем x₃

Из 3 -ой строки выражаем x₂

Из 4 -ой строки выражаем x₁

Запишем отдельно найденные значения х_i:

Проведем проверку, подставив вместо неизвестных величин найденные значения:

Найденное решение верно!

Размещено на Allbest.ru

...