Элементарные функции и их графики

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Пропорциональные величины

Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x,

где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности).

График прямой пропорциональности - прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k: tan = k (рис. 1). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = ?3.

Рис. 1

2. Линейная функция

Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C,

Где, по крайней мере, одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис. 2.

Рис. 2

3. Обратная пропорциональность

Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k / x,

где k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности - гипербола (рис. 3). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис. 3, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы:

xy = k.

Рис. 3

Основные характеристики и свойства гиперболы:

- область определения функции: x 0, область значений: y 0;

- функция монотонная (убывающая) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему);

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

4. Квадратичная функция

Это функция:

y = ax 2 + bx + c,

где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис. 4). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

Рис. 4

График функции:

y = ax 2 + bx + c

- тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта:

D = b2 - 4ac.

Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис. 5.

Рис. 5

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции: ?< + (т. e. x R), а область значений: (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами);

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0, и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. (А что при D 0?) .

5. Степенная функция

Это функция:

y = axn,

тригонометрический гипербола парабола

где a, n - постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = ?1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, следовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т. e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис. 6 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Рис. 6

Рис. 7

Если n - целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис. 8 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.

Рис. 8

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция:

y = x3

называется кубической параболой.

На рис. 8 представлена функция:

.

Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла?. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

6. Показательная функция

Функция:

y = ax,

где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = ?3, y = 3 i и y = ?3 i (проверьте, пожалуйста). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис. 9. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т. e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 - убывает.

Рис. 9

Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции: ?< x+ (т. e. x R);

- область значений: y > 0;

- функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

7. Логарифмическая функция

Функция:

y = log a x,

где a - постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Рис. 10

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0, а область значений: ?< y+ (т. e. y R);

- это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- у функции есть один ноль: x = 1.

8. Тригонометрические функции

При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция:

y = sin x

представляется графиком (рис. 11). Эта кривая называется синусоидой.

Рис. 11

График функции:

y = cos x

представлен на рис. 12; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика:

y = sin x

вдоль оси Х влево на ?2?.

Рис. 12

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: ?< x + область значений: ?1 y +1;

- эти функции периодические: их период 2;

- функции ограниченные (| y | ?, всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис. 11 и рис. 12);

- функции имеют бесчисленное множество нулей.

Графики функций:

y = tan x,

y = cot x

показаны на рис. 13.

Рис. 13

Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область определения и область значений этих функций:

9. Обратные тригонометрические функции

Графики, полученные поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Рис. 14

Функции:

y = Arcsin x,

y = Arccos x

(рис. 14) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: ?1 x +1 и ?< y + . Поскольку эти функции многозначные, не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения:

y = arcsin x,

y = arccos x;

их графики выделены на рис. 14 жирными линиями.

Функции:

y = arcsin x,

y = arccos x

обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: ?1 x +1; их области значений: ?/2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные (y = arcsin x - возрастающая функция; y = arccos x - убывающая);

- каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и x = 1 у функции y = arccos x).

Рис. 15

Функции:

y = Arctan x,

y = Arccot x

(рис. 15) - многозначные, неограниченные; их область определения: ? x + . Их главные значения:

y = arctan x,

y = arccot x

рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения: ? x + ; их области значений: ?/2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные (y = arctan x - возрастающая функция; y = arccot x - убывающая);

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0); функция y = arccot x нулей не имеет.

Размещено на Allbest.ru