Арифметические операции над матрицами

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Перемножить матрицы

.

Решение. При умножении матрицы на матрицу действует правило: каждая строка первой матрицы умножается на каждый столбец второй матрицы. Для операции умножения матриц справедлив ассоциативный закон умножения: A(BC)=(AB)C. Поэтому данное задание выполним двумя способами.

Способ 1. Перемножим первые две матрицы:

.

Затем результат умножим на третью матрицу:

.

Способ 2. Перемножим последние две матрицы:

.

Затем результат умножим на первую матрицу:

.

Как и следовало ожидать, результат получился тот же самый. Таким образом, получаем:

.

матрица алгебраический крамер

2. Вычислить определитель

.

Решение. Способ 1. При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:

.

Способ 2. При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:

.

Вычислить определитель:

.

Решение. Упростим данный определитель, а затем вычислим его:

.

3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Решение. Метод Крамера заключается в том, что вычисляется сначала определитель основной матрицы системы (например, методом треугольников):

.

Поскольку определитель 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам:

где i - определитель матрицы, получаемой из основной, путем замены i-го столбца столбцом свободных членов:

,

,

.

Таким образом,

Сделаем проверку,

Следовательно, исходная система имеет решение: x=2, y=-3, z=5.

4. Решить систему линейных уравнений при помощи обратной матрицы

Решение. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде:

.

Тогда решение можно формально записать в виде:

.

Таким образом, чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу

.

Найдем ее

1) Вычисляем определитель исходной матрицы: .

2) Транспонируем матрицу:

.

3) Находим все алгебраические дополнения транспонированной матрицы:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

4) Составляем присоединенную матрицу, для этого вместо элементов транспонированной матрицы ставим найденные алгебраические дополнения:

5) Записываем обратную матрицу, для этого все элементы присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы:

.

6) Сделаем проверку:

.

Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:

.

Как и следовало ожидать: x=2, y=-3, z=5.

5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду:

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений. Из последнего уравнения, находим значение z и подставляем его во второе уравнение; после этого из второго уравнения находим y; найденные значения x и y подставляем в первое уравнение, из которого затем находим значение x.

6. Найти общее решение методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее трапециевидной форме:

.

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений.

Пусть переменные x4 и x5 будут свободными, тогда переменные x1, x2 и x3 будут основными, которые мы перенесем в правую часть:

Разрешая эту систему относительно x1, x2 и x3 получим:

Это есть общее решение системы. Запишем это решение в параметрическом виде. Пусть x4=a и x5=5b, то общее решение системы запишется в виде:

7. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований

Решение. а) Фиксируем минор 2-го порядка, не равного нулю:

Вычисляем миноры 3-го порядка, окаймляющих М2:

Следовательно, RgA=2, а минор М2 - один из базисных миноров.

б) При помощи элементарных преобразований данной матрицы приведем ее к диагональному виду:

8. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (3;-2;1), b = (-1;1;-2), c = (2;1;-3), d = (11;-6;5)

Решение. Векторы образуют базис, если их смешанное произведение не равно нулю. Действительно:

.

Следовательно, векторы образуют базис, тогда вектор можно разложить по этому базису:

.

Найдем числа б, в, г. Для этого в векторное уравнение распишем по координатам, в результате получим систему уравнений:

Таким образом, искомое разложение имеет вид:

.

9. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений

а) б)

если , |, j=2p/3

Решение. а) Раскроем скобки, учитывая свойства скалярного произведения векторов:

.

Далее из определения скалярного произведения следует:

.

б) Раскроем скобки, учитывая свойства векторного произведения векторов:

.

Далее из определения векторного произведения следует:

.

10. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A(3;-2;-4), B(-5;3;4), C(1;-3;2), D(4;1;-2).

Решение. Найдем координаты векторов :

.

а) Объем пирамиды ABCD вычислим по формуле:

.

Поскольку:

.

Следовательно,

б) Площадь грани ABC вычислим по формуле:

.

Поскольку:

.

Тогда площадь грани ABC будет равна:

в) Для того чтобы найти косинус угла между ребрами AB и AC найдем косинус угла между векторами и :

.

Тогда:

.

г) Для того чтобы найти уравнение прямой AB, воспользуемся формулой для прямой, проходящей через две точки:

Поставим сюда координаты точек A и B:

,

или:

.

д) Для того чтобы найти уравнение плоскости ABC, воспользуемся формулой для плоскости, проходящей через три точки:

.

Поставим сюда координаты точек A, B и C:

.

Вычислим этот определитель, разлагая его по первой строке:

Раскрывая скобки и приравнивая нулю полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:

,

или

.

11. Составить канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

L:

Решение. Чтобы составить канонические уравнения прямой нужно знать какую-либо точку на этой прямой и какой-либо направляющий вектор. Найдем координаты точки, для этого нужно найти общее решение данной системы двух уравнений, а затем выбрать какое-либо частное решение. Мы поступим несколько иначе, сразу выберем частное решение, для этого придадим какой-либо переменной числовое значение. Тогда останется только две переменные, и система станет определенной. Решая полученную систему, найдем числовые значения оставшихся переменных, а, следовательно, и координаты точки на заданной прямой. Пусть x=0, тогда:

Таким образом, M(0,1,1)L. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор:

q=n1n2,

где n1 и n2 - направляющие векторы плоскостей, входящих в общие уравнения прямой. Так как:

n1={1;3;2}, n1={5;1;2}, то%



Таким образом, L:

12. Вывести уравнение кривой, сумма расстояний, от каждой точки которой до двух точек A(-4;0) и B(4;0) есть величина постоянная и равная 10.

Решение. Обозначим через M(x,y) произвольную точку кривой. Запишем геометрическое свойство точек кривой:

|AM| + |BM| = 10.

Распишем это уравнение:

.

Перепишем это уравнение следующим образом:

и возведем обе части в квадрат:

,

после упрощений получим:

.

Сократив полученное уравнение на 4, возведем его еще раз в квадрат:

.

Раскроем скобки:

16x2-200x+625 = 25x2-200x+400+25y2 9x2+25y2 = 225.

Отсюда получаем:

.

Это есть каноническое уравнение эллипса.

Размещено на Allbest.ru

...