Операции с числовыми рядами

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Числовой ряд: Пусть задана бесконечная последовательность действительных или комплексных чисел …,,…

Выражение вида:

++…++…= (1)

Называется числовым рядом. При этом числа …,,… называются членами ряда. Числовой ряд, членами которого являются действительные (комплексные) числа называют действительным (комплексным) числовым рядом.

1.1 Частичная сумма

Сумма = +++…+ первых n членов ряда называется его n - й частичной суммой.

Рассмотрим частичные суммы:

=

= +

= + +

……………………………..

= + + + … +

1.2 Сходимость

Если существует конечный предел S = , то ряд (1) называется сходящимся, а число S - суммой ряда. Если предела не существует, то ряд называется расходящимся.

1.3 Бесконечная геометрическая прогрессия. Исследование сходимости ряда из членов бесконечной геометрической прогрессии

Б.Г.П. -

Исследуем его:

Имеем = 1 + + + … + . Если q = 1, то = n, = , и, следовательно, ряд сходится.

Пусть теперь q 1, тогда

= = -

Положим q = , тогда = . При 0 1 имеем

= = 0, т.е. = 0, откуда = .

Если же r, то и, следовательно, конечного предела , а значит, и предела последовательности частичных сумм не существует. Наконец при r =1 и предел

= (а потому и предел )

Также не существует.

Таким образом, ряд , члены которого составляют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем q, сходится при |q| и его сумма равна и расходится при |q|

1.4 Остаток ряда и его сходимость

Ряд + + … = , полученный ряд из ряда (1) путём отбрасывания его первых n членов, называется остатком ряда (1) после n-го члена.

Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится любой его остаток.

Имеем:

частная сумма исходного ряда и

частная сумма остатка ряда после n-го слагаемого. Очевидно, что между этими величинами имеет место соотношение

Если ряд сходится остаток ряда после n-го слагаемого сходится.

Далее, , и поэтому если сходится остаток ряда после n-го слагаемого исходный ряд сходится.

Обратите внимание на важное для дальнейшего соотношение .

Следствие. Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости.

1.5 Линейные операции над сходящимися рядами

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .

Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

,

причем - бесконечно малая последовательность (как сумма бесконечно малых).

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .

Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

.

Последовательности бесконечно малые как произведение бесконечно малой на ограниченную и произведение бесконечно малых последовательностей. Тогда бесконечно малая как сумма бесконечно малых.

Для доказательства теоремы о пределе частного нам понадобится следующее свойство сходящихся последовательностей.

Лемма. Пусть , причем . Тогда последовательность ограничена.

Доказательство. Возьмем и найдем номер , после которого . Для всех номеров будет справедлива оценка

, ,

а значит, для этих номеров . Тогда для всех номеров будет справедливо

,

что означает ограниченность последовательности .

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .

Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что

, а ,

где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

.

Последовательность , очевидно, бесконечно малая, а, следовательно, .

Пример. .

ряд сходимость интегрирование интеграл

2. Необходимое условие сходимости ряда

Теорема (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то = 0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1).Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = =u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если u_n?0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Пример.

Ряд расходится, так как

u_n=.

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что u_n=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд

расходится, хотя u_n=

2.1 Критерий Коши сходимости ряда

Для того, что бы ряд , сходился, необходимо и достаточно, что бы для любого существовал такой номер N=N(, что при любом n и любом целом p выполнялось неравенство:

| - | = | + + … + |

Последовательность частных сумм ряда сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть

что равносильно условию (2) так как - = + … +

2.2 Гармонический ряд, доказательство расходимости

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, -- это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны.

Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда. Его обозначают

Гармонический ряд является исторически первым примером численного ряда, члены которого неограниченно убывают и который, несмотря на это, расходится, т.е. для которого

Расходимость его была доказана Лейбницем в 1678 г. Название ряда объясняется тем, что каждые три последовательных его члена, начиная со второго, un-1, un, un+1, удовлетворяют одному и тому же правилу: средний член связан с крайними равенством

Подобная зависимость чисел называют гармоническим делением или золотым сечением.

В курсе математического анализа гармонический ряд является основным и играет не менее значительную роль, чем убывающая геометрическая последовательность.

3. Докажем расходимость гармонического ряда

Если

где подпредельная функция монотонно возрастает, то

где e=2.718.... Возьмем от обеих частей неравенства натуральный логарифм:

или

При n = 1,2,3, ... n последовательно получим

После сложения членов левой части неравенств получим

 или

Если количество членов ряда неограниченно растет, то неравенство показывает, что сумма гармонического ряда неограниченно растет, т.е.

3.1 Критерий сходимости для положительных рядов

Доказать. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Доказательство:

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда частичных сумм) неубывающая:

Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).

3.2 Теоремы сравнения для положительных рядов

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

(3) (4)

И пусть существует номер такой, что для любого n выполняются неравенства , тогда из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (3), а из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда (3).

Пусть даны два знакоположительных ряда:

и

Тогда, если, начиная с некоторого места (), выполняется неравенство:

,

то из сходимости ряда следует сходимость .

Или же, если ряд расходится, то расходится и .

Доказательство

Обозначим частные суммы ряда . Из неравенств следует, что Поэтому из ограниченности вытекает ограниченность а из неограниченности следует неограниченность Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для

Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме -- в виде отношений.

Формулировка

Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места (), выполняется неравенство:

,

то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для , получаем

или

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов и

Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n -- довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка

Если и есть строго положительные ряды и

,

то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .

Доказательство

Если то для достаточно больших

Из ограниченности частных сумм следует ограниченность частных сумм Соотношения обеспечивают на основании признака сравнения сходимость и вместе с тем сходимость Если же то и не может сходиться при расходящемся

Признак Даламбера.

Примзнак д'Аламбемра (или Признак Даламбера) -- признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д'Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство



то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д'Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если -- расходится.

Замечание. Если , то признак д?Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

, тогда существует , существует , для любого .

Ряд из сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из сходится (по признаку сравнения).

1. , тогда существует .

2. для любого . Тогда не стремится к нулю и ряд расходится.

Радикальный признак Коши.

Радикальный признак Коши -- признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда

, то

если ряд сходится,

если ряд расходится,

если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то, подставив в определение предела выбранное , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то, подставив в определение предела выбранное , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

Интегральный признак Коши.

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется:

1. (функция принимает неотрицательные значения)

2. (функция монотонно убывает)

3. (соответствие функции ряду)

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Рис. 1 Набросок доказательства

1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке

2. Площадь большей фигуры равна

3. Площадь меньшей фигуры равна

4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна

5. Получаем

6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

4. Оценка суммы остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

с помощью несложных преобразований получаем:

.

5. Исследование ряда Дирихле

. При ряд расходится, при ряд сходиться, .

5.1 Достаточное условие сходимости произвольного ряда

Пусть дан ряд с произвольными (действительными или комплексными) членами

++…++…=

Если сходится ряд

|++…++…=

Составленный из абсолютных величин членов данного ряда, то сходится и данный числовой ряд.

5.2 Абсолютная сходимость

Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе -- сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от ее модуля .

5.3 Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

5.4 Признак Лейбница

Признак Лейбница -- признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

1. (монотонное убывание {a_n})

2. .

Тогда этот ряд сходится.

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u₁>u₂>…>u_n>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S_2n=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+…+(u_2n-1-u_2n).

По условию u₁>u₂>…>u_2n-1>u_2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S_2n возрастает с возрастанием n и S_2n>0 при любом n.

С другой стороны S_2n=u₁-[(u₂-u₃)+(u₄-u₅)+…+(u_2n-2-u_2n-1)+u_2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S_2n>0, поэтому S_2n<u₁ для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S_2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S_2n=S. При этом 0<S?u₁.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S_2n+1=S_2n+u_2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n>?:S_2n+1=S_2n+u_2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому S_n=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

5.5 Условная сходимость

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если существует (и не бесконечен), но .

5.6 Оценка суммы остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

6. Функциональный ряд. Его область сходимости

Функциональный ряд -- ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

-- n-ная частичная сумма.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.

6.1 Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда

Если последовательность ограничена, т.е. существует , такое, что для любого , то говорят, что функциональная последовательность сходится к на множестве равномерно, что обозначается . Таким образом, для и .

Пусть - функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что зависит не только от e, но и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

6.2 Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности . Чтобы последовательность функций , определённых на множестве , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовал номер , такой, что при всех больше либо равных , одновременно для всех выполнялось неравенство

Ряд равномерно сходится на

Доказательство:

Пусть ряд равномерно сходится.

, где -- сумма ряда. Тогда

По определению равномерной сходимости, .

В силу предыдущего неравенства, , то есть, выполняется условие критерия Коши.

Пусть выполняется условие критерия Коши.

для выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

По условию критерия Коши,

Как и в первой половине доказательства, , но . В неравенстве с можно подставлять любой фиксированный . Устремим :

Значит, определение равномерной сходимости проверено.

6.3 Признак Вейерштрасса

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)

Можно рассматривать и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):

, , , -- сходится. Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Применим критерий Коши:

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно ,

. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.

7. Теоремы о непрерывности суммы, почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов

Теорема. Пусть на . Пусть . Тогда .

Доказательство. Требуется доказать, что функция непрерывна в точке , т.е. . Зафиксируем произвольное . Ввиду равномерной сходимости . В частности, . По условию, при любом функция - непрерывная. Значит, . При выбранных имеем:

,

что и требовалось доказать.

Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются непрерывными функциями, есть непрерывная функция.

Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда

Теорема. (почленное интегрирование ряда). Пусть ряд равномерно сходится к своей сумме на отрезке и все . Тогда

 .

Доказательство. Обозначим при произвольном , . Тогда - непрерывная функция и, т.к. по предыдущей теореме - непрерывная функция, - также непрерывная функция. Тогда

.

Для доказательства теоремы достаточно доказать, что при , т.к., по определению, . Но . Поэтому при

и требуемое утверждение доказано.

Замечание. Для функциональных последовательностей эта теорема формулируется следующим образом: Пусть на . Пусть . Тогда

.

Теорема. (о почленном дифференцировании ряда).

Пусть:

1. ;

2. Ряд сходится на (и пусть его сумма обозначена );

3. Ряд равномерно сходится на .

Тогда или, иными словами, .

Доказательство. Обозначим - сумму ряда . Тогда - непрерывная на функция. Поэтому существует ее интеграл от и он, по предыдущей теореме, равен

.

Значит,

или

8. Степенной ряд

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x ? x₀), то есть ряд вида

где x₀ ? действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

8.1 Теорема Абеля

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x₁ , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x<x₁ численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х₁, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

9. Равномерная сходимость степенных рядов

Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.

Доказательство. На окружности степенной ряд сходится абсолютно, так как эта окружность лежит внутри круга сходимости. Тогда ( не зависит от ), тогда в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (замечание в доказательстве теоремы Абеля).

Исследуем сходимость степенного ряда на границе круга сходимости.

Рассмотрим ряд из модулей на границе круга сходимости .

1. Если ряд из модулей на границе круга сходимости сходится, то исходный степенной ряд абсолютно сходится на всей границе.

В самом деле этот ряд является мажорантным для степенного ряда в любой точке границы.

2. Если , то исходный степенной ряд расходится на всей границе.

В этом случае , и не выполняется необходимый признак сходимости для исходного степенного ряда на всей границе круга сходимости. Поэтому исходный степенной ряд расходится на всей границе.

3. Если ряд из модулей на границе круга сходимости расходится, но , то исходный степенной ряд сходится в одних точках границе и расходится в других. В этом случае для того, чтобы исследовать сходимость в точке границы, надо подставить ее в качестве в степенной ряд и исследовать сходимость полученного числового ряда.

Приведенные выше примеры 3, 4, 5 (после критерия Коши). Первый ряд расходится на всей границе , так как на ней не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Второй ряд сходится на всей границе, третий ряд сходится в одних точках границы и расходится в других.

9.1 Непрерывность суммы степенных рядов

На любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости степенного ряда (1.2), сумма ряда есть непрерывная функция.

Доказательство. Каждая частичная сумма степенного ряда, очевидно, является непрерывной функцией. По теореме 2.1 на любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости ряда сходимость является равномерной. Сумма ряда, являющаяся пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, сама является непрерывной функцией. Теорема доказана.

9.2 Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0:

Функция является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой

Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если ? R < b < x < R, то выполняется равенство



Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:

10. Ряд Тейлора, Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n ? остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

10.1 Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Теорема. Функция, аналитическая в области , в окрестности каждой точки этой области представляется в виде степенного ряда, радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние от точки до границы области .

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод -- утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции:

.

2. Вычислить значения производных в точке ; записать коэффициенты по формуле. Составить ряд по степеням с этими коэффициентами, который соответствует данной функции

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение.

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости, .

10.2 необходимое и достаточное условие разложимости в ряд функции в ряд Тейлора

Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в т.функцияявлялась суммой составленного для нее ряда Тейлора (30.6), необходимо и достаточно, чтобы

Используя определение сходящегося ряда и выражение (30.8), имеем следующую цепочку: -- сумма (30.6)

Приведем запись остаточного члена в форме Лагранжа [4. С. 168]:

гденаходится междуи х.

10.3 Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора

Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки одним и тем же числом М > 0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т. е. имеет место разложение (3.2).

Для разложения функции в ряд Маклорена (3.3) нужно:

1) найти производные ;

2) вычислить значения производных в точке ;

3) написать ряд (3.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4) найти интервал (-R;R), в котором остаточный член ряда Maклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при .

11. Вывести разложения в ряд Маклорена

Экспонента:

Натуральный логарифм:

для всех

Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где

Квадратный корень:

для всех

для всех

Конечный геометрический ряд: для всех

Тригонометрические функции:

Синус:

Косинус:

Тангенс:

для всех где -- Числа Бернулли

Секанс: для всех где -- числа Эйлера (англ. Euler numbers)

Арксинус: для всех ^[1]

Арккосинус: для всех

Арктангенс: для всех

Гиперболические функции:

для всех

для всех

для всех

12. Криволинейный интеграл 1-го рода

Определение

Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собойдлину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.

Рис.1

Рис.2

Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

2. Пусть кривая C₁ начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C₂ начинается в точкеB и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться криваяC₁ U C₂, которая проходит от A к B вдоль кривой C₁ и затем от B к D вдоль кривой C₂. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение

3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то

4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то

5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то

6. В полярных координатах интеграл выражается формулой

где кривая C задана в полярных координатах функцией .

1. Линейность:

2. Аддитивность: если в одной точке, то

3. Монотонность: если на , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль функции :

Очевидно, что: .

Обсуждаемые интегралы обладают очень простым и наглядным физическим смыслом. Пусть имеется некоторая кривая, линейная плотность которой не является константой, а представляет собой функцию точки . Найдём массу этой кривой. Разобьём кривую на множество малых элементов, в пределах которых её плотность можно приближённо считать константой. Если длина маленького кусочка кривой равна , то его масса

,

где - любая точка выбранного кусочка кривой (любая, так как плотность в пределах этого кусочка приближённо предполагается постоянной). Соответственно, масса всей кривой получится суммированием масс отдельных её частей:

.

Чтобы равенство стало точным, следует перейти к пределу разбиения кривой на бесконечно малые части, но это и есть криволинейный интеграл первого рода.

Аналогично разрешается вопрос о полном заряде кривой, если известна линейная плотность заряда .

Эти рассуждения легко переносятся на случай неравномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью заряда . Тогда заряд поверхности есть поверхностный интеграл первого рода

.

Пусть -- гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по : .

Размещено на Allbest.ru

...