Теорія ймовірностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Класифікація подій, класичне означення ймовірності випадкової події, статистичне означення ймовірності; елементи комбінаторики; аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки

Випробування -- реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія -- результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V. Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D.

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій : P(A)= m /n.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n:

W(A)= m /n.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою:

Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m (0 mn) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом:

= n! /(n-m)!

Комбінаціями з n елементів по m

(0 mn) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом:

= n! / m!(n-m)!

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1.

2. із того, що , випливає, що: , ,

Числова функція P, що визначена на системі подій , називається ймовірністю, якщо:

1. є алгеброю подій;

2. для будь-якого A існує P(A)0;

3. P()=1;

4. якщо А і В є несумісними (АВ)=, то P(AB)=P(A)+P(B);

5. для будь-якої спадної послідовності подій із , такої, що випливає рівність .

Трійка (), де є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1-5, називається простором імовірностей.

Наслідки аксіом:

1. якщо випадкові події є несумісними попарно, то

2. якщо випадкові події утворюють повну групу, то

3. формула додавання для n сумісних

4. якщо випадкова подія А сприяє появі В(АВ), то P(A)P(B)

2. Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей

теорема пуассон біноміальний закон

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними. Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С несумісні, то P(A)=P(B?C)=P(B)+P(C);

б) якщо події В і С сумісні, то P(A)=P(B?C)=P(B)+P(C)-P(B?C).

6. Умовна ймовірність та її властивості.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B)0. Властивості умовної ймовірності:

1. P(A/B)=0

2. P(A/B)=1

3. у решті випадків 0<P(A/B)<1.

3. Формули множення ймовірностей для залежних та незалежних випадкових подій

Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С незалежні, то P(A)=P(B-C)=P(B)*P(C);

б) якщо події В і С залежні, то P(A)=P(B-C)=P(B)*P(C/B).

8. Формула повної ймовірності та формула Байеса.

Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:

де -- імовірність події

-- умовні ймовірності настання події А.

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

4. Означення повторних незалежних випробувань

Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може як відбутись, так і не відбутись. Якщо ця ймовірність у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними щодо події А. Згідно з означенням випробування також незалежні, якщо в кожному з них імовірність настання події А однакова, тобто дорівнює тому самому числу. Імовірність того, що подія А відбудеться в кожному з незалежних випробувань, позначають а ймовірність настання протилежної події



5. Формула Бернуллі для обчислення ймовірності і наймовірнішого числа

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з'явиться від mi до mj раз, обчислюється так:

6. Локальна та інтегральна теореми Мавра-Лапласа

Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.

Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

-- функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

7. Формула Пуассона малоймовірних випадкових подій

Точність асимптотичних формул для великих значень n- числа повторних незалежних експериментів за схемою Бернуллі - знижується з наближенням p- до нуля .Тому при n > R, p- 0 за умови np=a=const імовірність появи випадкової події m раз (0<=m <=n).

Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , а n велике, то

8. Означення випадкової величини

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов'язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною.

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов'язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.

Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістанемо многокутник розподілу ймовірностей).

9. Функція розподілу

Універсальним способом завдання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Цю функцію можна тлумачити так:унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення,меншого за х. Для дискретних величин

Для довільних

Якщо Х -- неперервна випадкова величина, то -- неперервна і диференційована; її похідна називається щільністю розподілу ймовірностей. При цьому -- невід'ємна функція, для якої

Властивості:

1. 0F(x)1

2. F(x) є неспадною функцією,а саме F(x₂)F(x₁), якщо х₂х₁

10. Математичним сподіванням, або середнім значенням, МХ випадкової величини, називається ряд (для дискретних випадкових величин) і інтеграл (для неперервних випадкових величин), якщо вони абсолютно збіжні

Математичне сподівання має такі властивості:

(С -- стала);

;

якщо Х і Y -- незалежні випадкові величини.

Дисперсія (позначається через ) випадкової величини Х визначається за формулою:

Основні властивості дисперсії:

якщо випадкові величини незалежні.

Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою ) є квадратним коренем із дисперсії.

Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне сподівання, то дістанемо центровану випадкову величину, математичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової величини на її середнє квадратичне відхилення називається нормуванням цієї випадкової величини.

Випадкова величина має нульове математичне сподівання й одиничну дисперсію.

Початковий, центральний і абсолютний початковий моменти порядку k величини Х визначають відповідно за такими формулами:

Якщо існує початковий абсолютний момент порядку k, то існують усі моменти нижчих порядків.

Медіаною випадкової величини є Х будь-який корінь рівняння

Мода дискретної величини -- це таке її значення, імовірність якого найбільша.

Модою неперервного розподілу є значення випадкової величини, за якого щільність розподілу має максимум.

Асиметрія випадкової величини визначається за формулою:



Ексцес випадкової величини обчислюють за формулою:

11. Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин. У загальному випадку систему випадкових величин можна інтерпретувати як випадкову точку або випадковий вектор у просторі вимірів

Розглядають системи дискретних випадко-вих величин, неперервних випадкових величин, а також системи, до яких входять як дискретні, так і неперервні випадкові величини. Закони розподілу систем випадкових величин задаються різними способами.

Функція розподілу системи двох випадкових величин визначає ймовірність спільного настання двох подій:

12. Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин. Якщо тобто розглядається система двох випадкових величин , то геометрично її можна тлумачити як випадкову точку з координатами на площині або як випадковий вектор, складові якого -- випадкові величини Початковим моментом порядку системи називається величина . Якщо , маємо при дістаємо

Центральним моментом порядку називається величина . При значеннях Якщо навпаки, , то нарешті, при -- кореляційний момент (коваріація) випадкових величин Його можна обчислити також за формулою: Для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю.

Кореляційний момент характеризує тісноту лінійної залежності між величинами. З цією самою метою застосовують коефіцієнт кореляції r1, або -1r_xy1.Отже якщо випадкові величини Х таУ є незалежними , то К_ху =0 і r_xy=0. Якщо кореляційний момент (коефіцієнт кореляції) дорівнює нулю, то величини називаються некорельованими.

13. Функція розподілу системи двох випадкових величин визначає ймовірність спільного настання двох подій: Геометрично функцію розподілу можна інтерпретувати як імовірність потрапляння випадкової точки в нескінченний прямокутник із вершиною обмежений згори і праворуч

Функція розподілу має такі властивості:

-- неспадна функція х і y;

Функції визначають закони розподілу для випадкових величин які входять до системи.

За допомогою функції розподілу можна подати ймовірність потрапляння випадкової точки у прямокутник, сторони якого паралельні осям координат:

Якщо розглядається система неперервних випадкових вели-чин, то для неї визначається щільність розподілу При цьому має такі властивості:

Імовірність потрапляння випадкової точки у довільну область D подається формулою:

Функція розподілу системи двох випадкових величин виражається через щільність розподілу:

Скориставшись властивостями функції розподілу системи неперервних величин, можна знайти щільності розподілу величин, які входять до цієї системи:



14. Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин.Для системи випадкових величин числові характеристики задаються вектором математичних сподівань і кореляційною матрицею:

Якщо елементи цієї матриці поділимо на добуток , дістанемо матрицю, складену з коефіцієнтів кореляції:

15. Означення дискретної випадкової величини

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов'язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.

Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то

Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістанемо многокутник розподілу ймовірностей). Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Для дискретних величин

Функція розподілу -- неспадна, неперервна зліва,

16. Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Імовірнісна твірна:

Закон розподілу Пуассона

Дискретна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона набуває зліченної множини значень з імовірностями Цей розподіл описує кількість подій, які настають в однакові проміжки часу за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю. Розподіл Пуассона розглядається як статистична модель для кількості альфа-частинок, що їх випромінює радіоактивне джерело за певний проміжок часу; кількості викликів, які надходять на телефонну станцію за певний період доби; кількості вимог щодо виплати страхових сум за рік; кількості дефектів на однакових пробах речовини і т. ін. Розподіл застосовується в задачах статистичного контролю якості, у теорії надійності, теорії масового обслуговування. Математичне сподівання і дисперсія в цьому розподілі однакові і дорівнюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень (0,1 - 20). У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності .

Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n велике і р або 1 - р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли .

Ймовірна твірна

17. Числові характеристики розподілу Біноміального закону розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

18. Логарифмічний нормальний закон розподілу

Нехай Y має закон розподілу

,

- ?<y<?.

Необхідно знайти f(x), якщо Х=. Таким чином, Y є функцією випадкового аргументу Х. Тоді

Оскільки

Отже,

Закон розподілу випадкової величини Х із цією щільністю називають логарифмічним нормальним законом.

19. Нерівності Чебишова та її значення

Перша форма: якщо випадкова величина Х невід'ємна і , то

Зауваження : існує друга форм, якщо для випадкової величини існують моменти першого та другого порядку, то

Послідовність (1) задовольняє закон великих чисел, якщо



Окремі форми закону великих чисел різняться обмеженнями, які накладаються на випадкові величини, що входять у послідовність(1).

20. Теорема Чебишова

Нехай послідовність незалежних випадкових величин ,які задовольняють умовам:

1. M(X_і)>= a_і

2. D(X_і )<= с Для всіх і=1,2,3…..n

Якщо випадкові величини у послідовності незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел. Це означає що середнє арифметичне достатньо великої кількості незалежних випадкових величин дуже мало відрізняється від середнього арифметичного їхніх математичних сподівань ,взятого за абсолютним значенням .

Ця теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна гранична теорема

21. Теорема Бернулі

Нехай проводиться n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких імовірність настання події А дорівнює р. Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з незалежних випробувань n є величиною сталою і дорівнює P,то при необмеженому збільшенні числа експериментів n>?

Імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності p ,взятої за абсолютною величиною на е(е>0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n ,що можна записати так:

де -- частота події А у даних випробуваннях. Таким чином при необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань за схемою Бернулі відносна частота дуже мало відрізняється від ймовірності .

Наведена теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна гранична теорема

Размещено на Allbest.ru

...