Розв’язання алгебраїчних рівнянь в радикалах

. (1)

1. При рівняння має один розв'язок .

2. При рівняння не має розв'язків.

3. При кожне значення є розв'язком рівняння. Розв'язок рівняння не єдиний. Рівняння має безліч розв'язків.

Приклад. Знайти розв'язок лінійного рівняння

.

Зводимо рівняння до вигляду

, .

Приклад. Розв'язати лінійне рівняння

.

Дане рівняння зводитися до вигляду

x .

Приклад. Розв'язати лінійне рівняння

.

Приклад. Розв'язати лінійне рівняння

.

При , рівняння перетворюється до вигляду

.

1. Якщо або , то рівняння не має розв'язків.

2. Якщо , то , тобто .

3. Якщо , , , то .

Приклад. Знайти розв'язок рівняння

.

Рівняння перетворюється до вигляду .

1. Якщо , то рівняння не має розв'язків.

2. Якщо , то , .

3. Якщо , , то .

Часто систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна звести до одного лінійного рівняння виду .

Приклад. Знайти розв'язок системи лінійних рівнянь

.

З першого рівняння знаходимо і підставляємо в друге та третє рівняння. Дістаємо систему

.

З першого рівняння знаходимо і підставляємо в друге рівняння. Дістаємо одне рівняння з одним невідомим . З попередніх рівнянь знаходимо .

Аналогічно виключаються невідомі із системи лінійних алгебраїчних рівнянь з параметрами.

Приклад. Знайти значення параметра b, при якому система лінійних рівнянь

має нескінченну множину розв'язків.

Виключаючи невідоме , дістаємо рівняння

.

При це рівняння, а отже, і вихідна система лінійних рів-нянь має нескінченну множину розв'язків.

Приклад. Знайти значення параметра , при якому система рівнянь не має розв'язків.

Виключаючи невідоме , приходимо до рівняння першого степеня з одним невідомим

.

При це рівняння, а отже, і вихідна система рівнянь не має розв'язків.

Приклад. Знайти значення параметра , яке задовольняє таку умову: для будь-якого дійсного значення параметра знайдеться хоча б одне значення параметра , таке що задана система

має принаймні один розв'язок.

Виключивши із системи рівнянь невідоме , дістанемо лінійне рівняння

.

Якщо , то це рівняння має розв'язок при будь-якому значенні . При або коефіцієнт при у ньому перетворюється на нуль. Щоб це рівняння мало розв'язок, необхідне виконання умов

, .

Дістали два квадратних рівняння відносно с, розв'язки яких існують за умови невід'ємності їхніх дискримінантів:

Звідси знаходимо значення параметра .

Приклад. Знайти умови, за яких існують розв'язки системи лінійних рівнянь

Додаючи почленно рівняння системи, дістаємо:

, .

Послідовно віднімаючи від цього рівняння кожне з рівнянь системи, знаходимо розв'язки системи, виражені через параметр а:

.

Розв'язки системи рівнянь існують, якщо .

Відповідь:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9.

при ;

10. При яких значеннях параметра для довільного дійсного значення знайдеться хоча б одне дійсне значення параметра , таке що задана система рівнянь

матиме принаймні один розв'язок.

2.3 Рівняння другого степеня з одним невідомим

Алгебраїчне рівняння другого степеня з одним невідомим

(1)

називається також квадратним рівнянням.

Рівняння виду

називається зведеним квадратним рівнянням і має розв'язок

.

Для рівняння (1) розв'язок можна подати у вигляді

.

Для коренів зведеного квадратного рівняння справджується формула Вієта

Цей результат випливає з тотожності

.

Корені квадратного рівняння (1) дійсні і різні при , крат-ні при і не є дійсними при . Якщо , то многочлен

з дійсними коефіцієнтами набуває значень лише одного знака. При многочлен набуває значень одного знака, за винятком однієї точки -- кратного кореня рівняння (1), де многочлен набуває нульового значення.

Приклад. Знайти розв'язок рівняння .

При рівняння має один розв'язок .

При знаходимо дискримінант

,

а отже, рівняння має два розв'язки

.

Приклад. Розв'язати рівняння з параметром , якщо , .

Виконавши відповідні перетворення, дістанемо квадратне рівняння

, (2)

дискримінант якого

.

При ліва частина рівняння (2) тотожно дорівнює нулю, а тому його розв'язком є будь-яке значення .

При обидві частини рівняння (2) можна поділити на , знайшовши два корені:

. (3)

За умови маємо

.

Розв'язавши рівняння при , дістанемо розв'язок . Остаточно доходимо таких висновків.

1. При рівняння не має розв'язків.

2. При рівняння має довільний розв'язок .

3. При рівняння має єдиний розв'язок .

4. При рівняння має дворазові розв'язки .

5. При рівняння має комплексні розв'язки.

6. При рівняння має два різ-ні розв'язки виду (3).

Приклад. Розв'язати рівняння

з параметром .

Якщо , то дане рівняння стає лінійним. Розв'язуючи рівняння , знаходимо .

При рівняння має єдиний розв'язок .

При рівняння має розв'язок .

При знаходимо дискримінант

,

а далі й корені рівняння

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Передусім доходимо висновку, що .

При цьому рівняння зводиться до вигляду

.

Знаходимо дискримінант цього рівняння

.

При виконуються умови . При , знаходимо розв'язок рівняння

Якщо , то рівняння має єдиний розв'язок . Перевіримо виконання умови , яка набирає вигляду нерівностей

.

Остаточно доходимо таких висновків.

1. Якщо , то рівняння має єдиний розв'язок .

2. При рівняння розв'язків не має.

3. При рівняння має єдиний розв'язок .

4. Якщо , , то рівняння має два розв'язки виду (4).

2.4 Задачі на використання властивостей дискримінанта

Якщо дискримінант , то квадратне рівняння

не має дійсних коренів. Через це квадратний тричлен

не змінює свого знака при і має знак коефіцієнта або коефіцієнта .

Приклад. Для яких значень параметра виконується нерівність

?

Необхідною і достатньою умовою правильності нерівності є виконання системи умов

Розв'язуючи цю систему нерівностей, знаходимо відповідь: .

Приклад. При яких значеннях параметра нерівність

виконується для будь-якого значення ?

Приходимо до системи нерівностей

яка має розв'язок .

Приклад. Знайти всі значення параметра , при яких нерівність

виконується для пари будь-яких чисел , таких що .

Якщо , то . Приходимо до системи нерівностей

яку можна записати у вигляді

Приходимо до системи нерівностей для параметра :

Ця система має розв'язок .

2.5 Використання формул Вієта

Приклад. Знайти значення параметра , при яких відношення коренів рівняння

дорівнює 2.

Маємо систему рівнянь

Оскільки шукаємо тільки значення параметра , то виключаємо невідомі . Маємо рівняння:

.

Останнє рівняння має розв'язки , .

При маємо , , а при , .

Приклад. Знайти добуток значень параметра , при яких сума коренів рівняння дорівнює сумі їхніх квадратів.

Скориставшись формулами Вієта, дістанемо систему

Останнє рівняння можна записати у вигляді

.

Виключаючи , дістаємо рівняння для

.

Приклад. Знайти ціле значення параметра , при якому рівняння

має рівні між собою корені.

Квадратне рівняння має рівні між собою корені, якщо його дискримінант дорівнює нулю. Розв'яжемо рівняння

,

звідки , . Значення шукане.

Приклад. Знайти суму кубів коренів рівняння

.

Можна знайти корені рівняння і обчислити суму кубів коренів:

.

Таку саму відповідь можна дістати за допомогою формул Вієта:

Функція називається симетричною, якщо вона не змінюється внаслідок довільного перестановлення аргументів, тобто .

Коефіцієнти зведеного квадратного рівняння

є симетричними функціями від коренів рівняння.

Довільну симетричну функцію завжди можна подати через основні симетричні функції , . Це й було виконано в попередньому прикладі.

Приклад. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння

буде мінімальною?

Використовуючи формули Вієта, дістаємо:

.

Знаходимо дискримінант рівняння

.

Оскільки при довільних значеннях параметра виконується нерівність , то на значення параметра обмежень немає. Сума квадратів коренів набуває найменшого значення, що дорівнює 1, при .

Приклад. При якому значенні параметра сума квадратів коренів рівняння

набуває найменшого значення?

Знаходимо дискримінант рівняння (1):

.

З умови знаходимо, що рівняння (1) має розв'язок лише при . Знаходимо суму квадратів коренів рівняння (1) за формулами Вієта:

.

Найменшого значення лінійна функція може набувати лише на кінці відрізка .

Оскільки , то досягається при .

Приклад. При яких значеннях параметра рівняння

,

мають спільний корінь?

Запишемо рівняння Вієта

,

а далі візьмемо . Крім значень дістаємо також . Рівняння мають спільний корінь .

,

Ще один спосіб розв'язування прикладу полягає ось у чому.

Нехай -- шуканий спільний корінь рівнянь. Маємо систему алгебраїчних рівнянь

(2)

Виключимо , помноживши друге рівняння на і віднявши від першого рівняння. Дістанемо рівняння .

При рівняння (2) не мають дійсних розв'язків.

Виключаючи , дістаємо рівняння для параметра :

, .

При рівняння (2) не мають спільного кореня. При рівняння (2) мають спільний корінь . Приклад. Знайти значення параметра , при якому один із коренів рівняння

(3)

утричі менший від одного з корнів рівняння

. (4)

Нехай -- корінь рівняння (3), -- корінь рівняння (4). Маємо систему рівнянь

з якої знаходимо . Підставляючи в рівняння (3), діста-ємо рівняння для : .

При рівняння (3) має корінь , а рівняння (4) -- корінь .

При рівняння (3) має корінь , а рівняння (4) -- корінь .

2.6 Розміщення коренів квадратного рівняння

З'ясуємо, як розміщуються на дійсній осі корені квадратного рівняння

, . (1)

З цією метою скористаємося тим, що графіком функції є парабола, опукла вниз при і опукла вгору при .

Наведемо прості теореми стосовно розміщення коренів квадратного рівняння (1) на дійсній осі.

Теорема 1. Якщо , то на інтервалі мі-
ститься один корінь рівняння (1).

Теорема 2. Якщо , то точка лежить між коренями рівняння (1).

Теорема 3. Якщо , то відрізок лежить між коренями рівняння (1).

Теорема 4. Якщо , то корені рівняння (1) лежать на півосі .

Теорема 5. Якщо , то корені рівняння (1) лежать на півосі .

Теорема 6. Якщо , то корені рівняння (1) лежать на інтервалі .

Приклад. Знайти значення параметра , при яких два корені рівняння

існують і належать інтервалу (0; 3).

Графік функції має перетинати вісь Ох або дотикатися до неї в точках, розміщених праворуч від точки . Тому дістаємо нерівності , , , які мають розв'язки .

Ще один спосіб розв'язування полягає у відшуканні найменшого кореня квадратного рівняння та розв'язуванні нерівності , що також приводить до нерівності .

Приклад. Знайти значення параметра , при яких рівняння

має розв'язок.

Позначивши , дістанемо квадратне рівняння

. (2)

Вихідні рівняння мають розв'язки, якщо рівняння (2) має корінь . Застосуємо загальний метод розв'язування. Дискримінант рівняння (2).

.

Тому рівняння (2) при довільних значеннях параметра має дійсні розв'язки. Функція досягає найменшого значення при .

Рівняння (2) матиме два розв'язки на відрізку [0; 1], якщо виконуватимуться нерівності

, , .

Ці нерівності несумісні, оскільки не мають спільного розв'язку. Тому рівняння (2) не може мати двох коренів на відріз-ку [0; 1] при будь-якому значенні параметра .

Розглянемо всі інші можливості.

Якщо , то рівняння (2) має корінь .

Якщо , то рівняння (2) має один корінь на інтервалі (0; 1). Отже, оскільки при рівняння (2) має корінь на інтервалі (0; 1), остаточно дістанемо, що при рівняння (2) має корінь на відрізку [0; 1], а вихідне рівняння має дійсні розв'язки.

У даному прикладі можна було б відразу розв'язати рівняння (2):

.

Умова приводить до нерівності .

Приклад. При яких значеннях параметра корені квадратного рівняння

додатні?

Знайдемо дискримінант рівняння

.

Отже, корені рівняння існують при довільних значеннях параметра . Вершина параболи міститься точці . Для того щоб корені рівняння були додатніми, необхідно і достат-ньо, щоб виконувались нерівності

Звідси випливає, що корені квадратного рівняння додатні при .

У цьому прикладі можна знайти корні

, .

З нерівності випливає .

Відповіді

1. При яких значеннях параметра корені рівняння

більші від - 1? .

2. При яких значеннях параметра один із коренів рівняння

більший від 3, а другий менший від 2? .

3. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рів-няння

найменша? .

4. При яких значеннях параметра нерівність

виконується для будь-якого х? .

5. Розв'язати рівняння

.

при ;

при або ;

при .

6. При яких значеннях параметра відношення коренів рівняння дорівнює 1,5. .

7. Знайти всі значення параметра для кожного з яких нерівність

виконується для будь-якої пари чисел , таких, що .

.

8. При яких значеннях параметра рівняння

має два відмінних дійсних розв'язки? .

9. Розв'язати рівняння

.

при ;

при .

10. При яких значеннях параметра для довільного дійсного значення знайдеться принаймні одне дійсне значення параметра , таке що система

має хоча б один розв'язок? .

11. При яких значеннях параметра рівняння

має корені різних знаків? .

12. Знайти значення параметра , при яких корені рівняння

невід'ємні. .

13. При яких значеннях параметра рівняння

має хоча б один позитивний корінь? .

14. Знайти значення параметра , при яких два корені рівняння

а) менші від 1; б) більші від - 1; в) відокремлені числом 1.

а);

б) ;

в) .

15. При яких значеннях параметра один корінь рівняння

більший від 2, а другий корінь менший від 2. .

16. При яких значеннях параметра один корінь рівняння

менший від 1, а другий корінь більший від 2? .

17. При яких значеннях будь-який розв'язок нерівності є розв'язком нерівності . .

2.7 Алгебраїчні рівняння вищих степенів та їхні властивості

Алгебраїчним рівнянням вищого степеня називається рівняння виду:

, , . (1)

Якщо , то рівняння називається зведеним.

Позначаємо

.

Якщо , то називають коренем многочлена , тобто рівняння .

Остача від ділення многочлена на лінійний двочлен дорівнює значенню многочлена при .

Справді, нехай

,

де -- многочлен-частка степеня ; r -- остача.

Підставляючи замість його значення , дістаємо:

.

Це твердження відоме під назвою теореми Безу.

З теореми Безу випливають такі наслідки:

1. Якщо многочлен має корінь с, то він ділиться на , тобто

.

2. Основна теорема алгебри (Гаусс). Будь-який многочлен
n-го степеня у множині комлексних чисел має n коренів, серед яких можуть бути й такі, що дорівнюють один одному.

3. Будь-який многочлен n-го степеня у множині комплексних чисел можна подати, причому єдиним способом, у вигляді

,

де -- корені многочлена; -- кратність коренів, причому .

4. Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами (а лише такі й розглядаються в елементарній алгебрі) має комплексний корінь , то він має спряжений із ним корінь .

5. Будь-який многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один дійсний корінь.

Теорема (Гаусс). Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами можна розкласти на множники з раціональними коефіцієнтами, то його можна розкласти на множники з цілими коефіцієнтами.

Наслідок 1. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

має раціональний корінь, то він є дільником .

Наслідок 2. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

має раціональний корінь , то р -- дільник , q -- дільник .

2.8 Розклад многочлена на множники

Розглянемо деякі способи розкладання многочлена на множники.

Члени многочлена групуються так, щоб вони мали спільний множник, який виноситься за дужки.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Групуємо два перші та два останні члени:

,

а далі виносимо за дужки спільний множник :

, .

Приклад. Розглянемо рівняння

.

Віднімемо і додамо , а число 20 розіб'ємо на два доданки 16 і 4:

Рівняння розпадається на два рівняння:

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Подамо ліву частину рівняння у вигляді добутку:

.

Рівняння розпадається на два рівняння:

,

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Розкладемо ліву і праву частини рівняння на множники:

Дістанемо рівняння

,

яке розпадається на два рівняння:

, ,

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Виділимо повні квадрати:

,

, .

Остаточно маємо:

, ;

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Виділимо повний куб двочлена:

, , .

У разі виділення повного куба деякі кубічні рівняння можна перетворити до вигляду

, або .

Далі з розкладів

,

знаходимо за формулою:

. (1)

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Знайдемо згідно з формулою (1):

.

Далі, скориставшись розкладом

,

запишемо рівняння у вигляді

, ,

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Знайдемо згідно з формулою (1):

.

Подавши початкове рівняння у вигляді

,

помноживши його на 9 і скориставшись розкладом куба суми

,

дістанемо:

, ,

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Знайдемо згідно з формулою (*):

.

Скориставшись розкладом

,

перепишемо початкове рівняння у вигляді:

, ;

, .

Приклад. Поділимо многочлен

на двочлен :

Коефіцієнти частки та остачу від ділення, що дорівнює 26, знаходимо за схемою Горнера.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Раціональні корені рівняння можуть бути лише дільниками числа 6: . За схемою Горнера знаходимо:

Отже, . Якщо корінь вибрано невдало, то останнє число в рядку не дорівнюватиме нулю.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Раціональні корені шукаємо з-поміж дільників числа 9: ; ; . За схемою Горнера маємо

Зі схеми випливає, що значення , не задовольняють рівняння, а коренями будуть , . Часткою від ділення даного многочлена на буде многочлен . Рівняння має корені .

Застосування теореми Гаусса

Якщо многочлен не має раціональних коренів, то схема Горнера не прийнятна, оскільки не можна вгадати ірраціональні корені.

У такому разі потрібно спробувати розкласти многочлен з цілими коефіцієнтами на квадратні множники з цілими коефіцієнтами.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Це рівняння не має раціональних коренів.

Спробуємо розкласти даний многочлен на два квадратні множ-ники з цілими коефіцієнтами:

.

Розкриваючи дужки і зрівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , дістаємо систему рівнянь:

,

де -- цілі числа. З останнього рівняння знаходимо, що можливі такі випадки:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Оскільки квадратичні множники перестановочні, то випадки 1--4 повторюють випадки 5--8. Тому розглядатимемо лише випадки 1--4.

1. . Із системи рівнянь

знаходимо .

Оскільки не є цілим числом, то розкладання на квадратичні множники з цілими коефіцієнтами неможливе.

2. . З системи рівнянь

знаходимо .

Значення не є цілим числом.

3. . Із системи рівнянь

знаходимо .

Значення не є цілим числом.

4. . Із системи рівнянь

знаходимо .

Перевіряємо, чи виконується рівність : . Отже, маємо розклад на множники:

.

Розв'язуємо відповідні квадратні рівняння:

, ,

, .

Корені щойно розглянутого рівняння -- ірраціональні числа. Проте викладений спосіб розкладання на множники можна застосовувати й у разі, коли рівняння має раціональні корені.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Шукаємо розклад лівої частини рівняння на квадратні множники у вигляді:

.

Приходимо до системи рівнянь із цілими коефіцієнтами :

.

Узявши , дістанемо систему рівнянь

звідки знайдемо

Отже, маємо шуканий розклад на множники:

.

Остаточно маємо:

, ,

, .

2.9 Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь

Розглянемо типи рівнянь, які зводяться до квадратних.

Двочленні рівняння

Двочленними рівняннями називають рівняння виду

, .

Розв'язок рівнянь складається в розкладанні рівняння на множ-ники.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Розкладаючи ліву частину рівняння на множники, дістаємо:

, , .

Тричленні рівняння

Тричленними рівняннями називають рівняння виду

, .

Заміною зводимо тричленне рівняння до квадратного.

Приклад. Розв'язати рівняння .

Виконавши заміну , дістанемо , звідки , , , , .

При тричленне рівняння називають біквадратним.

Приклад. Розв'язати рівняння.

, , , , , , .

Заміна змінної в рівнянні

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Виконавши заміну , дістанемо

,

звідки випливає квадратне рівняння , .

Повертаючись до попередніх позначень дістаємо:

якщо , то ; якщо , .

Попереднє перетворення рівнянь

1. Рівняння вигляду

.

Поділимо чисельник і знаменник кожного дробу в лівій частині рівняння на :

,

а далі заміною зводимо це рівняння до квадратного рів-няння.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Поділимо чисельник і знаменник кожного дробу в лівій частині рівняння на

.

Заміною зведемо це рівняння до квадратного рівняння:

, .

Повертаючись до початкових позначень, дістаємо:

, .

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Поділимо чисельник і знаменник кожного дробу на :

.

Виконуючи заміну , послідовно дістаємо:

, , .

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

, ;

, , .

2. Рівняння вигляду

, . (1)

Групуємо члени:

.

Заміною зводимо дане рівняння до квадратного:

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Розкладемо на множники

.

Оскільки , то групуємо перший і четвертий, а також другий і третій множники:

.

Виконуючи заміну , дістаємо:

,, .

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

, ,

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Щоб звести дане рівняння до рівняння виду (1), помножимо третій і четвертий множники на 2 і 6:

.

Оскільки 5 + 5 = 4 + 6, то групуємо перший і другий, а також третій і четвертий множники:

.

Позначимо , тоді , .

Остаточно дістанемо:

, ,

, , .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Зводимо рівняння до вигляду (1):

.

Оскільки - 1 - 4 = - 2 - 3, то групуємо перший і четвертий, а також другий і третій множники:

.

Скориставшись заміною , дістанемо:

, .

Повертаючись до початкових позначень, розв'язуємо такі рівняння:

, , ;

, , .

3. Рівняння виду

(2)

Поділивши обидві частини даного рівняння на , дістанемо:

.

Заміною зводимо це рівняння до квадратного:

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Це рівняння не має кореня , тому можемо поділити обидві його частини на :

.

Виконавши заміну , дістанемо квадратне рівняння

, розв'язки якого .

Повертаючись до початкових позначень, остаточно знаходимо:

, ;

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Щоб звести це рівняння до вигляду (2), позначимо , . Виконавши заміну, дістанемо рівняння виду (2):

.

Поділимо обидві частини цього рівняння на :

.

У результаті заміни дістанемо квадратне рівняння , розв'язки якого .

Повертаючись до початкових позначень, дістаємо:

, , , , , .

4. Рівняння вигляду

(3)

Поділивши обидві частини даного рівняння на , дістанемо:

.

Це рівняння заміною зводиться до квадратного:

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Поділимо обидві частини цього рівняння на :

.

Заміною зводимо це рівняння до квадратного:

, , .

Повертаючись до початкових позначень, дістаємо:

, ,

, .

Зворотні (симетричні) рівняння

Рівняння виду

, (1)

тобто в якому коефіцієнти, однаково віддалені від початку і кінця, рівні між собою, називається зворотним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною . Справді, поділивши обидві частини рівняння (1) на , дістанемо рівняння

.

Оскільки

дістанемо квадратне рівняння відносно t:

.

Приклад. Розв'язати зворотне рівняння

.

Поділимо рівняння на і виконаємо заміну . Діста-немо квадратне рівняння відносно t:

, звідки .

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

, ;

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Заміна зводить це рівняння до квадратного:

, .

Повертаючись до початкових позначень, дістаємо:

, ;

, .

Заміна виду

. (2)

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Виконуємо заміну змінних:

, , , .

У результаті вихідне рівняння зводиться до квадратного:

, .

Переходячи до початкових позначень, дістаємо:

, ;

, .

Розглянемо загальне рівняння четвертого степеня

(3)

і знайдемо умови, за яких можна виконати заміну виду (2).

Поділивши обидві частини рівняння на , дістанемо рівняння

.

Скориставшись позначенням , запишемо:

.

Отже, у рівнянні (3) можна виконати заміну (2), якщо

. (4)

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Маємо . Умову (4) виконано. Поділимо обидві частини рівняння на :

.

У результаті заміни , дістанемо квадратне рівняння:

, звідки .

Повертаючись до початкових позначень, дістаємо:

, ,

, .

Алгебраїчне рівняння четвертого степеня виду (3) буде зворотним, якщо його коефіцієнти пов'язані співвідношеннями:

, .

Справді, саме в такому разі виконується умова (4) і зворотне рівняння набирає вигляду:

.

Поділивши обидві частини цього рівняння на , дістанемо:

.

Заміною

зводимо рівняння до квадратного

.

Однорідні рівняння

Означення: Рівняння виду

називається однорідним. Якщо многочлени і не мають спільних коренів, то, поділивши дане рівняння, скажемо на , зведемо його до квадратного:

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Поділивши обидві частини цього рівняння на і виконавши заміну , дістанемо квадратне рівняння:

, звідки .

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

, , ,

, , .

Рівняння виду

,

де вираз , ділиться на .

Це рівняння зводиться до однорідного [2].

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Різниця ділиться на .

Рівняння можна записати у вигляді

,

або

.

Поділивши обидві частини рівняння на , дістанемо квадратне рівняння відносно

звідки .

Повертаючись до початкових позначень, дістаємо:

;

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Дане рівняння можна записати у вигляді однорідного:

.

Поділимо обидві частини рівняння на :

.

Узявши , дістанемо квадратне рівняння:

.

Повертаємось до початкових позначень:

;

.

Рівняння виду

.

Це рівняння зводиться до біквадратного рівняння заміною

.

Приклад. Розв'язати рівняння.

Виконавши заміну , дістанемо рівняння

.

Розкриваючи дужки, маємо:

.

Аналогічно зважуються рівняння вищого степеня.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

У результаті заміни дістаємо рівняння:

,

або

.

Поділивши обидві частини рівняння на , дістанемо біквадрат-не рівняння:

.

Далі маємо:

.

Остаточно знаходимо:

.

Рівняння виду

.

Це рівняння зважується виділенням повного квадрата:

;

.

Приклад. Розв'язати квадратне рівняння

.

Запишемо рівняння у вигляді:

,

.

Узявши , дістанемо квадратне рівняння:

.

Остаточно маємо:

;

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Виділимо повний квадрат:

,

Узявши , дістанемо квадратне рівняння

.

Остаточно маємо:

, .

2.10 Метод Кардано для розв'язання кубічного рівняння

Кубічне рівняння

,

заміною можна звести до вигляду

.

Розв'язок останнього рівняння шукаємо у вигляді суми :

,

.

Рівняння зводимо до системи рівнянь

Оскільки , то маємо рівняння Звідси . Виключаємо невідоме із першого рівняння системи:

.

Із цього квадратного рівняння знаходимо , а далі .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Вважаючи , приходимо до рівняння

.

Зводимо рівняння до системи рівнянь

З рівняння знаходимо .

Із квадратного рівняння знаходимо .

;

.

При і дістаємо одне значення . Решту розв'язків можна знайти, скориставшись комплексними числами.

2.11 Уведення параметра замість сталого коефіцієнта

Метод уведення параметра -- один із найважливіших методів розв'язування рівнянь третього і четвертого степеня. Параметр уводять як допоміжне невідоме, відносно якого розв'язують рівняння. Знайдені значення параметра використовують для відшукання невідомого.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Уведемо параметр і дістанемо рівняння

.

Це рівняння квадратне відносно :

.

Знаходимо значення параметра

.

Размещено на Allbest.ru