Тригонометричні вирази та їх перетворення

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Тригонометричні вирази та їх перетворення

тригонометричний трикутник піфагор косинус

1.1 Відношення сторін в трикутнику

Розглянемо спочатку прямокутний трикутник АВС.

Позначимо сторони прямокутного трикутника через а, b, с, де с -- гіпотенуза (рис. 1), -- прямий.

Рис. 1

В такому трикутнику вводять наступні співвідношення

,

. (1)

Нехай АВС -- довільний трикутник зі сторонами а, b, с і кутами (рис. 2).

Рис. 2

Через позначимо радіус описаного кола.

Справджується формула

, (2)

яку називають теоремою синусів.

Доведення формул (2) випливає з того, що всі вписані в коло кути, які спираються на одну хорду, рівні між собою (рис. 3).

Рис. 3

Проведемо діаметр . Кут . Кут -- прямий, а тому . Аналогічно доводяться рівності , , з яких випливає формула (2).

При розв'язуванні трикутників часто використовують теорему косинусів, яка приводить до формул:

,

,

. (3)

Доведемо першу формулу (рис. 4).

Рис. 4

З трикутника знаходимо:

, , , .

Скориставшись теоремою Піфагора, дістаємо першу з формул (3):

.

Прямий кут поділяється на 90 рівних між собою частин, -- градусів. Кут 30 становить одну третину а, кут 45 -- половину прямого кута. Наведемо таблицю значень функцій , .

	0	30	45	60	90
	1				0

1.2 Означення і графіки тригонометричних функцій

Дано прямокутну систему координат . Нехай -- одиничний вектор, що утворює довільний кут з віссю (рис. 1). Точка А міститься на колі одиничного радіуса з центром у початку координат О.



Рис. 5

Кут вимірюється довжиною дуги , яка називається радіанною мірою кута . Оскільки радіус окружності дорівнює одиниці, то довжина всього кола . Прямий кут вимірюється довжиною однієї четвертої частини кола, що дорівнює . Наведемо таблицю відповідності кутів у радіанній і градусній мірі.

0
0	30	45	60	90	180	270	360

Функція -- парна, -- непарна, тобто , .

Осі координат розбивають координатну площину на чотири частини, які називаються чвертями. Говорять, що кут належить першій чверті, якщо ; кут належить другій чверті, якщо ; кут належать третій чверті, якщо ; кут належить четвертій чверті, якщо (рис. 2).



Рис. 6

Якщо кут виходить за межі відрізка , то знаходимо ціле число таке, що . Кут належить тій четверті, якій належить кут .

Знаки тригонометричних функцій у різних четвертях ілюструє рис. 3.

Рис. 7

Визначимо основні тригонометричні функції:

, .

Функцією x = cos t називається проекція на вісь одиничного вектора , що утворює кут з віссю . Функцією y = sin t називається проекція на вісь одиничного вектора , що утворює кут з віссю .

З теореми Піфагора випливає рівність

або

. (1)

Ця рівність дає змогу найти значення функції , коли відоме значення функції :

.

Аналогічно можна знайти значення функції , коли відоме значення функції :

.

Вибір знака залежить від того, в якій чверті лежить кут .

Наведемо деякі властивості функцій , .

1. Область визначення -- усі значення .

2. Область значень -- відрізок , оскільки .

3. Функції , періодичні з періодом , оскільки

, .

Приклад. Дано: , . Знайти .

Оскільки в другій четверті , то

.

Приклад. Дано: , . Знайти .

Оскільки в третій четверті , то

.

Побудуємо графіки функцій , (рис. 4).

Рис. 8

З графіків бачимо, що виконуються такі властивості:

, , (2)

, , (3)

, . (4)

З формул (2)--(4) випливають такі формули:

 (5)

Функції tg t, ctg t визначаються за формулами:

, . (6)

1. Область визначення функції : , , функції : , .

2. Область значень: , .

3. Функції , мають період .

4. Функції , непарні відносно .

З формул (2) -- (5) випливають такі рівності

,

, (7)

.

Функції , можна визначити графічно. Проводимо дотичну до одиничного кола у точці (1, 0), яка називається лінією тангенсів. Нехай вектор утворює кут з віссю (рис. 5). Продовжимо вектор до перетину з лінією тангенсів у точці С. Для ординати точки перетину С маємо: .



Рис. 9

Аналогічно проводимо дотичну до одиничного кола в точці (0, 1). Ця дотична називається лінією котангенсів. Продовжимо вектор до перетину з лінією котангенсів в точці (рис. 6).

Рис. 10

Для абсциси точки перетину маємо: .

Побудуємо графіки функцій .

Функція зростає на кожному проміжку , (рис. 10).



Рис. 10

Функція спадає на кожному проміжку , (рис. 8).

Для функцій , у точках розриву виконуються граничні співвідношення:

; ;

; ;

; ;

; 0.

Рис. 11

Функція має точки розриву , . Функція має точки розриву , .

1.3 Основні тригонометричні тотожності

З формул (1)--(6) підрозд. 6.2 випливають такі рівності

;

; ; ;

, .

Ці рівності дають змогу знаходити значення тригонометричних функцій , коли відомі значення однієї з них.

Нехай, наприклад, кут міститься в першій четверті, . З рівності знаходимо:

; ; ; ; .

1.4 Формули додавання кутів

Нехай точки А, В містяться на одиничному колі і вектори , утворюють кути , з віссю (див. рисунок).



Рис. 12

З теореми косинусів для трикутника ОАВ знаходимо

Порівнюючи результати, дістаємо формулу:

. (1)

Замінивши знак кута у формулі (1) на протилежний, дістанемо:

. (2)

Замінимо у формулі (1) кут на кут :

.

Здобута рівність за допомогою формул (5) підрозд. 6.2 набирає вигляду:

. (3)

Замінивши у формулі (3) кут на , дістанемо:

. (4)

При маємо формули подвійного кута

(5)

Додаючи до останньої формули (5) та віднімаючи від неї тотожність , дістаємо формули:

(6)

які можна записати у вигляді:

. (7)

Знайдемо, наприклад, вирази для , :



Аналогічно дістаємо:

Замінивши на у формулах (7), дістанемо:

(8)

Для функції маємо:

.

Поділивши чисельник і знаменник на добуток , дістанемо формулу додавання кутів:

. (9)

Замінивши на , отримаємо формулу

. (10)

1.5 Формули зведення

Часто доводиться перетворити вирази

на тригонометричні функції від , використовуючи формули зведення.

Наприклад, оскільки , , маємо:

(1)

Аналогічно виводяться формули:

. (2)

Наведемо формули, які потрібно запам'ятати:

(3)

Найчастіше застосовувані формули зведення вміщено в таблиці.

Для зведення тригонометричних функцій можна використовувати таке легко запам'ятовуване правило.

У разі зведення до горизонтального діаметра при парному значенні n назва тригонометричної функції зберігається. У разі зведення до вертикального діаметра при непарному значенні n назва функції змінюється на подібну:

.

Знак перед зведеною функцією від визначається знаком функції від для кута в першій четверті.

Наприклад, , оскільки кут міститься в другій четверті, де синус додатний, а косинус від'ємний.

1.6 Перетворення добутків тригонометричних функцій на суми

Виконуючи формули

для косинуса різниця та сума кутів дістаємо:

(1)

Аналогічно, використовуючи формули



дістаємо:

(2)

Перетворимо, наприклад, добутки функцій:

1.7 Формули додавання та віднімання тригонометричних функцій

Візьмемо у формулах (1) із підрозд. 6.6

.

Тоді

і зазначені формули набирають вигляду:

(1)

Аналогічно згідно з формулою (2) із підрозд. 6.6 маємо:

(2)

Перетворимо, наприклад, вирази:

Звідси знайдемо

.

Для суми та різниці тангенсів дістанемо:

. (3)

Размещено на Allbest.ru

...