Показникові та логарифмічні рівняння
Показникова та логарифмічна функції, властивості. Поняття та властивості логарифмів. Перетворення логарифмічних виразів. Способи розв’язання логарифмічних і показникових рівнянь та їх систем. Показниково-степеневі рівняння. Вправи для розв’язування.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 24.01.2014 |
| Размер файла | 265,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Показникові та логарифмічні рівняння
Відомості із вищої математики. Для наближеного обчислення показникової і логарифмічної функцій можна використати такі розклади
,
Збіжність послідовності також маємо, якщо
Показникову функцію можна розкласти в ряд:
Збіжність ряду можна поліпшити, узявши
Значення логарифмів можна знайти з таких розкладів:
Узявши , дістанемо такий розклад:
Ці розклади можна використовувати в разі комплексних значень аргументів. В подальшому припускаємо, що всі аргументи і функції є дійсними.
1.1 Показникова функція
Наведемо деякі основні властивості показникової функції
1. . 5. .
2. . 6. .
3. . 7. .
4. .
Якщо , показникова функція зростає при всіх значеннях х; якщо , ця функція спадає при всіх значеннях х (див. рисунок).
1.2 Логарифмічна функція
Логарифмічна функція -- це функція, обернена до показникової функції
Якщо , логарифмічна функція зростає при ; якщо , логарифмічна функція спадає при (див. рисунок).
Логарифмом числа b при основі а називається степінь, до якого потрібно піднести основу а, щоб дістати число b:
Звичайно вважають, що
Основна логарифмічна тотожність:
Наведемо деякі властивості логарифмів.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. Формула переходу до нової основи :
.
8. .
9. .
10.
11. .
12. .
Доведення формул (8--11) випливає з формули (7).
1.3 Приклади перетворень логарифмічних виразів
Обчислити значення виразів (1--12).
1.
.
2.
.
3.
.
4. .
5.
.
6. .
.
7. .
Позначимо , тоді
,
.
Остаточно маємо:
8.
Позначивши , дістанемо:
.
Остаточно маємо:
.
9.
.
10.
.
11.
12.
13. Знайти , якщо .
.
14. Дано: . Знайти .
15. Знайти , якщо .
Переходимо до основи х:
;
.
1.4 Способи розв'язання логарифмічних рівнянь
1. Перехід до спільної основи. Якщо в рівнянні маємо логарифми з різними основами, то переходимо до спільної основи.
Приклад. Розв'язати рівняння .
,
Приклад. Розв'язати рівняння .
Переходимо до основи 5:
Позначивши дістанемо звідки
.
2. Потенціювання. Якщо під знак логарифма входить сума або різниця, то рівняння потенціюють. Розв'язок неодмінно перевіряють.
Приклад. .
Перейдемо до основи 2:
.
Далі виконуємо потенціювання:
.
Корінь не задовольняє рівняння.
Приклад. Розв'язати рівняння
За умовою маємо:
звідки
.
Корінь не задовольняє рівняння.
3. Логарифмування. Якщо в показник при невідомому входять логарифми невідомого, то звичайно обидві частини рівняння логарифмують.
Приклад. Розв'язати рівняння
, .
функція показникова логарифмічна рівняння
Логарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10:
.
4. Метод заміни змінної. Логарифмічне рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Позначимо
Приклад. Розв'язати рівняння
Позначимо . Тоді
5. Розклад на множники. Рівняння подається у вигляді і кожний множник прирівнюється до нуля.
Приклад. Розв'язати рівняння
Далі маємо:
Приклад. Розв'язати рівняння
.
Позначивши , дістанемо рівняння
,
або
,
звідки маємо
Прирівнюємо до нуля кожний множник:
1)
2)
Корінь не задовольняє рівняння.
6. Графічний спосіб розв'язування. Рівняння записують у вигляді . Далі будують графіки функцій і відшукують точки їх перетину, які визначають розв'язок рівняння.
Приклад. Розв'язати графічно рівняння .
Графіки функцій перетинаються в точці . Маємо розв'язок .
Розв'язуючи логарифмічні рівняння здебільшого застосовують кілька способів їх перетворення.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Переходимо до основи 3:
.
Потенціюємо рівняння:
;
; .
Логарифмуємо рівняння за основою 3:
Приклад. Розв'язати рівняння
.
Розглядаємо два випадки:
1) , тоді рівняння перетворюється на тотожність
звідки ;
2) , тоді .
Потенціюємо рівняння:
1.5 Способи розв'язування показникових рівнянь
1. Прирівнювання показників при однаковій основі
Із рівності випливає .
Приклад. Розв'язати рівняння .
Записавши рівняння у вигляді
прирівняємо показники при основі 2:
Далі маємо:
.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Прирівнюємо показники при основі 5:
, або
Позначивши дістанемо:
.
Корінь не задовольняє рівняння.
2. Логарифмування рівняння
Приклад. Розв'язати рівняння .
Логарифмуємо обидві частини рівняння при основі 3:
,
.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Оскільки , то можна логарифмувати рівняння.
.
3. Метод заміни змінної
Приклад. Розв'язати рівняння
Позначивши , дістанемо:
;
.
Приклад. Розв'язати рівняння
Позначивши , дістанемо
;
Приклад. Розв'язати рівняння .
Позначивши дістанемо:
;
.
4. Однорідні рівняння
Рівняння можна переписати у вигляді
.
Виконавши заміну, , дістанемо рівняння
.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Перепишемо рівняння у вигляді: Виконавши заміну дістанемо
,
Звідки
.
Приклад. Розв'язати рівняння
х ? 1,18681439.
Приклад. Розв'язати рівняння
Запишемо рівняння у вигляді:
Позначивши , дістанемо:
.
5. Розклад рівняння на множники
Рівняння намагаємося подати у вигляді і прирівнюємо до нуля кожний множник.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Узявши , розкладемо рівняння на множники:
.
Далі маємо:
; .
Розв'язавши останнє рівняння графічно, знаходимо корінь .
Приклад. Розв'язати рівняння
.
Узявши , згрупуємо члени з множниками :
.
Прирівняємо кожний множник до нуля:
1) 2) , ;
.
Корінь не задовольняє рівняння.
1.6 Показниково-степеневі рівняння
Розглядається рівняння
.
Наведемо частинні випадки цього рівняння.
1) , функція існує.
2) , функції існують.
3) , , .
4) , а -- цілі числа одинакової парності.
Приклад. Розв'язати рівняння .
1. .
2. .
3. .
Підставляючи в рівняння, дістаємо . Оскільки вираз не має сенсу, то корінь не задовольняє рівняння.
4. .
Приклад. Розв'язати рівняння .
1. .
2. .
3. -- не задовольняє рівняння.
4. .
Деякі рівняння можна розглядати і як показникові, і як логарифмічні.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Потенціюємо обидві частини рівняння:
Позначивши , дістанемо:
.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Переходимо до основи 3:
.
Позначивши дістанемо
звідки
Повертаючись до початкових позначень, маємо:
1)
2) .
Приклад. Розв'язати рівняння .
1.7 Системи показникових і логарифмічних рівнянь
Під час розв'язування систем показникових і логарифмічних рівнянь поєднують прийоми, застосовувані під час розв'язування відповідних рівнянь і систем алгебраїчних рівнянь.
Приклад. Розв'язати систему рівнянь .
Позначивши , дістанемо:
.
Приклад. Розв'язати систему рівнянь
Логарифмуючи обидва рівняння при основі 2, дістаємо систему лінійних рівнянь
з очевидним розв'язком .
Приклад. Розв'язати систему рівнянь .
Виключаючи , приходимо до одного рівняння:
Приклад. Розв'язати систему рівнянь .
Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо:
.
Приклад. Розв'язати систему рівнянь .
Запишемо систему рівнянь у вигляді:
, або , звідки
Приклад. Розв'язати систему рівнянь .
Подамо систему у вигляді ;
Другий розв'язок не задовольняє рівняння.
Приклад. Розв'язати систему рівнянь .
З першого рівняння знаходимо і подаємо систему у вигляді
,
звідки
.
Приклад. Розв'язати систему рівнянь .
З першого рівняння знаходимо: . Позначивши , дістанемо:
.
Друге значення не задовольняє умову .
Остаточно маємо:
.
Питання для самоперевірки
1. Графіки показникових і логарифмічних функцій.
2. Знайти границі: .
3. Властивості показникових функцій.
4. Властивості логарифмів.
5. Способи розв'язування логарифмічних рівнянь.
6. Способи розв'язування показових рівнянь.
1.8 Вправи для самостійного розв'язування
Обчислити значення виразів (1--10). Відповідь
1. 10
2. 1
3. 4
4. 0
5. 0
6. , якщо
7. 169
8. 0
9. 16
10. 81
Розв'язати рівняння (11--33)
11. 0
12. 3
13. -1; 1
14. 37
15.
16.
17. 1; 2
18.
19.
20. 20
21.
22.
23. 9
24. 9
25. -0,5
26. 0
27.
28.
29. 2
30.
31.
32.
33. -1; 3
Розв'язати систему рівнянь (34--43)
34. . (1; 2), (16; - 28)
35. . (5; 1), (5; - 1)
36. . 3; 27
37. . 4; 2
38. .
39. . 1; 1
40. . 8; 4
41. . 4; 1
42. .
43. . (27; 4),
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
реферат [68,3 K], добавлен 15.02.2011Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.
курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Загальні властивості диференціальних рівнянь Ріккаті. Прості випадки інтегрованості в квадратурах. Побудова загального розв’язку у випадку, коли відомий один частинний розв’язок. Структура загального розв’язку, коли відомо два або три частинних розв’язки.
курсовая работа [134,0 K], добавлен 22.01.2013Визначення метричного простору. Границя функції у точці. Властивості границь дійсних функцій. Властивості компактних множин. Розв’язок системи лiнiйних рівнянь. Теорема про існування i єдність розв’язку диференціального рівняння. Нумерація формул.
методичка [461,1 K], добавлен 25.04.2014Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.
лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014
