Розв'язування нерівностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

9. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НЕРІВНОСТЕЙ

9.1 Основні поняття

Два математичні вирази, сполучені знаком "більше" (>), "менше" (<), "не більше" () або "не менше" (), називаються нерівностями.

Запис означає, що або .

Нерівності бувають числові і буквені. Числовими називають такі нерівності, обидві частини яких є числа, записані цифрами. Якщо хоча б одна частина нерівності є буквеним виразом, така нерівність називається буквеною.

Будь-яка правильна числова нерівність, а також будь-яка буквена нерівність, що справджується при всіх допустимих значеннях букв, які входять до неї, називається тотожною нерівністю. Наприклад:

Наведемо властивості тотожних нерівностей.

1. Якщо , то .

2. Якщо , , то .

3. Якщо , то .

4. Якщо , , то , .

5. Якщо , , то .

6. Якщо і n -- натуральне число, то , .

9.2 Нерівності першого степеня з одним невідомим

Нерівність, яка містить букви, що позначають невідомі числа, називається нерівністю з невідомими.

Якщо в нерівність з одним невідомим замість невідомого підставити яке-небудь число і в результаті дістанемо правильну числову нерівність, то кажуть, що це число задовольняє дану нерівність.

Кожне число, що задовольняє нерівність, називають розв'язком цієї нерівності.

Розв'язати нерівність -- означає знайти всі її розв'язки.

Нерівність виду називається нерівністю першого степеня з одним невідомим.

Приклад. Розв'язати нерівність .

Після перетворень дістанемо

,

звідки

.

Система двох нерівностей з одним невідомим зводиться до одного з таких випадків.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Якщо , то розв'язок такої системи нерівностей подається у вигляді:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Приклад. Розв'язати систему нерівностей .

Система нерівностей набирає вигляду:

.

9.3 Квадратні нерівності

Розглянемо квадратну нерівність

. (1)

Якщо

,

то нерівність (1) виконується для всіх при і не виконується для жодного (рис. 1).

Рис. 1

Якщо

,

то нерівність (1) виконується для всіх при , причому в точці і не виконується для жодного крім де (рис. 2).

Рис. 2

При

знаходимо корені рівняння

, .

Якщо , нерівність (1) виконується при (рис. 3).



Рис. 3

Якщо , нерівність (1) виконується при (рис. 4).

Рис. 4

Можна сформулювати просте правило.

Якщо квадратна нерівність (1) виконується при великих значеннях , то вона виконується поза відрізком, обмеженим коренями рівняння . Якщо нерівність (1) не виконується при великих значеннях , то вона виконується на відрізку, обмеженому коренями рівняння (1).

Приклад. Розв'язати нерівність .

Оскільки нерівність не виконується при великих значеннях , то вона виконується між коренями рівняння

, ,

тобто при .

Приклад. Розв'язати нерівність .

Дана нерівність виконується при великих значеннях , тому вона виконується поза інтервалом, обмеженим коренями рівняння

,

тобто при

Часто доводиться розв'язувати нерівність виду

, (2)

рівносильну системі нерівностей.

Приклад. Розв'язати нерівність .

За формулою (2) дістаємо систему нерівностей:

,

звідки

.

нерівність ірраціональна показникова алгебраїчна

9.4 Метод інтервалів

Метод інтервалів застосовується при розв'язуванні будь-яких нерівностей, але найчастіше до нього вдаються, розв'язуючи раціональні нерівності виду

, (1)

де -- натуральні показники степеня. Щоб розв'язати таку нерівність, знаходимо корені многочлена в лівій її частині і позначають їх на числовій осі. Далі проводимо криву (орієнтовний графік цього многочлена) так, щоб вона проходила над віссю, коли многочлен (1) додатний і під віссю, коли цей многочлен від'ємний. Якщо многочлен не має квадратних коренів то зазначена крива ніде не дотикається до осі, а лише перетинає її в точках, які відповідають кореням многочлена. Тому достатньо визначити знак многочлена в якомусь одному інтервалі, на які поділяють числову вісь корені многочлена, щоб дізнатися, в яких інтервалах графік розглядуваного многочлена міститься вище від осі, а в яких -- нижче, тобто при яких значеннях x даний многочлен додатний, а при яких від'ємний. При переході через кратний корінь крива залишається з того самого боку від осі х бік, якщо показник парний, і переходить на інший відносно осі х бік, якщо показник непарний.

Приклад. Розв'язати нерівність .

Позначаємо корені на осі х і зображуємо криву, що визначає знаки лівої частини нерівності (рис. 1).

Рис. 1

Нерівність має розв'язок

.

Приклад. Розв'язати нерівність .

Розкладемо ліву частину нерівності на множники:

.

Поділивши обидві частини нерівності на множники і які завжди додатні, дістанемо:

.

Відкладаємо на числовій осі точки (рис. 2).

Рис. 2

Отже, даний многочлен скрізь додатний, крім двох точок , які є розв'язками нерівності.

Приклад. Розв'язати раціональну нерівність .

Відкладаємо на числовій осі точки , в яких ліва частина нерівності може змінити свій знак (рис. 3).



Рис. 3

Точки , в яких нерівність не виконується, позначаємо порожнім кружечком. Отже, маємо такий розв'язок нерівності:

9.5 Ірраціональні нерівності

Ірраціональні нерівності зводяться, як правило, до однієї з двох таких нерівностей:

; (1)

. (2)

Нерівність (1) виконується в одному з двох випадків:

Нерівність (2) виконується, якщо виконуються нерівності:

Приклад. Розв'язати нерівність .

Маємо нерівність виду (1). Розв'яжемо системи нерівностей:

Остаточно знаходимо розв'язок

Приклад. Розв'язати ірраціональну нерівність .

Маємо нерівність виду (2), розв'язання якої таке:

.

Приклад. Розв'язати нерівність .

Розв'язуємо окрему нерівність і рівняння:

;

.

Остаточно дістаємо розв'язок

Приклад. Розв'язати нерівність .

Розв'язуючи окремо нерівність і рівняння, дістаємо:

.

Остаточно маємо розв'язок

Кожну ірраціональну нерівність можна розв'язати методом інтервалів. Для цього знаходять її ОДЗ, а далі замінюють нерівність рівністю і розв'язують рівняння. Точки, що відповідають розв'язкам, розбивають ОДЗ на інтервали. Якщо в одній точці деякого інтервалу нерівність виконується, то вона виконується в усіх точках цього інтервалу. І навпаки: якщо в будь-якій одній точці інтервалу нерівність не виконується, то вона не виконується в усіх його точках.

Приклад. Розв'язати методом інтервалів нерівність .

З нерівності знаходимо ОДЗ:

Далі замість нерівності (3) розв'язуємо рівняння

або



звідки

Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).

Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.

1. Підставляємо значення з інтервалу у нерівність (3). Дістаємо нерівність , яка не виконується. Тому нерівність (3) не виконується в усіх точках інтервалу .

2. Підставляючи в нерівність (3) значення з інтервалу , дістаємо правильну нерівність . Отже, нерівність (3) виконується на інтервалі .

3. Підставляючи в (3) значення з інтервалу дістаємо неправильну нерівність . Це означає, що нерівність (3) не виконується ні в одній точці інтервалу .

Остаточно маємо розв'язок нерівності (3)

.

9.6 Показникові нерівності

Розв'язування показникових нерівностей зводиться до розв'язування нерівності виду Якщо , то . Якщо , то .

Приклад. Розв'язати показникову нерівність

Переходячи до основи 3, дістаємо:

.

Розв'язавши останню нерівність методом інтервалів, знайдемо розв'язок

.

Приклад. Розв'язати показникову нерівність .

Запишемо нерівність у вигляді

.

Поділивши обидві частини нерівності на , дістаємо:

.

Позначивши

,

дістанемо:

, .

Розглядаємо два випадки:

1)

2)

Остаточно маємо

9.7 Логарифмічні нерівності

Розв'язання логарифмічних нерівностей зводиться до розв'язування нерівності виду

(1)

При цьому можливі два випадки:

1) якщо , то ;

2) якщо , то .

Приклад. Розв'язати нерівність .

Запишемо цю нерівність у вигляді (1):

звідки знайдемо розв'язок

або

Приклад. Розв'язати нерівність .

Запишемо нерівність у вигляді

.

Звідси дістаємо:

,

, .

Найскладнішими є такі логарифмічні нерівності, в яких основи логарифмів залежать від х:

(9)

Дістаємо дві системи нерівностей:

1) 2) .

Об'єднання розв'язків цих систем і буде розв'язком нерівності (2).

Приклад. Розв'язати нерівність

Скориставшись співвідношенням розв'яжемо дві системи нерівностей:

1) 2)

Шуканий розв'язок:

Приклад. Розв'язати логарифмічну нерівність

Запишемо дану нерівність у вигляді (2):

Звідси дістаємо дві системи:

1) 2)

Побудуємо графік функції .

При маємо:

,

При маємо:

,

При маємо:



Розв'язок даної нерівності:

.

9.8 Деякі типові задачі вищої математики, що зводяться до розв'язування системи нерівностей

Приклад. Знайти область існування функції .

Функція існує, якщо виконується система нерівностей:

Нерівність вигляду розв'язують, будуючи графік функції

Отже, будуємо графіки функцій , і знаходимо область, де одночасно виконуються обидві нерівності (рис. 1). Коли йдеться про строгу нерівність, то відповідну межу позначаємо пунктиром. Шукану область заштриховуємо.



Рис. 1

Приклад. Знайти область існування функції .

Функція існує, якщо виконується нерівність

Шукану область зображено на рис. 2.

Рис. 2

9.9 Тригонометричні нерівності

Розв'язування будь-якої тригонометричної нерівності зводиться до розв'язування однієї з наведених далі шести нерівностей.

1.

Рис. 1

Із рис. 1 знаходимо розв'язок даної нерівності:

. (1)

Приклад. Розв'язати нерівність

Позначивши дістанемо квадратну нерівність:

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

;

2.

Із рис. 1 знаходимо розв'язок:

. (2)

Приклад. Розв'язати нерівність

Позначивши , дістанемо квадратну нерівність:

Повернувшись до початкових позначень, розв'яжемо нерівності:

1) ;

2)

3.

Рис. 2

Із рис. 2 знаходимо розв'язок даної нерівності:

(3)

Приклад. Розв'язати нерівність

Позначивши розв'яжемо нерівність

Переходячи до початкових позначень, маємо:

1)

2)

4.

Із рис. 2 знаходимо розв'язок даної нерівності:

(4)

Приклад. Розв'язати нерівність

Позначивши розв'яжемо нерівність

Повертаюсь до початкових позначень, маємо:

1)

2)

5.

Рис. 3

Із рис. 3 знаходимо розв'язок даної нерівності:

(5)

Аналогічно розв'язується нерівність :

. (6)

Приклад. Розв'язати нерівність

Виконавши заміну дістанемо



Повертаючись до початкових позначень, маємо:

6.

Рис. 4

Із рис. 4 знаходимо розв'язок даної нерівності

(7)

Аналогічно розв'язується нерівність :

. (8)

Приклад. Розв'язати нерівність

Позначивши дістаємо

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

Приклад. Розв'язати нерівність

Позначивши дістаємо нерівність:

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

1)

2)

9.10 Алгебраїчні нерівності

Наведемо деякі відомі нерівності, часто використовувані під час розв'язування різних задач.

1. Нерівність Коші:

 (1)

2. Нерівність Гельдера

(2)

якщо ;

3.

якщо (3)

Приклад. Довести нерівність

Якщо , то нерівність, очевидно, виконується.

Якщо , підносимо обидві частини нерівності до квадрата:

.

Нерівність доведено.

Приклад. Довести, що для будь-якого трикутника зі сторонами виконується нерівність

Оскільки обидві частини нерівності додатні, то підносимо їх до квадрата:

Оскільки

то нерівність доведено.

Приклад. Довести нерівність .

Помноживши обидві частини нерівності на 2, дістанемо:

звідки

Остання нерівність, очевидно, виконується, що й доводить дану нерівність.

Приклад. Довести, що при будь-яких додатних значеннях а і b виконується нерівність

Підносимо обидві частини нерівності до квадрата:

У результаті тотожних перетворень дістали правильну нерівність, що й доводить дану нерівність.

Приклад. Довести, що коли

Узявши розглянемо функцію Щоб відшукати мінімум функції , знайдемо її похідну:

.

З рівняння

випливає:

Отже,

, , .

Якщо

,

То

Приклад. Довести нерівність .

Розкриваючи дужки, дістаємо:



У результаті тотожних перетворень дістаємо нерівність, яка, очевидно, виконується, що й доводить дану нерівність.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте властивості нерівностей.

2. Як розв'язуються квадратні нерівності?

3. У чому полягає метод інтервалів?

4. Як розв'язуються ірраціональні нерівності?

5. Розв'язування показникових нерівностей.

6. Розв'язування логарифмічних нерівностей.

7. Розв'язування тригонометричних нерівностей.

9.11 Вправи для самостійного розв'язування

Розв'язати нерівність (1--49). Відповідь

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

Довести нерівність (50--57).

50. , якщо -- сторони трикутника.

51. , якщо -- сторони трикутника.

52. , де -- площа трикутника зі сторонами .

53. , де -- площа трикутника зі сторонами .

54. , де -- висоти, опущені відповідно на сторони ; -- радіус уписаного в трикутник кола.

55. , де ; -- радіус кола, описаного навколо трикутника; -- радіус уписаного в нього кола.

56. , де -- радіус уписаного кола; -- висоти, проведені до сторін .

57. , де -- медіани, проведені до сторін .

Размещено на Allbest.ru

...